物流管理定量分析方法-總課件

物流管理定量分析方法主講：詹益釗物流管理定量分析方法主講：詹益釗1第一章物資調運方案的表上作業(yè)法考核知識點：不平衡運輸問題化為平衡運輸問題，初始調運方案的編制，物資調運方案的優(yōu)化。考核要求：掌握將不平衡運輸問題轉化為平衡運輸問題的方法。熟練掌握編制初始調運方案的最小元素法。理解閉回路、檢驗數(shù)等概念。熟練掌握求最優(yōu)調運方案的優(yōu)化方法。第一章物資調運方案的表上作業(yè)法考核知識點：2

1.1物資調運的表上作業(yè)法

物資調運問題例1現(xiàn)有三個產(chǎn)地A、B、C供應某種商品，供應量分別為50噸、30噸、70噸；有四個銷地Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，需求量分別為30噸、60噸、20噸、40噸。產(chǎn)地A到銷地Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的每噸商品運價分別為15元、18元、19元、13元；產(chǎn)地B到銷地Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的每噸商品運價分別為20元、14元、15元、17元；產(chǎn)地C到銷地Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的每噸商品運價分別為25元、16元、17元、22元。如下表所示。如何求出最優(yōu)調運方案？1.1物資調運的表上作業(yè)法3

4運輸平衡表與運價表銷地產(chǎn)地ABC需求量ⅠⅡⅢⅣ供應量ⅠⅡⅢⅣ30602040150503070151819132014151725161722

我們將直接在運輸平衡表與運價表上編制運輸方案并進行計算、調整，以確定最優(yōu)調運方案的方法稱為表上作業(yè)法。運輸平衡表與運價表銷地產(chǎn)地ABC需求量ⅠⅡⅢⅣ供應量ⅠⅡⅢⅣ5

最小元素法編制初始調運方案

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最小元素法編制初始調運方案

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最小元素法編制初始調運方案

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最小元素法編制初始調運方案

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最小元素法編制初始調運方案

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最小元素法編制初始調運方案

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最小元素法編制初始調運方案

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最小元素法編制初始調運方案

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最小元素法編制初始調運方案

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最小元素法編制初始調運方案

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最小元素法編制初始調運方案

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最小元素法編制初始調運方案

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最小元素法編制初始調運方案

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最小元素法編制初始調運方案

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運輸調運方案的優(yōu)化－－閉回路、檢驗數(shù)

閉回路：只有一個空格，其他拐彎處都有數(shù)字

20

運輸調運方案的優(yōu)化－－閉回路、檢驗數(shù)

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運輸調運方案的優(yōu)化－－閉回路、檢驗數(shù)

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運輸調運方案的優(yōu)化－－閉回路、檢驗數(shù)

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運輸調運方案的優(yōu)化－－閉回路、檢驗數(shù)

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運輸調運方案的優(yōu)化－－閉回路、檢驗數(shù)

25

1.3.2檢驗數(shù)及調運方案調整的原則檢驗數(shù)的概念對于某調運方案，若某空格增加單位運量，則此空格的閉回路的奇數(shù)號拐彎處均須增加單位運量，偶數(shù)號拐彎處均須減少單位運量，總運費的改變量為奇數(shù)號拐彎處的運價和與偶數(shù)號拐彎處的運價和的差。稱此總運費的改變量為檢驗數(shù)。當且僅當檢驗數(shù)為負數(shù)時，在此空格增加運量能使總運費減少。

如果檢驗數(shù)為大于等于零，則不需做調整。檢驗數(shù)＝第1個拐彎處的單位運價－第2個拐彎處的單位運價＋第3個拐彎處的單位運價－第4個拐彎處的單位運價

＋…

26

若某個空格檢驗數(shù)為正數(shù)時，該空格增加運輸量將會增加運輸總費用，所以不能在此處安排運輸量若某空格檢驗數(shù)為負數(shù)時，在該空格安排運輸量，就會降低運輸總費用，所以應在此空格調入運輸量，而且安排運輸量越多，運輸總費用下降越多。但最多只能安排該空格閉回路上偶數(shù)號拐彎處運量的最小值（即偶數(shù)號拐彎處能調出的最大運量）。最優(yōu)調運方案的判別標準若某一物資調運方案的所有空格的檢驗數(shù)均非負，則該物資調運方案最優(yōu)，此時的運輸總費用最低。

小結：檢驗數(shù)實際上就是所有奇數(shù)號拐彎處單位運價總和減去所有偶數(shù)號拐彎處單位運價總和。調運方案調整的原則。最優(yōu)調運方案的判別標準。調整運輸方案的原則

271.3.3調運方案的優(yōu)化

物資調運方案優(yōu)化的思路(1)按行列順序的空格找閉回路，計算檢驗數(shù)。(2)若檢驗數(shù)非負，則對下一個空格繼續(xù)找閉回路，計算檢驗數(shù)。依此類推。若所有檢驗數(shù)均非負，則該方案為最優(yōu)調運方案，此時的運輸總費用最低。(3)若出現(xiàn)某檢驗數(shù)小于0，則開始在該空格安排運輸量（其它空格不必再考慮了）。該運輸量取閉回路中偶數(shù)號拐彎處運輸量的最小值（稱為調整量）。(4)進行優(yōu)化調整：調整在閉回路中進行，所有奇數(shù)號拐彎處的運輸量均加上調整量，所有偶數(shù)號拐彎處的運輸量均減去調整量，并取差值為0的一個拐彎處作為空格（差值為0的拐彎處不只一個時，稱為退化情形，此時，可任取一個拐彎處作為空格，其他拐彎處的差值0應看作運輸量），得到一個新的調運方案。

(5)對新調運方案，重復(1)～(4)。注意：對于退化情形，若所有檢驗數(shù)為負的空格的閉回路的偶數(shù)號拐彎處都包含有運量為0的格，則對應的閉回路無運量調出，此方案即為最優(yōu)。

1.3.3調運方案的優(yōu)化物資調運方案優(yōu)化的思路(528例如例1中初始調運方案的優(yōu)化表1-25運輸平衡表與運價表調整量：q＝min(30，20)＝20

初始調運方案的檢驗數(shù)：λ

12＝18－16＋25－15＝12λ

13＝19－17＋25－15＝12

λ

21＝20－14＋16－25＝－3＜0例如例1中初始調運方案的優(yōu)化表1-25運29物資調運方案的優(yōu)化表1-26運輸平衡表與運價表

物資調運方案的優(yōu)化表1-26運輸平衡表與運價表

30例1中第二調運方案的優(yōu)化表1-27運輸平衡表與運價表

調整量：q＝min(20，40)＝20

第二個方案的檢驗數(shù)：l12＝18－14＋20－15＝9

l13＝19－17＋16－14＋20－15＝9例1中第二調運方案的優(yōu)化表1-27運輸平衡表與運價表31l23＝15－17＋16－14＝0

l24＝17－20＋15－13＝－1＜0

物資調運方案的優(yōu)化表1-27運輸平衡表與運價表

調整量：q＝min(20，40)＝20l23＝15－17＋16－14＝0物資調運方案的優(yōu)化表1-32物資調運方案的優(yōu)化表1-28運輸平衡表與運價表

物資調運方案的優(yōu)化表1-28運輸平衡表與運價表33第三個方案的檢驗數(shù)：l12＝18－13＋17－14＝8l13＝19－17＋16－14＋17－13＝8l21＝20－15＋13－17＝1l23＝15－17＋16－14＝0l31＝25－15＋13－17＋14－16＝4l34＝22－16＋14－17＝3例1中最優(yōu)方案與最低運輸總費用

minS＝30×15＋20×13＋10×14＋20×17＋50×16＋20×17＝2330（元）

結論：任何平衡運輸問題必有最優(yōu)調運方案第三個方案的檢驗數(shù)：例1中最優(yōu)方案與最低運輸總費用min34物資調運問題不平衡運輸問題平衡運輸問題本章知識小結用最小元素法編制初始調運方案按順序的空格找閉回路，求檢驗數(shù)所有檢驗數(shù)非負出現(xiàn)負檢驗數(shù)最有調運方案，計算最低運輸費用優(yōu)化調整，得新方案物資調運問題不平衡運輸問題平衡運輸問題本章知識小結用最小元素35物流管理定量分析方法物流管理定量分析方法36第二章資源合理利用的線性規(guī)劃法2.1資源合理利用的線性規(guī)劃模型物資調運問題例1現(xiàn)有三個產(chǎn)地

A，B，C

供應某種商品，供應量分別為

50

噸、30

噸、70

噸；有四個銷地Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，需求量分別為

30

噸、60

噸、20

噸、40

噸。產(chǎn)地

A

到銷地Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的每噸商品運價分別為

15

元、18

元、19

元、13

元；產(chǎn)地

B

到銷地Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的每噸商品運價分別為

20

元、14元、15

元、17

元；產(chǎn)地

C

到銷地Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的每噸商品運價分別為

25

元、16

元、17

元、22元。如何求出最優(yōu)調運方案？試建立線性規(guī)劃模型。

第二章資源合理利用的線性規(guī)劃法2.1資源合理利用的線37列表分析題意

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>>下頁2.1資源合理利用的線性規(guī)劃模型列表分析題意2.1資源合理利用的線性規(guī)劃模型38(2)確定目標函數(shù):目標函數(shù)就是使問題達到最大值或最小值的函數(shù)。設運輸總費用為S，故目標函數(shù)為：min

S＝15x11＋18x12＋19x13＋13x14＋20x21

＋14x22＋15x23＋17x24＋25x31

＋16x32＋17x33＋22x34其中min

S表示使運輸總費用S最小。(3)考慮約束條件:約束條件就是各種資源的限制條件及變量非負限制。建立例1的線性規(guī)劃模型(1)引進變量設產(chǎn)地A運往銷地Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的運輸量分別為x11，x12，x13，x14；產(chǎn)地B運往銷地Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的運輸量分別為x21，x22，x23，x24；產(chǎn)地C運往銷地Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的運輸量分別為x31，x32，x33，x34。

(2)確定目標函數(shù):目標函數(shù)就是使問題達到最大值或最小值的函39

產(chǎn)地

A

的總運出量應等于其供應量，即

x11＋x12＋x13＋x14＝50同理，對產(chǎn)地

B

和

C，有x21＋x22＋x23＋x24＝30x31＋x32＋x33＋x34＝70運進銷地Ⅰ的運輸量應等于其需求量，即x11＋x21＋x31＝30同理，對銷地Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，有

x12＋x22＋x32＝60x13＋x23＋x33＝20x14＋x24＋x34＝40運輸量應非負，故

40約束條件為：

約束條件為：41

(4)寫出線性規(guī)劃問題。

(4)寫出線性規(guī)劃問題。42

物流管理中的線性規(guī)劃問題例2某物流企業(yè)計劃生產(chǎn)

A，B

兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)

A

產(chǎn)品

1

公斤需要勞動力

7

工時，原料甲

3

公斤，電力

2

度；生產(chǎn)

B

產(chǎn)品

1

公斤需要勞動力

10

工時，原料甲

2

公斤，電力

5度。在一個生產(chǎn)周期內，企業(yè)能夠使用的勞動力最多

6300

工時，原料甲

2124

公斤，電力

2700

度。又已知生產(chǎn)

1

公斤

A，B

產(chǎn)品的利潤分別為

10

元和

9

元。試建立能獲得最大利潤的線性規(guī)模型。

43建立例2的線性規(guī)劃模型解(1)設置變量：設生產(chǎn)A產(chǎn)品

x1公斤，生產(chǎn)B產(chǎn)品

x2公斤。(2)確定目標函數(shù)：maxS＝10x1＋9x2

(3)考慮約束條件：生產(chǎn)

A

產(chǎn)品

x1公斤需要勞動力

7x1工時，生產(chǎn)

B

產(chǎn)品

x2公斤需要勞動力

10x2工時，生產(chǎn)

A，B

產(chǎn)品所需勞動力總和不能超過企業(yè)現(xiàn)有勞動力，即有7x1＋10x2≤6300

同理，對原料甲及電力，有3x1＋2x2≤21242x1＋5x2≤2700產(chǎn)品產(chǎn)量應非負，故

建立例2的線性規(guī)劃模型解(1)設置變量：設生產(chǎn)A產(chǎn)品44約束條件為：

(4)寫出線性規(guī)劃模型。

約束條件為：(4)寫出線性規(guī)劃模型。45變量，就是待確定的未知數(shù)，也稱決策變量。變量一般要求非負。

目標函數(shù):某個函數(shù)要達到最大值或最小值，也即問題要實現(xiàn)的目標，就是目標函數(shù)。目標是求最大值的，用max；求最小值的，用min。

約束條件，就是變量所要滿足的各項限制，包括變量的非負限制。它是一組包含若干未知數(shù)的線性不等式或線性等式。資源包括人力、資金、設備、原材料、電力等。要根據(jù)各種資源的限制，確定取等式或不等式。

將目標函數(shù)與約束條件寫在一起，就是線性規(guī)劃模型。

我們通常將目標函數(shù)寫在前面，約束條件寫在目標函數(shù)的后面。?設置變量；?確定目標函數(shù)；?考慮約束條件；

?寫出線性規(guī)劃模型。

變量，就是待確定的未知數(shù)，也稱決策變量。變量一般要求非負。46

2.2矩陣的概念

整存整取定期儲蓄存期三個月六個月一年二年年利率(%)2.884.145.675.94項

目1月份2月份3月份天然氣m3252426電(kw·h)135125130水m3889北京市居民超表紀錄卡2.2矩陣的概念

存期三個月六個月一年二年年利率(%)247

學生成績表

xyO姓名數(shù)學語文英語張建中808280林

勇758475王建明858083崔

也869090王

賓919095上面這些長方形表，抽象出來就是我們要講的矩陣.Y=ax

48

這里對矩陣作一些說明：

49矩陣一般用大寫英文字母表示：如等橫向稱行，豎向稱列.——每一個位置上的數(shù)都是A的元素5是矩陣定義請看教材第2章定義2.1.

矩陣，如1是的第2行第2列的元素，記為：

的第1行第4列的元素，記為：矩陣一般用大寫英文字母表示：如等橫向稱行，豎向稱列.——每一50補充內容：特別地，當時，矩陣只有一行，即時，矩陣只有一列，即時，矩陣的行列數(shù)相同，即當稱為行矩陣稱為列矩陣當稱為階矩陣（或階方陣）在n階矩陣中，從左上角到右下角的對角線稱為主對角線，從右上角到左下角的對角線稱為次對角線.行列數(shù)相同的矩陣稱為同型矩陣.即：兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等時。中各個元素的前面都添加一個負號得到的矩陣稱為負矩陣，在矩陣記為補充內容：特別地，當時，矩陣只有一行，即時，矩陣只有一列，即51

例如，這里是的負矩陣，這里是的負矩陣52零矩陣所有元素都為零的矩陣。例如單位矩陣：主對角線上的元素全是1，其余元素全是0的階矩陣稱為單位或特殊矩陣矩陣，記作數(shù)量矩陣：主對角線上的元素為同一個數(shù)，其余元素全是0的階矩陣稱為數(shù)量矩陣，記作零矩陣所有元素都為零的矩陣。例如單位矩陣：主對角線上的元素53對角矩陣：主對角線以外的元素全為零的方陣稱為對角矩陣，即有時也記作或

三角矩陣：主對角線上方的元素全為零的方陣稱為下三角矩陣，它形如主對角線下方的元素全為零的方陣稱為上三角矩陣，它形如上三角矩陣和下三角矩陣統(tǒng)稱為三角矩陣.對稱矩陣：若矩陣A＝(aij)是n階方陣，且滿足aij＝aji，對任意i和j均成立，則稱A為對稱矩陣。對角矩陣：主對角線以外的元素全為零的方陣稱為對角矩陣，即有時54矩陣加法

用記為的和，即規(guī)定如下同形，于是同形.（1）(2)對應元素分別相加.例：A=2-14136B=053-211求A+BA+B=2+0-1+54+31-23+16+1=247-147矩陣加法

55矩陣的數(shù)量乘法

，則

同形，即中每個素都乘以特別地：注意：中定義為，等式左邊是數(shù)0與矩陣的乘積，而右邊是零矩陣.(1)和

(2)矩陣的數(shù)量乘法

56

57其中

=

{，1．僅當時，才能做乘法2．若，則——3．若，則

(矩陣乘法定義請閱讀教材第2章定義2.5)

}

(行乘列法則)其中

=

{，1．僅當時，才能做乘法2．若，則——358

設

將第一行元素寫在第一列處，第二行元素寫在第二列處，的轉置矩陣.矩陣的轉置

這樣就可得到

設

將第一行元素寫在第一列處，第二行元素寫在第二列59逆矩陣

可表為

可逆矩陣

，如果存在一個矩陣，使得

則稱是可逆矩陣，稱是的逆矩陣，記為（1）設矩陣逆矩陣

可表為可逆矩陣

，如果存在一個矩陣，使60例2.1

某公司準備投資200萬元興辦A，B兩種第三產(chǎn)業(yè)，以解決公司800名剩余勞動力的工作安排問題；經(jīng)調查分析后得知，上述A種第三產(chǎn)業(yè)每萬元產(chǎn)值需要勞動力5人、資金2.50萬元，可得利潤0.50萬元；B種第三產(chǎn)業(yè)每萬元產(chǎn)值需要勞動力7.5人、資金1.25萬元，可得利潤0.65萬元.問如何分配資金給這兩種第三產(chǎn)業(yè)，使公司既能解決800名剩余勞動力的安排問題，又能使投資所得的利潤最大？試寫出線性規(guī)劃模型（不要求求解）.

【分析】解：(1)確定變量：設投資A種第三產(chǎn)業(yè)x1萬元產(chǎn)值，投資B種第三產(chǎn)業(yè)x2萬元產(chǎn)值.顯然，x1≥0，x2≥0.(2)確定目標函數(shù)：設利潤為S，則目標函數(shù)為：max

S＝0.50x1＋0.65x2(3)列出各種資源的限制：勞動力限制：A種第三產(chǎn)業(yè)每萬元產(chǎn)值需要勞動力5人，故A種第三產(chǎn)業(yè)共需要勞動力5x1人；同理，B種第三產(chǎn)業(yè)共需要勞動力7.5x2人.800名剩余勞動力都需要安排，故5x1＋7.5x2＝800資金限制：A種第三產(chǎn)業(yè)共需要資金2.50x1萬元，B種第三產(chǎn)業(yè)共需要資金1.25x2萬元，故2.50x1＋1.25x2≤200(4)寫出線性規(guī)劃模型：

例2.1

某公司準備投資200萬元興辦A，B兩種第三產(chǎn)業(yè)，以61例2.2

設求：(1)2BT－A；(2)AB解：2BT2BT－AAB例2.2

設求：(1)2BT－A；(2)AB2BT－A62例2.3

寫出用MATLAB軟件求矩陣A＝的逆矩陣的命令語句.解：用MATLAB軟件求A的逆矩陣的命令語句為：>>A=[3

-4

5;

2

-3

1;

3

-5

-1];>>inv(A)例2.3

寫出用MATLAB軟件求矩陣A＝的逆矩陣的命令語句63例2.4

寫出用MATLAB軟件將線性方程組的增廣矩陣化為行簡化階梯形矩陣的命令語句.解：用MATLAB軟件將增廣矩陣化為行簡化階梯形矩陣的命令語句為：>>A=[1

2

-1

4;

2

-1

1

1;

1

7

-4

11];>>B=[2;

1;

5];>>D=[A

B];>>rref(D)

例2.4

寫出用MATLAB軟件將線性方程組的增廣矩陣化為行64例2.5

寫出用MATLAB軟件解下列線性規(guī)劃問題的命令語句：

解：用MATLAB軟件解上述問題的命令語句為：>>C=-[3

2

0.5];>>A=[2

1

0;

0

2

4];>>B=[30

50];>>LB=[0

0

0];>>[X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB)

例2.5

寫出用MATLAB軟件解下列線性規(guī)劃問題的命令語句65物流管理定量分析方法第三章物流管理定量分析方法第三章66經(jīng)濟批量問題相關的概念

庫存：指處于儲存狀態(tài)的物品或商品。

經(jīng)濟批量模型：通過平衡進貨采購成本和庫存保管成本，確定一個最佳的訂貨數(shù)量來實現(xiàn)最低總成本的方法。

經(jīng)濟批量（或最優(yōu)訂貨批量）：是使年庫存成本與訂貨成本之和最小的訂貨批量。經(jīng)濟批量問題例1

設某公司按年度計劃需要某種物資

D

單位，已知該物資每單位每年庫存費為

a

元，每次訂貨費為

b

元，為了節(jié)省總成本，分批訂貨，假定公司對這種物資的使用是均勻的，如何求訂貨與庫存總成本最小的訂貨批量。經(jīng)濟批量問題相關的概念庫存：指處于儲存狀態(tài)的物品67年平均庫存量設訂貨批量為

q

單位，由假定，平均庫存量為

q/2，因為每單位該物資每年庫存費為

a

元，則：年庫存成本＝(q/2)×a?？梢?，庫存成本與訂貨批量成正比，如圖1。年庫存成本年平均庫存量設訂貨批量為q單位，由假定，平均庫68年訂貨成本該公司每年需要該物資

D

單位，即年訂貨次數(shù)為

D/q，因為每次訂貨費為

b

元，則：年訂貨成本＝(D/q)×b?？梢?，訂貨成本與訂貨批量成反比，如圖2。年訂貨成本該公司每年需要該物資D單位，即69年訂貨與庫存總成本年訂貨與庫存總成本C(q)由年庫存成本與年訂貨成本組成，即

如圖3。其中

q*

為經(jīng)濟批量。

小結：

年庫存成本；年訂貨成本；年訂貨與庫存總成本。年訂貨與庫存總成本小結：70常量——只取固定值的量這門課程中討論的量在研究問題的過程中不是保持不變的．如圓的面積與半徑的關系：S=π考慮半徑r可以變化的過程．面積和半徑叫做變量．變量——可取不同值的量變域——變量的取值范圍函數(shù)我們考慮問題的過程中，不僅是一個變量，可能有幾個變量．比如兩個變量，要研究的是兩個變量之間有什么關系，什么性質．函數(shù)就是變量之間確定的對應關系．比如股市中的股指曲線，就是時間與股票指數(shù)之間的對應關系．又如銀行中的利率表存期六個月一年二年三年五年年利率(%)5.407.477.928.289.00常量——只取固定值的量函數(shù)我們考慮問題的過程中，不僅是71函數(shù)定義

設x,y是兩個變量，x的變域為D，如果存在一個對應規(guī)則f，使得對D內的每一個值x都有唯一的y值與x對應，則這個對應規(guī)則f稱為定義在集合D上的一個函數(shù)，并將由對應規(guī)則f所確定的x與y之間的對應關系，記為稱x為自變量，y為因變量或函數(shù)值，D為定義域．我們要研究的是如何發(fā)現(xiàn)和確定變量之間的對應關系．集合稱為函數(shù)的值域．函數(shù)定義稱x為自變量，y為因變量或函數(shù)值，D為定義域．我們要721.常數(shù)函數(shù)：y=c．這個函數(shù)在它的定義域中的取值始終是一個常數(shù)，它在直角坐標系中的圖形就是一條水平線．2.冪函數(shù)：y=xα，(α∈R)．以x為底，指數(shù)是一個常數(shù)．當α=1時就是y=x，它的圖形是過原點且平分一、三象限的直線；當α=2時就是y=x2，它的圖形是過原點且開口向上的拋物線；當α=3時就是y=x3，它的圖形是過原點的立方曲線．3.指數(shù)函數(shù)：y=ax，(a>0，a≠1)．底數(shù)是常數(shù)，指數(shù)是變量．例如y=ex，y=()x．所有指數(shù)函數(shù)的圖形都過(0,1)點，當a>1時，函數(shù)單調增加，當a<1基本初等函數(shù)時，函數(shù)單調減少．4.對數(shù)函數(shù)：y=logax，(a>0，a≠1)．以a為底的x的對數(shù)．例如y=lnx，y=log2x，y=．所有對數(shù)函數(shù)的圖形都過(1,0)點，當a>1時，函數(shù)單調增加；當a<1時，函數(shù)單調減少．5.三角函數(shù)：正弦函數(shù)：y=sinx．余弦函數(shù)：y=cosx．1.常數(shù)函數(shù)：y=c．這個函數(shù)在它的定義域中的取值始終73例1

設國際航空信件的郵資與重量的關系是求解：用3替代，由第一個關系式表示，得到同樣可以得到．用20替代，由第二個關系式表示，得到分段函數(shù)例1

設國際航空信件的郵資與重量的關系是求解：用3替代，由74經(jīng)濟分析中常見的三種函數(shù)：第一種叫做成本函數(shù)，第二種叫做收入函數(shù)，第三種叫做利潤函數(shù)．我們先介紹成本函數(shù)．

一種產(chǎn)品的成本可以分為兩部分：

固定成本,比如，生產(chǎn)過程中的設備投資，或使用的工具，不管生產(chǎn)產(chǎn)品與否，這些費用都是要有的，它是不隨產(chǎn)量而變化的，這種成本稱為固定成本．變動成本，比如每一件產(chǎn)品的原材料，這些費用依賴于產(chǎn)品的數(shù)量，這種成本稱為變動成本．總成本就是固定成本加上變動成本C=+經(jīng)濟函數(shù)成本應與產(chǎn)品的產(chǎn)量有關，這種函數(shù)表示為

C(q)=c0+C１(q)這就是成本函數(shù)．其中總成本C(q)是產(chǎn)量q的函數(shù)，c0與產(chǎn)量無關，變動成本C１(q)也是產(chǎn)量q的函數(shù)．我們引入平均成本的概念

總成本除以產(chǎn)量q，就是產(chǎn)量為q時的平均成本，用來表示．1、總成本函數(shù)經(jīng)濟分析中常見的三種函數(shù)：第一種叫做成本函數(shù)752、利潤函數(shù)對于運輸企業(yè)：利潤=運輸收入-總成本設運輸某商品q單位的價格為p，則收入函數(shù)為R(q)=pq我們將需求量q表示為p的函數(shù)，稱為需求函數(shù)設成本函數(shù)為C(q)，則利潤函數(shù)為：L(q)=R(q)-C(q)

設某物流公司運輸q件某商品的固定成本為1000元，單位變動成本為20元/件，該商品的需求函數(shù)為q=200-5p，求利潤函數(shù)。解：成本函數(shù)為：C(q)=1000+20q收入函數(shù)為：R(q)=pq=q(40-0.2q)則利潤函數(shù)為:L(q)=R(q)-C(q)=q(40-0.2q)-(1000+20q)

=2、利潤函數(shù)對于運輸企業(yè)：利潤=運輸收入-總成本76極限的概念

研究函數(shù)是利用極限的方法來進行；極限是一個變量在變化過程中的變化趨勢.

例1圓的周長的求法.早在公元263年，古代數(shù)學家劉徽用圓內接正四邊形、正五邊形、正八邊形、正十六邊形……等的邊長近似圓的周長，顯然隨著邊數(shù)的增加，正多邊形的邊長將無限趨近圓的周長.

例2討論當時，的變化趨勢.

導數(shù)

例3討論一個定長的棒，每天截去一半，隨著天數(shù)的增加，棒長的變化趨勢.

“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”——莊子?天下函數(shù)極限概念：（P151定義3.7）

或

記為：極限的概念時，的變化趨勢.導數(shù)

例3討論一個定長77導數(shù)概念三個引例

邊際成本問題

瞬時速率問題

曲線切線問題引例1：邊際成本問題—總產(chǎn)量

（當自變量產(chǎn)生改變量，相應的函數(shù)也產(chǎn)生改變量）

已知C—總成本，導數(shù)（成本平均變化率）（邊際成本）導數(shù)的定義：（P158定義3.10）導數(shù)概念—總產(chǎn)量

（當自變量產(chǎn)生改變量，相應的函78導數(shù)公式*導數(shù)公式*79導數(shù)的加法法則在點處可導，則在點處可導亦可

（為常數(shù)）設導，且導數(shù)的乘法法則導數(shù)的除法法則導數(shù)的加法法則在點處可導，則在點處可導亦可

（為常數(shù)）80邊際概念導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應用

1.邊際成本

在引進導數(shù)概念時，我們已經(jīng)接觸過邊際成本概念，譬如說在連續(xù)化生產(chǎn)的工廠中，可以知道總成本與總產(chǎn)量之間的函數(shù)關系，由此可以求出平均成本，即總成本除總產(chǎn)量就是平均成本．同時又引進了邊際成本的概念，就是總產(chǎn)量達到一定時刻，再增加生產(chǎn)一個單位產(chǎn)量時，單位成本增加量（成本函數(shù)的導數(shù)就是邊際成本）?！a(chǎn)量

——成本函數(shù)——平均成本函數(shù)——產(chǎn)量為時的邊際成本函數(shù)，用MC表示時，再生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品所增加的成本.經(jīng)濟意義：產(chǎn)量為邊際概念導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應用1.邊際成812、邊際收入q運輸量R(q)收入函數(shù)收入的平均變化率邊際收入（邊際收入是收入函數(shù)關于運輸量q的導數(shù)）。用MR表示3、邊際利潤q運輸量L(q)利潤函數(shù)邊際利潤，用ML表示因為利潤函數(shù)等于收入函數(shù)減去總成本函數(shù)，即L(q)=R(q)-C(q),兩邊求導得:ML(q)=MR(q)-MC(q)2、邊際收入q運輸量R(q)收入函數(shù)收入的平均變化率邊際收入82

單調性判別

什么叫函數(shù)的單調性？函數(shù)的單調性:一個函數(shù)在一個區(qū)間之間隨著自變量的增加，函數(shù)值也在增加，叫做單調增加的；如果隨著自變量的增加，函數(shù)值卻在減少，叫做單調減少的．從函數(shù)本身或圖形，都能判斷函數(shù)的單調性，但有時還需要用導數(shù)工具判別單調性．

先考察y=，它的圖形是拋物線線

在x>0處，函數(shù)單調上升；在x<0處，函數(shù)單調下降．

83

當在

x

>0這一邊的每一點處都有切線時，切線的特征是：切線與x

軸正向的夾角一定小于90°．

當在

x

<0這一邊的每一點處都有切線時，切線的特征是：切線與x

軸正向的夾角一定大于90°．

當在x>0這一邊的每一點處都有84定理

設函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在區(qū)間(a,b)內可導.

(1)如果x(a,b)時，

(x)>0，則f(x)在(a,b)上單調增加；

(2)如果x(a,b)時，(x)<0，則f(x)在(a,b)上單調減少．意義：利用導數(shù)的符號判別函數(shù)的單調性．說明：

閉區(qū)間(a,b)換成其它區(qū)間，如，(-,b)，(a,+使定理結論成立的區(qū)間，稱為y=f(x)的單調區(qū)間．)．定理

設函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在區(qū)85極值概念

3.2函數(shù)極值3.2.1函數(shù)極值及其求法首先要明確什么叫函數(shù)極值，先看定義：定義3.1

設函數(shù)f(x)在點x0的某鄰域內有定義．如果對該鄰域內的任意一點x(xx0)，恒有f(x)f(x0)，則稱f(x0)為函數(shù)的極大(小)值，稱x0為函數(shù)函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點．大家看下面這個圖形：的極大(小)值點．哪些點是極大值點呢？可以看到x1是極大值點，x4也是極大值點．端點b是不是極大值點呢？極大值點是指它的函數(shù)值要比周圍的值都大，而端點b的右邊是沒有函數(shù)值，所以它不是極大值點．極值點即導數(shù)等于零或導數(shù)不存在的點極值概念

x0)，恒有f(x)f(x0)，則稱f(x86極大值點：x1,x4；極小值點：x2,x5再找一找哪些是極小值點？x2是一個極小值點，x5也是一個極小值點．x3是極大值點還是極小值點呢？不是，它不是極值點，因為找不到一個小范圍，使它的函數(shù)值成為最大或最?。畼O大值點：x1,x4；極小值點：x2,x5再找一找哪些87最大值、最小值及其求法極值與最值的區(qū)別：

·

極值是在其左右小范圍內比較

·

最值是在指定的范圍內比較所以，說到最大（?。┲?，要使問題提得明確，就必須明確指定考慮的范圍．如果在指定的范圍內函數(shù)值達到最大，它就是最大值．這個函數(shù)在區(qū)間[a，f]內的極大值點是，b,d；極小值點是c,e．現(xiàn)在要問這個函數(shù)在閉區(qū)間[a，f]上最大值點是哪一個，那么應該是整個指定區(qū)間上曲線最高處的點就是最大值點．從圖中可以看出，端點f處的函數(shù)值最大，所以點f就是該函數(shù)在區(qū)間[a，f]上的最大值點．同樣，從圖中可以看出c是區(qū)間[a，f]上最小值點．yx0abcdef最大值、最小值及其求法這個函數(shù)在區(qū)間[a，f]內的極大值點88明確了最值點與極值點的區(qū)別后，最值點的求法也就較容易得到了．函數(shù)f(x)在[a，b]上的最值點一定在端點、駐點和不可導點中．

端點：a，b

駐點：使(x)=0的點,

不可導點：(x)不存在的點明確了最值點與極值點的區(qū)別后，最值點的求法也就較容易得到了．89求經(jīng)濟批量的實例例1設某公司平均每年需要某材料

80000件，該材料單價為

20

元/件，每件該材料每年的庫存費為材料單價的

20％。為減少庫存費，分期分批進貨，每次訂貨費為

400元，假定該材料的使用是均勻的，求該材料的經(jīng)濟批量。解設訂貨批量為

q

件，則平均庫存量為

q/2

件，該材料每件每年庫存費為

20×20％元，年庫存成本＝(q/2)×20×20％；年訂貨次數(shù)為

80000/q，每次訂貨費為

400

元，年訂貨成本＝(80000/q)×400。故年訂貨與庫存總成本函數(shù)為：對年庫存總成本函數(shù)求導得：得

q＞0

內的惟一駐點：q＝4000（件）即經(jīng)濟批量為

4000

件。

(80000/q)×400C(q)=(q/2)×20×20％+小結：列出庫存總成本函數(shù)；求導，求駐點，得到經(jīng)濟批量。令求經(jīng)濟批量的實例對年庫存總成本函數(shù)求導得：得q＞0內的惟90求最小平均成本的實例[例56]

設某公司運輸某物資q個單位時的總成本(單位：萬元)函數(shù)是：C

(q)＝q2/4＋6q＋100，問運輸量為多少時，平均成本最??？解平均成本函數(shù)為：求導數(shù)，得令

＝０得惟一駐點q＝20（運輸量不能為負值）故，當運輸量q＝20單位時平均成本最小。求最小平均成本的實例求導數(shù)，得令91求最大利潤的實例

[例57]

設物流市場的運價p（單位：百元/噸）與運輸量q（單位：噸）的關系是q＝50－5p，運輸總成本函數(shù)C

(q)＝2＋4q，求最大利潤時的運輸量及最大利潤。解由運輸需求函數(shù)

q＝50－5p

得價格

p＝-q/5＋10收入函數(shù)為：R

(q)＝pq＝(-q/5＋10)q＝-q2/5＋10q

利潤函數(shù)為：

L

(q)＝R

(q)－C

(q)＝-q2/5＋6q－2求導數(shù)，得

令所以，獲最大利潤時的運輸量是q＝15噸，最大利潤為：L

(15)＝-1/5×152＋6×15－2＝43(百元)＝0得惟一駐點q＝15（噸）求最大利潤的實例收入函數(shù)為：R(q)＝pq＝(-q92例3.1

已知某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的成本函數(shù)C(q)＝500＋2q

，其中q為該產(chǎn)品的產(chǎn)量，如果該產(chǎn)品的售價定為每件6元，試求：(1)生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定成本；(2)利潤函數(shù)；(3)當產(chǎn)量q為250件時的平均成本.

解：(1)固定成本就是當產(chǎn)量為零時的總成本，設為C0，有C0＝C(0)＝500(元)

(2)由題意知，收入函數(shù)R(q)＝6q，因此，利潤函數(shù)L(q)＝R(q)－C(q)＝6q－(500＋2q)＝4q－500

(3)平均成本函數(shù)當產(chǎn)量q＝250件時，平均成本（元/件）

例3.1

已知某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的成本函數(shù)C(q)＝500＋93例3.2

求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)設(2)設解：(1)(2)

例3.2

求下列函數(shù)的導數(shù)：(2)設解：(1)(2)

94例3.3

寫出用MATLAB軟件求函數(shù)的導數(shù)的命令語句.解：用MATLAB軟件求導數(shù)的命令語句為：>>clear;>>syms

x

y;>>y=log(x+sqrt(1+x^2));>>diff(y)例3.4

寫出用MATLAB軟件求函數(shù)的二階導數(shù)的命令語句.解：用MATLAB軟件求導數(shù)的命令語句為：>>clear;>>syms

x

y;>>y=exp(-3*x)/(x-3^x);>>diff(y,2)例3.3

寫出用MATLAB軟件求函數(shù)的導數(shù)的命令語句.例95例3.5

某企業(yè)運輸某物品q噸時的總成本（單位：元）為C(q)＝400＋0.05q2，求運輸100噸物品時的邊際成本.解：邊際成本函數(shù)為：MC(q)＝0.1q運輸100噸物品時的邊際成本為：MC(100)＝10（元/噸）

邊際成本函數(shù)就是成本函數(shù)的導數(shù)，確定運輸量時的邊際成本就是相應的導數(shù)值．例3.5

某企業(yè)運輸某物品q噸時的總成本（單位：元）為C(96例3.6

某工廠生產(chǎn)某種商品，年產(chǎn)量為q（單位：百臺），成本為C（單位：萬元），其中固定成本為2萬元，而每生產(chǎn)1百臺，成本增加1萬元．市場上每年可以銷售此種商品4百臺，其銷售收入R是q的函數(shù)R(q)＝4q－0.5q2

q[0，4]問年產(chǎn)量為多少時，其利潤最大？

解：因為固定成本為2萬元，生產(chǎn)q單位商品的變動成本為1×q萬元．所以成本函數(shù)C(q)＝q+2由此可得利潤函數(shù)L(q)＝R(q)－C(q)＝3q－0.5q2－2又因為＝3－q令＝0，得駐點q＝3.這里，q＝3是利潤函數(shù)L(q)

在定義域內的唯一駐點．所以，q＝3是利潤函數(shù)L(q)

的極大值點，而且也是L(q)

的最大值點．即當年產(chǎn)量為3百臺時，其利潤最大．例3.6

某工廠生產(chǎn)某種商品，年產(chǎn)量為q（單位：百臺），成97例3.7

設某企業(yè)平均每年需要某材料20000件，該材料單價為20元/件，每件該材料每年的庫存費為材料單價的20％.為減少庫存費，分期分批進貨，每次訂貨費為400元，假定該材料的使用是均勻的，求該材料的經(jīng)濟批量.解：設訂貨批量為q，則庫存總成本為令得q＞0內的唯一駐點q＝2000（件）.故，經(jīng)濟批量為2000件例3.7

設某企業(yè)平均每年需要某材料20000件，該材料單984.1由邊際成本確定成本的微元變化-微分

引例：成本函數(shù)的導數(shù)又稱為邊際成本，記為

MC(Q)，表示成本函數(shù)在Q處的變化率。當很小時，成本函

數(shù)在的微小變化可表示為。當

時，記為表示成本函數(shù)在Q處的微元變

化，稱為成本函數(shù)在Q處的微分。對于一般函數(shù)y＝f(x)，引進微分概念如下：定義4.1

設函數(shù)y＝f

(x)

在點x0處可導，Dx為x的改變量，則稱為函數(shù)y＝f

(x)

在點x0處的微分，記作

并稱函數(shù)y＝f(x)在點x0處是可微的。4.1由邊際成本確定成本的微元變化-微分引例：成本函數(shù)的99如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內的每一點都可微，則稱函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內可微，記作dy或df(x)，即即

當y＝f

(x)＝x時，有，即自變量x的微分dx即為自變量增量?x，于是函數(shù)的微分可寫成

由微分式，

可得

可得，

,故導數(shù)又稱為微商。

計算函數(shù)y＝f(x)的微分，實際上可歸結為計算導數(shù)。y0xx0X0+?xABC?Xdy?y如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)100

[例1]

設運輸某物品q個單位時的邊際成本為，求運輸量從a單位增加到b單位時成本的增量。

解運輸量從a單位增加到b單位時成本的增量為

由于運輸量從a單位增加到b單位過程中成本的增量是成本函數(shù)C(q)在[a,b]的每一點處微元變化的累積，即此和式對[a,b]的每一點q求連續(xù)和，此和式有意義時，稱為在[a,b]上的定積分。

記為定積分的定義和性質[例1]設運輸某物品q個單位時的邊際成本為，求運輸量從101定義4.2設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上有定義，且和式故運輸量從a單位增加到b單位時成本的增量即

=

一般地，

有意義，稱之為函數(shù)在[a,b]上的定積分，記為，即

定義4.2設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上有定102且若有，則有

稱為積分號，x稱為積分變量，稱為被積函數(shù)，

稱為被積表達式，a和b分別稱為積分的下限和上限，[a，b]

稱為積分區(qū)間。

[例5]

由曲線y＝f

(x)（

f

(x)≥0），直線x＝a，x＝b和x軸所圍成的圖形稱為曲邊梯形，如圖4-2所示。求曲邊梯形的面積。

其中，且若有，則有稱為積分號，x稱為積分變量，稱為被積函數(shù)，103成本增量可記為