高數(shù)-d21導(dǎo)數(shù)概念

第三章微積分學(xué)的創(chuàng)始人:德國數(shù)學(xué)家Leibniz微分學(xué)導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)變化快慢微分描述函數(shù)變化程度都是描述物質(zhì)運(yùn)動的工具(從微觀上研究函數(shù))導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)思想最早由法國數(shù)學(xué)家Ferma在研究極值問題中提出.英國數(shù)學(xué)家Newton牛頓(1642–1727)偉大的英國數(shù)學(xué)家,物理學(xué)家,天文學(xué)家和自然科學(xué)家.他在數(shù)學(xué)上的卓越貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了微積分.1665年他提出正流數(shù)(微分)術(shù),次年又提出反流數(shù)(積分)術(shù),并于1671年完成《流數(shù)術(shù)與無窮級數(shù)》一書(1736年出版).他還著有《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》和《廣義算術(shù)》等.萊布尼茲(1646–1716)德國數(shù)學(xué)家,哲學(xué)家.他和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人,1686年他發(fā)表的第一篇有關(guān)微積分學(xué)的論文,早于牛頓,所用微積分符號也遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓.他還設(shè)計(jì)了作乘法的計(jì)算機(jī),系統(tǒng)地闡述二進(jìn)制計(jì)數(shù)法,并把它與中國的八卦聯(lián)系起來.一、引例二、導(dǎo)數(shù)的定義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系五、單側(cè)導(dǎo)數(shù)第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念第3章一、引例1.變速直線運(yùn)動的速度設(shè)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動位置的函數(shù)為則到的平均速度為而在時刻的瞬時速度為自由落體運(yùn)動機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束求曲線y=f(x)在點(diǎn)M(x0

y0)處的切線的斜率

在曲線上另取一點(diǎn)N(x0+x

y0+y)作割線MN

設(shè)其傾角為j

觀察切線的形成

當(dāng)x0時動點(diǎn)N將沿曲線趨向于定點(diǎn)M從而割線MN也將隨之變動而趨向于切線MT

此時割線MN的斜率趨向于切線MT的斜率

.2、平面曲線的切線斜率兩個問題的共性:瞬時速度切線斜率所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.類似問題還有:加速度角速度線密度電流強(qiáng)度是速度增量與時間增量之比的極限是轉(zhuǎn)角增量與時間增量之比的極限是質(zhì)量增量與長度增量之比的極限是電量增量與時間增量之比的極限變化率問題機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、導(dǎo)數(shù)的定義定義1.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)存在,并稱此極限為記作:則稱函數(shù)若的某鄰域內(nèi)有定義,在點(diǎn)處可導(dǎo),在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束若上述極限不存在,在點(diǎn)不可導(dǎo).就說函數(shù)即機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束利用導(dǎo)數(shù)求極限求函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)的位置函數(shù)在時刻的瞬時速度曲線在M點(diǎn)處的切線斜率說明:在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,邊際成本率,邊際勞動生產(chǎn)率和邊際稅率等從數(shù)學(xué)角度看就是導(dǎo)數(shù).機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束若函數(shù)在開區(qū)間I內(nèi)每點(diǎn)都可導(dǎo),此時導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù).記作:注意:就稱函數(shù)在

I內(nèi)可導(dǎo).機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束導(dǎo)數(shù)的定義式:原式是否可按下述方法作:例1.設(shè)存在,求極限解:原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.設(shè)存在,求極限解:原式=例2.證明函數(shù)在x=0不可導(dǎo).證:不存在,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束在點(diǎn)的某個右鄰域內(nèi)三、單側(cè)導(dǎo)數(shù)若極限則稱此極限值為在處的右導(dǎo)數(shù),記作即(左)(左)定義2

.設(shè)函數(shù)有定義,存在,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理1.函數(shù)在點(diǎn)且存在簡寫為可導(dǎo)的充分必要條件是機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例如,在x=0處有例3.

解例4.

解三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線在點(diǎn)的切線斜率為若曲線過上升;若曲線過下降;若切線與x軸平行,稱為駐點(diǎn);若切線與x軸垂直.曲線在點(diǎn)處的切線方程:法線方程:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.問曲線哪一點(diǎn)有垂直切線?哪一點(diǎn)處的切線與直線平行?寫出其切線方程.解:令得對應(yīng)則在點(diǎn)(1,1),(–1,–1)處與直線平行的切線方程分別為即故在原點(diǎn)(0,0)有垂直切線四、可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理2

如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)則它在點(diǎn)x0處連續(xù)

這是因?yàn)閼?yīng)注意的問題:函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)但在點(diǎn)x0處不一定可導(dǎo)

函數(shù)在其不連續(xù)的點(diǎn)處一定不可導(dǎo)在點(diǎn)處右導(dǎo)數(shù)存在定理3.函數(shù)在點(diǎn)必右連續(xù).(左)(左)若函數(shù)與都存在,則稱顯然:在閉區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)在開區(qū)間

內(nèi)可導(dǎo),在閉區(qū)間

上可導(dǎo).且機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束方法一：例6.

解方法二：內(nèi)容小結(jié)1.導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì):3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:4.可導(dǎo)必連續(xù),但連續(xù)不一定可導(dǎo);5.判斷可導(dǎo)性不連續(xù),一定不可導(dǎo).直接用導(dǎo)數(shù)定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.2.增量比的極限;切線的斜率;機(jī)