ch1-8閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)

2022/12/18連續(xù)的定義定義1

設(shè)在內(nèi)有定義，若，那末就稱在點(diǎn)連續(xù)，稱為的連續(xù)點(diǎn)。

復(fù)習(xí)定義2

設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,

若則稱函數(shù)在點(diǎn)連續(xù).

定義3設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義

稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).

2022/12/18隱含:

在去心領(lǐng)域必有定義但在點(diǎn)x0的去心領(lǐng)域內(nèi)有定義2022/12/18第一類間斷點(diǎn):跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn).特點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)2022/12/18初等函數(shù)求極限的方法代入法.

2022/12/18第八節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的

性質(zhì)一、最大值和最小值定理二、零點(diǎn)定理與介值定理

新課要掌握證明的技巧！

第一章

2022/12/18一、最大值和最小值定理最值定義:例如,2022/12/18定理1(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界并一定有最大值和最小值.2022/12/18注意:1.若區(qū)間是開區(qū)間,定理不一定成立;定理1(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界并一定有最大值和最小值.2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn),定理不一定成立.2022/12/18二、零點(diǎn)定理與介值定理定義定理2(零點(diǎn)定理)

設(shè)

f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)

,且

f(a)與

f(b)異號(hào)(即f(a)

f(b)<0),則至少存在一點(diǎn)

(a,b)使

f()=0.幾何解釋:2022/12/181.若f(x)在開區(qū)間連續(xù),定理不一定成立;2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn),定理不一定成立.注意2022/12/18一個(gè)主要應(yīng)用：證明方程根的存在性或者證明函數(shù)零點(diǎn)的存在性.定理2(零點(diǎn)定理)

設(shè)

f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)

,且

f(a)與

f(b)異號(hào)(即f(a)

f(b)<0),則至少存在一點(diǎn)

(a,b)使

f()=0.例1例1’另例2022/12/18證由零點(diǎn)定理,例22022/12/18例3證由零點(diǎn)定理,設(shè)輔助函數(shù)是微積分證明中常用到的技巧之一.另例2022/12/18例4證:

設(shè)(一元n次)實(shí)系數(shù)奇次多項(xiàng)式方程為：為奇數(shù)不妨設(shè)當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，則由零點(diǎn)定理，得即方程有實(shí)根.2022/12/18幾何解釋:Mf(b)f(a)mab定理3(介值定理)設(shè)

f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)

,且

f(a)f(b)則對(duì)介于f(a)與

f(b)之間的任意一個(gè)實(shí)數(shù)

,至少存在一點(diǎn)

(a,b)使

f()=.推論1在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值

M

與最小值

m

之間的任何值.即2022/12/18推論1在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值與最小值之間的任何值.例5即2022/12/18推論1在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值與最小值之間的任何值.推論2在閉區(qū)間上不為常數(shù)的連續(xù)函數(shù)把該區(qū)間映為閉區(qū)間.Mym0baxy=f(x)幾何解釋:如圖，將連續(xù)曲線弧y=f(x)(a≤x≤b)

向y

軸作投影，其投影必然是線段，而不會(huì)是支離破碎的點(diǎn)集2022/12/18三、小結(jié)三個(gè)定理最值定理;介值定理;零點(diǎn)(根的存在性)定理.注意1．閉區(qū)間；2．連續(xù)函數(shù)．這兩點(diǎn)不滿足上述定理不一定成立．解題思路1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;2.輔助函數(shù)法:先作輔助函數(shù)F(x),驗(yàn)證F(x)滿足零