初中蘇科版九年級數(shù)學(xué)下冊6-4 探索三角形相似的條件 同步專題培優(yōu)訓(xùn)練【含答案】

21世紀(jì)教育網(wǎng)www.精品試卷·第2頁（共2頁）初中蘇科版九年級數(shù)學(xué)下冊6-4探索三角形相似的條件同步專題培優(yōu)訓(xùn)練一、單選題（本大題共10題，每題3分，共30分）1.下列判斷中，錯誤的有（

）A.

三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似

B.

兩邊對應(yīng)成比例，且有一個角相等的兩個三角形相似

C.

有一個銳角相等的兩個直角三角形相似

D.

有一個角是100°的兩個等腰三角形相似2.如圖，已知，那么下列結(jié)論正確的是（

）A.

B.

C.

D.

3.已知△ABC中，D，E分別是邊BC，AC上的點，下列各式中，不能判斷DE∥AB的是（）A.

B.

C.

D.

4.如圖，D為△ABC邊BC上一點，要使△ABD∽△CBA，應(yīng)該具備下列條件中的（

）A.

B.

C.

D.

5.下列條件中，不能判斷△ABC與△DEF相似的是（

）A.

∠A=∠D，∠B=∠F

B.

且∠B=∠D

C.

D.

且∠A=∠D6.如圖所示，在?ABCD.BE交AC，CD于G，F(xiàn)，交AD的延長線于E，則圖中的相似三角形有（

）A.

3對

B.

4對

C.

5對

D.

6對7.如圖，網(wǎng)格中有一個△ABC，下圖中與△ABC相似的三角形的個數(shù)有（

）A.

1個

B.

2個

C.

3個

D.

4個8.如圖，△ABC中，∠A＝65°，AB＝6，AC＝3，將△ABC沿圖中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不構(gòu)成相似的是（

）A.

B.

C.

D.

9.如圖，在正方形網(wǎng)格上有5個三角形（三角形的頂點均在格點上）：①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，與①相似的三角形是（

）A.

②④

B.

②⑤

C.

③④

D.

④⑤10.如圖所示，下列條件中能單獨判斷△ABC∽△ACD的個數(shù)是（

）個．①∠ABC＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③＝；④AC2＝AD?ABA.

1

B.

2

C.

3

D.

4二、填空題（本大題共9題，每題2分，共18分）11.如圖，當(dāng)∠AED=________時，△ADE與△ABC相似.12.如圖，已知，請?zhí)砑右粋€條件，使，這個條件可以是________.13.如圖，AB∥CD∥EF，點C，D分別在BE，AF上，如果BC＝4，CE＝6，AF＝8，那么DF的長________.14.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16cm，AC＝12cm，點P從點B出發(fā)，沿BC以2cm/s的速度向點C移動，點Q從點C出發(fā)，以1cm/s的速度向點A移動，若點P、Q分別從點B、C同時出發(fā)，設(shè)運動時間為ts，當(dāng)t＝________時，△CPQ與△CBA相似．15.如圖，已知△ABC.D為邊AC上一點，P為邊AB上一點，AB=12，AC=8，AD=6，當(dāng)AP的長度為________時，△ADP和△ABC相似．16.如圖，在△ABC中，是邊AB的中點,過點O的直線l將△ABC分割成兩個部分，若其中的一個部分與△ABC相似，則滿足條件的直線l共有________條．17.如圖，AD∥BC，∠D=90°，AD=2，BC=6，DC=8，若在邊DC上有點P，使△PAD與△PBC相似，則這樣的點P有________個．18.如圖是一個量角器和一個含30°的直角三角板放置在一起的示意圖，其中點B在半圓O的直徑DE的延長線上，AB切半面O于點F，且BC＝OE＝2.若以O(shè)、B、F為頂點的三角形與△ABC相似，則OB的長為________.19.如圖，點G是△ABC的重心，GH⊥BC，垂足為點H，若GH＝2.5，則點A到BC的距離為________.三、解答題（本大題共8題，共82分）20.如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、AC上的點，AB＝9，BD＝7，AC＝6，CE＝3，求證：△ADE∽△ACB.21.如圖，在等邊三角形ABC中，點E，D分別在BC，AB上，且∠AED＝60°，求證：△AEC～△EDB.22.已知:如圖,在正方形ABCD中,P是BC上的點,且BP=3PC,Q是CD的中點?求證:△ADQ∽△QCP?23.如圖，已知AD?AC＝AB?AE，∠DAE＝∠BAC．求證：△DAB∽△EAC．24.如圖，AD、A′D′分別是△ABC和△A′B′C′的中線，且．判斷△ABC和△A′B′C′是否相似，并說明理由．25.如圖，在中，，于點，求證：．

26.如圖，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD邊于點E，延長BC至F使CF=CE，聯(lián)接DF，延長BE交DF于點G。求證：BG·EG=DG227.如圖，在矩形ABCD中，已知AD＞AB.在邊AD上取點E，連結(jié)CE.過點E作EF⊥CE，與邊AB的延長線交于點F.（1）求證：△AEF∽△DCE.（2）若AB＝3，AE＝4，DE＝6，求線段BF的長.

答案解析部分一、單選題1.B【考點】相似三角形的判定解：A、三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似，故A選項不合題意；B、兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個三角形相似，故B選項符合題意；C、有一個銳角相等的兩個直角三角形相似，故C選項不合題意；D、有一個角是100°的兩個等腰三角形，則它們的底角都是40°，所以有一個角是100°的兩個等腰三角形相似，故D選項不合題意；故B．分析：三邊對應(yīng)成比例、兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等、兩角分別相等的兩個三角形相似，據(jù)此逐一判斷即可.2.B【考點】平行線分線段成比例解：∵AD∥BE∥CF，∴，，故A、D、C錯誤，B正確，故B.分析：根據(jù)平行線分線段成比例定理“兩條直線被一組平行線所截，截得的對應(yīng)線段的長度成比例”可得比例式并結(jié)合各選項即可判斷求解.3.D【考點】平行線分線段成比例解：如圖，若使線段DE∥AB，則其對應(yīng)邊必成比例，即＝，＝，A、B可判定DE∥AB；＝，即＝，C可判定DE∥AB；而由＝不能判斷DE∥AB，故D選項答案符合題意．故D．分析：作圖，結(jié)合圖像，根據(jù)線段之比逐項判斷平行即可。4.C【考點】相似三角形的判定解：當(dāng)時，又∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBA．故C．分析：由于∠B=∠B，根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等可證△ABD∽△CBA．5.B【考點】相似三角形的判定解：、，，根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，可以得出，故此選項不合題意；、，且，不是兩邊成比例且夾角相等，故此選項符合題意；、，根據(jù)三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似，可以得出，故此選項不合題意；、且，根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，可以得出，故此選項不合題意；故B．分析：直接根據(jù)三角形相似的判定方法分別判斷得出答案．6.C【考點】相似三角形的判定解：∵AD∥BC，∴△AGE∽△CGB，△DFE∽△CFB，∵AB∥CD，∴△ABG∽△CFG，△ABE∽△CFB，△EDF∽△EAB．∴共有5對，故C．分析：根據(jù)相似三角形的判定來找出共有多少對相似的三角形7.D【考點】勾股定理，相似三角形的判定解：對于圖①，三角形三邊為，因為所以圖①的三角形與△ABC相似；對于圖②，三角形三邊為，因為所以圖②的三角形與△ABC相似；對于圖③，三角形三邊為，因為

所以圖③的三角形與△ABC相似；對于圖④，三角形三邊為，因為所以圖④的三角形與△ABC相似.故D.分析：先利用勾股定理計算出所有三角形的邊長，然后根據(jù)三邊對應(yīng)成比例的三角形相似進行逐一判斷即可.8.C【考點】相似三角形的判定解：A、陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，故本選項不符合題意；B、陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，故本選項不符合題意；C、兩三角形的對應(yīng)角不一定相等，故兩三角形不相似，故本選項符合題意；D、兩三角形對應(yīng)邊成比例且夾角相等，故兩三角形相似，故本選項不符合題意．故C．分析：根據(jù)相似三角形的判定定理對各選項進行逐一判定即可．9.A【考點】相似三角形的判定解：由題意：①②④中，∠ABC＝∠ADE＝∠AFH＝135°，又∵，∴，，∴△ABC∽△ADE∽△HFA，故A．分析：根據(jù)兩邊成比例且夾角相等，兩三角形相似即可判斷。10.C【考點】相似三角形的判定解：有三個①∠ABC＝∠ACD，再加上∠A為公共角，可以根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似來判定；②∠ADC＝∠ACB，再加上∠A為公共角，可以根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似來判定；③中∠A不是已知的比例線段的夾角，不符合題意④可以根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且相應(yīng)的夾角相等的兩個三角形相似來判定；故C

分析：根據(jù)相似三角形的判定方法，逐項進行判斷，即可求解.二、填空題11.∠ACB或∠ABC【考點】相似三角形的判定解：∵∠BAC＝∠EAD（公共角），再由∠AED＝∠ACB或∠AED＝∠ABC，即可證明，△ADE與△ABC相似，故∠ACB或∠ABC.分析：由題意可知∠A是公共角，根據(jù)“兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似”得∠AED＝∠ACB或∠AED＝∠ABC可求解（答案不唯一）.12.∠D=∠B（答案不唯一）【考點】相似三角形的判定解：∠D=∠B，證明：∵，∠D=∠B，∴△ADE∽△ABC.分析：已知，再加夾角應(yīng)相等即可.13.【考點】平行線分線段成比例解：∵AB∥CD∥EF，∴，∴＝，∴DF＝，故.分析：根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)可以得到解答.14.4.8或【考點】相似三角形的判定解：①CP和CB是對應(yīng)邊時，△CPQ∽△CBA，所以＝，即＝，解得t＝4.8；②CP和CA是對應(yīng)邊時，△CPQ∽△CAB，所以＝，即＝，解得t＝.綜上所述，當(dāng)t＝4.8或時，△CPQ與△CBA相似．分析：分兩種情況①△CPQ∽△CBA，②△CPQ∽△CAB，利用相似三角形的性質(zhì)分別解答即可.15.4或9【考點】相似三角形的判定解：當(dāng)△ADP∽△ACB時，需有，∴，解得AP＝9．當(dāng)△ADP∽△ABC時，需有，∴，解得AP＝4．∴當(dāng)AP的長為4或9時，△ADP和△ABC相似．

分析：根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求AP的長即可。16.3【考點】相似三角形的判定解：∵三角形ABC是直角三角形，∴只有創(chuàng)造出一個直角時，才有可能滿足題中相似的條件；①當(dāng)l∥BC時，可得三角形相似；②當(dāng)l∥AC時，亦可得三角形相似；③當(dāng)l⊥AB時，三角形也相似，故滿足題中的直線l共有3條．故3．

分析：由于三角形ABC是直角三角形，所以必須保證直線l與三角形的任意一邊能夠形成直角三角形，進而判定是否相似。17.2【考點】相似三角形的判定解：∵AD∥BC，∠D=90°，

∴∠D=∠C.

要使△PAD與△PBC相似，可知，∠D和∠C是對應(yīng)角，

設(shè)DP=x，則PC=8-x，

①如圖1，當(dāng)△DAP∽△CBP時，

，

即：，

解得：x=2，

即：DP=2.

②如圖2，當(dāng)△DAP∽△CPB時，

，

即：，

解得：x=2或6.

即：DP=2或6.

綜上，DP=2或6.

∴這樣的點有2個.

故2.

分析：由AD∥BC，∠D=90°，知要使△PAD與△PBC相似，可知，∠D和∠C是對應(yīng)角，分兩種情況討論：①當(dāng)△DAP∽△CBP時，；②當(dāng)△DAP∽△CPB時，，列出方程求解即可.18.或4【考點】切線的性質(zhì)，相似三角形的判定解：若△OBF∽△ACB，∴，∴OB＝，∵∠A＝30°，∠ABC＝90°，BC＝OE＝2，∴AC＝4，AB＝2.又∵OF＝OE＝2，∴OB＝＝；若△BOF∽△ACB，∴，∴OB＝，∴OB＝＝4；綜上，OB＝或4；故答案為或4.分析：連接OF，根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠OFB=90°，若以O(shè)、B、F為頂點的三角形與△ABC相似，可知∠OFB與∠ABC是對應(yīng)角且為90°，據(jù)此分兩種情況：①若△OBF∽△ACB，②若△BOF∽△ACB，利用相似三角形的性質(zhì)分別解答即可.19.7.5【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的重心及應(yīng)用解：設(shè)BC的中線是AD，BC的高是AE，由重心性質(zhì)可知：AD：GD＝3：1，∵GH⊥BC，AE⊥BC，

∴AE∥GH，∴△ADE∽△GDH，∴AD：GD＝AE：GH＝3：1，∴AE＝3GH＝3×2.5＝7.5，故7.5.分析：根據(jù)題意作圖，利用重心的性質(zhì)AD：GD=3：1，根據(jù)同一平面內(nèi)垂直于同一直線的兩條直線互相平行得出AE∥GH，根據(jù)平行于三角形一邊的直線截其它兩邊，所截的三角形與原三角形相似求出△ADE∽△GDH，從而得出AD：GD=AE：GH=3：1，根據(jù)GH=2.5即可得出答案.三、解答題20.證明：∵AB＝9，BD＝7，AC＝6，CE＝3，∴AD＝AB﹣BD＝9﹣7＝2，AE＝AC﹣CE＝6﹣3＝3，∵，，∴

又∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB.【考點】相似三角形的判定分析：利用已知條件求出AD，AE的長，再求出AD與AC，AE與AB的比值，可得到這四條線段對應(yīng)成比例；然后根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似，可證得結(jié)論。21.證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠EDB+∠BED＝120°，∠CAE+∠AEC＝120°∵∠AED＝60°，∴∠BED+∠AEC＝180°﹣60°＝120°，∴∠BED＝∠CAE，∴△AEC～△EDB.【考點】等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定分析：依據(jù)△ABC是等邊三角形，即可得到∠B＝∠C＝60°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及平角的定義推出∠BED＝∠CAE，即可判定△AEC～△EDB.22.解：∵四邊形ABCD是正方形，BP=3PC，Q是CD的中點，∴QC=QD=AD，CP=AD，∴，又∵∠ADQ=∠QCP，∴△ADQ∽△QCP．【考點】正方形的判定，相似三角形的性質(zhì)分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)和題意可得QC=QD=

AD，CP=

AD，再根據(jù)直角相等，可證兩個三角形相似。23.證明：∵AD?AC＝AB?AE，∴，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠DAB＝∠EAC，∴△DAB∽△EAC．【考點】相似三角形的判定分析：

由AD?AC＝AB?AE，可得∠DAE＝∠BAC，可得∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，即得∠DAB＝∠EAC，根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個角的兩個三角形相似即證結(jié)論.24.解：△ABC∽△A'B'C'，理由：∵∴△ABD∽△A'B'D'，∴∠B＝∠B'，∵AD、A'D'分別是△ABC和△A'B'C'的中線∴，，∴，在△ABC和△A'B'C'中∵