下數(shù)學《平行四邊形》競賽試卷

××學校八年級數(shù)學《平行四邊形》競賽試題總分120分，時間120分鐘一、填空題（共9小題，每小題4分，滿分36分）1．在矩形ABCD中，已知兩鄰邊AD=12，AB=5，P是AD邊上異于A和D的任意一點，且PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分別是垂足，那么PE+PF= ．2（2003寧波）BD是平行四邊形ABCD的對角線，點、F在BD上，要使四邊形AECF是平行四邊形，還需要增加的一個條件是

（填一個即可）如圖，已知矩形ABCD，對角線AC、BD相交于O，AE⊥BD于E，若AB=6，AD=8，則AE= ．如圖，以△ABCBC△ABD、△BCE、△ACF．（1）四邊形ADEF是

（2）當△ABC滿足條件

時，四邊形ADEF為菱形；（3）當△ABC滿足條件

時，四邊形ADEF不存在．1題 2題 3題 4題已知一個三角形的一邊長為2，這邊上的中線為1，另兩邊之和為1+，則這兩邊之積．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交點P在BD上，圖中有

對四邊形面積相等；它們是 ．如圖菱形ABCD的對角線ACBD相交于的周長為則菱形ABCD的面積為 ．如圖，矩形ABCD中BD相交于點平分交BC于若則∠BOE的度數(shù)為 度．如圖矩形ABCD中將矩形沿AC折疊點D落在點D′處則重疊部分△AFC的面積為 ．6題 7題 8題 9題二、選擇題（共9小題，每小題5分，滿分45分）如圖，ABCD中，∠ABC=75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE=2AB，則∠AED的大小是（ A．60° B．65° C．70° D．75°10題 11題 12題 13題如圖，正△AEF的邊長與菱形ABCD的邊長相等，點、F分別在BC、CD上，則∠B的度數(shù)是（ A．70° B．75° C．80° D．95°如圖，正方形ABCD外有一點P，P在BC外側(cè)，并在平行線AB與CD之間，若PA=，PB=，PC=，則PD=（ ）A．2 B． C．3 D．13．如圖，平行四邊形ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB于E，F(xiàn)為AD的中點，若∠AEF=54°，則∠B=（A．54° B．60° C．66° D．72°四邊形ABCD的四邊分別為bd其中ac為對邊且滿足a2+2+2+=2ac+2b則這個四邊形一定（ A．兩組角分別相等的四邊形 B．平行四邊形C．對角線互相垂直的四邊形 D．對角線相等的四邊形周長為68的長方形ABCD被分成7個全等的長方形，如圖所示，則長方形ABCD的面積為（ A．98 B．196 C．280 D．28415題 16題16（2003吉林）如圖，菱形花壇ABCD的邊長為6，∠A=120°，其中由兩個正六邊形組成的圖形部分種花，則種部分圖形的周長為（ ）A．12m B．20m C．22m 17．在凸四邊形ABCD中，AB∥CD，且AB+BC=CD+DA，則（ ）A．AD＞BC B．AD＜BCC．AD=BC D．ADBC已知四邊形ABC從下列條件中1AB∥CD（BC∥AD（AB=C4BC=A（∠A=∠C6∠B=∠D任取其中兩個，可以得出“四邊形ABCD是平行四邊形”這一結(jié)論的情況有（ ）A．4種 B．9種 C．13種 D．15三、解答題（共11小題，滿分0分）如圖，在△ADC中AF∠ABC、∠DACADG，求證：GF∥AC．設P為等腰直角三角形ACB斜邊ABAC于點E，PFBC于點F，PG垂直EF于點G，延長GPD，使得PD=PC，試證：BC⊥BD，且BC=BD．如圖，在等腰三角形ABC中，延長AB到點D，延長CA到點EAE=BD，連接DE．如果AD=BC=CE=DE，求的度數(shù)．如圖，△ABC、F分別為BCABCD=BF，以AD△ADE．求證：△ACD△CBF；點DBCCDEF∠DEF=30°．23（200?河南）如圖所示，在Rt△ABCAB=A，∠A=90°，點D為BC上任一點，DF⊥AB于，DE⊥AC于BC△MEF24（200?咸寧）如圖，在△ABC中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，設MN交∠BCAE，交∠BCAF．求證：EO=FO；當點OAECF25．如圖，在Rt△ABC，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2，DAC的中點，以DDE⊥ACCB的延長線交于EAB、BEABEF，連接DF，求DF26（200?陜西）閱讀下面短文：如圖①，△ABC是直角三角形，∠C=90°，現(xiàn)將△ABC補成矩形，使△ABC的兩個頂點為矩形一邊的兩個端點，第三個頂點落在矩形這一邊的對邊上，那么符合要求的矩形可以畫出兩個矩形ACBD和矩形AEFB（如圖②）解答問題：設圖②中矩形ACBD和矩形AEFB的面積分別為SS，則S1 2 1

S（填“＞”“=”或“＜”．2如圖③，△ABC是鈍角三角形，按短文中的要求把它補成矩形，那么符合要求的矩形可以畫 用圖③把它畫出來．

個，利如圖④，△ABC是銳角三角形且三邊滿足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它補成矩形，那么符合要求的矩形可以畫出

個，利用圖④把它畫出來．在中所畫出的矩形中，哪一個的周長最?。繛槭裁?？△ABCMBCAC與BN相交于如圖，在銳角△ABCCE分別是BCABCE相交于F，BF的中點為的中點為Q，連接PQ、DE．求證：直線PQDE如果△ABC是鈍角三角形，∠BAC＞90°，并給予必要的說明．新課標八年級數(shù)學競賽培訓第15講：平行四邊形參考答案與試題解析一、填空題（共9小題，每小題4分，滿分36分）1．在矩形ABCD中，已知兩鄰邊是AD邊上異于A和D的任意一點，且F分別垂足，那么PE+PF= ．考點：矩形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)。專題：幾何圖形問題。分析：首先過A作AG⊥BD于G．根據(jù)等腰三角形底邊上的任意一點到兩腰距離的和等于腰上的高，則PE+PF=AG．利用勾股定理求得BD的長，再根據(jù)三角形的面積計算公式求得AG的長，即為PE+PF的長．解答：解：如圖，過AAG⊥BDG，則S =×OD×AGS +S =×AO×PF+×DO×PE=×DO×PE+P，△AOD △AOP △POD∵S =S +S ，△AOD △AOP △POD∴PE+PF=AG，∴等腰三角形底邊上的任意一點到兩腰距離的和等于腰上的高，∴PE+PF=AG．∵AD=12，AB=5，∴BD==13，∴，∴．點評：本題考查矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的面積計算．解決本題的關(guān)鍵是明白等腰三角形底邊上的任意一點到兩腰距離的和等于腰上的高．2（2003寧波）BD是平行四邊形ABCD的對角線，點、F在BD上，要使四邊形AECF增加的一個條件是BE=DF（填一個即可）考點：平行四邊形的判定。專題：開放型。分析：要使四邊形AECF也是平行四邊形，可增加一個條件：BE=DF．解答：解：使四邊形AECF也是平行四邊形，則要證四邊形的兩組對邊相等，或兩組對邊分別平行，如果BE=DF，則有：∵AD∥BC，∴∠ADF=∠CBE，∵AD=BC，BE=DF，∴△ADF≌△BCE，∴CE=AF，同理，△ABE≌△CFD，∴CF=AE，∴四邊形AECF是平行四邊形．故答案為：BE=DF．點評：本題考查了平行四邊形的判定，是開放題，答案不唯一，本題利用了平行四邊形和性質(zhì)，通過證△ADF≌△BCE，△ABE≌△CFD，得到CE=AF，CF=AE利用兩組對邊分別相等來判定平行四邊形．如圖，已知矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于O，AE⊥BD于E，若AB=6，AD=8，則AE= 考點：矩形的性質(zhì)。專題：計算題。分析：矩形各內(nèi)角為直角，在直角△ABD中，已知AB、AD，根據(jù)勾股定理即可求BD的值，根據(jù)面積法即可計算AE的長．解答：解：矩形各內(nèi)角為直角，∴△ABD為直角三角形在直角△ABD中，AB=6，AD=8則BD==10，∵△ABD的面積S=AB?AD=BD?AE，∴AE==．故答案為．點評：本題考查了勾股定理在直角三角形中的運用，考查了三角形面積的計算，本題中根據(jù)勾股定理求BD題的關(guān)鍵．如圖，以△ABCBC△ABD、△BCE、△ACF．四邊形ADEF是平行四邊形；當△ABC滿足條件AB=AC時，四邊形ADEF當△ABCAB=AC=BC時，四邊形ADEF考點：等邊三角形的性質(zhì)；平行四邊形的判定；菱形的判定。專題：證明題。分析：（1）先證明△ABC≌△DBE，△ABC≌△FEC，則DE=AC=AF，F(xiàn)E=AB=AD，則四邊形ADEF是個平行四邊形；當AB=ACADEF當AB=AC=BC時，四邊形ADEF解答：（）四邊形ADEF是個平行四邊形在△ABC和△DBE中，∵BC=BEBA=B，∠DBE=∠ABC（與∠ABE之和都等于60°，∴△ABC≌△DBE，∴DE=AC，在△ABC和△FEC中，∵BC=ECCA=C，∠ACB=∠FCE（都為60°角與=∠ACE之和，∴△ABC≌△FEC，∴FE=AB，∴DE=AC=AF，F(xiàn)E=AB=AD，∴四邊形ADEF是個平行四邊形；當△ABCAB=AC由第（1）題中可知四邊形ADEF的四邊都相等，此時四邊形ADEF是菱形；當△ABC為等邊三角形時，即AB=AC=BC時，四邊形ADEF中的A點與E此時以AD、、F點評：本題考查了平行四邊形、菱形的判定以及等邊三角形的性質(zhì)．5．已知一個三角形的一邊長為2，這邊上的中線為1，另兩邊之和為1+，則這兩邊之積為 考點：勾股定理的逆定理；勾股定理。專題：探究型。分析：2，1xy完全平方公式可用x2+y2表示出xyx2+y2，進而可求出xy解答：解：∵三角形的一邊長為2，這邊上的中線為1，可知這邊上的中線等于這條邊的一半，∴此三角形是個直角三角形，斜邊為2，設另兩邊分別為xy，兩邊之和∴（x+y）2=（1+）2=4+2，∴xy=2+﹣，又∵直角三角形兩直角邊的平方等于斜邊的平方，∴x2+y2=4，∴xy=2+﹣2=．故答案為：．點評：1+1，另一邊為．如圖所示，在平行四邊形ABCD，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交點PBD上，圖中有5對四邊形面積相等；它們是?AEPG?PHCF?EFCB?ABHG?GHCD?EFDAABPG與梯形BCFPPHCDAEPD．考點：平行四邊形的性質(zhì)。分析：由題意可證四邊形EPHB為平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的對角線將平行四邊形的面積平分，從而求解．解答：解：∵EF∥BC，GH∥AB，∴四邊形EPBH為平行四邊形，∵BP為平行四邊形EPBH的對角線，∴△EBP與△BHP的面積相等，∵BD為平行四邊形ABCD的對角線，∴△ABD與△BCD面積相等，∵PD為平行四邊形PFDG的對角線，∴△GPD與△PFD面積相等，∴?AEPG?PHCFEFCB?ABHGGHCD?EFDAABPG與梯形BCFP、PHCDAEPD5?AEPG?PHCF、?EFCB?ABHG、?GHCD?EFDA、梯形ABPG與梯形BCFP、梯形PHCDAEPD．點評：此題主要考查平行四邊形的性質(zhì)及其面積公式，比較簡單．如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于O，△AOB的周長為3+，∠ABC=60°，則菱形ABCD的面積為 ．考點：菱形的性質(zhì)；勾股定理。專題：計算題。分析：根據(jù)∠ABC=60°可以求得∠ABO=30°，即AB=2AO，設AO=x，則AB=2x，根據(jù)勾股定理即可求得OB=x，求得的值即可求得AC，BDABCD解答：解：菱形對角線即角平分線∠ABC=60°可以求得∠ABO=30°，即AB=2AO，設AO=x，則AB=2x，則OB==x，即（3+）x=3+即x=1，∴菱形的對角線長為2、2，故菱形ABCD的面積為S=×2×2=2．故答案為2．點評：勾股定理求x如圖，矩形ABCD、BD相交于點O，AE∠BAD，交BCE，若∠EAO=15°，則∠BOE75度．考點：矩形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)。專題：計算題。分析：根據(jù)矩形的性質(zhì)可得△BOA為等邊三角形，得出BA=BO，又因為△BAE為等腰直角三角形，BA=BE，由此關(guān)系可求出∠BOE的度數(shù)．解答：解：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=45°，又知∠EAO=15°，∴∠OAB=60°，∵OA=OB，∴△BOA為等邊三角形，∴BA=BO，∵∠BAE=45°，∠ABC=90°，∴△BAE為等腰直角三角形，∴BA=BE．∴BE=BO，∠EBO=30°，∠BOE=∠BEO，此時∠BOE=75°．故答案為75°．點評：此題綜合考查了等邊三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識點．如圖，矩形ABCDAB=8，BC=4，將矩形沿AC折疊，點D落在點D′處，則重疊部分△AFC10．考點：勾股定理；全等三角形的判定與性質(zhì)。專題：計算題。分析：BC為AF△AFC的面積，求得AF△AFD′≌△CFB，得BF=D′F，設D′F=x，Rt△AFD′中，根據(jù)勾股定理求x，∴AF=AB﹣BF．解答：解：易證△AFD′≌△CFB，∴D′′F=BF，D′F=x，則AF=8﹣x，在Rt△AFD′解之得：x=3，∴AF=AB﹣FB=8﹣3=5，∴S△AFC=?AF?BC=10．故答案為10．點評：D′F=xAFD′中運用勾股定理求x是解題的關(guān)鍵．二、選擇題（共9小題，每小題5分，滿分45分）如圖，ABCD中，∠ABC=75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE=2AB，則∠AED的大小是（ A．60° B．65° C．70° D．75°考點：平行四邊形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線。專題：計算題。分析：由DE=2AB，可作輔助線：取DE中點O，連接AO，根據(jù)平行四邊形的對邊平行，易得△ADE是直角三角形，由直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半，即可得△ADO，△AOE，△AOB是等腰三角形，借助于方程求解即可．解答：解：取DE中點O，連接AO，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAB=180°﹣∠ABC=105°，∵AF⊥BC，∴AF⊥AD，∴∠DAE=90°，∴OA=DE=OD=OE，∵DE=2AB，∴OA=AB，∴∠AOB=∠ABO，∠ADO=∠DAO，∠AED=∠EAO，∵∠AOB=∠ADO+∠DAO=2∠ADO，∴∠ABD=∠AOB=2∠ADO，∴∠ABD+∠ADO+∠DAB=180°，∴∠ADO=25°，∠AOB=50°，∵∠AED+∠EAO+∠AOB=180°，∴∠AED=65°．故選B．點評：此題考查了直角三角形的性質(zhì)（直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半、平行四邊形的性質(zhì)（對邊平行）以及等腰三角形的性質(zhì)（等邊對等角，解題的關(guān)鍵是注意方程思想的應用．如圖，正△AEF的邊長與菱形ABCD的邊長相等，點、F分別在BC、CD上，則∠B的度數(shù)是（ A．70° B．75° C．80° D．95°考點：菱形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)。專題：計算題。分析：正△AEF的邊長與菱形ABCD的邊長相等，所以AB=AE，AF=AD，根據(jù)鄰角之和為180°即可求得∠B的度數(shù)．解答：解：正△AEF的邊長與菱形ABCD的邊長相等，所以AB=AE，AF=AD，設∠B=x，則∠BAD=180°﹣x，∠BAE=∠DAF=180°﹣2x，即180°﹣2x+180°﹣2x+60°=180°﹣x解得x=80°，故選C．點評：本題考查了正三角形各內(nèi)角為60°、各邊長相等的性質(zhì)，考查了菱形鄰角之和為180°的性質(zhì)，本題中根據(jù)關(guān)于x的等量關(guān)系式求x的值是解題的關(guān)鍵．如圖，正方形ABCD外有一點P，P在BC外側(cè)，并在平行線AB與CD之間，若PA=，PB=，PC=，則PD=（ ）A．2 B． C．3 D．考點：正方形的性質(zhì)；勾股定理。專題：計算題。分析：用EF，BE，AB分別表示AP，BP，用CF，PF，DC分別表示DP，CP，得AP2+CP2=DP2+BP2，已知AP，BP，CP代入上式即可求DP．解答：解：延長AB，DC，過P分作PE⊥AE，PF⊥DF，則AP2=AE2+EP2，BP2=BE2+PE2，DP2=DF2+PF2，CP2=CF2+FP2，DP2+BP2=DF2+PF2+BE2+PE2，AP2+CP2=DP2+BP2，代入AP，BP，CP得DP==2，故選A．點評：AP2+CP2=DP2+BP2題的關(guān)鍵．如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB于E，F(xiàn)為AD的中點，若∠AEF=54°，則∠B=（ A．54° B．60° C．66° D．72°考點：菱形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)。專題：計算題。分析：FABCD的平行線FG，由于FAD的中點，那么GBC的中點，即Rt△BCE都是等腰三角形，因此求∠B∠BEGABGF∠EFG=∠AEF，由此可求得∠FEG∠AEG解答：解：過FFG∥AB∥CD，交BCG；則四邊形ABGF是平行四邊形，所以GBC連接EG，在Rt△BEC中，EG是斜邊上的中線，則BG=GE=FG=BC；∵AE∥FG，∴∠EFG=∠AEF=∠FEG=54°，∴∠AEG=∠AEF+∠FEG=108°，∴∠B=∠BEG=180°﹣108°=72°．故選D．點評：關(guān)的等腰三角形是解決問題的關(guān)鍵．四邊形ABCD的四邊分別為bd其中ac為對邊且滿足a2+2+2+=2ac+2b則這個四邊形一定（ A．兩組角分別相等的四邊形 B．平行四邊形C．對角線互相垂直的四邊形 D．對角線相等的四邊形考點：平行四邊形的判定；非負數(shù)的性質(zhì)：偶次方；完全平方公式。專題：規(guī)律型。分析：對于所給等式a+b2+c+d2=2ac+2b，先移項，故可配成兩個完全式，即﹣2（b﹣d=0，進而可得a=，b=d，四邊形中兩組對邊相等，故可判定是平行四邊形．解答：解：a2+b2+c2+d2=2ac+2bd可化簡為（a﹣c）2+（b﹣d）2=0∴a=c，b=d∵a，b，c，d分別為四邊形ABCD的四邊∴a=c，b=d即兩組對邊分別相等，則可確定其為平行四邊形．故選B．點評：此題主要考查平行四邊形的判定問題，正確的對式子進行變形，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．周長為68的長方形ABCD被分成7個全等的長方形，如圖所示，則長方形ABCD的面積為（ A．98 B．196 C．280 D．284考點：一元一次方程的應用。專題：幾何圖形問題。分析：此題要理解長方形ABCD7積和與大長方形的面積相等．還要注意設小長方形的寬為x，則其長為34﹣6x34﹣5x，長5x，根據(jù)等量關(guān)系列方程即可．解答：解：設小長方形的寬為x．根據(jù)題意得：7x（34﹣6x）=5x（34﹣5x）化簡得：7（34﹣6x）=5（34﹣5x）解得：x=4則大長方形的面積為5x（34﹣5x）=280故選C．點評：此題鍛煉了學生的識圖能力，關(guān)鍵是分清7個小長方形是如何組合成大長方形的，還要注意設小的比較簡單．16（2003吉林）如圖，菱形花壇ABCD的邊長為6，∠A=120°，其中由兩個正六邊形組成的圖形部分種花，則種部分圖形的周長為（ ）A．12m B．20m C．22m 考點：菱形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)。專題：應用題。分析：AC，根據(jù)已知可得到△ABC△ABC10解答：解：連接AC，已知∠A=120°，ABCD為菱形，則∠B=60°，從而得出△ABC△ABC的頂點所在的小三角形也是△ABC10×6×10=20m，B．點評：此題主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)的運用．在凸四邊形ABCD中，AB∥CD，且AB+BC=CD+DA，則（ ）A．AD＞BC C．AD=BC D．ADBC考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)。分析：根據(jù)條件AB+BC=CD+DA，可以延長AB至E使BE=BC，延長CD至F使DF=DA，連接CE，AF，這樣的輔助線，然后根據(jù)平行四邊形的判定定理得出四邊形AECF為平行四邊形，再利用三角形全等可以得出AD與BC的大小關(guān)系．解答：解：延長ABE使BE=BC，延長CDFDF=DA，連接CE，AF，∵AB+BC=CD+DA，∴AE=CF，又∵AE∥CF，∴四邊形AECF為平行四邊形，∴∠E=∠F，CE=AF，又∵BE=BC，DF=AD，∴∠E=∠BCE=∠F=∠DAF，∵CE=AF，∴△AFD≌△BEC，∴AD=BC，故選C．點評：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，延長ABEBE=BC，延長CD至FDF=DA是由條件AB+BC=CD+DA已知四邊形ABC從下列條件中1AB∥CD（BC∥AD（AB=C4BC=A（∠A=∠C6∠B=∠D任取其中兩個，可以得出“四邊形ABCD是平行四邊形”這一結(jié)論的情況有（ ）A．4種 B．9種 C．13種 D．15種考點：平行四邊形的判定。分析：平行四邊形的五種判定方法分別是（）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形（）四邊形是平行四邊形）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形（）5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．根據(jù)平行四邊形的判定，任取兩個進行推理．解答：ABCD是平行四邊形條件的有九種（2（34（（6（1）（32（41（5（162（2（6）共九種．B．點評：平行四邊形的判定方法共有五種，應用時要認真領(lǐng)會它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法．三、解答題（共11小題，滿分0分）如圖，在△ADC中AF∠ABC、∠DACADG，求證：GF∥AC．考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：從角的角度證明困難，連接EF，在四邊形AGFE的背景下思考問題，證明四邊形AGFE為特殊平行四邊形，證題的關(guān)鍵是能分解出直角三角形中的基本圖形．解答：證明：連接EF．∵∠BAC=90°，AD⊥BC．∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°．∴∠ABC=∠DAC，∠BAD=∠C．∵BE、AF分別是∠ABC、∠DAC的平分線．∴∠ABG=∠EBD．∵∠AGE=∠GAB+∠GBA，∠AEG=∠C+∠EBD，∴∠AGE=∠AEG，∴AG=AE，∵AF是∠DAC的平分線，∴AO⊥BE，GO=EO，∵∴△ABO≌△FBO，∴AO=FO，∴四邊形AGFE是平行四邊形，∴GF∥AE，即GF∥AC．點評：此題主要考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合運用．設P為等腰直角三角形ACB斜邊ABAC于點E，PFBC于點F，PG垂直EF于點G，延長GPD，使得PD=PC，試證：BC⊥BD，且BC=BD．考點：等腰直角三角形；全等三角形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：此題關(guān)鍵是證△PBC≌△PDB，已有PC=PD，PB是公共邊，只需再證明∠BPD=∠CPB，而∠BPD=∠APG，則證明∠APG=∠CPB，進而需要證明∠1=∠2，解答：解：∵PE⊥ACE，PF⊥BCF，∠ACB=90°，∴CEPF是矩形（三角都是直角的四邊形是矩形，∴OP=OF，∠PEF+∠3=90°，∴∠1=∠3，∵PG⊥EF，∴∠PEF+∠2=90°，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠A=∠ABC=45°，∴∠APE=∠BPF=45°，∴∠APE+∠2=∠BPF+∠1，即∠APG=∠CPB，∵∠BPD=∠APG，∴∠BPD=∠CPB，又∵PC=PD，PB是公共邊，∴△PBC≌△PBDSA，∴BC=BD，∠PBC=∠PBD=45°，∴∠PBC+∠PBD=90°，即BC⊥BD．故證得：BC⊥BD，且BC=BD．點評：難度較大．如圖，在等腰三角形ABC中，延長AB到點D，延長CA到點EAE=BD，連接DE．如果AD=BC=CE=DE，求的度數(shù)．考點：等腰三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)。專題：綜合題。分析：DDF∥BC，且使DF=BC，連CFEF，則四邊形BDFCBD=CF，SAS判定△DEF∠BAC=x°，則∠ADF=∠ABC=，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可分別表示出∠ADE，∠ADF，難求得∠BAC解答：解：過D作DF∥BC，且使DF=BC，連CF、EF，則四邊形BDFC是平行四邊形，∴BD=CF，DA∥FC，∴∠EAD=∠ECF，∵AD=CE，AE=BD=CF，∴△ADE≌△CEF（SAS）∴ED=EF，∵ED=BC，BC=DF，∴ED=EF=DF∴△DEF為等邊三角形設∠BAC=x°，則∠ADF=∠ABC=，∴∠DAE=180°﹣x°，∴∠ADE=180°﹣2∠DAE=180°﹣2（180°﹣x°）=2x°﹣180°，∵∠ADF+∠ADE=∠EDF=60°∴+（2x°﹣180°）=60°∴x=100．∴∠BAC=100°．點評：綜合運用．如圖，△ABC、F分別為BCABCD=BF，以AD△ADE．求證：△ACD≌△CBF；點DBCCDEF∠DEF=30°．考點：平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)。專題：證明題。分析：（1）在△ACD和△CBF中，根據(jù)已知條件有兩邊和一夾角對應相等，可根據(jù)邊角邊來證明全等．（2）當∠DEF=30°，即為∠DCF=30°，在△BCF，∠CFB=90°，即F為AB△ACD≌△CBF，所以點DBC解答：1）由△ABC所以△ACD≌△CBF．（2）當D在線段BC上的中點時，四邊形CDEF為平行四邊形，且角DEF=30按上述條件作圖，連接BE，在△AEB和△ADC中，AB=AC，∠EAB+∠BAD=∠DAC+∠BAD=60°，即∴△AEB≌△ADCSA，又∵△ACD≌△CBF，∴△AEB≌△ADC≌△CFB，∴EB=FB，∠EBA=∠ABC=60°，∴△EFB為正三角形，∴EF=FB=CD，∠EFB=60°，又∵∠ABC=60°，∴∠EFB=∠ABC=60°，∴EF∥BC，CDBC，∴EFCD，∴四邊形CDEF為平行四邊形，∵D在線段BC∴F在線段AB∴∠FCD=×60°=30°則∠DEF=∠FCD=30°．點評：23（2002河南）如圖所示，在Rt△ABCAB=A，∠A=90°，點D為BC上任一點，DF⊥AB于，DE⊥AC于BC△MEF考點：等腰三角形的判定。專題：證明題。分析：根據(jù)已知，利用SAS判定△AEM≌△BFM，從而得到EM=FM；根據(jù)角之間的關(guān)系可求得∠EMF=90°，即△MEF是等腰直角三角形．解答：解：△MEF是等腰直角三角形．證明如下：連接AM，∵M是BC的中點，∠BAC=90°，AB=AC，∴AM=BC=BM，AM平分∠BAC．∵∠MAC=∠MAB=∠BAC=45°．∵AB⊥AC，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DE∥AB，DF∥AC．∵∠BAC=90°，∴四邊形DFAE為矩形．∴DF=AE．∵DF⊥BF，∠B=45°．∴∠BDF=∠B=45°．∴BF=FD，∠B=∠MAE=45°，∴AE=BF．∵AM=BM∴△AEM≌△BFMSA．∴EM=FM，∠AME=∠BMF．∵∠AMF+∠BMF=90°，∴∠AME+∠AMF=∠EMF=90°，∴△MEF是等腰直角三角形．點評：此題主要考查學生對等腰三角形的判定的理解及運用；得到AE=BF是正確解答本題的關(guān)鍵．24（2008咸寧）如圖，在△ABC中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，設MNBCAE，交∠BCAF．求證：EO=FO；當點OAECF考點：矩形的判定。專題：幾何綜合題。分析：（1）根據(jù)平行線性質(zhì)和角平分線性質(zhì)及，由平行線所夾的內(nèi)錯角相等易證．（2）根據(jù)矩形的判定方法，即一個角是直角的平行四邊形是矩形可證解答：（1）證明：∵CE平分∠ACB，∴∠1=∠2，又∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO2分）FO=C3分）∴EO=FO．（2）解：當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形．∵EO=FO，點OAC∴四邊形AECF6分）∵CF平分∠BCA的外角，∴∠4=∠5，又∴∠2+∠4=×180°=90°．即∠ECF=90（7分）∴四邊形AECF8分）點評：結(jié)論．如圖，在Rt△ABC，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2，DAC的中點，以DDE⊥ACCB的延長線交于EAB、BEABEF，連接DF，求DF考點：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)。專題：計算題。分析：求證△DEC≌△BAC，得DE=AB，再求證DF=DE解答：解：∵△ABC，∠C=60°，∴∠BAC=30°，∴BC=AC，∵D為AC的中點，∴BC=DC，∴在△DEC≌△BAC中，，∴△DEC≌△BAC，即AB=DE，∠DEB=30°，∴∠FED=60°，∵EF=AB，∴EF=DE，∴△DEF為等邊三角形，即DF=AB，在直角三角形ABC中，BC=2，則AC=4AB==．答：DF的長為．點評：本題考查了等腰三角形各邊均相等，考查了矩形內(nèi)角均為直角的性質(zhì)，本題中求證△DEF是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．菱形的對角線ACBDO，若菱形ABCD24，AC=6，則菱形的邊長為5．分析：根據(jù)菱形ABCD的面積和AC可以計算BD的長，在Rt△ABO中，已知AO、BO根據(jù)勾股定理即可求得AB的值，即可解題．解答：解：菱形ABCD的面積S=AC?BDS=24，AC=6，則BD=8，∴AO=CO=3，BO=DO=4Rt△ABOAB==55．點評：本題考查了菱形面積的計算公式，考查了勾股定理在直角三角形中的運用，本題中根據(jù)AO、BO的值求AB的值是解題的關(guān)鍵．27（200?陜西）閱讀下面短文：如圖①，△ABC是直角三角形，∠C=90°，現(xiàn)將△ABC補成矩形，使△ABC的兩個頂點為矩形一邊的兩個端點，第三個頂點落在矩形這一邊的對邊上，那么符合要求的矩形可以畫出兩個矩形ACBD和矩形AEFB（如圖②）解答問題：設圖