古希臘的數(shù)學(xué)史話

6/6古希臘的數(shù)學(xué)史話古希臘的地理范圍,除了現(xiàn)在的希臘半島外,還包括整個(gè)愛琴海區(qū)域和北面的馬其頓和色雷斯、意大利半島和小亞細(xì)亞等地。公元前5、6世紀(jì),特別是希、波戰(zhàn)爭以后,雅典取得希臘城邦的領(lǐng)導(dǎo)地位,經(jīng)濟(jì)生活高度繁榮,生產(chǎn)力顯著提高,在這個(gè)根底上產(chǎn)生了光芒燦爛的希臘文化,對(duì)后世有深遠(yuǎn)的影響。希臘數(shù)學(xué)的開展歷史可以分為三個(gè)時(shí)期。第一期從伊奧尼亞學(xué)派到柏拉圖學(xué)派為止,約為公元前七世紀(jì)中葉到公元前三世紀(jì)；第二期是亞歷山大前期,從歐幾里得起到公元前146年,希臘陷于羅馬為止；第三期是亞歷山大后期,是羅馬人統(tǒng)治下的時(shí)期,結(jié)束于641年亞歷山大被阿拉伯人占領(lǐng)。從古代埃及、巴比倫的衰亡,到希臘文化的興盛,這過渡時(shí)期留下來的數(shù)學(xué)史料很少。不過希臘數(shù)學(xué)的興起和希臘商人通過旅行交往接觸到古代東方的文化有密切關(guān)系。伊奧尼亞位于小亞細(xì)亞西岸,它比希臘其他地區(qū)更容易吸收巴比倫、埃及等古國積累下來的經(jīng)驗(yàn)和文化。在伊奧尼亞,氏族貴族政治為商人的統(tǒng)治所代替,商人具有強(qiáng)烈的活動(dòng)性,有利于思想自由而大膽地開展。城邦內(nèi)部的斗爭,幫助擺脫傳統(tǒng)信念在希臘沒有特殊的祭司階層,也沒有必須遵守的教條,因此有相當(dāng)程度的思想自由。這大大有助于科學(xué)和哲學(xué)從宗教別離開來。米利都是伊奧尼亞的最大城市,也是泰勒斯的故土,泰勒斯是公認(rèn)的希臘哲學(xué)鼻祖。早年是一個(gè)商人,曾游訪巴比倫、埃及等地,很快就學(xué)會(huì)古代流傳下來的知識(shí),并加以發(fā)揚(yáng)。以后創(chuàng)立伊奧尼亞哲學(xué)學(xué)派,擺脫宗教,從自然現(xiàn)象中去尋找真理,以水為萬物的根源。當(dāng)時(shí)天文、數(shù)學(xué)和哲學(xué)是不可分的,泰勒斯同時(shí)也研究天文和數(shù)學(xué)。他曾預(yù)測一次日食,促使米太(在今黑海、里海之南)、呂底亞(今土耳其西部)兩國停止戰(zhàn)爭,多數(shù)學(xué)者認(rèn)為該次日食發(fā)生在公元前585年5月28日。他在埃及時(shí)曾利用日影及比例關(guān)系算出金字塔的高,使法老大為驚訝。泰勒斯在數(shù)學(xué)方面的奉獻(xiàn)是開始了命題的證明,它標(biāo)志著人們對(duì)客觀事物的認(rèn)識(shí)從感性上升到理性,這在數(shù)學(xué)史上是一個(gè)不尋常的飛躍。伊奧尼亞學(xué)派的著名學(xué)者還有阿納克西曼德和阿納克西米尼等。他們對(duì)后來的畢達(dá)哥拉斯有很大的影響。畢達(dá)哥拉斯公元前580年左右生于薩摩斯,為了擺脫暴政,移居意大利半島南部的克羅頓。在那里組織一個(gè)政治、宗教、哲學(xué)、數(shù)學(xué)合一的秘密團(tuán)體。后來在政治斗爭中遭到破壞,畢達(dá)哥拉斯被殺害,但他的學(xué)派還繼續(xù)存在兩個(gè)世紀(jì)之久。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派企圖用數(shù)來解釋一切,不僅僅認(rèn)為萬物都包含數(shù),而且說萬物都是數(shù)。他們以發(fā)現(xiàn)勾股定理(西方叫做畢達(dá)哥拉斯定理)聞名于世,又由此導(dǎo)致不可通約量的發(fā)現(xiàn)。這個(gè)學(xué)派還有一個(gè)特點(diǎn),就是將算術(shù)和幾何緊密聯(lián)系起來。他們找到用三個(gè)正整數(shù)表示直角三角形三邊長的一種公式,又注意到從1起連續(xù)的奇數(shù)和必為平方數(shù)等等,這既是算術(shù)問題,又和幾何有關(guān),他們還發(fā)現(xiàn)五種正多面體。伊奧尼亞學(xué)派和畢達(dá)哥拉斯學(xué)派有顯著的不同。前者研習(xí)數(shù)學(xué)并不單純?yōu)榱苏軐W(xué)的興趣,同時(shí)也為了實(shí)用。而后者卻不注重實(shí)際應(yīng)用,將數(shù)學(xué)和宗教聯(lián)系起來,想通過數(shù)學(xué)去探索永恒的真理。公元前五世紀(jì),雅典成為人文薈萃的中心,人們崇尚公開的精神。在公開的討論或辯論中,必須具有雄辯、修辭、哲學(xué)及數(shù)學(xué)等知識(shí),于是“智人學(xué)派〞應(yīng)運(yùn)而生。他們以教授文法、邏輯、數(shù)學(xué)、天文、修辭、雄辯等科目為業(yè)。在數(shù)學(xué)上,他們提出“三大問題〞：三等分任意角；倍立方,求作一立方體,使其體積是立方體的二倍；化圓為方,求作一正方形,使其面積等于一圓。這些問題的難處,是作圖只許用直尺(沒有刻度的尺)和圓規(guī)。希臘人的興趣并不在于圖形的實(shí)際作出,而是在尺規(guī)的限制下從理論上去解決這些問題,這是幾何學(xué)從實(shí)際應(yīng)用向系統(tǒng)理論過渡所邁出的重要的一步。這個(gè)學(xué)派的安提豐提出用“窮竭法〞去解決化圓為方問題,這是近代極限理論的雛形。先作圓內(nèi)接正方形,以后每次邊數(shù)加倍,得8、16、32、…邊形。安提豐深信“最后〞的多邊形與圓的“差〞必會(huì)“窮竭〞。這提供了求圓面積的近似方法,和中國的劉徽的割圓術(shù)思想不謀而合。公元前三世紀(jì),柏拉圖在雅典建立學(xué)派,創(chuàng)辦學(xué)園。他非常重視數(shù)學(xué),但片面強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)在訓(xùn)練智力方面的作用,而無視其實(shí)用價(jià)值。他主張通過幾何的學(xué)習(xí)培養(yǎng)邏輯思維能力,因?yàn)閹缀文芙o人以強(qiáng)烈的直觀印象,將抽象的邏輯規(guī)律表達(dá)在具體的圖形之中。這個(gè)學(xué)派培養(yǎng)出不少數(shù)學(xué)家,如歐多克索斯就曾就學(xué)于柏拉圖,他創(chuàng)立了比例論,是歐幾里得的前驅(qū)。柏拉圖的學(xué)生亞里士多德也是古代的大哲學(xué)家,是形式邏輯的奠基者。他的邏輯思想為日后將幾何學(xué)整理在嚴(yán)密的邏輯體系之中開辟了道路。這個(gè)時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)中心還有以芝諾為代表的埃利亞學(xué)派,他提出四個(gè)悖論,給學(xué)術(shù)界以極大的震動(dòng)。這四個(gè)悖論是：二分說,一物從甲地到乙地,永遠(yuǎn)不能到達(dá)。因?yàn)橄霃募椎揭?首先要通過道路的一半,但要通過這一半,必須先通過一半的一半,這樣分下去,永無止境。結(jié)論是此物的運(yùn)動(dòng)被道路的無限分割阻礙著,根本不能前進(jìn)一步；阿基琉斯(善跑英雄)追龜說,阿基琉斯追烏龜,永遠(yuǎn)追不上。因?yàn)楫?dāng)他追到烏龜?shù)某霭l(fā)點(diǎn)時(shí),龜已向前爬行了一段,他再追完這一段,龜又向前爬了一小段。這樣永遠(yuǎn)重復(fù)下去,總也追不上；飛箭靜止說,每一瞬間箭總在一個(gè)確定的位置上,因此它是不動(dòng)的；運(yùn)動(dòng)場問題,芝諾論證了時(shí)間和它的一半相等。以德謨克利特為代表的原子論學(xué)派,認(rèn)為線段、面積和立體,是由許多不可再分的原子所構(gòu)成。計(jì)算面積和體積,等于將這些原子集合起來。這種不甚嚴(yán)格的推理方法卻是古代數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)新結(jié)果的重要線索。公元前四世紀(jì)以后的希臘數(shù)學(xué),逐漸脫離哲學(xué)和天文學(xué),成為獨(dú)立的學(xué)科。數(shù)學(xué)的歷史于是進(jìn)入一個(gè)新階段——初等數(shù)學(xué)時(shí)期。這個(gè)時(shí)期的特點(diǎn)是,數(shù)學(xué)(主要是幾何學(xué))已建立起自己的理論體系,從以實(shí)驗(yàn)和觀察為依據(jù)的經(jīng)驗(yàn)科學(xué)過渡到演繹的科學(xué)。由少數(shù)幾個(gè)原始命題(公理)出發(fā),通過邏輯推理得到一系列的定理。這是希臘數(shù)學(xué)的根本精神。在這一時(shí)期里,初等幾何、算術(shù)初等代數(shù)大體己成為獨(dú)立的科目。和17世紀(jì)出現(xiàn)的解析幾何學(xué)、微積分學(xué)相比,這一個(gè)時(shí)期的研究內(nèi)容可以用“初等數(shù)學(xué)〞來概括,因此叫做初等數(shù)學(xué)時(shí)期。埃及的亞歷山大城,是東西海陸交通的樞紐,又經(jīng)過托勒密王的加意經(jīng)營,逐漸成為新的希臘文化中心,希臘外鄉(xiāng)這時(shí)已經(jīng)退居次要地位。幾何學(xué)最初萌芽于埃及,以后移植于伊奧尼亞,其次繁盛于意大利和雅典,最后又回到發(fā)源地。經(jīng)過這一番培植,已到達(dá)豐茂成林的境地。從公元前四世紀(jì)到公元前146年古希臘滅亡,羅馬成為地中海區(qū)域的統(tǒng)治者為止,希臘數(shù)學(xué)以亞歷山大為中心,到達(dá)它的全盛時(shí)期。這里有巨大的圖書館和濃厚的學(xué)術(shù)空氣,各地學(xué)者云集在此進(jìn)行教學(xué)和研究。其中成就最大的是亞歷山大前期三大數(shù)學(xué)家歐幾里得、阿基米德和阿波羅尼奧斯。歐幾里得的?幾何原本?是一部劃時(shí)代的著作。其偉大的歷史意義在于它是用公理法建立起演繹體系的最早典范。過去所積累下來的數(shù)學(xué)知識(shí),是零碎的、片斷的,可以比作磚瓦木石；只有借助于邏輯方法,把這些知識(shí)組織起來,加以分類、比擬,揭露彼此間的內(nèi)在聯(lián)系,整理在一個(gè)嚴(yán)密的系統(tǒng)之中,才能建成宏偉的大廈。?幾何原本?表達(dá)了這種精神,它對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)的開展產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。阿基米德是物理學(xué)家兼數(shù)學(xué)家,他善于將抽象的理論和工程技術(shù)的具體應(yīng)用結(jié)合起來,又在實(shí)踐中洞察事物的本質(zhì),通過嚴(yán)格的論證,使經(jīng)驗(yàn)事實(shí)上升為理論。他根據(jù)力學(xué)原理去探求解決面積和體積問題,已經(jīng)包含積分學(xué)的初步思想。阿波羅尼奧斯的主要奉獻(xiàn)是對(duì)圓錐曲線的深入研究。除了三大數(shù)學(xué)家以外,埃拉托斯特尼的大地測量和以他為名的“素?cái)?shù)篩子〞也很知名。天文學(xué)家喜帕恰斯制作“弦表〞,是三角學(xué)的先導(dǎo)。公元前146年以后,在羅馬統(tǒng)治下的亞歷山大學(xué)者仍能繼承前人的工作,不斷有所創(chuàng)造。海倫(約公元62)、門納勞斯(約公元100)、帕普斯等人都有重要奉獻(xiàn)。天文學(xué)家托勒密將喜帕恰斯的工作加以整理發(fā)揮,奠定了三角學(xué)的根底。晚期的希臘學(xué)者在算術(shù)和代數(shù)方面也頗有建樹,代表人物有尼科馬霍斯(約公元100)和丟番圖(約250)前者是杰拉什(今約旦北部)地方的人。著有?算術(shù)入門?,后者的?算術(shù)?是講數(shù)的理論的,而大局部內(nèi)容可以歸入代數(shù)的范圍。它完全脫離了幾何的形式,在希臘數(shù)學(xué)中獨(dú)樹一幟,對(duì)后世影響之