初等數(shù)論初步

關(guān)于初等數(shù)論初步第一頁，共十七頁，2022年，8月28日一、數(shù)論中的著名問題：

數(shù)論在數(shù)學(xué)中的地位是獨(dú)特的，高斯曾經(jīng)說過“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，數(shù)論是數(shù)學(xué)中的皇冠”。因此，數(shù)學(xué)家都喜歡把數(shù)論中一些懸而未決的疑難問題叫做“皇冠上的明珠”，以鼓勵人們?nèi)ァ罢　薄?/p>

1.費(fèi)馬大定理：當(dāng)整數(shù)n>2時(shí)，關(guān)于x,y,z的不定方程xn+yn=zn無正整數(shù)解(x=0或y=0不在考慮之列).1994年德國數(shù)學(xué)家維爾斯解決了這個(gè)問題，并獲得了沃爾夫獎.2.孿素?cái)?shù)猜想：孿素?cái)?shù)應(yīng)有無窮多對。著名數(shù)學(xué)家陳景潤研究哥德巴赫問題時(shí)證明了：存在無窮多個(gè)素?cái)?shù),使為素?cái)?shù)或至多為兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積。(相鄰兩個(gè)奇數(shù)同時(shí)為素?cái)?shù)，這樣的數(shù)叫做孿素?cái)?shù))第二頁，共十七頁，2022年，8月28日3.哥德巴赫猜想：大致可分為兩個(gè)猜想：每個(gè)不小于6的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和；每個(gè)不小于9的奇數(shù)都可以表示為三個(gè)奇素?cái)?shù)之和。1966年陳景潤證明了任何一個(gè)大偶數(shù)都可表示成一個(gè)素?cái)?shù)與另一個(gè)素因子不超過2個(gè)的數(shù)之和”。4.圓內(nèi)整點(diǎn)問題：高斯曾研究過這樣的一個(gè)問題：在一個(gè)給定半徑的圓內(nèi)有多少個(gè)坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)呢？后來它又被稱作高斯圓內(nèi)整點(diǎn)問題。5.完全數(shù)問題：完全數(shù)又稱完美數(shù)或完備數(shù)，是一些特殊的自然數(shù)。它所有的真因子的和恰好等于它本身.目前也只知道38個(gè)偶完全數(shù)，其中最大的是是否存在奇完全數(shù)仍是一個(gè)懸而未解的問題。

第三頁，共十七頁，2022年，8月28日二、整除的性質(zhì)和概念定義：設(shè)a,b為整數(shù)，且b≠0.如果存在整數(shù)q，使得a=bq，那么稱b整除a，或者a能被b整除，記作b|a，并且稱b是a的因數(shù)，a是b的倍數(shù).如果這樣的整數(shù)q不存在，就稱b不整除a，記作b|a.性質(zhì):若，則(1)若，則；(2)若，則；(3)若，則對任意整數(shù)x,y，恒有a|bx+cy；(4)若，且a,b互質(zhì)，則ab|c；(5)若p為質(zhì)數(shù)，p|ab，則p|a或p|b，特別地，若第四頁，共十七頁，2022年，8月28日結(jié)論：一個(gè)正整數(shù)的各位數(shù)字之和能被3整除，那么這個(gè)正整數(shù)能被3整除.請根據(jù)上面整除的性質(zhì)證明這個(gè)命題.

探究：？利用類似的方法證明能被9,11,7整除的正整數(shù)的特征。1、一個(gè)正整數(shù)的各位數(shù)字之和能被9整除，那么這個(gè)正整數(shù)能被9整除。2、一個(gè)正整數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)為數(shù)字之和的差能被11整除，那么這個(gè)整數(shù)能被11整除.3、一個(gè)正整數(shù)的末三位數(shù)字組成的數(shù)與末三位數(shù)字之前的數(shù)字組成的數(shù)之差能被7(或11)整除，那么這個(gè)正整數(shù)能被7(或11)整除.第五頁，共十七頁，2022年，8月28日三、帶余除法(歐式除法算式)例1：判斷710316能否被9，11整除.一般地，設(shè)a,b為整數(shù)，且b≠0，則存在唯一的一對整數(shù)q和r，使得a=bq+r,0≤r<|b|.其中唯一的q和r分別叫做a除以b的商和余數(shù).例2：2004除以某個(gè)整數(shù)，其商為74，求除數(shù)和余數(shù).探究：？我們用符號[x]表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，試用a,b表示a除以正整數(shù)b的商q和余數(shù)r.第六頁，共十七頁，2022年，8月28日四、素?cái)?shù)及其判別式定義：素?cái)?shù)：僅有兩個(gè)正因數(shù)的正整數(shù)叫做素?cái)?shù)（正因數(shù)只有1和它本身）.合數(shù)：不是素?cái)?shù)又不是1的正整數(shù)叫做合數(shù)。觀察：對于正整數(shù)6，7，9，21，65，77，121.觀察它們除1以外的最小的正因數(shù)，從中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？結(jié)論：每個(gè)正整數(shù)n除1外的最小正因數(shù)p是一個(gè)素?cái)?shù).為什么？第七頁，共十七頁，2022年，8月28日

結(jié)論：任何一個(gè)大于1的整數(shù)n總可分解為一些素?cái)?shù)的乘積。結(jié)論：素?cái)?shù)有無窮多個(gè).結(jié)論：如果大于1的整數(shù)a不能被所有不超過的素?cái)?shù)整除，那么一定是素?cái)?shù)。對給定的大于1的正整數(shù)，如何判斷它是不是素?cái)?shù)呢？第八頁，共十七頁，2022年，8月28日例3：找出1～100中的全部素?cái)?shù).埃拉托斯特尼篩法第九頁，共十七頁，2022年，8月28日初等數(shù)論初步第一講整數(shù)的整除§1.2

最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)第十頁，共十七頁，2022年，8月28日一、最大公因數(shù)

定義：給定兩個(gè)整數(shù)a，b，必有公共的因數(shù)，叫做它們的公因數(shù)。當(dāng)a，b不全為零時(shí)，在有限個(gè)公因數(shù)中最大的一個(gè)叫做a，b的最大公因數(shù)，記作(a，b).定義可以推廣到n個(gè)整數(shù).定義：如果a，b的最大公因數(shù)為1，那么稱a，b是互素的.類似地，我們也可以定義三個(gè)非零整數(shù)或更多個(gè)非零整數(shù)的最大公因數(shù)的概念，將a,b,c的最大公因數(shù)記作(a,b,c)，依此類推。第十一頁，共十七頁，2022年，8月28日相關(guān)性質(zhì)：(1)(a1,a2,,ak)

=

(|a1|,|a2|,,|ak|)；(2)(a,1)

=

1，(a,0)

=

|a|，(a,a)

=

|a|；(3)(a,b)

=

(b,a)；(4)若p是素?cái)?shù)，a是整數(shù)，則(p,a)

=

1或pa；(5)若a=bqr，則(a,b)

=

(b,r).(6)(ma1,ma2,,mak)

=

|m|(a1,a2,,ak).(7)記d=

(a1,a2,,ak)，則=1

第十二頁，共十七頁，2022年，8月28日求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的方法：1.短除法2.輾轉(zhuǎn)相除法

思考：如果b除a的余數(shù)為r，那么(a,b)=1成立嗎？(a,b)與(b,r)有什么關(guān)系？？結(jié)論：如果b除a的余數(shù)為r，那么(a，b)=(b，r).第十三頁，共十七頁，2022年，8月28日結(jié)論：(a,b,c)=((a,b),c)結(jié)論：設(shè)整數(shù)a,b不同時(shí)為零，則存在一對整數(shù)m,n，使得(a,b)=am+bn.你能用輾轉(zhuǎn)相除法證明這個(gè)定理嗎？

對于任意的整數(shù)a，b，c，下面的結(jié)論成立：(1)若bac，且(a,b)

=

1，則bc；(2)若bc，ac且(a,b)

=

1，則abc.(3)設(shè)p為素?cái)?shù)，若p|ab，則p|a，或p|b.(4)設(shè)p為素?cái)?shù)，若，則存在,使得。第十四頁，共十七頁，2022年，8月28日一、最小公倍數(shù)

定義：任給兩個(gè)非零整數(shù)a,b，一定存在一個(gè)整數(shù)，它同時(shí)為a,b的倍數(shù)，這個(gè)倍數(shù)叫做a,b的公倍數(shù)。我們把a(bǔ),b的最小的正公倍數(shù)叫做a,b的最小公倍數(shù)，記作[a，b].類似地，我們也可以定義三個(gè)非零整數(shù)或更多個(gè)非零整數(shù)的最小公倍數(shù)的概念，將a,b,c的最小公倍數(shù)記作[a,b,c]，依此類推。

第十五頁，共十七頁，2022年，8月28日結(jié)論：兩個(gè)非零整數(shù)a,b的最小公倍數(shù)[a,b]一定整除a,b的