考研高等數(shù)學十五年真題分類詳解28數(shù)二

《《高等數(shù)學》十五分類詳?shù)谝?函數(shù)、極限、連考試內(nèi)函數(shù)的概念及表示法，函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性，復合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)，基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，初等函數(shù)，函數(shù)關(guān)系的建立．數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì)，函數(shù)的左極限和右極限，無窮小量和無窮大量的概念及其關(guān)系，無窮小量的性質(zhì)及無窮小量的較，極限的四則運算，極限存在的兩個準則：單調(diào)有界準則和準則，兩個重要極限

＝１，

１

１＝ｘ→０ 函數(shù)連續(xù)的概念，函數(shù)間斷點的類型，初等函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)考試要１．理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會建立應用問題的函數(shù)關(guān)系．２．了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性．３．理解復合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的念．４．掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念５．理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及函數(shù)極限存在與左極限、右極限之間的關(guān)系．６．掌握極限的性質(zhì)及四則運算法則７．掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的法．８．理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求極限．９．理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷點的類型．１０．了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理，并會應用這些性質(zhì)．１． 函數(shù)的概念及其特（９９，３分）設ｆ（ｘ）是連續(xù)函數(shù)，Ｆ（ｘ）是ｆｘ的原函數(shù)，則Ａ．當ｆｘ是奇函數(shù)時，Ｆ（ｘ）必是偶函數(shù)．Ｂ．當ｆｘ是偶函數(shù)時，Ｆ（ｘ）必是奇數(shù)Ｃ．當ｆｘ是周期函數(shù)時，Ｆ（ｘ）必是周期函數(shù)１，｜ｘ｜１Ｄ．當ｆｘ是單調(diào)增函數(shù)時，Ｆ（ｘ）必是１，｜ｘ｜１（０１，３分）設ｆｘ

０，｜ｘ｜＞

則ｆｆｆｘ等１考考試點（ｗｗｗ．ｋａｏｓｈｉｄｉａｎ．ｃｏｍ）名師精品課：４００６８８５Ａ． Ｂ．

１，｜ｘ｜１０，｜ｘ｜＞

０，｜ｘ｜１１，｜ｘ｜＞（０５，４分）設Ｆ（ｘ）是連續(xù)函數(shù)ｆｘ的一個原函數(shù)，“ＭＮ”表示“Ｍ的充分必要條件是Ｎ”，必有（ Ａ．Ｆ（ｘ）是偶函 ｆｘ是奇數(shù)．Ｂ．Ｆ（ｘ）是奇函數(shù) ｆｘ是偶函數(shù)．Ｃ．Ｆ（ｘ）是周期函 ｆｘ是周期數(shù)．Ｄ．Ｆ（ｘ）是單調(diào)函數(shù) ｆｘ是單調(diào)函數(shù)．小函數(shù)的概念及其復合，包括分段函數(shù)的復合，本質(zhì)上是函數(shù)關(guān)系的建立問題，而建立函數(shù)關(guān)系是進一步研究函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)．對于函數(shù)的四個主要特性：奇偶性和周期性一般用定義檢驗；單調(diào)性則大多用導數(shù)符號分析；有界性往往需要結(jié)合極限與連續(xù)的性質(zhì)來確定．１． 極限概念與性（９８，３分）設數(shù)列ｘｎ與ｙｎ滿足ｌｉｍｘｎｙｎ＝０，則下列斷言正確的是 Ａ．若ｘｎ發(fā)散，則ｙｎ必發(fā) Ｂ．若ｘｎ，則ｙｎ必有界Ｃ．若

有界，則

必為無窮小 Ｄ．若１

為無窮小，則

必為無窮小小關(guān)于極限的存在性，以下幾點是值得注意的１．若ｌｉｍｆ存在，ｌｉｍｇ不存在，則ｌｉｍ（ｆ±ｇ）一定不存在，但ｌｉｍｆｇ，ｌｉｍｇ

可能存在，也可能不存在２．若ｌｉｍｆ＝ｌ≠０，ｌｉｍｇ＝!，則ｌｉｍｆｇ＝．３．若ｆ有界，ｌｉｍｇ＝!則ｌｉｍ（ｆ±ｇ）＝!但ｌｉｍｆｇ不一定為∞１． 函數(shù)極限的計（９９，５分）求

槡１＋ｔａｎｘ－槡１＋ｓｉｎｘ

ｘｌｎ１＋ｘ－（００，３分）ｌｉｍａｒｃｔａｎｘ－ｘ ｘ→ｌｎ１＋２ｘ３（０１，３分）

槡３－ｘ－槡１＋ｘ ｘ２＋ｘ－ （０４，１０分）求極限ｌｉｍｘ→

–１２＋ｃｏｓｘ３（０７，４分）ｌｉｍａｒｃｔａｎｘ－ｓｉｎｘ ｓｉｎｘ－ｓｉｎｓｉｎｘ（０９，９分）求極限 ２《高《高等數(shù)學》十五分類詳考試點考試點（ｗｗｗ．ｋａｏｓｈｉｄｉａｎ．ｃｏｍ）名師精品課：４００６８８５１－ｃｏｓｘｘ－ｌｎ１＋ｔａｎｘ（０９，９分）求極限ｌｉｍ ．（１１，４分）ｌｉｍ１０

ｘ＝ｘ

ｓｉｎ４·小·１．計算極限的基本方法有：利用極限的四則運算、利用無窮小量的等價代換、利用兩類重要極限以及洛必達法則．一道典型的考題還經(jīng)常會用到兩種甚至兩種以上的方法．２．未定式極限的基本形式是：“０

”型和“!”型，其他未定式本質(zhì)上均可化為這兩種形式，而未定式極限的主要方法是洛必達法則，但在用洛必達法則之前應注意兩點：一是先盡量用無窮小量的等價代換進行化簡（便于求導）；二是將非零因子項（乘或除項）的極限用四則運算先求出來，再!洛必達法則．３．“!”型未定式極限經(jīng)?？刹捎梅肿臃帜竿宰畲箜椀霓k法進行分析求解４．若待求極限的函數(shù)表達式中含有 ， ｘ－或ｌｘｌｉｍａｒｃｔａｎｘ等時，一般不用洛必達法則． ５．冪指函數(shù)的極限ｌｉｍｆ（ｘ）ｇｘ一般先化為指數(shù)函數(shù)再求極限：ｌｉｍｆｘｇｘ＝ｌｉｍｅｇｘｌｎｆｘ＝ｅｌｉｍｇｘｌｎｆｘ特別地，當ｌｉｍｆｘ＝１時，有ｌｉｍｆｘｇｘ ＝ｌｉｍｅｇｘｌｎ１＋ｆｘ－１＝ｅｌｉｍｇｘｆｘ－１．６．常用無窮小量的等價代換有：若ａ（ｘ）→０則ｓｉｎａｘ～ａｘ，１－ｃｏｓαｘ～１α２ｘ，ｔａｎαｘ～α２ａｒｃｓｉｎαｘ～αｘ，ｌｎ１＋αｘ～αｘ，ｅａｘ－１～α１＋αｘｋ－１～ｋαｆ但應注意，無窮小量的等價代換一般是整體代換，即作為乘、除的項可代換，而加、減項不能隨ｆ代換，即若α～α，β～

α＝ｌ

＇ｆ，

αｆ＝ｌｉｍ＇還應注意：若ｌｉｍβ

≠１則ｌｉｍα－βｆ＝ｌｉｍα－β＇ｆ．（考生可以自己論證一下７．個別情況下，當用上述無窮小量的等價代換求極限仍有時，也可考慮用泰勒公式（麥克勞林公式）進行展開，找出更高階的等價無窮小量．８．在求極限的過程中適當利用變量代換往往可以簡化計算，特別是題設為ｘ!時，作變換ｔ１，轉(zhuǎn)化為ｔ０后，問題經(jīng)常一下子就變簡單了．１． 函數(shù)極限的逆問（９８，５分）確定常數(shù)ａ，ｂ，ｃ的值，３ ａｘ－ ＝ｃｃ≠０∫ｘｘｌｎ１＋ｔ３∫ （００，３分）若ｌｉｍｓｉｎ６ｘ＋ｘｆｘ＝０，則ｌｉｍ６＋ｆｘ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．（０８，４分）已知函數(shù)ｆｘ連續(xù)，且ｌｉｍ１－ｃｏｓｘｆｘ ＝１，則ｘ→０ｅｘ２－１ｆ

∫ｘ∫ｌｎ１＋ｔ２（１１，５分）已知函數(shù)Ｆｘ＝ ．設ｌｉｍＦｘ＝ｌｉｍＦｘ＝０試求ａ的取值范圍 小

ｘ１．已知極限反過來求相關(guān)參數(shù)，這類所謂極限的逆問題，一般仍用極限的四則運算、無窮小量等價代換和洛必達法則等進行分析討論．但用洛必達法則時，必須注意其前提條件，一般情形是

ｆ＇ ＝Ａ或∞， ｌｉｍｆｘ“

”，

!”

＝ｌｉｍｆ＇

，而逆問題是已 ｇ＇ ｇ ｇ＇ｆｘ“

＝Ａ，則是否一定也有ｌｉｍｆｘ“０”，“!”型＝ｌｉｍｆ＇ ＝Ａ，從理論上說是ｇ ＝Ａ，從理論上說是不成立的．因此在用洛必達法則時，必須先檢驗ｌｉｍｆ＇ｇ＇ｘ＝Ａ或∞是否成立２．關(guān)于無窮小量有如下性質(zhì)：αｘｏαｘ～αｘ．１． 數(shù)列的極（９９，７分）設ｆｘ是區(qū)間［０，＋!上單調(diào)減少且非負的連續(xù)函數(shù) ａｎ＝∑ｆｋ－∫ｆｘｄｘｎ＝１，２，…ｋ 證明數(shù)

ａｎ的極限存在（０２，３分）ｌｉｍ１１＋ｃｏｓπ １＋ｃｏｓ２π＋… １＋ｃｏｓｎπ ｎ→ｎ （０２，８分）設０＜ｘ１＜３，ｘｎ＋１＝槡ｘｎ３－ｘｎｎ＝１，２，…，證明數(shù)列｛ｘｎ｝的極限存在，并求極限（０４，４分）

１１１

１

２

·…１

２等 ｌｎ２ Ｂ． Ｃ． ｌｎ１＋ｘ ｌｎ２１＋ｘ （０６，１２分）設數(shù)列ｘｎ滿足０＜ｘ１＜πｘｎ＋１＝ｓｉｎｘｎ（ｎ＝１，２，…（１）證明ｌｉｍｘｎ存在，并求該極限４ｎ（２）計算ｌｉｍｎ

（０７，４分）設函數(shù)ｆ（ｘ）在（０，＋!內(nèi)具、有二階導數(shù)且ｆ″ｘ＞０，令ｕｎ＝ｆｎｎ＝１，２，…，則下列結(jié)論正確的是 （１）若ｕ１＞ｕ２，則Ｂ．若ｕ１＞ｕ２，則Ｃ．若ｕ１＜ｕ２，則Ｄ．若ｕ１＜ｕ２，則

ｕｎ必收斂ｕｎ必發(fā)散ｕｎ必收斂ｕｎ必發(fā)散（０８，４分）設函數(shù)ｆ（ｘ）在（－!＋!內(nèi)單調(diào)有界，ｘｎ為數(shù)列，下列命題正確的是 Ｂ．

ｘｎ收斂，ｘｎ單調(diào)，

ｆｘｎ收斂ｆｘｎ收斂Ｄ．

ｆｘｎ收斂，ｆｘｎ單調(diào)，

ｘｎ收斂ｘｎ收斂（０９，４分）ｌｉｍ∫１ｅ－ｘｓｉｎｎｘｄｘ （１１，１０分）（１）證明：對任意正整數(shù)ｎ，都 ＜ｌｎ１＋１＜１成立ｎ＋ （２）設

＝１＋２

＋…＋ｎ

–ｌｎｎｎ＝１，２，…，證明數(shù)列

收斂（１２，４分）設ａｎ＞０ｎ＝１，２，

，Ｓｎ＝ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ，則數(shù) Ｓｎ有界是數(shù)列ａｎ收斂Ａ．充分必要條 Ｂ．充分非必要條Ｃ．必要非充分條 Ｄ．既非充分也非必要條件（１２．１０分）（１）證明方程ｘｎ＋ｘｎ－１＋…＋ｘ＝１（ｎ為大于１的整數(shù)）在區(qū)個實根（２）記（１）中的實根為ｘｎ，證明ｌｉｍｘｎ存在，并求此極限

１，

２內(nèi)有且僅有２小求數(shù)列的極限，一般有四種主要方法１．若已知數(shù)列的通項表達式，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限進行計算，即如 ｌｉｍｆ（ｘ）＝Ａ，則有ｌｉｍｆｎＡ２．若數(shù)列用遞推公式給出，一般考慮用單調(diào)有界數(shù)列必有極限來分析．３．對數(shù)列的通項適當?shù)胤糯蠡蚩s小，然后再用定理

→

∫４．若數(shù)列通項 ｎ項（也可多或少若干項）求和時，往往考慮用定積分的定義∫ｎ ｂ－ａ

ｂ－ ｌ∑ｎ→ｋ

ｎｋ

ｆｘｎａｎ５１． 無窮小量的比（９７，３分）設ｘ→０時，ｅｔａｎｘ－ｅｘ與ｘｎ是同階無窮小，則ｎ為（ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．（０１，３分）設 ｘ→０時，１－ｃｏｓｘｌｎ１＋ｘ２是 ｘｓｉｎｘｎ高階的無窮小，ｘｓｉｎｘｎ是ｅｘ２－１高階無窮小，整數(shù)ｎ等于 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ∫（０４，４分）把ｘ→０＋時的無窮小量α ｃｏｓｔ２ｄｔ，β＝ ｔａｎ槡∫ 槡∫γ ｓｉｎｔ３ｄｔ排列起來，使排在后面的是前一個的高階無窮小，確的排列次序是 槡∫０Ａ．αβ Ｂ．，γ Ｃ．βα Ｄ．βγα（０５，４分）當ｘ→０時，αｘ＝ｋｘ２與βｘ （０６，１０分）試確定Ａ，Ｂ，Ｃ的值，使

槡１＋ｘａｒｃｓｉｎｘ－槡ｃｏｓｘ是等價無窮小，則ｅｘ１＋Ｂｘ＋Ｃｘ２＝１＋Ａｘ＋ｏｘ３其中ｏｘ是當ｘ０時比ｘ３高階的無窮小（０７，４分）當ｘ０＋時，與槡ｘ等價的無窮小量Ａ．１－ｅ槡ｘ Ｂ．ｌｎ１＋ｘ１－槡

Ｃ．槡１＋槡ｘ－ Ｄ．１－ｃｏｓ槡ｘ（０９，４分）當ｘ→０時，ｆｘ＝ｘ－ｓｉｎａｘ與ｇｘ＝ｘ２ｌｎ１－ｂｘ是等價無窮小，則 Ａ．ａ＝１，ｂ＝－６Ｃ．ａ＝－１，ｂ＝－６

Ｂ．ａ＝１，ｂ＝６Ｄ．ａ＝－１，ｂ＝６（１１，４分）已知當ｘ→０時，函數(shù)ｆｘ＝３ｓｉｎｘ－ｓｉｎ３ｘ與ｃｘｋ是等價無窮小，則（ Ａ．ｋ＝１，ｃ＝４ Ｂ．ｋ＝１，ｃ＝－４ Ｃ．ｋ＝３，ｃ＝４ Ｄ．ｋ＝３，ｃ＝－４（１２，１０分）已知函數(shù)ｆｘ＝１＋ｘ－１，記ａ＝ｌｉｍｆ （１）求ａ的值（２）若當ｘ→０時，ｆｘ－ａ與ｘｋ是同階無窮小，求常數(shù)ｋ的值?。保疅o窮小量的比較問題，本質(zhì)上是“０

”型未定式的極限問題，因此可用求未定式的極限的所方法進行討論，但應注意并不是任意兩個無窮小量均可比較，比如當ｘ→時，αｘ＝ｘｓｉｎ１ｘβｘ＝ｘ均為無窮小量，但它們不能進行比較２．當ｘ→

時，若是對三個或三個以上的無窮小量進行比較，可考慮分別先６

ｘ－ｘｎ進行００較，比如由 ｆ 存在且非零，找出ｎｎ＞０，確定ｆｘ是ｘ－００ｘ→ｘｘ－ｘ０１． 函數(shù)的連續(xù)性及間斷點的分ｃｏｓｘ２，ｘ≠

的ｎ階無窮小，再進行比較（９７，３分）已知ｆｘ

ａ，ｘ＝ｘ

在ｘ＝０處連續(xù)，則ａ ４（９８，５分）求函數(shù)ｆｘ＝１＋ｘｔａｎｘπ在區(qū)間０，２π內(nèi)的間斷點，并判斷其類型４（００，３分）設函數(shù)ｆｘ ａ＋

－!＋!內(nèi)連續(xù)，且ｌｉｍｆｘ＝０，則常數(shù)ａ，ｂ滿足 →Ａ．ａ＜０，ｂ＜ Ｂ．ａ＞０，ｂ＞ Ｃ．ａ０，ｂ＞ Ｄ． ０，ｂ＜０（０１，７分）求極限ｌｉｍ

，記此極限為ｆｘ，求函數(shù)ｆｘ的間斷點 其類型 （０４，４分）設ｆｘ＝ｌｉｍｎ－１ｘ，則ｆｘ的間斷點為ｘ （０２，３分）設函數(shù)ｆｘ

ｎｘ２＋１－ｘ，ｘ＞ａｒｃｓｉｎａｅ２ｘ，ｘ０ｌｎ１＋ａｘ３

在ｘ＝０處連續(xù)，則ａ ｘ－（０３，１０分）設函數(shù)ｆｘ＝６ｘ＝

，ｘ＜

問ａ為何值時，ｆｘ在ｘ＝０處連續(xù)；ａ為何ｅａｘ＋ｘ２－ａｘ－時，ｘ＝０是ｆｘ的可去間斷點

ｘｓｉｎ４

，ｘ＞（０５，４分）設函數(shù)ｆｘ

，則（ ｅｘ１－１Ａ．ｘ＝０，ｘ＝１都是ｆｘ的第一類間點．Ｂ．ｘ＝０，ｘ＝１都是ｆｘ的第二類間斷點．Ｃ．ｘ＝０是ｆｘ的第一類間斷點，ｘ＝１都是ｆｘ的第二類間斷點．Ｄ．ｘ＝０是ｆｘ的第二類間斷點，ｘ＝１都是ｆｘ的第一類間斷點３∫ｓｉｎｔｄｔ，ｘ≠（０６，４分）設函數(shù)ｆｘ 在ｘ＝０處連續(xù)，則ａ＝ １ ａ，ｘ＝（０６，４分）設ｆｘ是奇函數(shù)，除ｘ＝０外處處連續(xù)，ｘ＝０是第一類間斷點，則Ａ．連續(xù)的奇函數(shù) Ｂ．連續(xù)的偶函數(shù)．Ｃ．在ｘ＝０間斷的奇函 Ｄ．在ｘ＝０間斷的偶

∫ｆｔｄｔ是 ∫０數(shù)．考試點考試點（ｗｗｗ．ｋａｏｓｈｉｄｉａｎ．ｃｏｍ）名師精品課：４００６８８５《高《高等數(shù)學》十五分類詳（０７，４分）函數(shù)ｆｘ

ｅｘ＋ｅ ｘｅｘ–

－ππ上的第一類間斷點是ｘ＝ Ａ． Ｂ． Ｃ．－２

Ｄ．π２（０８，４分）設函數(shù)ｆｘ＝ｌｎ｜ｘ｜ｘ－１

ｓｉｎｘ則ｆｘ有 Ａ．１個可去間斷點，１個跳躍間斷點．Ｂ．１個可去間斷點，１個無窮間斷點．Ｃ．２個跳躍間斷點．Ｄ．兩個無窮間斷點ｘ－（０９，４分）函數(shù)ｆｘ＝ 的可去間斷點的個數(shù)為（ πＡ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．無窮多個ｘ２－ （１０，４分）函數(shù)ｆｘ＝ｘ２－１槡１＋ｘ２的無窮間斷點數(shù)為 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．?。保醯群瘮?shù)在定義區(qū)間上連續(xù)，因此，對初等函數(shù)求其不連續(xù)點，只需找出其無定義點即可．２．分段函數(shù)在分段點的連續(xù)性一般要考慮其左、右極限，從而考慮其左、右連續(xù)性３．確定間斷點的類型，當在間斷點的兩側(cè)函數(shù)表達式相同時，可先直接考慮在間斷點的極限；當在間斷點兩側(cè)函數(shù)表達式不同時，應先求左、右極限再判斷本章小這部分內(nèi)容在高等數(shù)學中占有重要的基礎(chǔ)地位，本章命題要點是函數(shù)極限與連續(xù)及間斷點的分類，因此在此復習過程中值得特別注意，數(shù)列的極限以及無窮小的比較也是命題的重點內(nèi)容之一．８第二 一元函數(shù)微分考試內(nèi)導數(shù)和微分的概念，導數(shù)的幾何意義和物理意義，函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關(guān)系，平面曲線的切線與法線，導數(shù)和微分的四則運算，基本初等函數(shù)的導數(shù)，復合函數(shù)、反函數(shù)和隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法，高階導數(shù)，一階微分形式的不變性，微分中值定理，洛必達（Ｌ’ｌ法則，函數(shù)單調(diào)性的判別，函數(shù)的極值，函數(shù)圖形的凹凸性、拐點及漸近線，函數(shù)圖形的描繪，函數(shù)的最大值與最小值，弧微分，曲率的概念，曲率圓與曲率半徑．考試要１．理解導數(shù)和微分的概念，理解導數(shù)與微分的關(guān)系，理解導數(shù)的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數(shù)的物理意義，會用導數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關(guān)系．２．掌握導數(shù)的四則運算法則和復合函數(shù)的求導法則，掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)公式．了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分．３．了解高階導數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的高階導數(shù)４．會求分段函數(shù)的導數(shù)，會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)以及反函數(shù)的導數(shù)５．理解并會用羅爾（Ｒｏｌｌｅ）定理、拉格朗日（Ｌａｇｒａｎｇｅ）中值定理和泰勒（Ｔａｙｌｏｒ）定理，了解并會用柯西（Ｃａｕｃｈｙ）中值定理．６．掌握用洛必塔法則求未定式極限的方法７．理解函數(shù)的極值概念，掌握用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其應用．８．會用導數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性（注：在區(qū)間（ａ，ｂ）內(nèi)，設函數(shù)ｆｘ具有二階導數(shù)．當ｆ″ｘ＞０時，ｆｘ的圖形是凹的；當ｆ″ｘ＜０時，ｆｘ的圖形是凸的），會求函數(shù)圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數(shù)的圖形．９．了解曲率、曲率圓與曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑２．１導數(shù)的定（９８，２分）函數(shù)ｆｘ＝ｘ２－ｘ－２｜ｘ３－ｘ｜不可導點的個數(shù)是（ Ａ．３ Ｂ．２ Ｃ．１ Ｄ．０（０４，１０分）設函數(shù)ｆｘ在－!＋!上有定義，在區(qū)間０，２上，ｆｘ＝ｘｘ２－４，若對任意的ｘ都滿足ｆｘ＝ｋｆｘ＋２，其中ｋ為常數(shù)．（１）寫出ｆｘ在［－２，０）上的表達式９（２）問ｋ為何值時，ｆｘ在ｘ＝０處可導（０５，４分）設函數(shù)ｆｘ＝

ｎ１＋｜ｘ｜３ｎ，則ｆｘ －!＋!槡Ａ．處處可 Ｂ．恰有一個不可導點槡Ｃ．恰有兩個不可導 Ｄ．至少有三個不可導點（０７，４分）設函數(shù)ｆｘ在ｘ＝０處連續(xù)，下列命題錯誤的是Ａ．若ｌｉｍｆｘ存在，則ｆ０＝０． Ｂ．若ｌｉｍｆｘ＋ｆ－ｘ存在，則ｆ０＝０ Ｃ．若ｌｉｍｆｘ存在，則ｆ＇０存在 Ｄ．若ｌｉｍｆｘ－ｆ－ｘ存在，則ｆ＇０存在 （１１，４分）設函數(shù)ｆｘ在ｘ＝０處可導，且ｆ０＝０，則Ａ．－２ｆ′ Ｂ．－ｆ′ Ｃ．ｆ′小

ｘ２ｆｘ－２ｆｘ３ ＝ Ｄ．導數(shù)的定義本質(zhì)上是一類特殊函數(shù)的極限問題，一般來說，題設在一點可導，往往要利用導數(shù)在一點的定義．對于分段函數(shù)或隱含的分段函數(shù)在一點的導數(shù)一般要用左、右導數(shù)的概念進行討論．另外以下兩點是值得注意的：１．設ｆｘ可導且在ｘ＝ｘ處的導函數(shù)連續(xù)，若ｌｉｍｇｘ＝ｌｉｍｈｘ＝

則ｌｉｍｆｇｘ－ｆｈｘ０＝ｆ＇ｘｌｉｍｇｘ－ｈ ０ ｘ－

ｘ－２．設ｆｘ在ｘ＝ｘ處連續(xù)，則ｌｉｍｆｘ＝Ａｆｘ＝０，ｆ＇ｘ＝Ａ０ ｘｘ－ ０２． 導數(shù)的幾何、物理應（９９，３分）曲

ｘ＝ｅｔｓｉｎ２ｔ在點ｙ＝ｅｔｃｏｓｔ

０，１處的法線方程 （００，７分）已知ｆｘ是周期為５的連續(xù)函數(shù)，它在ｘ＝０的某個領(lǐng)域內(nèi)滿足關(guān)系式，ｆ１＋ｓｉｎｘ－３ｆ１－ｓｉｎｘ＝８ｘ＋ａｘ其中αｘ是當ｘ０時比ｘ高階的無窮小，且ｆｘ在ｘ＝１處可導，求曲線ｙ＝ｆｘ在點６，ｆ６處的切線方程（０１，３分）設函數(shù)ｙ＝ｆｘ有方程ｅ２ｘ＋ｙ－ｃｏｓｘｙ＝ｅ－１所確定，則曲線ｙ＝ｆｘ在點的法線方程為

０，１（０３，４分）設函數(shù)ｙ＝ｆｘ由方程ｘｙ＋２ｌｎｘ＝ｙ４所確定，則曲線ｙ＝ｆｘ在點方程是

１，１處的切（０２，６分）已知曲線的極坐標方程是ｒ＝１－ｃｏｓ，求該曲線上對應θ＝π處的切線與法線的６角坐標方程（０５，４分）設函數(shù)ｙ＝ｙｘ由參數(shù)方

ｘ＝ｔ２＋ｙ＝ｌｎ１＋

確定，則曲線ｙ＝ｙｘ在ｘ＝３處的法與ｘ軸交點的橫坐標是 Ａ．１ｌｎ２＋ Ｂ．－１ｌｎ２＋ ｘ＝ｔ２＋Ｃ．－８ｌｎ２＋ｘ＝ｔ２＋（０６，１２分）已知曲線Ｌ的方（１）討論Ｌ的凹凸性

ｙ＝４ｔ－

， （２）過點－１，０引Ｌ的切線，求切 ｘ０，ｙ０，并寫出切線的方程（３）求此切線與Ｌ（對應于ｘｘ的部分）及ｘ軸所圍成的平面圖形的面積（０７，４分）曲

ｘ＝ｃｏｓｔ＋ｃｏｓ２ｔｙ＝１＋ｓｉｎｔ

，上對應于ｔ

的點處的法線斜率 ４∫（０８，４分）曲線ｓｉｎｘｙ＋ｌｎｙ－ｘ＝ｘ在點０，１處的切線方程 ∫（０９，（０９，９分）曲１－ｘ０ｅ－ｕ２在點０，０處的切線方程 ｙ＝ｔ２ｌｎ２－ｔ２（１０，９分）曲線ｙ＝ｘ２與曲線ｙ＝ａｌｎｘａ≠０相切，則ａ＝（ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．（１０，４分）已知一個長方形的長ｌ以２ｃｍ／ｓ的速率增加，寬ｗ以３ｃｍ／ｓ的速率增加，則當ｌ＝１２ｃｍ，ｗ＝５ｃｍ時，他的對角線增加的速率為 小導數(shù)在幾何上的應用主要是求切線與法線方程，而本質(zhì)上是求一點的導數(shù)值的計算問題．因此，應熟練掌握顯函數(shù)、隱函數(shù)、參數(shù)方程所確定的函數(shù)以及極坐標方程所確定的函數(shù)等在一點的導數(shù)值的計算．—般地，曲線ｙ＝ｙｘ過法線方程

ｘ，ｙ的切線方程Ｙ－ｙｘ＝ｙ＇ｘＸ－２． 一般導函數(shù)的計

Ｙ－ｙｘ＝－ｙ＇

Ｘ－（９９，３分）設函數(shù)ｙ＝ｙｘ由方程ｌｎｘ２＋ｙ＝ｘｙ＋ｓｉｎｘ確定，

ｄｘｘ（００，５分）求函數(shù)ｆｘ＝ｘｌｎ１＋ｘ在ｘ＝０處ｎ階導數(shù)ｆ０ｎ（０５，４分）設函數(shù)ｙ＝ｙｘ由方程ｙ＝１－ｘｅｙ確定，則 ｄｘｘ（０６，４分）設函數(shù)ｇｘ可微，ｈｘ＝ｅ１＋ｇｘ，ｈ′１＝１，ｇ′１＝２，則ｇ１等于（ Ａ．ｌｎ３－１ Ｂ．－ｌｎ３－１ Ｃ．－ｌｎ２－１ Ｄ．ｌｎ２－１．（０７，４分）設函數(shù)ｙ ，則ｙｎ０ ２ｘ＋（０８，６分）設函數(shù)ｙ＝ｙｘ由參數(shù)方

ｘ＝ｘｔ，ｙ

∫ｌｎ１＋ｕｄｕ確定，其中ｘｔ是初值∫０

—

＝的解，

ｄ２ｄｘ２ｘｔ０＝（０９，４分）設ｙ＝ｙｘ是由方程ｘｙ＋ ＝ｘ＋１確定的隱函數(shù)， ｘ（１０，４分）函數(shù)ｙ＝ｌｎ１－２ｘ在ｘ＝０處的ｎ階導數(shù)ｙ（ｎ）０ （１２，４分）設函數(shù)ｆｘ＝ｅｘ－１ｅ２ｘ－２·… ｅｎｘ－ｎ，其中ｎ為正整數(shù)，則ｆ０＝ Ａ．－１ｎ－１ｎ－１！ Ｃ．－１ｎ－１ ２

－１ｎｎ－１！－１ｎｎ?。ǎ保玻捶郑剑怯煞匠蹋保剑逅_定的隱函數(shù)， 小１．一般導函數(shù)的計算方法可分為（１）初等函數(shù)求 （２）隱函數(shù)求 （３）參數(shù)方程求（４）反函數(shù)求導 （５）分段函數(shù)求導 （６）高階導數(shù)的計算其中重點和難點是分段函數(shù)求導以及高階導數(shù)的計算．２．分段函數(shù)求導，在不同的區(qū)間段上一般直接用初等函數(shù)求導法即可，而在分段點上則強調(diào)要用定義進行討論，或通過左、右導數(shù)，最終再判定在分段點的導數(shù)是否存在．ｘ＝ｘ ｙ＇隱函數(shù)求二階導數(shù)，一般直接在已知等ｘ＝ｘ ｙ＇參數(shù)方程求二階導數(shù)的公式為：

，則ｄｘ＝ｘ＇ｙ＝ｙｘ２＝反函數(shù)求二階導數(shù)：設ｙ＝ｆｘ，

ｙ″ｔｘ＇ｔ－ｘ″ｔｙ＇ｔｘ＇３ｔ３．求ｎ階導數(shù)的基本方法有（１）數(shù)學歸納

ｄ２ｘ ｆ″ｘｄｙ＝ｆ＇ｘ，ｄｙ２＝－ｆ＇３ｘ（２）遞推公式法（３）兩個函數(shù)相乘求ｎ階導數(shù)的萊尼茲公式法（４）用泰勒公式和冪級數(shù)展開進行比較求一點的ｎ階導數(shù)值等等．２． 可導、連續(xù)與極限的關(guān)（９９，３分）設ｆｘ（９９，３分）設ｆｘ槡ｘ２ｇｘ，ｘ０其中ｇｘ是有界函數(shù)，則ｆｘ在ｘ＝０處 Ａ．極限不存 Ｂ．極限存在，但不連續(xù)Ｃ．連續(xù)，但不可 Ｄ．可小分段函數(shù)在分段點的極限、連續(xù)和導數(shù)問題一般都需要采用定義通過左、右兩端來進行討論；含有絕對值的函數(shù)表達式本質(zhì)上應當做分段函數(shù)看待；極限、連續(xù)和導數(shù)三者之間的關(guān)系是：可導連續(xù)極限存在，但反過來不成了．注意多元函數(shù)的極限、連續(xù)、可導（偏導，可微）之間的關(guān)系與一元函數(shù)的極限、連續(xù)、可導之間的關(guān)系差異．２．５微分的概念與計ｘ（００，３分）設函數(shù)ｙ＝ｙｘ由方程２ｘｙ＝ｘ＋ｙ所確定，則 ｘ（０２，３分）設函數(shù)ｆｕ可導，ｙ＝ｆｘ２當自變量ｘ在ｘ＝－１處取得增量Δｘ＝－０．１時，相應的函數(shù)增量Δｙ的線性主部分為０．１，則ｆ′１的等于（ Ａ．－ Ｂ．０． Ｃ．１Ｄ．０．ｘ（０５，４分）設ｙ＝１＋ｓｉｎｘｘ，則 ｘ（０６，４分）設函數(shù)ｙ＝ｆｘ具有二階導數(shù)，且ｆ＇ｘ＞０，ｆ″ｘ＞０，Δｘ為自變量ｘ在點ｘ０處的增量Δ與ｄｙ分別為ｆｘ在點ｘ０處對應的增量與微分，若Δ＞０則（ Ａ．０＜ｄｙ＜ｙ Ｂ．０＜Δ＜ｄｙＣ．Δ＜ｄｙ＜ Ｄ．ｄｙ＜Δ＜小應注意函數(shù)增量Δｙ、自變量增量Δｘ和微分ｄｙ之間的聯(lián)系與區(qū)別，若函數(shù)改變量Δｙ＝ｆｘ０＋Δｘ－ｆｘ０＝ｆ＇ｘ０Δｘ＋ｏΔｘ，則ｄｙ＝ｆ＇ｘ０Δｘ．考生往往記住了公式ｄｙ＝ｆ＇ｘ０ｄｘ，而忘記了原始定義ｄｙ＝ｆ＇ｘ０ｘ．２． 利用導數(shù)確定單調(diào)區(qū)間與極（９８，３分）設函數(shù)ｆｘ在ｘ＝ａ的某個鄰域內(nèi)連續(xù)，且ｆａ為其極大值，則存在δ＞０，當ｘａ－δａ＋δ時，必有 Ａ．ｘ－ａｆｘ－ｆａ Ｂ．ｘ－ａｆｘ－ｆａＣ．

ｆｔ－ｆ

０ｘ≠

Ｄ．ｌｉｍｆｔ－ｆｘ"０ｘ≠ａ ｔ－ｘ ｔ－ｘ（００，３分）設函數(shù)ｆｘ、ｇｘ是大于零的可導函數(shù)，且ｆ＇ｘｇｘ－ｆｘｇ＇ｘ＜０，則當ａ＜ｘ＜ｂ時，有（ Ａ．ｆｘｇｂ＞ｆｂｇｘＣ．ｆｘｇｘ＞ｆｂｇ

Ｂ．ｆｘｇａ＞ｆａｇ．Ｄ．ｆｘｇｘ＞ｆａｇ（０１，３分）設函數(shù)ｆｘ在定義域內(nèi)可導，ｙ＝ｆｘ的圖形如圖所示，則導函數(shù)ｙ＝ｆ＇ｘ的圖形為（ （０３，４分）設函數(shù)ｆｘ在－!＋!內(nèi)連續(xù)，其導函數(shù)的圖形如圖所示，則ｆｘ有（）Ａ．一個極小值點和兩個極大值點．Ｂ．兩個極小值點和一個極大值點．Ｃ．兩個極小值點和兩個極大值點．Ｄ．三個極小值點和一個極大值點．（０４，４分）設函數(shù)ｆｘ連續(xù)，且ｆ＇０＞０，則存在δ＞０使得ｆｘ在０，δ內(nèi)單調(diào)增加．Ｂ．ｆｘ在－δ０內(nèi)單調(diào)減少Ｃ．對任意的ｘ∈０，δ，有ｆｘ＞ｆ．Ｄ．對任意的ｘ∈－δ０，有ｆｘ＞ｆ∫ ∫（１０，１０分）求函數(shù)ｆｘ

ｘ２－ｔｅ－ｔｄｔ的單調(diào)區(qū)間與極值１小１．利用導函數(shù)ｆ＇ｘ的符號確定函數(shù)ｆｘ的單調(diào)性及極值是討論函數(shù)性態(tài)的基本要求，導函數(shù)ｆ＇ｘ可通過極限形式表示出來，也可通過某微分方程的形式表現(xiàn)出來．２．ｙ＝ｆｘ，ｙ＝ｆ＇ｘ，ｙ＝ｆ″ｘ三者在圖形方面的關(guān)系，本質(zhì)上也可通過單調(diào)性與導函數(shù)的符號關(guān)系進行討論．３．注意以下結(jié)論：若ｆ＇ｘ在ｘ＝ｘ０處連續(xù)，ｌｉｍｆ＇ｘ＝Ａｆ＇ｘ＝０，ｆ″ｘ＝→ｘ－ 因此若進一步有Ａ０，則ｘ＝ｘ０是ｆｘ的極值點．２． 求函數(shù)的最ｘ＋∫（０４，１１分）設ｆｘ

｜ｓｉｎｔ｜ｄｔｘ《高《高等數(shù)學》十五分類詳考試點考試點（ｗｗｗ．ｋａｏｓｈｉｄｉａｎ．ｃｏｍ）名師精品課：４００６８８５（１）證明ｆｘ是以π為周期的周期函數(shù)（２）求ｆｘ的值域（０８，４分）曲線ｙ

ｘ－５ｘ３的拐點坐標 （０９，４分）函數(shù)ｙ＝ｘ２ｘ在區(qū)間（０，１］上的最小值 ?。保簦妫陂_區(qū)間的最?。ù螅┲担?/p>

ａ，ｂ內(nèi)的可能極值點唯一，則在此點取極?。ù螅┲担礊椋妫?ａ，ｂ２．若ｆｘ在閉區(qū)間ａ，ｂ上連續(xù)，ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ為ｆｘ ａ，ｂ內(nèi)的可能極值點，即為ｆｘａ，ｂ上的最大值、最小值分別為Ｍ＝ｍａｘｆａ，ｆｘ１，…，ｆｘｎ，ｆｂｍ＝ｍｉｎｆａ，ｆｘ１，…，ｆｘｎ，ｆｂ２． 求函數(shù)曲線的凹凸區(qū)間與拐（００，３分）設函數(shù)ｆｘ滿足關(guān)系式ｆ″ｘ＋ｆ′ｘ２＝ｘ且ｆ′０＝０，則（ Ａ．ｆ０是ｆｘ的極大值Ｂ．ｆ０是ｆｘ的極?。茫c０，ｆ０是曲線ｙ＝ｆｘ的拐Ｄ．ｆ０不是ｆｘ的極值，ｘ－３２的拐點個數(shù)為

０，ｆ０也不是曲線ｙ＝ｆｘ的拐點．（０１，３分）曲線ｙ＝ｘ－１Ａ． Ｂ． Ｃ．２Ｄ．ｘ＝ｔ３＋３ｔ＋（０４，４分）設函數(shù)ｙｘ由參數(shù)方ｙ＝ｔ３－３ｔ＋

確定，則曲線ｙ＝ｙｘ向上凸的ｘ取值范 （０４，４分）設ｆｘ＝｜ｘ１－ｘ｜，則 ｘ＝０是ｆｘ的極值點，但０，不是曲線ｙ＝ｆｘ的拐點．ｘ＝０不是ｆｘ的極值點，但０，０是曲線ｙ＝ｆｘ的拐點ｘ＝０ｘ＝０是ｆｘ的極值點，ｘ＝０不是ｆｘ的極值點０，０是曲線ｙ＝ｆｘ的拐點０，０也不是曲線ｙ＝ｆｘ的拐點ｘ＝１ｔ３＋ｔ＋（１１，１１分）設函數(shù)ｙ＝ｙｘ由參數(shù)方程ｙｘ的凹凸區(qū)間及拐點．

３３小兩側(cè)異號０３３小兩側(cè)異號０ｘ０，ｆ

確定，求ｙ＝ｙｘ的極值和曲線ｙ般來說，若ｆｘ在ｘ＝ｘ的左、

是曲ｙ＝ｆｘ的拐點，請注意以下結(jié)論１．若ｆ″

＝０，ｆｘ０≠０，則點ｘｆｘ０是曲線ｙ＝ｆｘ的拐２．若ｆ″ｘ在ｘ＝ 處連續(xù)，且ｌｉｍｆ″ｘ＝Ａ，則ｆ″ｘ＝０，ｆｘ＝Ａ０ ｘｘ－ ０則當Ａ０時，點ｘ０，ｆｘ０是曲線ｙ＝ｆｘ的拐點２．９ 求函數(shù)曲線的漸近線ｘ（９８，３分）曲線ｙ＝ｘｌｎｅ＋１（ｘ＞０）的漸近線方程 ｘ１（００，３分）曲線ｙ＝２ｘ–１ｅｘ的斜漸近線方程 ３（０５，４分）曲線ｙ

１＋ｘ２的斜漸近線方程為 （０６，４分）曲線

＝ｘ＋４ｓｉｎｘ的水平漸近線方程為 ５ｘ－２ｃｏｓｘｘ（０７，４分）曲線ｙ＝１＋ｌｎ１＋ｅｘ漸近線的條數(shù)為 ｘＡ． Ｂ．

Ｃ． Ｄ．的漸近線方程 （１０，４分）曲線（１２，４分）曲線

ｘ２＋ｘｘ２ 漸近線的條數(shù)為 ｘ＝ｘ２－Ｃ． Ｄ．Ａ． Ｂ．小求鉛直漸近線、水平漸近線和斜漸近線是基本要求，應熟練掌握．這里應注意三點１．若ｌｉｍｆｘ≠!則應進一步考慮ｌｉｍｆｘ、ｌｉｍｆｘ是否為∞ ｘ→２．當存在（或某側(cè)存在）水平漸近線時，不需要（或此側(cè)不需要）再求斜漸近線３．若當ｘ!時，極限ａ＝ｌｉｍｆｘ不存在，則應進一步討論ｘ＋!或ｘ－!的情形，即在右 或左側(cè)是否存在斜漸近線．４．若ｌｉｍｆｘ不存在，則應進一步考慮ｌｉｍｆｘ、ｌｉｍｆｘ → →２． 利用導數(shù)綜合研究函數(shù)的性（９９，８分）已知函數(shù)ｙ＝ｘ－１２求（１）函數(shù)的增減區(qū)間及極值（２）函數(shù)圖形的凹凸區(qū)間及拐點（３）函數(shù)圖形的漸近線（０９，４分）若ｆ″ｘ不變號，且曲線ｙ＝ｆｘ在點區(qū)間１，２內(nèi)（

１，１處的曲率圓為ｘ２＋ｙ２＝２，則函數(shù)ｆｘＡ．有極值點，無零 Ｂ．無極值點，有零Ｃ．有極值點，有零 Ｄ．無極值點，無零點小利用導數(shù)綜合研究函數(shù)的性態(tài)，有固定的解題步驟：先求ｙ′，ｙ″，找出ｙ′＝０，ｙ″＝０以及ｙ′，ｙ″不存在的點，它們將ｙ的定義區(qū)間分割為若干個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上分別討論ｙ′，ｙ″的符號，即可確定增減區(qū)間、極值、凹凸區(qū)間、拐點，為了分析方便起見，一般通過列表進行討論．２． 確定函數(shù)方 ｆｘ＝０的（９７，８分）就ｋ的不同取值情況，確定方程ｘ－πｓｉｎｘ＝ｋ２

０，π開區(qū)間內(nèi)根的個數(shù)，并證明２的結(jié)論２（０３，１２分）討論曲線ｙ＝４ｌｎｘ＋ｋ與ｙ＝４ｘ＋ｌｎｘ的交點的個數(shù)小關(guān)于方程ｆｘ＝０的根的存在性一般用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理，而唯一性往往通過導函數(shù)的符號用單調(diào)性判定，或通過簡單作圖分析，或用反證法引出．２． 確定導函數(shù)方 ｆ′ ＝０的（９６，６分）設ｙ＝ｆｘ是區(qū)間０，上的任一非負連續(xù)函數(shù)（１）試證存在ｘ０∈０，１，使得在區(qū)＝ｆｘ為曲邊的梯形面積

０，ｘ０以上ｆｘ０為高的矩形面積，等于 ｘ０，１上以（２）又設

在區(qū) ０，１內(nèi)可導，且ｆ′ｘ＞－２ｆｘ，證明（１）中的ｘ０ｘｘ０

是唯一的．（２）（０５，分）已知函數(shù)ｆｘ在０，１上連續(xù)，在０，１內(nèi)可導，且ｆ０＝０，ｆ１＝１．證明（１）存在ξ∈０，１使得ｆξ＝１－ξ（２）存在兩個不同的點ηζ∈０，１使得ｆ′ηｆ′ζ＝１（０７，１１分）設函數(shù)ｆｘ，ｇｘ在 ａ，ｂ上連續(xù)，在ａ，ｂ內(nèi)具有二階導數(shù)且存在相等的最大值，ｆａ＝ｇａ，ｆｂ＝ｇｂ，證明：存在ξ∈ａ，ｂ，使得ｆ″ξ＝ｇ″ξ．（０８，４分）設函數(shù)ｆｘ＝ｘ２ｘ－１ｘ－２，則ｆ′ｘ的零點個數(shù)為（ Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３（１１，４分）函數(shù)ｆｘ＝ｌｎ｜ｘ－１ｘ－２ｘ－３｜的駐點個數(shù)為（ Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３．?。保嘘P(guān)中值定理的證明問題是出題頻率較高的部分之一，而將中值定理與介值定理或積分中值定理結(jié)合起來命題又是最常見題形式．２．在用羅爾定理時，關(guān)鍵是找出輔助函數(shù)，一般用原函數(shù)法，即根據(jù)要證明的結(jié)論：Ｇξ，ｆξ，ｆξ＝０先將ξ換為ｘ，然后作恒等變形，目的是便于積分，最后再積分并分離常數(shù)：Ｆｘ，ｆｘ＝Ｃ，則Ｆｘ，ｆｘ即為待求的輔助函數(shù)３．如果題設要證明的結(jié)論中含有一般的ａ，ｂ，ｆａ，ｆｂ時，經(jīng)常可考慮直接用拉格朗日中值定理進行證明．４．要證明的結(jié)論表面上含有導數(shù)問題，一般先考慮用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理，但當介值定理無法直接證明所需結(jié)論時，也可考慮結(jié)論是否為某函數(shù)的導數(shù)的結(jié)果，再通過積分找到輔助函數(shù)，然后用羅爾定理．５．對于含有兩個介值得情形，一般先用一次拉格朗日中值定理（或柯西中值定理），再用一次柯西中值定理（或拉格朗日中值定理）．６．如果題設條件涉及二階或二階以上的導數(shù)應注意考慮用泰勒公式進行分析討論２． 有關(guān)高階導數(shù)中值（９９，８分）設函數(shù)ｆｘ在閉區(qū)間－１，１上具有三階連續(xù)導數(shù)，且ｆ－１＝０，ｆ１＝１，ｆ００，證明：在開區(qū) －１，１內(nèi)至少存在一 ξ， ｆξ＝３．（０１，８分） ｆｘ在區(qū)－ａ，ａａ＞０上具有二階連續(xù)導數(shù)，ｆ０＝（１）寫出ｆｘ的帶拉格朗日余項的一階麥克勞林公式（２）證明

－ａ，ａ上至少存在一點η，使ａｆ″η＝

∫ｆｘｄｘ∫—（０３，４分）ｙ＝２ｘ的麥克勞林公式中ｘｎ項的系數(shù) 小般的，若題設條件具有二階或二階以上的導數(shù)，應首先想到利用泰勒公式（在ｘ＝０處展開即麥克勞林公式）進行分析，若進一步題設在閉區(qū)間上具有二階或二階以上的連續(xù)導數(shù)，則除了用泰勒公式展開外，還往往要對最高階連續(xù)導數(shù)利用介值定理．２． 微分中值定理的綜合應（０２，３分）設函數(shù)ｙ＝ｆｘ在０，＋!內(nèi)有界且可導，則（ Ａ．當ｌｉｍｆｘ＝０時，必有ｌｉｍｆ′ｘ＝０．→ →Ｂ．當ｌｉｍｆｘ存在時，必有ｌｉｍｆｘ＝０→ →Ｃ．當ｌｉｍｆｘ＝０時，必有ｌｉｍｆｘ＝０ｘ ｘＤ．當ｌｉｍｆｘ存在時有ｌｉｍｆｘ＝０ｘ ｘ（０８，１１分）（１）證明積分中值定理：若函數(shù)ｆｘ在閉區(qū)間ａ，ｂ上連續(xù)，則至少存在一點ηａ，ｂ，使

∫ｆｘｄｘ＝ｆηｂ－ａ∫ａ∫３∫（２）若函數(shù)φｘ具有二階導數(shù)，且滿足φ２＞φ１，φ２１，３，使得φξ＜０

φｘｄｘ，則至少存在一點ξ２（０９，１１分）（１）證明拉格朗日中值定理：若函數(shù)ｆｘ∈ａ，ｂ，使得ｆｂ－ｆａ＝ｆξｂ－

ａ，ｂ上連續(xù)，在ａ，ｂ內(nèi)可導，則存在（２）證明：若函數(shù)ｆｘ在ｘ＝０處連續(xù)， ０，δδ＞０內(nèi)可導，ｌｉｍｆ′ｘ＝Ａ，則ｆ′０存在，且 ０＝Ａ ｘ（１０，１０分）設函數(shù)ｆｘ在閉區(qū) ０，１上連續(xù)，在開區(qū)間０，１內(nèi)可導，且ｆ０＝０，ｆ１＝３，證明：存在ξ∈０，１，η∈１，１，使得ｆξ＋ｆη＝ξ２＋η２ 小般來說，涉及函數(shù)ｆｘ與其導函數(shù)ｆｘ的關(guān)系時，可聯(lián)想到用拉格朗日中值定理ｆｘｆａ＝ｆ′ξｘ－ａ或微積分基本公式ｆｘ－ｆａ＝２．１５ 利用導數(shù)證明不等式（９８，８分）設ｘ∈０，１，證明１＋ｘｌｎ２１＋ｘ＜ｘ２１－１＜ －１＜１． ｌｎ１＋ｘ

∫ｆ′ｔｄｔ進行分析討論∫ａ（０１，３分）已知函數(shù)ｆｘ在區(qū)間ｆ′１＝１，則（

１－δ１＋δ內(nèi)具有二階導數(shù)，ｆ′ｘ嚴格單調(diào)減少，且ｆ１Ｂ．

１－δ１１－δ１

１，１＋δ內(nèi)均有ｆｘ＜ｘ１，１＋δ內(nèi)均有ｆｘ＞ｘＤ．

１－δ１內(nèi)ｆｘ＜ｘ，１－δ１內(nèi)ｆｘ＞ｘ，

１，１＋δ內(nèi)ｆｘ＞ｘ１，１＋δ內(nèi)ｆｘ＜ｘ（０２，８分）設０＜ａ＜ｂ，證明不等 ａ２＋

＜ｌｎｂ－ｂ－

．（０４，１２分）設ｅ＜ａ＜ｂ＜ｅ２槡ａｂ，證明ｌｎｂ－ｌｎａ

（ｂ－ａ）（０６，１０分）證明：當０＜ａ＜ｂ＜π時，ｂｓｉｎｂ＋２ｃｏｓｂ＋π＞ａｓｉｎａ＋２ｃｏｓａ＋π（１２，１０分）證明：ｘｌｎ１＋ｘ＋ｃｏｓｘ１１－

２－１＜ｘ＜１小不等式的證明方法有很多，在高等數(shù)學中要求熟練掌握方法的有：１．利用單調(diào)性證明不等式；２．利用極值與最值證明不等式；３．利用凹凸性證明不等式；４．利用拉格朗日中值定理證明不等式；５．利用泰勒公式展開證明不等式．相對來說，用單調(diào)性證明不等式有比較固定的步驟：要么直接移項構(gòu)造輔助函數(shù)，要么先將要證不等式作適當變形后再構(gòu)造輔助函數(shù)．應用拉格朗日中值定理的難點在于找到適當?shù)暮瘮?shù)，使其在某兩點的函數(shù)值之差與要證的不等式聯(lián)系起來如果輔助函數(shù)的一階導數(shù)不能確定符號，需要二階甚至二階以上的導數(shù)信息才能證明不等式，此時也可考慮直接用泰勒公式進行證明．另外，在不等式證明中注意將常數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式２．１６ 曲率與弧長的計算（０１，７分）設ρ＝ρｘ是拋物線ｙ＝槡ｘ上任一點Ｍｘ，ｙ １處的曲率半徑，ｓ＝ｓｘ是２ ｄ 拋物線上介于點Ａ１，１與Ｍ之間的弧長，計算３ρｄｓ２｜ｙ″

ｄρ２的值（在直角坐標系下曲率公式為Ｋ＝′２３）１＋ｙｘ（１１，４分）曲線ｙ＝∫ｔａｎｔｄｔ０""π的弧長ｓ ｘ （１２，４分）曲線ｙ＝ｘ２＋ｘｘ＜０上曲率為槡２的點的坐標 ２小綜合考查大綱要求的兩個重要幾何應用：求曲率半徑和弧長，以及參數(shù)方程的求導問題，每一個知識點都不是很難，但要求概念清晰，公式熟悉，且有較強的運算能力才能完整作答，這種考研命題的思路值得注意．本章小這部分內(nèi)容在高等數(shù)學中占有最重要的基礎(chǔ)地位．本章命題的重點是導數(shù)應用，包括函數(shù)的單調(diào)性與極值、函數(shù)方程根的討論、有關(guān)中值定理的證明以及不等式證明，因此在復習過程中這些方面的內(nèi)容值得特別注意．第三 一元函數(shù)積分考試內(nèi)原函數(shù)和不定積分的概念，不定積分的基本性質(zhì)，基本積分公式，定積分的概念和基本性質(zhì)，定積分中值定理，積分上限的函數(shù)及其導數(shù)，牛頓一萊布尼茲（Ｎｅｗｔｏｎ－Ｌｅｉｂｎｉｚ）公式，不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法，有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡單無理函數(shù)的積分，反常（廣義）積分，定積分的應用．考試要１．理解原函數(shù)的概念，理解不定積分和定積分的概念２．掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質(zhì)及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法．３．會求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡單無理函數(shù)的積分４．理解積分上限的函數(shù)，會求它的導數(shù)，掌握牛頓一萊布尼茲公式．５．了解反常積分的概念，會計算反常積分．６．掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的體積、功、引力、壓力、質(zhì)心、形心等）及函數(shù)的平均值．３． 原函數(shù)與不定積分的概（００，５分）設ｆｌｎｘ＝ｌｎ１＋ｘ，計ｘ

∫ｆｘｄｘ小如果在區(qū)間Ｉ上，可導函數(shù)Ｆ（ｘ）的導函數(shù)是ｆｘ，即對 ｘ∈Ｉ，有Ｆ′ｘ＝ｆｘ，則稱Ｆ（ｘ）為ｆｘ的原函數(shù)．顯然，此時Ｆｘ＋ＣＣ∈Ｒ也為ｆｘ的原函數(shù)，因此一個函數(shù)若有原函數(shù)，則一定有無窮多個．原函數(shù)的全體又稱為不定積分，記為∫ｆｘｄｘ；原函數(shù)與不定積分有密切的關(guān)系，但又是兩個不同的概念，后者本質(zhì)上為一個集合．另外，注意下面結(jié)論∫ｆｘｄｘ＝Ｆｘ＋Ｃ，ｄ∫Ｆｘｄｘ＝Ｆｘｄｘ２．設ｆｘ為－!＋!上的連續(xù)函數(shù)，（１）ｆｘ是奇函 ｆｘ的任意原函數(shù)Ｆｘ為偶函數(shù)（２）ｆｘ是偶函 ｆｘ的原函數(shù)中只有一個為奇函數(shù)，（３）ｆｘ的任意原函數(shù)為周期函 ｆｘ為周期函數(shù)∫Ｔ∫

∫ｆｔ∫０ｆｘ為以Ｔ為周期的周期函數(shù)，

ｆｘｄｘ＝０ｆｘ的任意原函數(shù)是以Ｔ為周期的周期函０（４）函數(shù)的單調(diào)性與其原函數(shù)的單調(diào)性之間沒有邏輯上的因果關(guān)系３．設連續(xù)的抽象函數(shù)ｆｘ，考查ｆｘ其原函數(shù)Ｆ（ｘ）的奇偶性、周期性等問題時，常將原函數(shù)（ｘ）表示為積分上限函數(shù)Ｆｘ

∫ｆｔｄｔ＋Ｃ以方便討論∫０３． 定積分的基本概念與性 （１１，４分）設Ｉ＝∫４ｌｎｓｉｎｘｄｘ，Ｊ＝∫４ｌｎｃｏｔｘｄｘ，Ｋ＝∫４ｌｎｃｏｓｘｄｘ則Ｉ，Ｊ，Ｋ的大小關(guān)系 Ａ．Ｉ＜Ｊ＜ Ｂ．Ｉ＜Ｋ＜ Ｃ．Ｊ＜Ｉ＜ Ｄ．Ｋ＜Ｊ＜Ｉ∫∫（１２，４分）設Ｉｋ ｅｓｉｎｘｄｘｋ＝１，２，３，則有 ０Ａ．Ｉ１＜Ｉ２＜ Ｂ．Ｉ３＜Ｉ２＜Ｉ１Ｃ．Ｉ２＜Ｉ３＜ Ｄ．Ｉ２＜Ｉ１＜Ｉ３（１２，４分）ｌｉｍｎ ＋… １＋ ２２＋ ｎ２＋小定積

∫ｆｘｄｘ不同于不定積∫ａ

∫ｆｘｄｘ，不定積

∫ｆｘｄｘ表示的是一簇原函數(shù)，而定積∫ｂ∫ｆｘｄｘ表示一個數(shù)，而且這個數(shù)只依賴于上、下限ａ，ｂ和被積函數(shù)ｆｘ，與積分變量用什么符號ａ示無關(guān)，即 ｆｘｄｘ ｆｕｄｕ ｆｔ 定積分的幾何意義以及中值定理、保序性、對稱區(qū)間上的積分等性質(zhì)是考查的重點．３．３ 不定積分的計算（９８，３分

ｌｎｓｉｎｘｄｘ