名義利率與實(shí)際利率課件

第三章貨幣時間價值

1第三章貨幣時間價值1第一節(jié)復(fù)利、未來值與現(xiàn)值貨幣時間價值的概念

貨幣的時間價值，是指貨幣經(jīng)歷一定時間的投資和再投資所增加的價值，也稱資金的時間價值。例如，將現(xiàn)在的1元錢存入銀行，1年后可得1.1元（假定存款利率為10%）。這1元錢經(jīng)過1年時間的投資增加了0.1元，這就是貨幣時間價值。2第一節(jié)復(fù)利、未來值與現(xiàn)值貨幣時間價值的概念2

有兩種表現(xiàn)形式：絕對數(shù)形式：即時間價值額，以價值增值額表示。貨幣的時間價值為0.1元。相對數(shù)形式：即增加價值占投入貨幣的百分?jǐn)?shù)表示。貨幣的時間價值為10%。一般可以以沒有風(fēng)險和沒有通貨膨脹條件下的社會平均資金利潤率或通脹率很低時的政府債券利率來度量。3有兩種表現(xiàn)形式：3

企業(yè)在投資某項(xiàng)目時，至少要獲得社會平均的利潤率，否則不如投資于其他項(xiàng)目。貨幣時間價值是項(xiàng)目估價的基本原則。例，已探明一個由工業(yè)價值的油田，目前立即開發(fā)可獲利100億元，若5年后開發(fā)，由于價格上漲可獲利160億元。不考慮貨幣時間價值，選擇5年后開發(fā)?？紤]貨幣時間價值?，F(xiàn)在獲得的100億元可用于其他項(xiàng)目，假定每年獲利15%。5年后可獲得100（1+15%）5=201.14億。選擇現(xiàn)在開發(fā)。

4企業(yè)在投資某項(xiàng)目時，至少要獲得社會

貨幣隨著時間的推移而增值，不同時間單位貨幣的價值不同，必須換算到相同的時間基礎(chǔ)，才能進(jìn)行比較。

貨幣的增值與復(fù)利的計(jì)算過程在數(shù)學(xué)上相似，所以采用復(fù)利的各種計(jì)算方法。5貨幣隨著時間的推移而增值，不同時間

將來值和現(xiàn)值的計(jì)算所謂復(fù)利，是指不僅本金要計(jì)算利息，利息也要計(jì)算利息，即通常所說的“利滾利”。將來值，又稱復(fù)利終值，是指把今天的一筆資金按復(fù)利利率計(jì)算至將來某一時刻的價值。終值的一般計(jì)算公式為：6將來值和現(xiàn)值的計(jì)算6

FVn:復(fù)利終值PV：復(fù)利現(xiàn)值i：利息率n：計(jì)息期數(shù)例，將100元存入銀行，利息率為10％，5年后的終值應(yīng)為：

FV5=PV（1+10%）5

=100（1+10%）5

=161

(1+i)n叫復(fù)利終值系數(shù)，可寫成FVIFi,n

為了簡化和加速計(jì)算，可編制復(fù)利終值系數(shù)表，見附錄一。7FVn:復(fù)利終值7

現(xiàn)值現(xiàn)值是把將來的資金按一定的利率折算到現(xiàn)在的價值，這一折算過程稱為折現(xiàn)，折算時采用的利率稱為折現(xiàn)率。8現(xiàn)值8

在上述公式中，稱為復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)或貼現(xiàn)系數(shù)，也可以寫為PVIFi,n為了簡化計(jì)算，也可編制現(xiàn)值系數(shù)表。見附錄二。例，若計(jì)劃在3年以后得到400元，利息率為8％，現(xiàn)在應(yīng)存金額可計(jì)算如下：9在上述公式中，稱為

或查復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)表計(jì)算：PV=FVn

×PVIF8%,3

=400×0.794=317.610或查復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)表計(jì)算：10第二節(jié)年金年金的定義年金是指一定時期內(nèi)每期相等金額的收付款項(xiàng)。折舊、利息、租金、保險費(fèi)等通常表現(xiàn)為年金的形式。年金按付款方式可分為：后付年金（或稱普通年金）：期末先付年金（或稱即付年金）：期初延期年金：延遲支付永續(xù)年金：無限期支付11第二節(jié)年金年金的定義11

年金現(xiàn)值與終值的計(jì)算后付年金后付年金是指每期期末有等額的收付款項(xiàng)的年金。在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中這種年金最為常見，又稱為普通年金。后付年金終值后付年金終值猶如零存整取的本利和，它是一定時期內(nèi)每期期未等額收付款項(xiàng)的復(fù)利終值之和。12年金現(xiàn)值與終值的計(jì)算12

012n-2n-1n

AAAAAA(1+i)0A(1+i)1A(1+i)2

A(1+i)n-2A(1+i)n-1

后付年金終值的計(jì)算示意圖

13012

假設(shè)：A—年金數(shù)額；i—利息率；n—計(jì)算期數(shù)FVAn—年金終值后付年金終值的計(jì)算公式：14假設(shè)：A—年金數(shù)額；i—利息率；n—計(jì)算期數(shù)14

上式中的稱為年金終值系數(shù)?？蓪懗蒄VIFAi,n或ACFi,n，為簡化工作，事先編制年金終值系數(shù)表。見附錄三。例，5年中每年年底存入銀行100元，存款利率為8％,求第5年末年金終值。FVA5=A·FVIFA8%,5

=100×5.867=586.7

15上式中的稱為

后付年金現(xiàn)值系數(shù)一定期間內(nèi)每期期末等額的系列收付款項(xiàng)的現(xiàn)值之和，叫后付年金現(xiàn)值。年金現(xiàn)值的符號為PVAn。

年金現(xiàn)值的計(jì)算公式為：16后付年金現(xiàn)值系數(shù)16

12n-1n

AAAAA(1+i)-1A(1+i)-2

A(1+i)-（n-1）A(1+i)-n后付年金現(xiàn)值示意圖1712

式中稱為年金現(xiàn)值系數(shù)，可記為PVIFAi,n為了簡化計(jì)算，可事先編制年金現(xiàn)值系數(shù)表。例，現(xiàn)在存入一筆錢，準(zhǔn)備在以后5年中每年末得到100元，如果利息率為10％，現(xiàn)在應(yīng)存入多少錢？PVA5=A.PVIFA10%,5

=100×3.791=379.118式中稱為年金

先付年金先付年金是指在一定時期內(nèi)，各期期初等額的系列收付款項(xiàng)。先付年金與后付年金的區(qū)別僅在于付款時間的不同。由于后付年金是最常用的，年金終值和現(xiàn)值系數(shù)表是按后付年金編制的。利用后付年金系數(shù)表計(jì)算先付年金的終值和現(xiàn)值時，可在后付年金的基礎(chǔ)上用終值和現(xiàn)值的計(jì)算公式進(jìn)行調(diào)整。19先付年金19

先付年金終值：n期先付年金與n期后付年金的付款次數(shù)相同，但由于付款時間的不同。n期先付年金終值比n期后付年金終值多計(jì)算一期利息。所以可以先求出n期后付年金終值，然后再乘以（1+i）便可求出n期先付年金的終值。其計(jì)算公式為:

20先付年金終值：n期先付年金與n期后付年金的付款次數(shù)相同

012n-1nAAAAn期先付年金終值012n-1nAAAAn期后付年金終值21012

此外,還可根據(jù)n期先付年金與n+1期后付年金的關(guān)系推導(dǎo)出另一公式。n期先付年金與n＋1期后付年金的計(jì)息期數(shù)相同，但比n+l期后付年金少付一次款，因此，只要將n+1期后付年金的終值減去一期付款額A,便可求出n期先付年金終值。其計(jì)算公式為：22此外,還可根據(jù)n期

例，某人每年年初存入銀行1000元，銀行存款年利率為8％，問第10年末的本利和應(yīng)為多少？V10=1000×FVIFA8%,10×(1+8%)=1000×14.487×1.08=15645或V10=1000×(FVIFA8%,11-1)=1000×(16.645-1)=1564523例，某人每年年初存入銀行1000元，銀行存款年利率為8％

先付年金現(xiàn)值：n期后付年金現(xiàn)值與n期先付年金現(xiàn)值的付款期數(shù)相同,但由于n期后付年金是期末付款，n期先付年金是期初付款，在計(jì)算現(xiàn)值時，n期后付年金現(xiàn)值比n期先付年金現(xiàn)值多貼現(xiàn)一期。所以，可先求出n期后付年金現(xiàn)值,然后再乘以（1+i），便可求出n期先付年金的現(xiàn)值。其計(jì)算公式為:24先付年金現(xiàn)值：n期后付年金現(xiàn)值與n期先付年金現(xiàn)值的付款

012n-1nAAAA

n期先付年金現(xiàn)值012n-1nAAAAn期后付年金現(xiàn)值25012

根據(jù)n期先付年金與n-1期后付年金現(xiàn)值的關(guān)系，可推導(dǎo)出計(jì)算n期先付年金現(xiàn)值的另一公式。n期先付年金現(xiàn)值與n-1期后付年金現(xiàn)值的貼現(xiàn)期數(shù)相同，但n期先付年金比n-1期后付年金多一期不用貼現(xiàn)的付款A(yù)，因此，先計(jì)算n-1期后付年金的現(xiàn)值，然后再加上一期不需貼現(xiàn)的付款A(yù),便可求出n期先付年金的現(xiàn)值。其計(jì)算公式為：26根據(jù)n期先付年金與n-1期后付年金現(xiàn)

例，某企業(yè)租用一設(shè)備，在10年中每年年初要支付租金5000元，年利息率為8％，問這些租金的現(xiàn)值是多少？V0=5000×PVIFA8%,10×(1+8%)=5000××6.71×1.08=36234或V0=5000×(PVIFA8%,9+1)=5000×(6.247+1)=3623527例，某企業(yè)租用一設(shè)備，在10年中每年年初要支付租金500

延期年金延期年金是指在最初若干期沒有收付款項(xiàng)的情況下，后面若干期等額的系列收付款項(xiàng)。假設(shè)最初有m期沒有收付款項(xiàng),后面n期有等額的收付款項(xiàng)，則延期年金的現(xiàn)值即為后n期年金貼現(xiàn)至m期期初的現(xiàn)值。通常先求出延期年金在n期期初（m期期末）的現(xiàn)值，再將它作為終值貼現(xiàn)至m期期初，便可求出延期年金的現(xiàn)值。

012n

012mm+1m+2m+n

AAAA

28延期年金28

延期年金現(xiàn)值還可以用另外一種方法計(jì)算。先求出m+n期后付年金現(xiàn)值減去沒有付款的前m期后付年金現(xiàn)值，二者之差便是延期m期的n期后付年金現(xiàn)值。其計(jì)算公式為：29延期年金現(xiàn)值還可以用另外一種方法計(jì)

例，某企業(yè)向銀行借入一筆款項(xiàng)，銀行貸款的年利息率為8％，銀行規(guī)定前10年不用還本付息，但從第11年至第20年每年年末償還本息1000元。這筆款項(xiàng)的現(xiàn)值應(yīng)為多少？V0=1000×PVIFA8%,10×PVIF8%,10=1000×6.710×0.463=3107或V0=1000×(PVIFA8%,20–PVIFA8%,10)=1000×(9.818-6.710)=310830例，某企業(yè)向銀行借入一筆款項(xiàng)，銀行貸款的年利息率為8％，

永續(xù)年金永續(xù)年金是指無限期支付的年金。西方有些債券為無期限債券，可視為永續(xù)年金;優(yōu)先股有固定的股利，無到期日，有時可以看做是永續(xù)年金。另外，期限長、利率高的年金現(xiàn)值，可按計(jì)算永續(xù)年金的公式，計(jì)算其近似值。31永續(xù)年金31

例，某永續(xù)年金每年年末的收入為800元，利息率為8％，求該項(xiàng)永續(xù)年金的現(xiàn)值。32例，某永續(xù)年金每年年末的收入為800元，利息率為8％

時間價值計(jì)算中的幾個特殊問題不等額現(xiàn)金流量的現(xiàn)值計(jì)算假設(shè)：A0—第0年末的付款A(yù)1—第1年末的付款A(yù)2—第2年末的付款…An—第n年末的付款33時間價值計(jì)算中的幾個特殊問題33

例，有一筆現(xiàn)金流量如下表所示，貼現(xiàn)率為5%，求這筆不等額現(xiàn)金流量的現(xiàn)值。年01234現(xiàn)金流量100020001003000400034例，有一筆現(xiàn)金流量如下表所示，貼

年金和不等額現(xiàn)金流量混合情況下的現(xiàn)值例，某系列現(xiàn)金流量表，如左圖所示：年現(xiàn)金流量12345678910100010001000100020002000200020002000300035年金和不等額現(xiàn)金流量混合情況下的現(xiàn)值年現(xiàn)金流量11000

PV0=1000×PVIFA9%,4+2000×(PVIFA9%,9-PVIFA9%,4)

+3000×PVIF9%,10=1000×3.240+2000×(5.995-3.240)+3000×0.422=1001636PV0=1000×PVIFA9%,4+2000×(P第三節(jié)名義利率與實(shí)際利率名義利率與實(shí)際利率的定義

前述計(jì)算均假定利率為年利率，每年復(fù)利一次。但實(shí)際上，復(fù)利的計(jì)息期間不一定是1年，有可能是季度、月份、每日。當(dāng)利息在1年內(nèi)要復(fù)利幾次時，給出的年利率稱為名義利率。實(shí)際得到的利息要比按名義利率計(jì)算的利息高，稱為實(shí)際利率。37第三節(jié)名義利率與實(shí)際利率名義利率與實(shí)際利率的定義37

例，本金1000元，投資5年，年利率為8%，每季度復(fù)利一次。名義利率：8%復(fù)利終值=1000*（1+8%）5=1000*1.469=1469實(shí)際利率：季度利率=8%/4=2%復(fù)利次數(shù)=4*5=20復(fù)利終值=1000*（1+2%）20=1000*1.486=1486

實(shí)際利率大于名義利率。38例，本金1000元，投資5年，年利率為8%，每季度復(fù)利一

1486=1000（1+i）51.486=（1+i）5查表PVIF8%,5=1.469PVIF9%,5=1.538利用插值法

1.538-1.469=1.486-1.4699%-8%i%-8%i=8.25%391486=1000（1+i）539

名義利率與實(shí)際利率的換算按計(jì)算公式調(diào)整i=（1+r/m）m-1式中：r—名義利率

i—實(shí)際利率m—每年的計(jì)息次數(shù)

40名義利率與實(shí)際利率的換算40

例，某企業(yè)于年初存入10萬元，年利率為10%，假定半年復(fù)利1次，第10年末，該企業(yè)能得到多少本利和。計(jì)算實(shí)際利率=（1+10%/2）2-1=10.25%本利和=10（1+10.25%）10=26.53方法二，調(diào)整有關(guān)指標(biāo)本利和=10（1+5%）20=26.5341例，某企業(yè)于年初存入10萬元，年利率為10%，假定半年復(fù)習(xí)題1假設(shè)利民工廠有1筆123600元的資金，準(zhǔn)備存入銀行，希望在7年后利用這筆款項(xiàng)的本利和購買1套生產(chǎn)設(shè)備，當(dāng)時銀行存款的利率為10%，按復(fù)利計(jì)算。該設(shè)備的預(yù)計(jì)價格為240000元。試用數(shù)據(jù)說明7年后，利民工廠能否用這筆款項(xiàng)的本利和購買設(shè)備。2某合營企業(yè)于年初向銀行借款500000元購買設(shè)備，第1年末，開始還款，每年還款1次，等額償還，分5年還清，銀行借款利率為12%。試計(jì)算每年應(yīng)還款多少。3某人現(xiàn)在準(zhǔn)備存入1筆錢，以便在以后的20年中每年年底得到3000元，設(shè)銀行存款利率為10%。計(jì)算此人目前應(yīng)存入多少錢。42習(xí)題1假設(shè)利民工廠有1筆123600元的資金，準(zhǔn)備存入銀行

4時代公司需用1臺設(shè)備，買價為160000元，可用10年。如果租用，則每年年初須付租金200元。假設(shè)其他情況相同。利率為6%。用數(shù)據(jù)說明購買與租用何者為優(yōu)。5某公司發(fā)行1種債券，年利率為12%，按季計(jì)息，1年后還本付息，每張債券還本付息100元。計(jì)算該種債券的現(xiàn)值。434時代公司需用1臺設(shè)備，買價為160000元，可用10年第三章貨幣時間價值

44第三章貨幣時間價值1第一節(jié)復(fù)利、未來值與現(xiàn)值貨幣時間價值的概念

貨幣的時間價值，是指貨幣經(jīng)歷一定時間的投資和再投資所增加的價值，也稱資金的時間價值。例如，將現(xiàn)在的1元錢存入銀行，1年后可得1.1元（假定存款利率為10%）。這1元錢經(jīng)過1年時間的投資增加了0.1元，這就是貨幣時間價值。45第一節(jié)復(fù)利、未來值與現(xiàn)值貨幣時間價值的概念2

有兩種表現(xiàn)形式：絕對數(shù)形式：即時間價值額，以價值增值額表示。貨幣的時間價值為0.1元。相對數(shù)形式：即增加價值占投入貨幣的百分?jǐn)?shù)表示。貨幣的時間價值為10%。一般可以以沒有風(fēng)險和沒有通貨膨脹條件下的社會平均資金利潤率或通脹率很低時的政府債券利率來度量。46有兩種表現(xiàn)形式：3

企業(yè)在投資某項(xiàng)目時，至少要獲得社會平均的利潤率，否則不如投資于其他項(xiàng)目。貨幣時間價值是項(xiàng)目估價的基本原則。例，已探明一個由工業(yè)價值的油田，目前立即開發(fā)可獲利100億元，若5年后開發(fā)，由于價格上漲可獲利160億元。不考慮貨幣時間價值，選擇5年后開發(fā)?？紤]貨幣時間價值?，F(xiàn)在獲得的100億元可用于其他項(xiàng)目，假定每年獲利15%。5年后可獲得100（1+15%）5=201.14億。選擇現(xiàn)在開發(fā)。

47企業(yè)在投資某項(xiàng)目時，至少要獲得社會

貨幣隨著時間的推移而增值，不同時間單位貨幣的價值不同，必須換算到相同的時間基礎(chǔ)，才能進(jìn)行比較。

貨幣的增值與復(fù)利的計(jì)算過程在數(shù)學(xué)上相似，所以采用復(fù)利的各種計(jì)算方法。48貨幣隨著時間的推移而增值，不同時間

將來值和現(xiàn)值的計(jì)算所謂復(fù)利，是指不僅本金要計(jì)算利息，利息也要計(jì)算利息，即通常所說的“利滾利”。將來值，又稱復(fù)利終值，是指把今天的一筆資金按復(fù)利利率計(jì)算至將來某一時刻的價值。終值的一般計(jì)算公式為：49將來值和現(xiàn)值的計(jì)算6

FVn:復(fù)利終值PV：復(fù)利現(xiàn)值i：利息率n：計(jì)息期數(shù)例，將100元存入銀行，利息率為10％，5年后的終值應(yīng)為：

FV5=PV（1+10%）5

=100（1+10%）5

=161

(1+i)n叫復(fù)利終值系數(shù)，可寫成FVIFi,n

為了簡化和加速計(jì)算，可編制復(fù)利終值系數(shù)表，見附錄一。50FVn:復(fù)利終值7

現(xiàn)值現(xiàn)值是把將來的資金按一定的利率折算到現(xiàn)在的價值，這一折算過程稱為折現(xiàn)，折算時采用的利率稱為折現(xiàn)率。51現(xiàn)值8

在上述公式中，稱為復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)或貼現(xiàn)系數(shù)，也可以寫為PVIFi,n為了簡化計(jì)算，也可編制現(xiàn)值系數(shù)表。見附錄二。例，若計(jì)劃在3年以后得到400元，利息率為8％，現(xiàn)在應(yīng)存金額可計(jì)算如下：52在上述公式中，稱為

或查復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)表計(jì)算：PV=FVn

×PVIF8%,3

=400×0.794=317.653或查復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)表計(jì)算：10第二節(jié)年金年金的定義年金是指一定時期內(nèi)每期相等金額的收付款項(xiàng)。折舊、利息、租金、保險費(fèi)等通常表現(xiàn)為年金的形式。年金按付款方式可分為：后付年金（或稱普通年金）：期末先付年金（或稱即付年金）：期初延期年金：延遲支付永續(xù)年金：無限期支付54第二節(jié)年金年金的定義11

年金現(xiàn)值與終值的計(jì)算后付年金后付年金是指每期期末有等額的收付款項(xiàng)的年金。在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中這種年金最為常見，又稱為普通年金。后付年金終值后付年金終值猶如零存整取的本利和，它是一定時期內(nèi)每期期未等額收付款項(xiàng)的復(fù)利終值之和。55年金現(xiàn)值與終值的計(jì)算12

012n-2n-1n

AAAAAA(1+i)0A(1+i)1A(1+i)2

A(1+i)n-2A(1+i)n-1

后付年金終值的計(jì)算示意圖

56012

假設(shè)：A—年金數(shù)額；i—利息率；n—計(jì)算期數(shù)FVAn—年金終值后付年金終值的計(jì)算公式：57假設(shè)：A—年金數(shù)額；i—利息率；n—計(jì)算期數(shù)14

上式中的稱為年金終值系數(shù)?？蓪懗蒄VIFAi,n或ACFi,n，為簡化工作，事先編制年金終值系數(shù)表。見附錄三。例，5年中每年年底存入銀行100元，存款利率為8％,求第5年末年金終值。FVA5=A·FVIFA8%,5

=100×5.867=586.7

58上式中的稱為

后付年金現(xiàn)值系數(shù)一定期間內(nèi)每期期末等額的系列收付款項(xiàng)的現(xiàn)值之和，叫后付年金現(xiàn)值。年金現(xiàn)值的符號為PVAn。

年金現(xiàn)值的計(jì)算公式為：59后付年金現(xiàn)值系數(shù)16

12n-1n

AAAAA(1+i)-1A(1+i)-2

A(1+i)-（n-1）A(1+i)-n后付年金現(xiàn)值示意圖6012

式中稱為年金現(xiàn)值系數(shù)，可記為PVIFAi,n為了簡化計(jì)算，可事先編制年金現(xiàn)值系數(shù)表。例，現(xiàn)在存入一筆錢，準(zhǔn)備在以后5年中每年末得到100元，如果利息率為10％，現(xiàn)在應(yīng)存入多少錢？PVA5=A.PVIFA10%,5

=100×3.791=379.161式中稱為年金

先付年金先付年金是指在一定時期內(nèi)，各期期初等額的系列收付款項(xiàng)。先付年金與后付年金的區(qū)別僅在于付款時間的不同。由于后付年金是最常用的，年金終值和現(xiàn)值系數(shù)表是按后付年金編制的。利用后付年金系數(shù)表計(jì)算先付年金的終值和現(xiàn)值時，可在后付年金的基礎(chǔ)上用終值和現(xiàn)值的計(jì)算公式進(jìn)行調(diào)整。62先付年金19

先付年金終值：n期先付年金與n期后付年金的付款次數(shù)相同，但由于付款時間的不同。n期先付年金終值比n期后付年金終值多計(jì)算一期利息。所以可以先求出n期后付年金終值，然后再乘以（1+i）便可求出n期先付年金的終值。其計(jì)算公式為:

63先付年金終值：n期先付年金與n期后付年金的付款次數(shù)相同

012n-1nAAAAn期先付年金終值012n-1nAAAAn期后付年金終值64012

此外,還可根據(jù)n期先付年金與n+1期后付年金的關(guān)系推導(dǎo)出另一公式。n期先付年金與n＋1期后付年金的計(jì)息期數(shù)相同，但比n+l期后付年金少付一次款，因此，只要將n+1期后付年金的終值減去一期付款額A,便可求出n期先付年金終值。其計(jì)算公式為：65此外,還可根據(jù)n期

例，某人每年年初存入銀行1000元，銀行存款年利率為8％，問第10年末的本利和應(yīng)為多少？V10=1000×FVIFA8%,10×(1+8%)=1000×14.487×1.08=15645或V10=1000×(FVIFA8%,11-1)=1000×(16.645-1)=1564566例，某人每年年初存入銀行1000元，銀行存款年利率為8％

先付年金現(xiàn)值：n期后付年金現(xiàn)值與n期先付年金現(xiàn)值的付款期數(shù)相同,但由于n期后付年金是期末付款，n期先付年金是期初付款，在計(jì)算現(xiàn)值時，n期后付年金現(xiàn)值比n期先付年金現(xiàn)值多貼現(xiàn)一期。所以，可先求出n期后付年金現(xiàn)值,然后再乘以（1+i），便可求出n期先付年金的現(xiàn)值。其計(jì)算公式為:67先付年金現(xiàn)值：n期后付年金現(xiàn)值與n期先付年金現(xiàn)值的付款

012n-1nAAAA

n期先付年金現(xiàn)值012n-1nAAAAn期后付年金現(xiàn)值68012

根據(jù)n期先付年金與n-1期后付年金現(xiàn)值的關(guān)系，可推導(dǎo)出計(jì)算n期先付年金現(xiàn)值的另一公式。n期先付年金現(xiàn)值與n-1期后付年金現(xiàn)值的貼現(xiàn)期數(shù)相同，但n期先付年金比n-1期后付年金多一期不用貼現(xiàn)的付款A(yù)，因此，先計(jì)算n-1期后付年金的現(xiàn)值，然后再加上一期不需貼現(xiàn)的付款A(yù),便可求出n期先付年金的現(xiàn)值。其計(jì)算公式為：69根據(jù)n期先付年金與n-1期后付年金現(xiàn)

例，某企業(yè)租用一設(shè)備，在10年中每年年初要支付租金5000元，年利息率為8％，問這些租金的現(xiàn)值是多少？V0=5000×PVIFA8%,10×(1+8%)=5000××6.71×1.08=36234或V0=5000×(PVIFA8%,9+1)=5000×(6.247+1)=3623570例，某企業(yè)租用一設(shè)備，在10年中每年年初要支付租金500

延期年金延期年金是指在最初若干期沒有收付款項(xiàng)的情況下，后面若干期等額的系列收付款項(xiàng)。假設(shè)最初有m期沒有收付款項(xiàng),后面n期有等額的收付款項(xiàng)，則延期年金的現(xiàn)值即為后n期年金貼現(xiàn)至m期期初的現(xiàn)值。通常先求出延期年金在n期期初（m期期末）的現(xiàn)值，再將它作為終值貼現(xiàn)至m期期初，便可求出延期年金的現(xiàn)值。

012n

012mm+1m+2m+n

AAAA

71延期年金28

延期年金現(xiàn)值還可以用另外一種方法計(jì)算。先求出m+n期后付年金現(xiàn)值減去沒有付款的前m期后付年金現(xiàn)值，二者之差便是延期m期的n期后付年金現(xiàn)值。其計(jì)算公式為：72延期年金現(xiàn)值還可以用另外一種方法計(jì)

例，某企業(yè)向銀行借入一筆款項(xiàng)，銀行貸款的年利息率為8％，銀行規(guī)定前10年不用還本付息，但從第11年至第20年每年年末償還本息1000元。這筆款項(xiàng)的現(xiàn)值應(yīng)為多少？V0=1000×PVIFA8%,10×PVIF8%,10=1000×6.710×0.463=3107或V0=1000×(PVIFA8%,20–PVIFA8%,10)=1000×(9.818-6.710)=310873例，某企業(yè)向銀行借入一筆款項(xiàng)，銀行貸款的年利息率為8％，

永續(xù)年金永續(xù)年金是指無限期支付的年金。西方有些債券為無期限債券，可視為永續(xù)年金;優(yōu)先股有固定的股利，無到期日，有時可以看做是永續(xù)年金。另外，期限長、利率高的年金現(xiàn)值，可按計(jì)算永續(xù)年金的公式，計(jì)算其近似值。74永續(xù)年金31

例，某永續(xù)年金每年年末的收入為800元，利息率為8％，求該項(xiàng)永續(xù)年金的現(xiàn)值。75例，某永續(xù)年金每年年末的收入為800元，利息率為8％

時間價值計(jì)算中的幾個特殊問題不等額現(xiàn)金流量的現(xiàn)值計(jì)算假設(shè)：A0—第0年末的付款A(yù)1—第1年末的付款A(yù)2—第2年末的付款…An—第n年末的付款76時間價值計(jì)算中的幾個特殊問題33

例，有一筆現(xiàn)金流量如下