動量動量定理動量守恒定律

關于動量動量定理動量守恒定律第一頁，共三十九頁，2022年，8月28日對于N個質點組成的質點系：直角坐標系中的分量式：質心的位矢：第二頁，共三十九頁，2022年，8月28日對于質量連續(xù)分布的物體分量式：面分布體分布線分布質心的位矢：質心與重心（centerofgravity）是兩個不同的概念，重心是地球對物體各部分引力的合力(即重力)的作用點，質心與重心的位置不一定重合。第三頁，共三十九頁，2022年，8月28日例3-8求腰長為a的等腰直角三角形均勻薄板的質心位置。取寬度為dx的面積元，設薄板每單位面積的質量為，則此面積元的質量為解：取坐標軸如圖，根據對稱性分析可知第四頁，共三十九頁，2022年，8月28日二、質心運動定理由質心位矢公式：質心的速度為質心的加速度為第五頁，共三十九頁，2022年，8月28日由牛頓第二定律得對于系統內成對的內力第六頁，共三十九頁，2022年，8月28日質心的運動等同于一個質點的運動，這個質點具有質點系的總質量，它受到的外力為質點系所受的所有外力的矢量和。質心運動定理：第七頁，共三十九頁，2022年，8月28日一、動量定理由牛頓運動定律：表示力對時間的累積量，叫做沖量（impulseofforce)。其中，§3-3動量定理動量守恒定律第八頁，共三十九頁，2022年，8月28日(1)沖量的方向是所有元沖量的合矢量的方向。動量定理反映了力在時間上的累積作用對質點產生的效果。質點在運動過程中，所受合外力的沖量等于質點動量的增量。說明逆風行舟的分析：動量定理（theoremofmomentum）：第九頁，共三十九頁，2022年，8月28日(2)

動量定理中的動量和沖量都是矢量，符合矢量疊加原理，或以分量形式進行計算：第十頁，共三十九頁，2022年，8月28日(3)

在

沖擊、

碰撞問題中估算平均沖力（implusiveforce）。(4)動量定理是牛頓第二定律的積分形式，只適用于慣性系。F(t)Ft(5)動量定理在處理變質量問題時很方便。第十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日研究錘對工件的作用過程，在豎直方向利用動量定理，取豎直向上為正。例3-9質量m=0.3t的重錘，從高度h=1.5m處自由落到受鍛壓的工件上，工件發(fā)生形變。如果作用的時間(1)=0.1s，(2)=0.01s。試求錘對工件的平均沖力。以重錘為研究對象，分析受力，作受力圖。解：解法一：第十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日解法二：研究錘從自由下落到靜止的整個過程，其動量變化為零。重力作用時間為支持力的作用時間為由動量定理：第十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日例3-10

一繩跨過一定滑輪，兩端分別拴有質量為m及m'的物體A和B，m'大于m。B靜止在地面上，當A自由下落距離h后，繩子才被拉緊。求繩子剛被拉緊時兩物體的速度，以及能上升的最大高度。作繩拉緊時的受力圖。繩子剛好拉緊前的瞬間，物體A的速度為解：經過短暫的沖擊過程，兩物體速率相等，對兩物體分別應用動量定理（取向上為正）：第十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日考慮到繩不可伸長，有：平均沖力FT1、FT2>>重力，因而忽略重力。繩子拉緊后，A、B系統的加速度為即為繩子剛被拉緊時兩物體的速度。速度為零時，物體B達到最大高度H：第十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日*二、變質量物體的運動方程設t時刻，某物體質量為m，速度為(<<c)，另有一質元dm，速度為。t+dt時刻合并后的共同速度為。把物體與質元作為系統，由動量定理略去二階小量，變質量物體運動方程注意：dm可正可負，當dm取負時，表明物體質量減小。第十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日例3-11

質量為m的均質鏈條，全長為L，手持其上端，使下端離地面的高度為h。然后放手讓它自由下落到地上。求鏈條落到地上的長度為l時，地面所受鏈條作用力的大小。解：用變質量物體運動方程求解。落在地面上鏈段ml速度為零，作用在未落地部分(m-ml)上的外力有重力和地面給它的沖力。取向下為正：即第十七頁，共三十九頁，2022年，8月28日自由下落：地面所受鏈條作用力為（已落地部分鏈條的重力）第十八頁，共三十九頁，2022年，8月28日例3-12

礦砂從傳送帶A落到另一傳送帶B，其速度v1=4m/s，方向與豎直方向成30°角，而傳送帶B與水平成15°角，其速度v2=2m/s。如傳送帶的運送量恒定，設為k=20kg/s，求落到傳送帶B上的礦砂在落上時所受到的力。解：設在某極短的時間t內落在傳送帶上礦砂的質量為m，即m=kt，這些礦砂動量的增量為第十九頁，共三十九頁，2022年，8月28日其大小為設這些礦砂在時間t內所受的平均作用力為，由動量定理方向由近似豎直向上第二十頁，共三十九頁，2022年，8月28日=常矢量=常矢量根據質心運動定律：若三、動量守恒定律即如果系統所受的外力之和為零，則系統的總動量保持不變，這個結論叫做動量守恒定律（lawofconservationofmomentum）。則第二十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日(2)當外力作用遠小于內力作用時，可近似認為系統的總動量守恒。（如：碰撞、打擊過程等）(1)動量守恒是指系統動量總和不變，但系統內各個質點的動量可以變化,通過內力進行傳遞和交換。說明(3)

分量式(4)定律不僅適合宏觀物體，同樣也適合微觀領域。第二十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日*四、火箭飛行設t時刻，火箭質量為m，速度為v(向上)，在

dt內，噴出氣體dm(<0)，噴氣相對火箭的速度(稱噴氣速度)為u(向下)，使火箭的速度增加了dv。若不計重力和其他外力，由動量守恒定律可得

略去二階小量，第二十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日設u是一常量，設火箭開始飛行的速度為零，質量為m0，燃料燒盡時，火箭剩下的質量為m，此時火箭能達到的速度是火箭的質量比第二十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日多級火箭：第i級火箭噴氣速率第i級火箭質量比最終速度：第二十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日例3-13

如圖所示,設炮車以仰角發(fā)射一炮彈，炮車和炮彈的質量分別為m'

和m，炮彈的出口速度為v，求炮車的反沖速度v'。炮車與地面間的摩擦力不計。解：選取炮車和炮彈組成系統內、外力分析。炮車與地面間的摩擦力不計，系統水平方向動量守恒。第二十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日得炮車的反沖速度為思考：豎直方向動量守恒嗎？系統水平方向動量守恒：第二十七頁，共三十九頁，2022年，8月28日炸裂時爆炸力是物體內力，它遠大于重力，故在爆炸中，可認為動量守恒。例3-14

一個靜止物體炸成三塊，其中兩塊質量相等，且以相同速度30m/s沿相互垂直的方向飛開，第三塊的質量恰好等于這兩塊質量的總和。試求第三塊的速度（大小和方向）。解：第二十八頁，共三十九頁，2022年，8月28日即和及都成，且三者都在同一平面內第二十九頁，共三十九頁，2022年，8月28日

例3-15質量為m1和m2的兩個小孩，在光滑水平冰面上用繩彼此拉對方。開始時靜止，相距為l。問他們將在何處相遇？把兩個小孩和繩看作一個系統，水平方向動量守恒。任取兩個小孩連線上一點為原點，向右為x軸為正向。解：設開始時小孩的坐標分別為x10、x20，在任意時刻的速度分別v1為v2，坐標為x1和x2。由運動學關系：第三十頁，共三十九頁，2022年，8月28日相遇時：x1=x2由動量守恒：（1）代入式（1）得第三十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日結果表明，兩小孩在純內力作用下，將在他們共同的質心相遇。上述結果也可直接由質心運動定律求出。相遇時有第三十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日作業(yè)：3.9、3.17、3.23第三十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日如果兩個或幾個物體在相遇中，物體之間的相互作用僅持續(xù)一個極為短暫的時間，這些現象就是碰撞（collision）。如：撞擊、打樁、鍛鐵等，以及微觀粒子間的非接觸相互作用過程即散射（scattering）等。討論兩球的對心碰撞或稱正碰撞（directimpact）：即碰撞前后兩球的速度在兩球的中心連線上。1.碰撞過程系統動量守恒：碰撞問題第三十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日2.牛頓的碰撞定律：碰撞后兩球的分離速度(v2-v1)，與碰撞前兩球的接近速度(v10-v20)成正比，比值由兩球的材料性質決定。即恢復系數（coefficientofrestitution）：完全非彈性碰撞（perfectinelasticcollision）：

e=0v2=v1非彈性碰撞（inelasticcollision）：0<e<1

完全彈性碰撞（perfectelasticcollision）：

e=1

v2-v1

=

v10-v20

第三十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日完全彈性碰撞：機械能損失：完全彈性碰撞過程，系統的機械能（動能）也守恒。第三十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日1.當m1=m2時，則質量相等的兩個質點在碰撞中交換彼此的速度。2.若v20=0，且m2>>m1，則質量