函數的對稱性與函數的圖象變換

關于函數的對稱性與函數的圖象變換第一頁，共三十五頁，2022年，8月28日1-3-1-2165432-xx78（偶函數）Y=f(x)圖像關于直線x=0對稱知識回顧從”形”的角度看，從”數”的角度看，f(-x)=f(x)XY第二頁，共三十五頁，2022年，8月28日1-3-1-216543278

f(x)=

f(4-x)

f(1)=

f(0)=

f(-2)=

f(310)=

f(6)f(4-310)0x4-xY=f(x)圖像關于直線x=2對稱f(3)f(4)從”形”的角度看，從”數”的角度看，xy第三頁，共三十五頁，2022年，8月28日1

f(1+x)=

f(3-x)

f(2+x)=

f(2-x)

f(x)=

f(4-x)對于任意的x你還能得到怎樣的等式？從”形”的角度看，從”數”的角度看，Y=f(x)圖像關于直線x=2對稱1-3-1-26543270x4-xYx第四頁，共三十五頁，2022年，8月28日-2-x1-3-1-216543278x=-1

f(x)=

f(-2-x)x思考?若y=f(x)圖像關于直線x=-1對稱Yx第五頁，共三十五頁，2022年，8月28日-1+x-1-x1-3-1-216543278x=-1

f(-1+x)=

f(-1-x)思考?若y=f(x)圖像關于直線x=-1對稱

f(x)=

f(-2-x)Yx第六頁，共三十五頁，2022年，8月28日1若y=f(x)圖像關于直線x=a對稱

f(x)=f(2a-x)

f(a-x)=f(a+x)第七頁，共三十五頁，2022年，8月28日在y=f(x)圖像上任取一點P點P關于直線x=a的對稱點P’則有P’的坐標應滿足y=f(x)也在f(x)圖像上P(x0,f(x0))P’P’(2a-x0,f(x0))

f(x0)=f(2a-x0)即：

f(x)=f(2a-x)x02a-x0

y=f(x)圖像關于直線x=a對稱（代數證明）

求證已知

y=f(x)圖像關于直線x=a對稱

f(x)=f(2a-x)第八頁，共三十五頁，2022年，8月28日在y=f(x)圖像上任取一點P若點P關于直線x=a的對稱點P’也在f(x)圖像上P(x0,f(x0))P’P’(2a-x0,f(x0))

f(x0)=f(2a-x0)

f(x)=f(2a-x)x02a-x0

y=f(x)圖像關于直線x=a對稱（代數證明）

已知求證

y=f(x)圖像關于直線x=a對稱則y=f(x)圖像關于直線x=a對稱?

f(x)=f(2a-x)P’在f(x)的圖像上第九頁，共三十五頁，2022年，8月28日y=f(x)圖像關于直線x=a對稱

f(x)=f(2a-x)

f(a-x)=f(a+x)y=f(x)圖像關于直線x=0對稱

f(x)=f(-x)特例：a=0軸對稱性思考？若y=f(x)滿足f(a-x)=f(b+x),則函數圖像關于

對稱

a+b2x=直線第十頁，共三十五頁，2022年，8月28日-xxxyof(-x)=-f(x)

y=f(x)圖像關于(0,0)中心對稱中心對稱性類比探究

a從”形”的角度看，從”數”的角度看，第十一頁，共三十五頁，2022年，8月28日f(x)=-f(2a-x)xyo

a

y=f(x)圖像關于(a,0)中心對稱從”形”的角度看，從”數”的角度看，中心對稱性類比探究x2a-x第十二頁，共三十五頁，2022年，8月28日f(x)=-f(2a-x)f(a-x)=-f(a+x)xyo

a從”形”的角度看，從”數”的角度看，中心對稱性類比探究

a+x

a-x

y=f(x)圖像關于(a,0)中心對稱b第十三頁，共三十五頁，2022年，8月28日af(a+x)=2b-f(a-x)f(2a-x)=2b-f(x)b中心對稱性

y=f(x)圖像關于(a,b)中心對稱類比探究xyo第十四頁，共三十五頁，2022年，8月28日思考？(1)若y=f(x)滿足f(a-x)=-f(b+x),(2)若y=f(x)滿足f(a-x)=2c-f(b+x),則函數圖像關于

對稱

a+b2(,0)點則函數圖像關于

對稱

a+b2(,C)點第十五頁，共三十五頁，2022年，8月28日-xx

函數圖像關于直線x=0對稱f(-x)=f(x)

函數圖像關于直線x=a對稱f(a-x)=f(a+x)

x=af(x)=f(2a-x)函數圖像關于(0,0)中心對稱函數圖像關于(a,0)中心對稱f(-x)=-f(x)f(a-x)=-f(a+x)f(x)=-f(2a-x)軸對稱中心對稱性a第十六頁，共三十五頁，2022年，8月28日練習:(1)若y=f(x)滿足f(-2-x)=f(-2+x),則函數圖像關于

對稱(2)若y=f(x)滿足f(3-x)=f(4+x)(4)若y=f(x)滿足f(3-x)=-f(4+x)(3)若y=f(x)滿足f(-2-x)=-f(-2+x),(5)若y=f(x)滿足f(3-x)=3-f(4+x)第十七頁，共三十五頁，2022年，8月28日函數圖象的變換及應用函數圖象是研究函數的重要工具,它能為所研究函數的數量關系及其圖象特征提供一種”形”的直觀體現,是利用”數形結合”解題的重要基礎.第十八頁，共三十五頁，2022年，8月28日描繪函數圖象的兩種基本方法:①描點法;(通過列表﹑描點﹑連線三個步驟完成)②圖象變換;(即一個圖象經過變換得到另一個與之相關的函數圖象的方法)函數圖象的三大變換平移對稱伸縮第十九頁，共三十五頁，2022年，8月28日問題1：如何由f(x)=x2的圖象得到下列各函數的圖象？（1）f(x-1)=(x-1)2（2）f(x+1)=(x+1)2（3）f(x)+1=x2+1（4）f(x)-1=x2-1Oyxy=f(x-1)y=f(x+1)y=f(x)-1y=f(x)+1函數圖象的平移變換：左右平移y=f(x)y=f(x+a)a>0,向左平移a個單位a<0,向右平移|a|個單位上下平移y=f(x)y=f(x)+kk<0,向下平移|k|個單位k>0,向上平移k個單位11-1-1第二十頁，共三十五頁，2022年，8月28日同步練習:①若函數f(x)恒過定點(1,1),則函數f(x-4)-2恒過定點.②若函數f(x)關于直線x=1對稱,則函數f(x-4)-2關于直線對稱.(5,-1)x=5第二十一頁，共三十五頁，2022年，8月28日問題2.設f(x)=(x>0)，求函數y=-f(x)、y=f(-x)、y=-f(-x)的解析式及其定義域，并分別作出它們的圖象。xxyo1y=f(x)xxyo1y=f(x)xxyo1y=f(x)y=-f(x)y=f(-x)y=-f(-x)對稱變換（1）y=f(x)與y=f(-x)的圖象關于

對稱；

（2）y=f(x)與y=-f(x)的圖象關于

對稱；

（3）y=f(x)與y=-f(-x)的圖象關于

對稱；

x軸y軸原點

第二十二頁，共三十五頁，2022年，8月28日練習：說出下列函數的圖象與指數函數y=2x的圖象的關系，并畫出它們的示意圖.(1)y=2-x(2)y=-2x(3)y=-2-xOyOyOy11-11-1xxx第二十三頁，共三十五頁，2022年，8月28日1.函數y=f(-x)與函數y=f(x)的圖像關于y軸對稱2.函數y=-f(x)與函數y=f(x)的圖像關于x軸對稱3.函數y=-f(-x)與函數y=f(x)的圖像關于原點對稱4.函數y=f(x)與函數y=f(2a-x)的圖像關于直線

對稱函數圖象對稱變換的規(guī)律:思考:“函數y=f(x)與函數y=f(2a-x)的圖像關于直線x=a對稱”與“函數y=f(x)滿足f(x)=f(2a-x),則函數y=f(x)關于直線x=a對稱”兩者間有何區(qū)別?對稱變換是指兩個函數圖象之間的對稱關系,而”滿足f(x)=f(2a-x)或f(a+x)=f(a-x)有y=f(x)關于直線x=a對稱”是指一個函數自身的性質屬性,兩者不可混為一談.x=a第二十四頁，共三十五頁，2022年，8月28日問題3：分別在同一坐標系中作出下列各組函數的圖象，并說明它們之間有什么關系？（1）y=2x與y=2|x|Oxy由y=f(x)的圖象作y=f(|x|)的圖象：y=2x保留y=f(x)中y軸右側部分，再加上y軸右側部分關于y軸對稱的圖形.1y=2|x|第二十五頁，共三十五頁，2022年，8月28日Oyx-414-1由y=f(x)的圖象作y=|f(x)|的圖象：

保留y

=f(x)在x

軸上方部分，再加上x軸下方部分關于x軸對稱到上方的圖形第二十六頁，共三十五頁，2022年，8月28日函數圖象的對稱變換規(guī)律：（1）y=f(x)y=f(x+a)a>0,向左平移a個單位a<0,向右平移|a|個單位上下平移（2）y=f(x)y=f(x)+kk>0,向上平移k個單位k<0,向下平移|k|個單位（1）y=f(x)與y=-f(x)的圖象關于

對稱；

（2）y=f(x)與y=f(-x)的圖象關于

對稱；（3）y=f(x)與y=-f(-x)的圖象關于

對稱；函數圖象的平移變換規(guī)律：(4)由y=f(x)的圖象作y=f(|x|)的圖象：保留y=f(x)中

部分，再加上這部分關于

對稱的圖形.(6)由y=f(x)的圖象作y=|f(x)|的圖象：保留y=f(x)中

部分，再加上x軸下方部分關于

對稱的圖形.x軸y軸原點y軸右側y軸x軸上方x軸左右平移第二十七頁，共三十五頁，2022年，8月28日練習：已知函數y=f(x)的圖象如圖所，分別畫出下列函數的圖象：yox1-1-212-0.5(1)y=f(-x);(2)y=-f(x).yox1-1-212-0.5

y=f(-x)yox-1-1-2120.5

y=-f(x)(3)y=f(|x|);(4)y=|f(x)|.第二十八頁，共三十五頁，2022年，8月28日練習：已知函數y=f(x)的圖象如圖所，分別畫出下列函數的圖象：yox1-1-212-0.5(1)y=f(-x);(2)y=-f(x).(3)y=f(|x|);(4)y=|f(x)|.yox1-1-212-0.5yox1-1-212-0.5第二十九頁，共三十五頁，2022年，8月28日例1.將函數y=2-2x的圖象向左平移1個單位，再作關于原點對稱的圖形后.求所得圖象對應的函數解析式.y=2-2xy=2-2(x+1)-y=2-2(-x+1)y=-22x-2向左平移1個單位關于原點對稱x換成-xy換成-yx換成x+1第三十頁，共三十五頁，2022年，8月28日例2.已知函數y=|2x-2|

（1）作出函數的圖象；（2）指出函數的單調區(qū)間；（3）指出x取何值時，函