數(shù)學(xué)物理方法經(jīng)典課件第三章-冪級數(shù)展開共

“數(shù)學(xué)是無窮的科學(xué)”——赫爾曼.外爾第三章冪級數(shù)展開1“數(shù)學(xué)是無窮的科學(xué)”——赫爾曼.外爾第三章冪級數(shù)展開1學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要目的與要求：掌握復(fù)數(shù)項級數(shù)、冪級數(shù)、泰勒級數(shù)、與洛朗級數(shù)的概念、性質(zhì)及基本計算方法、孤立奇點的概念及判定、零點與極點的關(guān)系。重點：難點：函數(shù)展開成泰勒級數(shù)與洛朗級數(shù)函數(shù)展開成洛朗級數(shù)2學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要目的與要求：掌握復(fù)數(shù)項級數(shù)、冪級數(shù)、泰勒級

無窮級數(shù)：一無窮多個數(shù)構(gòu)成的數(shù)列w1，w2，w3，wn，寫成w1+w2+w3+wn+就稱為無窮級數(shù)。這僅是一種形式上的相加。這種加法是不是具有‘和數(shù)’呢？這個‘和數(shù)’的確切意義是什么？

為什么要研究級數(shù)？(1)級數(shù)可作為函數(shù)的表達(dá)式，是研究函數(shù)的工具；(2)常微分方程的級數(shù)解。

研究級數(shù)需關(guān)心的問題：(1)級數(shù)的斂散性，收斂的定義、條件、判據(jù)；(2)收斂級數(shù)或一致收斂級數(shù)所具有的性質(zhì)等。3無窮級數(shù)：一無窮多個數(shù)構(gòu)成的數(shù)列w1，w2，w33.1復(fù)數(shù)項級數(shù)(一)復(fù)數(shù)項級數(shù)1定義

設(shè){wn}(n=1,2,…)為一復(fù)數(shù)列,表達(dá)式

的稱為復(fù)數(shù)項級數(shù)，其中是復(fù)數(shù)。2部分和級數(shù)前面n項的和若部分和數(shù)列{sn}(n=1,2,…,)有復(fù)數(shù)極限s即若(3.1)本節(jié)內(nèi)容與實數(shù)項級數(shù)類似，只作扼要介紹。43.1復(fù)數(shù)項級數(shù)(一)復(fù)數(shù)項級數(shù)2部分和級數(shù)前面n項的和說明:

與實數(shù)項級數(shù)相同,判別復(fù)數(shù)項級數(shù)斂散性的基本方法是:則稱復(fù)數(shù)項級數(shù)(3.1)收斂于s,且稱s為(3.1)的和,寫成若復(fù)數(shù)列{sn}(n=1,2,…,)沒有極限,則稱級數(shù)(3.1)為發(fā)散.5說明:與實數(shù)項級數(shù)相同,判別復(fù)數(shù)項的斂散性.0?￥=nnz分析級數(shù)例16的斂散性.0?￥=nnz分析級數(shù)例163.復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂的條件證因為(1)定理

)(

11收斂的充要條件級數(shù)??￥=￥=+=nnnnnivuw

.

11都收斂和??￥=￥=nnnnvu73.復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂的條件證因為(1)定理)(11說明

復(fù)數(shù)項級數(shù)的審斂問題實數(shù)項級數(shù)的審斂問題(定理)

.

11??￥=￥=nnnnvu都收斂和級數(shù)于是8說明復(fù)數(shù)項級數(shù)的審斂問題實數(shù)項級數(shù)的審斂問題(定理).(3)絕對收斂定義若收斂，則稱絕對收斂

注1：一個絕對收斂的復(fù)級數(shù)的各項可以任意重排次序,而不改變其絕對收斂性,亦不改變其和.

(2)柯西判據(jù)：對于任一小的正數(shù)

，必存在一

N

使得

n>N

時有式中

p

為任意正整數(shù).注2：級數(shù)絕對收斂的充分必要條件是實數(shù)項級數(shù)與都絕對收斂。9(3)絕對收斂定義若收斂，則稱絕對收斂注1：一個絕解所以原級數(shù)發(fā)散.

例1所以原級數(shù)收斂.

注3：兩個絕對收斂級數(shù)的和，積，仍絕對收斂。10解所以原級數(shù)發(fā)散.例1所以原級數(shù)收斂.注3：兩個（二）復(fù)變函數(shù)項（簡稱函數(shù)項）級數(shù)：設(shè)復(fù)變函數(shù)列wk(z)定義在區(qū)域B上，則由wk(z)構(gòu)成的級數(shù)稱函數(shù)項級數(shù)當(dāng)選定z的一個確定值時，函數(shù)項級數(shù)變成一個復(fù)數(shù)項級數(shù)。

由于函數(shù)項級數(shù)定義在區(qū)域B(或曲線l)上，所以它的收斂的概念是相對于定義域B(或曲線l)而言的。11（二）復(fù)變函數(shù)項（簡稱函數(shù)項）級數(shù)：設(shè)復(fù)變函數(shù)列

1.復(fù)變函數(shù)項級數(shù)一致收斂的充分必要條件定義：任給ε>0，存在一個與z無關(guān)的自然數(shù)N(ε)，當(dāng)n>N(ε)時，對B(或l)上所有z，均有：(p為任意自然數(shù))，則稱在B(或l)一致收斂。一致收斂級數(shù)的性質(zhì)

性質(zhì)1：若wk(z)在B內(nèi)連續(xù)，函數(shù)級數(shù)在B內(nèi)一致收斂，則和函數(shù)w(z)也是B內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。這個性質(zhì)說明：如果級數(shù)的每一項都是連續(xù)函數(shù)，則一致收斂級數(shù)可以逐項求極限。121.復(fù)變函數(shù)項級數(shù)一致收斂的充分必要條件定義：任給ε

性質(zhì)2：若級數(shù)在區(qū)域B內(nèi)的分段光滑曲線l上一致收斂，且wk(z)為l上的連續(xù)函數(shù)，則級數(shù)可沿l逐項積分：13性質(zhì)2：若級數(shù)在區(qū)域B內(nèi)的分段光滑曲線絕對一致收斂這是一種特殊形式的常用函數(shù)項級數(shù)。3.2冪級數(shù)冪級數(shù)：通項為冪函數(shù)的級數(shù):（一）定義14絕對一致收斂這是一種特殊形式的常用函數(shù)項級數(shù)。3.2冪級數(shù)（二）冪級數(shù)的斂散性

1.阿貝爾定理

如果級數(shù)

在z0點收斂，那么在以a點為圓心，為半徑的圓內(nèi)絕對收斂，而

上一致收斂。

如果級數(shù)在z1點發(fā)散，則在

內(nèi)處處發(fā)散。由于發(fā)散的冪級數(shù)沒有多大用處，故重點研究冪級數(shù)的斂散性。2.求收斂圓半徑R的公式

絕對收斂是指

收斂，后者為正項級數(shù)，因此可用正項級數(shù)的比值判別法和根式判別法確15（二）冪級數(shù)的斂散性1.阿貝爾定理如果級數(shù)(1)比值判別法引入收斂半徑定收斂半徑

R。絕對收斂發(fā)散絕對收斂發(fā)散則若:級數(shù)的柯西判據(jù),所以絕對收斂.16(1)比值判別法引入收斂半徑定收斂半徑R。絕對收斂發(fā)所以收斂半徑為注意:冪級數(shù)在收斂圓上的斂散性需具體分析！（2）當(dāng)CRz0·R17所以收斂半徑為注意:冪級數(shù)在收斂圓上的斂散性需具體分析?。?(2)根式判別法發(fā)散所以絕對收斂對應(yīng)級數(shù)絕對收斂則若:18(2)根式判別法發(fā)散所以絕對收斂對應(yīng)級數(shù)絕對收斂則若:如果:(極限不存在),4.復(fù)變冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的性質(zhì)那么設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為?￥=-00)(kkkzza是收斂圓內(nèi)的解析函數(shù)。(1)?￥=-=0)()(

kkkz0zazw它的和函數(shù)Rz0z<-19如果:(極限不存在),4.復(fù)變冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的性質(zhì)那么設(shè)(2)在收斂圓內(nèi)可以逐項積分,

)(zw即?òò￥=<-?-=0.,d)(d)(kckkcRz0zczz0zazzw

且可表為連續(xù)函數(shù)的回路積分。20(2)在收斂圓內(nèi)可以逐項積分,)(zw即?òò￥=<-?-證明:記

CR1上點為，CR1內(nèi)任一點為

z，則圓上的冪級數(shù)可寫為利用柯西公式用有界函數(shù)相乘后，在CR1上一致收斂21證明:記CR1上點為，CR1內(nèi)任一點為z且冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)可任意逐項求導(dǎo)證明:冪級數(shù)乘以(3)在收斂圓內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將其冪級數(shù)逐項求導(dǎo)得到,)(zw.)()(11?￥=--=￠kkkz0zkazw即Rz0z<-22且冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)可任意逐項求導(dǎo)證明:冪級數(shù)(3)在收斂圓內(nèi)故收斂半徑例1求冪級數(shù)

的收斂半徑解23故收斂半徑例1求冪級數(shù)解例2求

的收斂半徑.24解例2求的收斂半徑例3計算解:和函數(shù)25例3計算解:和函數(shù)255.冪級數(shù)的運算與性質(zhì)在收斂半徑R=min(r1,r2)內(nèi):如果當(dāng)時,又設(shè)在內(nèi)解析且滿足那末當(dāng)時,(2)冪級數(shù)的代換(復(fù)合)運算265.冪級數(shù)的運算與性質(zhì)在收斂半徑R=min(r1,r2)內(nèi):思考思考題答案不一定。冪級數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何斷定?由于在收斂圓周上確定,可以依復(fù)數(shù)項級數(shù)斂散性討論。思考題答案27思考思考題答案不一定。冪級數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何斷定?由§3.23.(1)（4）(5）4.(1)(3)本講作業(yè)28§3.2本講作業(yè)283.3泰勒級數(shù)展開上節(jié)證明了：冪級數(shù)在其收斂圓內(nèi)解析本節(jié)證明其逆定理：解析函數(shù)可以展開成冪級數(shù)，且這種展開式是唯一的。

——解析函數(shù)與冪級數(shù)的密切關(guān)系其中展開系數(shù)

ak稱為泰勒級數(shù)

如圖：設(shè)

f(z)在區(qū)域Ｂ內(nèi)解析，z0為Ｂ內(nèi)任一點，Ｒ為z0到Ｂ區(qū)邊界的最短距離，則當(dāng)|z–z0|<R

時，

f(z)可展開為泰勒級數(shù)(一)解析函數(shù)的泰勒展開定理CR1為半徑為Ｒ的圓。

BCR1z293.3泰勒級數(shù)展開上節(jié)證明了：冪級數(shù)在其收斂圓內(nèi)解析其中展證明：

1.設(shè)f(z)在Ｂ內(nèi)解析,在圖示的CR1圓上應(yīng)用柯西公式其中z為圓CR1內(nèi)某一點,|z–z0|=r，CR1為包含z的圓，|ζ–z0|=R,(0<r<R)，ζ為CR1上的點。

如圖:.內(nèi)任意點.CR1.r30證明：1.設(shè)f(z)在Ｂ內(nèi)解析,在圖示的CR1圓上應(yīng)用2.將被積函數(shù)變成級數(shù)利用

將

展開成以z0為中心的級數(shù)

被積函數(shù)寫成：3.將上式沿CR1積分級數(shù)

在CR1上一致收斂

和

f(ζ)在CR1上有界312.將被積函數(shù)變成級數(shù)利用級數(shù)

在

B內(nèi)一致收斂逐項積分于是其中4.展開式是唯一的32級數(shù)

若

f(z)能展開成另一種形式：(1)那么當(dāng)z=z0：(2)對z求導(dǎo)：……——展開式唯一33若f(z)能展開成另一種形式：(1)那么當(dāng)z=

來求

ak。

由展開式的唯一性，可以用任何方便的辦法來求解一個解析函數(shù)的泰勒展開式，不必一定要用積分表達(dá)式說明：(1)解析函數(shù)與泰勒級數(shù)之間存在密切關(guān)系：a.冪級數(shù)在其收斂圓內(nèi)解析；b.解析函數(shù)可以展開成冪級數(shù)，且這種展開式是唯一的。(2)如果f(z)在B內(nèi)有一階導(dǎo)數(shù)存在，則f(z)可在B內(nèi)每一點的鄰域內(nèi)展開成泰勒級數(shù)。而對于實變函數(shù)來說，f(x)的一階導(dǎo)數(shù)存在，它的二階或高階導(dǎo)數(shù)可能不存在，因此f(x)就不可能展開成泰勒級數(shù)。34來求ak。由展開式的唯一性，可以用任何方便的;,00級數(shù)稱為麥克勞林級數(shù)時當(dāng)=z

因為解析，可以保證無限階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性;注意：所以復(fù)變函數(shù)展為泰勒級數(shù)的實用范圍就要比實變函數(shù)廣闊的多。說明:35;,00級數(shù)稱為麥克勞林級數(shù)時當(dāng)=z因為解析，可以保(三)將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)常用方法:直接法和間接法.1.直接法:由泰勒展開定理計算系數(shù).

)(

0展開成冪級數(shù)在將函數(shù)zzf例1，故有36(三)將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)常用方法:直接法和間接法.1.直,

在復(fù)平面內(nèi)處處解析因為ze。

￥=R所以級數(shù)的收斂半徑2.間接展開法:借助于一些已知函數(shù)的展開式,結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì),冪級數(shù)運算性質(zhì)(逐項求導(dǎo),積分等)和其它數(shù)學(xué)技巧(代換等),求函數(shù)的泰勒展開式。間接法的優(yōu)點:不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑,因而比直接展開更為簡潔,使用范圍也更為廣泛。37,在復(fù)平面內(nèi)處處解析因為ze。￥=R所以級數(shù)的收斂半例2.

0

sin

的泰勒展開式在利用間接展開法求=zz38例2.0sin的泰勒展開式在利用間接展開法求=zz附:常見函數(shù)的泰勒展開式39附:常見函數(shù)的泰勒展開式394040例3解上式兩邊逐項求導(dǎo),,11)1(12-==+zzz上有一奇點在由于,,1區(qū)域內(nèi)解析即在<z故可在其解析區(qū)域內(nèi)展開成的冪級數(shù)z41例3解上式兩邊逐項求導(dǎo),,11)1(12-==+zzz上有一例4*分析如圖,-1OR=1xy.

1

的冪級數(shù)內(nèi)可以展開成所以它在zz=,

1

,

1

)1ln(

是它的一個奇點平面內(nèi)是解析的向左沿負(fù)實軸剪開的在從--+z42例4*分析如圖,-1OR=1xy.1的冪級數(shù)內(nèi)可以展開成即

將展開式兩端沿

l逐項積分,得解,

0

1

的曲線到內(nèi)從為收斂圓設(shè)zzl<43即將展開式兩端沿l逐項積分,得解,013.4解析延拓解析延拓：將解析函數(shù)定義域加以擴大例;冪級數(shù)：在以z=0為圓心的單位圓B內(nèi)代表一個解析函數(shù)，令為級數(shù)的收斂域B即解析函數(shù)定義域半徑R=1

。在單位圓B內(nèi)，取一點z0=i/2

為圓心進行將f1(z)泰勒展開這級數(shù)的收斂域b的半徑為（一）解析延拓443.4解析延拓解析延拓：將解析函數(shù)定義域加以擴大上例說明，收斂域b跨出原來的收斂域B之外，而級數(shù)(1)在收斂域B內(nèi).b代表解析函數(shù)

f2(z)，于是稱f2(z)為f1(z)在

b內(nèi)的解析延拓。定義：若f1(z)和f2(z)分別在B,b內(nèi)解析，且在B與b重疊的區(qū)域中有f1(z)=f2(z)，則稱f2(z)為f1(z)在b中的解析延拓，f1(z)為f2(z)在B中的解析延拓?？梢宰C明，無論采用何種方法，函數(shù)f(z)的解析延拓是唯一的。這樣，可以采用某些最方便的方法來進行解析延拓。Bb45上例說明，收斂域b跨出原來的收斂域B之外，而首先在B1內(nèi)任取一點

z0，將f1

(z)在

z0

的鄰域展開成泰勒級數(shù)設(shè)級數(shù)的收斂區(qū)域為B2。如果B2超出了B1的范圍。由于在B1和B2的重疊區(qū)域f1(z)=

f2(z)，所以f2(z)就是f1(z)在

B2中的解析延拓。這樣不斷作下去，得到一系列的解析{Bn,fn(z)}

(n=2,3...)。

一個解析元素{Bn,fn(z)}

的全部解析延拓的集合，稱為f1(z)所產(chǎn)生的完全解析函數(shù)F(z)，F(xiàn)(z)的定義域是鄰解析元素給出的定義域的總和。(二)泰勒級數(shù)展開解析延拓的方法46首先在B1內(nèi)任取一點z0，將f1(z)在z0§3.3(1)（3）(6）(8)本講作業(yè)47§3.3本講作業(yè)473.5洛朗級數(shù)展開(一)問題的引入483.5洛朗級數(shù)展開(一)問題的引入48例1.都不解析,但在圓環(huán)域及內(nèi)都是解析的.而1,1112<+++++=-zzzzzkLL:10

內(nèi)在圓環(huán)域<<z所以,121LL++++++=-kzzzz即內(nèi)可以展開成冪級數(shù).49例1.都不解析,但在圓環(huán)域及內(nèi)都是解析的.而1,1112<+[]LL+-++-+-+-=kzzzz)1()1()1(1112.)1()1()1(1)1(121L+-+-+-++-=--kzzzz由此推想，若f(z)在R

2<z-

z0<R1

內(nèi)解析,f(z)可以展開成含有負(fù)冪次項的級數(shù),即內(nèi)，在圓環(huán)域110<-<z50[]LL+-++-+-+-=kzzzz)1()1()1(11

本節(jié)將討論在以z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)的級數(shù)表示法。它是后面將要研究的解析函數(shù)在孤立奇點鄰域內(nèi)的性質(zhì)以及定義留數(shù)數(shù)和計算留數(shù)的基礎(chǔ)。51本節(jié)將討論在以z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)解析的函(二)洛朗級數(shù)定理C為圓環(huán)域內(nèi)繞的任一正向簡單閉曲線.

,)()(0kkkzzazf-=?￥-￥=內(nèi)處處解析，在環(huán)形域設(shè)

)(

102RzzRzf<-<內(nèi)可展開成洛朗級數(shù)在那末Bzf

)(

為洛朗系數(shù)..52(二)洛朗級數(shù)定理C為圓環(huán)域內(nèi)繞的任一正向簡單閉曲線.證對于第一個積分(CR1):Bzz0.z...53證對于第一個積分(CR1):Bzz0.z...53對于第二個積分:所以

因為.z...54對于第二個積分:所以因為.z...54則55則55則

對于C為在圓環(huán)域內(nèi)繞的任何一條正向簡單kkkkkkzzazza-￥=-￥=-+-=??)()(0100.)(0kkkzza-=?￥-￥=閉曲線.可用一個式子表示為:kkaa-與56則對于C為在圓環(huán)域內(nèi)繞的任何一條正向簡單kkkkk說明:函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開式在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗(Laurent)級數(shù).1)2)某一圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)展開為含有正、負(fù)冪項的級數(shù)是唯一的.定理給出了將圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展為洛朗級數(shù)的一般方法.kkkzzazf)()(0-=?￥-￥=57說明:函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開式在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗(Laure(三)函數(shù)的洛朗展開式常用方法:1.直接法2.間接法

1.直接展開法利用定理公式計算系數(shù)),2,1,0(d)()(π2110L±±=-=ò+kzfiaCkkzzz然后寫出.)()(0kkkzzazf-=?￥-￥=根據(jù)正、負(fù)冪項組成的的級數(shù)的唯一性,可用代數(shù)運算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開.2.間接展開法58(三)函數(shù)的洛朗展開式常用方法:1.直接法2.間接例2解由定理知:,)(kkkzazf?￥-￥==而zzzd)()(π2110ò+-=Ckkzfiazzzdπ213ò+=Ckei目標(biāo)求ak令f1=eζ,則f1=eζ在閉合回路C內(nèi)和C上均解析，故由解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

zzzdπ2(k+1)!3ò+=Ck1eif(k+1)+=)!1((k+1)kfka1(0)即有

如何計算ak?.59例2解由定理知:,)(kkkzazf?￥-￥==而zzzd)間接法解：直接展開ezzzzdπ213ò+=Ckkeia022)(dd)!2(1=++ú?ùê?é+=zzkkezk)!2(1+=k?￥-=+=2)!2()(

kkkzzf故60間接法解：直接展開ezzzzdπ213ò+=Ckkeia02例3內(nèi)是處處解析的,試把f(z)在這些區(qū)域內(nèi)展開成洛朗級數(shù).解:

)2)(1(1)(

在圓環(huán)域函數(shù)--=zzzf

,

10

)1內(nèi)在<<z間接展開法61例3內(nèi)是處處解析的,試把f(z)在這些區(qū)域內(nèi)展開成oxy1=)(

zf所以LL+++++=-nzzzz2111則,1<z由于12<z從而是泰勒級數(shù)62oxy1=)(zf所以LL+++++=-nzzzz211112oxy由且仍有

,

21

)2內(nèi)在<<z6312oxy由且仍有,21)2內(nèi)在<<z632oxy由此時,

2

)3內(nèi)在￥<<z)(

zf于是642oxy由此時,2)3內(nèi)在￥<<z)(zf于是64仍有,121

<<zz此時)(

zf故注意:奇點但卻不是函數(shù)的奇點.本例中圓環(huán)域的中心是各負(fù)冪項的65仍有,121<<zz此時)(zf故注意:奇點但卻不是說明:1.函數(shù)在以為中心的圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級數(shù)中盡管含有的負(fù)冪項,而且又是這些項的奇點,但是可能是函數(shù)的奇點,也可能的奇點.不是2.給定了函數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的一點以后,函數(shù)在各個不同的圓環(huán)域中有不同的洛朗展開式(包括泰勒展開式作為它的特例).66說明:1.函數(shù)在以為中心的圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級數(shù)中盡管含有的負(fù)解：間接法即通過展開sinz為級數(shù)求解：例4.

0

sin

0洛朗級數(shù)的去心鄰域內(nèi)展開成在將函數(shù)=zzz67解：間接法即通過展開sinz為級數(shù)求解：例4.03.6孤立奇點的分類定義：若函數(shù)f(z)在點z0處不解析（或沒有定義），但在點z0的某個空心鄰域內(nèi)解析，則稱點z0為f(z)的孤立奇點。(一)孤立奇點的概念例1z=0是函數(shù)的孤立奇點.是函數(shù)的孤立奇點.注意:

孤立奇點一定是奇點,但奇點不一定是孤立奇點.683.6孤立奇點的分類定義：若函數(shù)f(z)在點z0處不解析例2

指出函數(shù)在點的奇點特性.解即在的不論怎樣小的去心鄰域內(nèi),

的奇點存在,

函數(shù)的奇點是1/z=0和sin(1/z)=0對應(yīng)的點，即總有不是孤立奇點.所以，因為01lim=p￥?kk69例2指出函數(shù)在點的奇點特性.解即在的不論怎樣小的去心鄰域內(nèi)

定義

設(shè)z0是解析函數(shù)f(z)的孤立奇點，f(z)在點z0的某去心鄰域

內(nèi)的羅朗展式為

(1)若展式中不含有z-z0的負(fù)冪項，則稱z0為f(z)的可去奇點；

(2)若展式中只含有z-z0的有限(m)項負(fù)冪項，則稱z0是f(z)的極點，稱m為極點z0的階，按照m=1或m＞1，稱z0是f(z)的單極點或m階的極點；

(3)若展式中含有z-z0的無窮多個負(fù)冪項，則稱z0為f(z)的本性奇點。(二)孤立奇點的分類70定義設(shè)z0是解析函數(shù)f(z)的孤立奇點，f(其和函數(shù)為在解析的函數(shù).說明:(1)(2)無論在是否有定義,補充定義則函數(shù)在解析.1．可去奇點如果洛朗級數(shù)中不含的負(fù)冪項,那末孤立奇點稱為的可去奇點.1)定義,)(0的孤立奇點若是zfz.)()()(0010LL+-++-+=kkzzazzaazf,)(00azf=?íì=1=000,,)()(zzazzzFzf71其和函數(shù)為在解析的函數(shù).說明:(1)(2)無論在是否有定2)可去奇點的判定(1)定義判斷:的洛朗級數(shù)無負(fù)在如果冪項則為的可去奇點.(2)

極限判斷若極限存在且為有限值,則為的可去奇點.如果補充定義:時,那末在解析.例3中不含負(fù)冪項,是的可去奇點.722)可去奇點的判定(1)定義判斷:的洛朗級數(shù)無負(fù)在如例4

說明為的可去奇點.解由定義判斷所以為的可去奇點.無負(fù)冪項極限判斷的可去奇點.為73例4說明為的可去奇點.解由定義判斷所以為的可去奇點.2.極點

其中關(guān)于的最高冪為即級極點.那末孤立奇點稱為函數(shù)的或?qū)懗?)定義

如果洛朗級數(shù)中只有有限多個的負(fù)冪項,1012020)()()()(-------+-++-=zzazzazzazfmmLL+-++)(010zzaa)0,1(13-mam742.極點其中關(guān)于的最高冪為即級極點.那末孤立奇點稱為函數(shù)說明:1.2.特點:(1)(2)的極點,則為函數(shù)如果例5有理分式函數(shù)是二級極點,是一級極點.L+-+-+=+-+--20201)()()(zzazzaazgmmm內(nèi)是解析函數(shù)在d<-0zz75說明:1.2.特點:(1)(2)的極點,則為函數(shù)如果例52)極點的判定方法的負(fù)冪項為有的洛朗展開式中含有限項.在點的某去心鄰域內(nèi)其中在的鄰域內(nèi)解析,且(1)定義判別(2)定義的等價形式判別(3)極限判斷.762)極點的判定方法的負(fù)冪項為有的洛朗展開式中含有限項.在點本性奇點3.如果洛朗級數(shù)中含有無窮多個那末孤立奇點稱為的本性奇點.的負(fù)冪項,例如，含有無窮多個z的負(fù)冪項特點:在本性奇點的鄰域內(nèi)不存在且不為同時不存在.為本性奇點，所以0=z77本性奇點3.如果洛朗級數(shù)中含有無窮多個那末孤立奇點稱為的本性(三)函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點的性態(tài)1.定義如果函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點的去心鄰域內(nèi)解析,則稱點為的孤立奇點.Rxyo78(三)函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點的性態(tài)1.定義如果函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點的去心作變換并且規(guī)定此變換將:映射為擴充z平面擴充

t平面映射為映射為映射為79作變換并且規(guī)定此變換將:映射為擴充z平面擴充t平面映2結(jié)論:在去心鄰域內(nèi)對函數(shù)的研究在去心鄰域內(nèi)對函數(shù)的研究因為在去心鄰域內(nèi)是解析的,所以是的孤立奇點.3規(guī)定:m級奇點或本性奇點.的可去奇點、m級奇點或本性奇點,如果

t=0

是是的可去奇點、那末就稱點802結(jié)論:在去心鄰域內(nèi)對函數(shù)的研究在去心鄰域內(nèi)對函數(shù)的研究1)不含正冪項;2)含有有限多的正冪項且為最高正冪;3)含有無窮多的正冪項;那末是的1)可去奇點;2)m級極點;3)本性奇點.判別法1(利用洛朗級數(shù)的特點)4.判別方法:在內(nèi)的洛朗級數(shù)中:如果811)不含正冪項;2)含有有限多的正冪項且為最高正冪;3)含有例6(1)函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開式為:不含正冪項所以是的可去奇點.(2)函數(shù)含有正冪項且

z為最高正冪項,所以是的一級極點.82例6(1)函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開式為:不含正冪項所以是(3)函數(shù)的展開式:含有無窮多的正冪項所以是的本性奇點.83(3)函數(shù)的展開式:含有無窮多的正冪項所以是的本性奇點.83判別法2:(利用極限特點)如果極限1)存在且為有限值;2)無窮大;3)不存在且不為無窮大;那末是的1)可去奇點;2)m級極點;3)本性奇點.84判別法2:(利用極限特點)如果極限1)存在且為有限值;例7

函數(shù)在擴充復(fù)平面內(nèi)有些什么類型的奇點?如果是極點,指出它的級.解

函數(shù)除點外,所以這些點都是的一級零點,內(nèi)解析.在.,2,1,0cos)(sin處均不為零在因L±±=p=￠pzzz（1）分析的零點情況：（2）分析分子的零點情況；為一級零點，與則11-為三級零點，則2先分析有限區(qū)域，再分析無限區(qū)域85例7函數(shù)在擴充復(fù)平面內(nèi)有些什么類型的奇點?如果是極點,然而那末是的可去奇點.因為的三級極點.（3）分析的極點情況：故在這些點中除1,-1,2外,都是對于z=2，86然而那末是的可去奇點.因為的三級極點.（3）分析的極點情況不是的孤立奇點.所以的孤立奇點，不是故???è?=zz10f87不是的孤立奇點.所以的孤立奇點，不是故???è?=zz10f洛朗級數(shù)是一個雙邊冪級數(shù),其解析部分是一個普通冪級數(shù);答:是一般與特殊的關(guān)系.洛朗級數(shù)的收斂區(qū)域是圓環(huán)域洛朗級數(shù)與泰勒級數(shù)有何關(guān)系?思考題1.級數(shù)了洛朗級數(shù)就退化為泰勒思考88洛朗級數(shù)是一個雙邊冪級數(shù),其解析部分是答:是一般與特殊的思考題2答:89思考題2答:89§3.5(1)（3）(5）(7)(9)§3.6(1)（2）(3）本講作業(yè)90§3.5本講作業(yè)909191謝謝！謝謝！數(shù)學(xué)物理方法經(jīng)典課件第三章——冪級數(shù)展開共“數(shù)學(xué)是無窮的科學(xué)”——赫爾曼.外爾第三章冪級數(shù)展開94“數(shù)學(xué)是無窮的科學(xué)”——赫爾曼.外爾第三章冪級數(shù)展開1學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要目的與要求：掌握復(fù)數(shù)項級數(shù)、冪級數(shù)、泰勒級數(shù)、與洛朗級數(shù)的概念、性質(zhì)及基本計算方法、孤立奇點的概念及判定、零點與極點的關(guān)系。重點：難點：函數(shù)展開成泰勒級數(shù)與洛朗級數(shù)函數(shù)展開成洛朗級數(shù)95學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要目的與要求：掌握復(fù)數(shù)項級數(shù)、冪級數(shù)、泰勒級

無窮級數(shù)：一無窮多個數(shù)構(gòu)成的數(shù)列w1，w2，w3，wn，寫成w1+w2+w3+wn+就稱為無窮級數(shù)。這僅是一種形式上的相加。這種加法是不是具有‘和數(shù)’呢？這個‘和數(shù)’的確切意義是什么？

為什么要研究級數(shù)？(1)級數(shù)可作為函數(shù)的表達(dá)式，是研究函數(shù)的工具；(2)常微分方程的級數(shù)解。

研究級數(shù)需關(guān)心的問題：(1)級數(shù)的斂散性，收斂的定義、條件、判據(jù)；(2)收斂級數(shù)或一致收斂級數(shù)所具有的性質(zhì)等。96無窮級數(shù)：一無窮多個數(shù)構(gòu)成的數(shù)列w1，w2，w33.1復(fù)數(shù)項級數(shù)(一)復(fù)數(shù)項級數(shù)1定義

設(shè){wn}(n=1,2,…)為一復(fù)數(shù)列,表達(dá)式

的稱為復(fù)數(shù)項級數(shù)，其中是復(fù)數(shù)。2部分和級數(shù)前面n項的和若部分和數(shù)列{sn}(n=1,2,…,)有復(fù)數(shù)極限s即若(3.1)本節(jié)內(nèi)容與實數(shù)項級數(shù)類似，只作扼要介紹。973.1復(fù)數(shù)項級數(shù)(一)復(fù)數(shù)項級數(shù)2部分和級數(shù)前面n項的和說明:

與實數(shù)項級數(shù)相同,判別復(fù)數(shù)項級數(shù)斂散性的基本方法是:則稱復(fù)數(shù)項級數(shù)(3.1)收斂于s,且稱s為(3.1)的和,寫成若復(fù)數(shù)列{sn}(n=1,2,…,)沒有極限,則稱級數(shù)(3.1)為發(fā)散.98說明:與實數(shù)項級數(shù)相同,判別復(fù)數(shù)項的斂散性.0?￥=nnz分析級數(shù)例199的斂散性.0?￥=nnz分析級數(shù)例163.復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂的條件證因為(1)定理

)(

11收斂的充要條件級數(shù)??￥=￥=+=nnnnnivuw

.

11都收斂和??￥=￥=nnnnvu1003.復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂的條件證因為(1)定理)(11說明

復(fù)數(shù)項級數(shù)的審斂問題實數(shù)項級數(shù)的審斂問題(定理)

.

11??￥=￥=nnnnvu都收斂和級數(shù)于是101說明復(fù)數(shù)項級數(shù)的審斂問題實數(shù)項級數(shù)的審斂問題(定理).(3)絕對收斂定義若收斂，則稱絕對收斂

注1：一個絕對收斂的復(fù)級數(shù)的各項可以任意重排次序,而不改變其絕對收斂性,亦不改變其和.

(2)柯西判據(jù)：對于任一小的正數(shù)

，必存在一

N

使得

n>N

時有式中

p

為任意正整數(shù).注2：級數(shù)絕對收斂的充分必要條件是實數(shù)項級數(shù)與都絕對收斂。102(3)絕對收斂定義若收斂，則稱絕對收斂注1：一個絕解所以原級數(shù)發(fā)散.

例1所以原級數(shù)收斂.

注3：兩個絕對收斂級數(shù)的和，積，仍絕對收斂。103解所以原級數(shù)發(fā)散.例1所以原級數(shù)收斂.注3：兩個（二）復(fù)變函數(shù)項（簡稱函數(shù)項）級數(shù)：設(shè)復(fù)變函數(shù)列wk(z)定義在區(qū)域B上，則由wk(z)構(gòu)成的級數(shù)稱函數(shù)項級數(shù)當(dāng)選定z的一個確定值時，函數(shù)項級數(shù)變成一個復(fù)數(shù)項級數(shù)。

由于函數(shù)項級數(shù)定義在區(qū)域B(或曲線l)上，所以它的收斂的概念是相對于定義域B(或曲線l)而言的。104（二）復(fù)變函數(shù)項（簡稱函數(shù)項）級數(shù)：設(shè)復(fù)變函數(shù)列

1.復(fù)變函數(shù)項級數(shù)一致收斂的充分必要條件定義：任給ε>0，存在一個與z無關(guān)的自然數(shù)N(ε)，當(dāng)n>N(ε)時，對B(或l)上所有z，均有：(p為任意自然數(shù))，則稱在B(或l)一致收斂。一致收斂級數(shù)的性質(zhì)

性質(zhì)1：若wk(z)在B內(nèi)連續(xù)，函數(shù)級數(shù)在B內(nèi)一致收斂，則和函數(shù)w(z)也是B內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。這個性質(zhì)說明：如果級數(shù)的每一項都是連續(xù)函數(shù)，則一致收斂級數(shù)可以逐項求極限。1051.復(fù)變函數(shù)項級數(shù)一致收斂的充分必要條件定義：任給ε

性質(zhì)2：若級數(shù)在區(qū)域B內(nèi)的分段光滑曲線l上一致收斂，且wk(z)為l上的連續(xù)函數(shù)，則級數(shù)可沿l逐項積分：106性質(zhì)2：若級數(shù)在區(qū)域B內(nèi)的分段光滑曲線絕對一致收斂這是一種特殊形式的常用函數(shù)項級數(shù)。3.2冪級數(shù)冪級數(shù)：通項為冪函數(shù)的級數(shù):（一）定義107絕對一致收斂這是一種特殊形式的常用函數(shù)項級數(shù)。3.2冪級數(shù)（二）冪級數(shù)的斂散性

1.阿貝爾定理

如果級數(shù)

在z0點收斂，那么在以a點為圓心，為半徑的圓內(nèi)絕對收斂，而

上一致收斂。

如果級數(shù)在z1點發(fā)散，則在

內(nèi)處處發(fā)散。由于發(fā)散的冪級數(shù)沒有多大用處，故重點研究冪級數(shù)的斂散性。2.求收斂圓半徑R的公式

絕對收斂是指

收斂，后者為正項級數(shù)，因此可用正項級數(shù)的比值判別法和根式判別法確108（二）冪級數(shù)的斂散性1.阿貝爾定理如果級數(shù)(1)比值判別法引入收斂半徑定收斂半徑

R。絕對收斂發(fā)散絕對收斂發(fā)散則若:級數(shù)的柯西判據(jù),所以絕對收斂.109(1)比值判別法引入收斂半徑定收斂半徑R。絕對收斂發(fā)所以收斂半徑為注意:冪級數(shù)在收斂圓上的斂散性需具體分析?。?）當(dāng)CRz0·R110所以收斂半徑為注意:冪級數(shù)在收斂圓上的斂散性需具體分析?。?(2)根式判別法發(fā)散所以絕對收斂對應(yīng)級數(shù)絕對收斂則若:111(2)根式判別法發(fā)散所以絕對收斂對應(yīng)級數(shù)絕對收斂則若:如果:(極限不存在),4.復(fù)變冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的性質(zhì)那么設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為?￥=-00)(kkkzza是收斂圓內(nèi)的解析函數(shù)。(1)?￥=-=0)()(

kkkz0zazw它的和函數(shù)Rz0z<-112如果:(極限不存在),4.復(fù)變冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的性質(zhì)那么設(shè)(2)在收斂圓內(nèi)可以逐項積分,

)(zw即?òò￥=<-?-=0.,d)(d)(kckkcRz0zczz0zazzw

且可表為連續(xù)函數(shù)的回路積分。113(2)在收斂圓內(nèi)可以逐項積分,)(zw即?òò￥=<-?-證明:記

CR1上點為，CR1內(nèi)任一點為

z，則圓上的冪級數(shù)可寫為利用柯西公式用有界函數(shù)相乘后，在CR1上一致收斂114證明:記CR1上點為，CR1內(nèi)任一點為z且冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)可任意逐項求導(dǎo)證明:冪級數(shù)乘以(3)在收斂圓內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將其冪級數(shù)逐項求導(dǎo)得到,)(zw.)()(11?￥=--=￠kkkz0zkazw即Rz0z<-115且冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)可任意逐項求導(dǎo)證明:冪級數(shù)(3)在收斂圓內(nèi)故收斂半徑例1求冪級數(shù)

的收斂半徑解116故收斂半徑例1求冪級數(shù)解例2求

的收斂半徑.117解例2求的收斂半徑例3計算解:和函數(shù)118例3計算解:和函數(shù)255.冪級數(shù)的運算與性質(zhì)在收斂半徑R=min(r1,r2)內(nèi):如果當(dāng)時,又設(shè)在內(nèi)解析且滿足那末當(dāng)時,(2)冪級數(shù)的代換(復(fù)合)運算1195.冪級數(shù)的運算與性質(zhì)在收斂半徑R=min(r1,r2)內(nèi):思考思考題答案不一定。冪級數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何斷定?由于在收斂圓周上確定,可以依復(fù)數(shù)項級數(shù)斂散性討論。思考題答案120思考思考題答案不一定。冪級數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何斷定?由§3.23.(1)（4）(5）4.(1)(3)本講作業(yè)121§3.2本講作業(yè)283.3泰勒級數(shù)展開上節(jié)證明了：冪級數(shù)在其收斂圓內(nèi)解析本節(jié)證明其逆定理：解析函數(shù)可以展開成冪級數(shù)，且這種展開式是唯一的。

——解析函數(shù)與冪級數(shù)的密切關(guān)系其中展開系數(shù)

ak稱為泰勒級數(shù)

如圖：設(shè)

f(z)在區(qū)域Ｂ內(nèi)解析，z0為Ｂ內(nèi)任一點，Ｒ為z0到Ｂ區(qū)邊界的最短距離，則當(dāng)|z–z0|<R

時，

f(z)可展開為泰勒級數(shù)(一)解析函數(shù)的泰勒展開定理CR1為半徑為Ｒ的圓。

BCR1z1223.3泰勒級數(shù)展開上節(jié)證明了：冪級數(shù)在其收斂圓內(nèi)解析其中展證明：

1.設(shè)f(z)在Ｂ內(nèi)解析,在圖示的CR1圓上應(yīng)用柯西公式其中z為圓CR1內(nèi)某一點,|z–z0|=r，CR1為包含z的圓，|ζ–z0|=R,(0<r<R)，ζ為CR1上的點。

如圖:.內(nèi)任意點.CR1.r123證明：1.設(shè)f(z)在Ｂ內(nèi)解析,在圖示的CR1圓上應(yīng)用2.將被積函數(shù)變成級數(shù)利用

將

展開成以z0為中心的級數(shù)

被積函數(shù)寫成：3.將上式沿CR1積分級數(shù)

在CR1上一致收斂

和

f(ζ)在CR1上有界1242.將被積函數(shù)變成級數(shù)利用級數(shù)

在

B內(nèi)一致收斂逐項積分于是其中4.展開式是唯一的125級數(shù)

若

f(z)能展開成另一種形式：(1)那么當(dāng)z=z0：(2)對z求導(dǎo)：……——展開式唯一126若f(z)能展開成另一種形式：(1)那么當(dāng)z=

來求

ak。

由展開式的唯一性，可以用任何方便的辦法來求解一個解析函數(shù)的泰勒展開式，不必一定要用積分表達(dá)式說明：(1)解析函數(shù)與泰勒級數(shù)之間存在密切關(guān)系：a.冪級數(shù)在其收斂圓內(nèi)解析；b.解析函數(shù)可以展開成冪級數(shù)，且這種展開式是唯一的。(2)如果f(z)在B內(nèi)有一階導(dǎo)數(shù)存在，則f(z)可在B內(nèi)每一點的鄰域內(nèi)展開成泰勒級數(shù)。而對于實變函數(shù)來說，f(x)的一階導(dǎo)數(shù)存在，它的二階或高階導(dǎo)數(shù)可能不存在，因此f(x)就不可能展開成泰勒級數(shù)。127來求ak。由展開式的唯一性，可以用任何方便的;,00級數(shù)稱為麥克勞林級數(shù)時當(dāng)=z

因為解析，可以保證無限階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性;注意：所以復(fù)變函數(shù)展為泰勒級數(shù)的實用范圍就要比實變函數(shù)廣闊的多。說明:128;,00級數(shù)稱為麥克勞林級數(shù)時當(dāng)=z因為解析，可以保(三)將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)常用方法:直接法和間接法.1.直接法:由泰勒展開定理計算系數(shù).

)(

0展開成冪級數(shù)在將函數(shù)zzf例1，故有129(三)將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)常用方法:直接法和間接法.1.直,

在復(fù)平面內(nèi)處處解析因為ze。

￥=R所以級數(shù)的收斂半徑2.間接展開法:借助于一些已知函數(shù)的展開式,結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì),冪級數(shù)運算性質(zhì)(逐項求導(dǎo),積分等)和其它數(shù)學(xué)技巧(代換等),求函數(shù)的泰勒展開式。間接法的優(yōu)點:不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑,因而比直接展開更為簡潔,使用范圍也更為廣泛。130,在復(fù)平面內(nèi)處處解析因為ze。￥=R所以級數(shù)的收斂半例2.

0

sin

的泰勒展開式在利用間接展開法求=zz131例2.0sin的泰勒展開式在利用間接展開法求=zz附:常見函數(shù)的泰勒展開式132附:常見函數(shù)的泰勒展開式3913340例3解上式兩邊逐項求導(dǎo),,11)1(12-==+zzz上有一奇點在由于,,1區(qū)域內(nèi)解析即在<z故可在其解析區(qū)域內(nèi)展開成的冪級數(shù)z134例3解上式兩邊逐項求導(dǎo),,11)1(12-==+zzz上有一例4*分析如圖,-1OR=1xy.

1

的冪級數(shù)內(nèi)可以展開成所以它在zz=,

1

,

1

)1ln(

是它的一個奇點平面內(nèi)是解析的向左沿負(fù)實軸剪開的在從--+z135例4*分析如圖,-1OR=1xy.1的冪級數(shù)內(nèi)可以展開成即

將展開式兩端沿

l逐項積分,得解,

0

1

的曲線到內(nèi)從為收斂圓設(shè)zzl<136即將展開式兩端沿l逐項積分,得解,013.4解析延拓解析延拓：將解析函數(shù)定義域加以擴大例;冪級數(shù)：在以z=0為圓心的單位圓B內(nèi)代表一個解析函數(shù)，令為級數(shù)的收斂域B即解析函數(shù)定義域半徑R=1

。在單位圓B內(nèi)，取一點z0=i/2

為圓心進行將f1(z)泰勒展開這級數(shù)的收斂域b的半徑為（一）解析延拓1373.4解析延拓解析延拓：將解析函數(shù)定義域加以擴大上例說明，收斂域b跨出原來的收斂域B之外，而級數(shù)(1)在收斂域B內(nèi).b代表解析函數(shù)

f2(z)，于是稱f2(z)為f1(z)在

b內(nèi)的解析延拓。定義：若f1(z)和f2(z)分別在B,b內(nèi)解析，且在B與b重疊的區(qū)域中有f1(z)=f2(z)，則稱f2(z)為f1(z)在b中的解析延拓，f1(z)為f2(z)在B中的解析延拓?？梢宰C明，無論采用何種方法，函數(shù)f(z)的解析延拓是唯一的。這樣，可以采用某些最方便的方法來進行解析延拓。Bb138上例說明，收斂域b跨出原來的收斂域B之外，而首先在B1內(nèi)任取一點

z0，將f1

(z)在

z0

的鄰域展開成泰勒級數(shù)設(shè)級數(shù)的收斂區(qū)域為B2。如果B2超出了B1的范圍。由于在B1和B2的重疊區(qū)域f1(z)=

f2(z)，所以f2(z)就是f1(z)在

B2中的解析延拓。這樣不斷作下去，得到一系列的解析{Bn,fn(z)}

(n=2,3...)。

一個解析元素{Bn,fn(z)}

的全部解析延拓的集合，稱為f1(z)所產(chǎn)生的完全解析函數(shù)F(z)，F(xiàn)(z)的定義域是鄰解析元素給出的定義域的總和。(二)泰勒級數(shù)展開解析延拓的方法139首先在B1內(nèi)任取一點z0，將f1(z)在z0§3.3(1)（3）(6）(8)本講作業(yè)140§3.3本講作業(yè)473.5洛朗級數(shù)展開(一)問題的引入1413.5洛朗級數(shù)展開(一)問題的引入48例1.都不解析,但在圓環(huán)域及內(nèi)都是解析的.而1,1112<+++++=-zzzzzkLL:10

內(nèi)在圓環(huán)域<<z所以,121LL++++++=-kzzzz即內(nèi)可以展開成冪級數(shù).142例1.都不解析,但在圓環(huán)域及內(nèi)都是解析的.而1,1112<+[]LL+-++-+-+-=kzzzz)1()1()1(1112.)1()1()1(1)1(121L+-+-+-++-=--kzzzz由此推想，若f(z)在R

2<z-

z0<R1

內(nèi)解析,f(z)可以展開成含有負(fù)冪次項的級數(shù),即內(nèi)，在圓環(huán)域110<-<z143[]LL+-++-+-+-=kzzzz)1()1()1(11

本節(jié)將討論在以z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)的級數(shù)表示法。它是后面將要研究的解析函數(shù)在孤立奇點鄰域內(nèi)的性質(zhì)以及定義留數(shù)數(shù)和計算留數(shù)的基礎(chǔ)。144本節(jié)將討論在以z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)解析的函(二)洛朗級數(shù)定理C為圓環(huán)域內(nèi)繞的任一正向簡單閉曲線.

,)()(0kkkzzazf-=?￥-￥=內(nèi)處處解析，在環(huán)形域設(shè)

)(

102RzzRzf<-<內(nèi)可展開成洛朗級數(shù)在那末Bzf

)(

為洛朗系數(shù)..145(二)洛朗級數(shù)定理C為圓環(huán)域內(nèi)繞的任一正向簡單閉曲線.證對于第一個積分(CR1):Bzz0.z...146證對于第一個積分(CR1):Bzz0.z...53對于第二個積分:所以

因為.z...147對于第二個積分:所以因為.z...54則148則55則

對于C為在圓環(huán)域內(nèi)繞的任何一條正向簡單kkkkkkzzazza-￥=-￥=-+-=??)()(0100.)(0kkkzza-=?￥-￥=閉曲線.可用一個式子表示為:kkaa-與149則對于C為在圓環(huán)域內(nèi)繞的任何一條正向簡單kkkkk說明:函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開式在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗(Laurent)級數(shù).1)2)某一圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)展開為含有正、負(fù)冪項的級數(shù)是唯一的.定理給出了將圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展為洛朗級數(shù)的一般方法.kkkzzazf)()(0-=?￥-￥=150說明:函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開式在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗(Laure(三)函數(shù)的洛朗展開式常用方法:1.直接法2.間接法

1.直接展開法利用定理公式計算系數(shù)),2,1,0(d)()(π2110L±±=-=ò+kzfiaCkkzzz然后寫出.)()(0kkkzzazf-=?￥-￥=根據(jù)正、負(fù)冪項組成的的級數(shù)的唯一性,可用代數(shù)運算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開.2.間接展開法151(三)函數(shù)的洛朗展開式常用方法:1.直接法2.間接例2解由定理知:,)(kkkzazf?￥-￥==而zzzd)()(π2110ò+-=Ckkzfiazzzdπ213ò+=Ckei目標(biāo)求ak令f1=eζ,則f1=eζ在閉合回路C內(nèi)和C上均解析，故由解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

zzzdπ2(k+1)!3ò+=Ck1eif(k+1)+=)!1((k+1)kfka1(0)即有

如何計算ak?.152例2解由定理知:,)(kkkzazf?￥-￥==而zzzd)間接法解：直接展開ezzzzdπ213ò+=Ckkeia022)(dd)!2(1=++ú?ùê?é+=zzkkezk)!2(1+=k?￥-=+=2)!2()(

kkkzzf故153間接法解：直接展開ezzzzdπ213ò+=Ckkeia02例3內(nèi)是處處解析的,試把f(z)在這些區(qū)域內(nèi)展開成洛朗級數(shù).解:

)2)(1(1)(

在圓環(huán)域函數(shù)--=zzzf

,

10

)1內(nèi)在<<z間接展開法154例3內(nèi)是處處解析的,試把f(z)在這些區(qū)域內(nèi)展開成oxy1=)(

zf所以LL+++++=-nzzzz2111則,1<z由于12<z從而是泰勒級數(shù)155oxy1=)(zf所以LL+++++=-nzzzz211112oxy由且仍有

,

21

)2內(nèi)在<<z15612oxy由且仍有,21)2內(nèi)在<<z632oxy由此時,

2

)3內(nèi)在￥<<z)(

zf于是1572oxy由此時,2)3內(nèi)在￥<<z)(zf于是64仍有,121

<<zz此時)(

zf故注意:奇點但卻不是函數(shù)的奇點.本例中圓環(huán)域的中心是各負(fù)冪項的158仍有,121<<zz此時)(zf故注意:奇點但卻不是說明:1.函數(shù)在以為中心的圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級數(shù)中盡管含有的負(fù)冪項,而且又是這些項的奇點,但是可能是函數(shù)的奇點,也可能的奇點.不是2.給定了函數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的一點以后,函數(shù)在各個不同的圓環(huán)域中有不同的洛朗展開式(包括泰勒展開式作為它的特例).159說明:1.函數(shù)在以為中心的圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級數(shù)中盡管含有的負(fù)解：間接法即通過展開sinz為級數(shù)求解：例4.

0

sin

0洛朗級數(shù)的去心鄰域內(nèi)展開成在將函數(shù)=zzz160解：間接法即通過展開sinz為級數(shù)求解：例4.03.6孤立奇點的分類定義：若函數(shù)f(z)在點z0處不解析（或沒有定義），但在點z0的某個空心鄰域內(nèi)解析，則稱點z0為f(z)的孤立奇點。(一)孤立奇點的概念例1z=0是函數(shù)的孤立奇點.是函數(shù)的孤立奇點.注意:

孤立奇點一定是奇點,但奇點不一定是孤立奇點.1613.6孤立奇點的分類定義：若函數(shù)f(z)在點z0處不解析例2

指出函數(shù)在點的奇點特性.解即在的不論怎樣小的去心鄰域內(nèi),

的奇點存在,

函數(shù)的奇點是1/z=0和sin(1/z)=0對應(yīng)的點，即總有不是孤立奇點.所以，因為01lim=p￥?kk162例2指出函數(shù)在點的奇點特性.解即在的不論怎樣小的去心鄰域內(nèi)

定義

設(shè)z0是解析函數(shù)f(z)的孤立奇點，f(z)在點z0的某去心鄰域

內(nèi)的羅朗展式為

(1)若展式中不含有z-z0的負(fù)冪項，則稱z0為f(z)的可去奇點；

(2)若展式中只含有z-z0的有限(m)項負(fù)冪項，則稱z0是f(z)的極點，稱m為極點z0的階，按照m=1或m＞1，稱z0是f(z)的單極點或m階的極點；

(3)若展式中含有z-z0的無窮多個負(fù)冪項，則稱z0為f(z)的本性奇點。(二)孤立奇點的分類163定義設(shè)z0是解析函數(shù)f(z)的孤立奇點，f(其和函數(shù)為在解析的函數(shù).說明:(1)(2)無論在是否有定義,補充定義則函數(shù)在解析.1．可去奇點