電動(dòng)力學(xué)課件

電動(dòng)力學(xué)應(yīng)用物理學(xué)專業(yè)必修課程青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院電動(dòng)力學(xué)應(yīng)用物理學(xué)專業(yè)必修課程青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院1第0章緒論及數(shù)學(xué)準(zhǔn)備第2章靜電場(chǎng)第3章靜磁場(chǎng)第4章電磁波的傳播第5章電磁波的輻射電動(dòng)力學(xué)目錄第1章電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律第6章狹義相對(duì)論第0章緒論及數(shù)學(xué)準(zhǔn)備第2章靜電場(chǎng)第3章靜磁場(chǎng)第2課程簡(jiǎn)介課程類型：應(yīng)用物理學(xué)本科生必修課成績(jī)?cè)u(píng)定：考試（70%），課堂提問和作業(yè)（30%）。

學(xué)時(shí)學(xué)分：64學(xué)時(shí)，4學(xué)分先修要求：普通物理電磁學(xué)，高等數(shù)學(xué)基本目的：1.學(xué)習(xí)處理電磁問題的一般理論和方法2.學(xué)習(xí)狹義相對(duì)論的理論和方法內(nèi)容提要：1．電磁場(chǎng)的基本規(guī)律2．靜電問題和靜磁問題3．電磁波的輻射和傳播4．狹義相對(duì)論的概念和理論的數(shù)學(xué)形式課程簡(jiǎn)介課程類型：應(yīng)用物理學(xué)本科生必修課成績(jī)?cè)u(píng)定：學(xué)時(shí)學(xué)分：3緒論及數(shù)學(xué)準(zhǔn)備第零章緒論及數(shù)學(xué)準(zhǔn)備第零章4一、基本情況及要求研究對(duì)象電動(dòng)力學(xué)主要研究電磁場(chǎng)的基本性質(zhì)，運(yùn)動(dòng)規(guī)律以及與帶電物質(zhì)之間的相互作用。

課程性質(zhì)電動(dòng)力學(xué)是物理學(xué)科的一門重要基礎(chǔ)理論課，是物理學(xué)的“四大力學(xué)”之一?！?緒論普通物理學(xué)數(shù)學(xué)電動(dòng)力學(xué)統(tǒng)計(jì)力學(xué)量子力學(xué)理論物理學(xué)固體物理學(xué)激光物理學(xué)量子電動(dòng)力學(xué)量子場(chǎng)論電子通信類課程電磁相關(guān)的技術(shù)一、基本情況及要求研究對(duì)象課程性質(zhì)§1緒論普通物理學(xué)5

學(xué)習(xí)目的與要求（1）通過學(xué)習(xí)電磁運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律，加深對(duì)電磁場(chǎng)基本性質(zhì)的理解；（2）通過學(xué)習(xí)狹義相對(duì)論理論了解相對(duì)論的時(shí)空觀及有關(guān)的基本理論；（3）獲得在本門課程領(lǐng)域內(nèi)分析和處理一些基本問題的初步能力；（4）為學(xué)習(xí)后續(xù)課程和獨(dú)力解決實(shí)際問題打下必要的基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)目的與要求6主要考核目標(biāo)（包括重點(diǎn)及難點(diǎn)）（1）掌握矢量場(chǎng)論的簡(jiǎn)單運(yùn)算；（2）掌握電磁場(chǎng)基本理論、重要實(shí)驗(yàn)定律；（3）掌握靜電場(chǎng)和靜磁場(chǎng)的基本理論和解題方法；（4）掌握電磁波傳播和輻射的基本概念和簡(jiǎn)單應(yīng)用；（5）掌握狹義相對(duì)論的基本理論和簡(jiǎn)單應(yīng)用。重點(diǎn)：第一、二、四、六章難點(diǎn)：公式多、需要記得多、數(shù)學(xué)推導(dǎo)較繁雜；解題難度大、相對(duì)論概念不易理解。主要考核目標(biāo)（包括重點(diǎn)及難點(diǎn)）重點(diǎn)：第一、二、四、六章7二、電動(dòng)力學(xué)與電磁學(xué)的聯(lián)系與區(qū)別范圍既討論靜場(chǎng)又討論變化場(chǎng)，外加相對(duì)論。深度從矢量場(chǎng)論出發(fā)，總結(jié)電磁現(xiàn)象普遍規(guī)律，解題更具一般性。方法建立模型、求解方程、注重理論。

數(shù)學(xué)矢量場(chǎng)論、張量分析初步、線性代數(shù)、數(shù)理方程、特殊函數(shù)………二、電動(dòng)力學(xué)與電磁學(xué)的聯(lián)系與區(qū)別范圍8三、理論物理的特點(diǎn)模型建立在一些實(shí)驗(yàn)與一系列假設(shè)基礎(chǔ)之上模型一般為偏微分方程求解方程需要特殊的數(shù)學(xué)方法理論的正確由求解結(jié)果與實(shí)驗(yàn)是否相符合來驗(yàn)證一些基本思想在爭(zhēng)論中不斷發(fā)展三、理論物理的特點(diǎn)模型建立在一些實(shí)驗(yàn)與一系列假設(shè)基礎(chǔ)之上9四、適用范圍及主要應(yīng)用適用于宏觀電磁現(xiàn)象，對(duì)于微觀粒子不考慮波動(dòng)性同時(shí)也不考慮電磁場(chǎng)的量子性。主要應(yīng)用：電力工業(yè)技術(shù)、廣播、通訊、雷達(dá)、測(cè)井技術(shù)、加速器、光電子技術(shù)、激光理論、非線性光學(xué)、等離子體、天體物理……。四、適用范圍及主要應(yīng)用適用于宏觀電磁現(xiàn)象，對(duì)于微觀粒子不考10五、主要參考書[1]《電動(dòng)力學(xué)》郭碩鴻高教出版社第二版1997[2]《電動(dòng)力學(xué)》蔡圣善等高教出版社第二版2002[3]《電動(dòng)力學(xué)》虞福春北京大學(xué)出版社1992[4]《電動(dòng)力學(xué)題解》林璇英、張之翔科學(xué)出版社1999；[5]《電動(dòng)力學(xué)解題指導(dǎo)》王雪君北京師范大學(xué)出版社1998[6]經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)(影印版)(第3版)JohnDavidJackson高等教育出版社2004.五、主要參考書[1]《電動(dòng)力學(xué)》郭碩鴻高教出版社第二版11⑴1675庫侖定律⑵1820電流磁效應(yīng)（畢－薩定律）⑶1822安培作用力定律（電動(dòng)力學(xué)一詞開始使用）⑷1831電磁感應(yīng)（法拉第），場(chǎng)的思想⑸1856-1873麥克斯韋方程，預(yù)言了電磁波的存在⑹1881-1887邁克爾遜實(shí)驗(yàn)（1881）,邁－莫雷實(shí)驗(yàn)（1887）⑺1888赫茲證實(shí)電磁波存在⑻1905狹義相對(duì)論（愛因斯坦“論運(yùn)動(dòng)物體的電動(dòng)力學(xué)”）。六、發(fā)展簡(jiǎn)史4123⑴1675庫侖定律六、發(fā)展簡(jiǎn)史412312法拉第英國物理學(xué)家和化學(xué)家。最主要貢獻(xiàn)：1831年發(fā)現(xiàn)了電磁感應(yīng)現(xiàn)象。1834年他研究電流通過溶液時(shí)產(chǎn)生的化學(xué)變化，提出了法拉第電解定律。這一定律為發(fā)展電結(jié)構(gòu)理論開辟了道路。1845年9月13日法拉第發(fā)現(xiàn)，一束平面偏振光通過磁場(chǎng)時(shí)發(fā)生旋轉(zhuǎn)，這種現(xiàn)象被稱為“法拉第效應(yīng)”。法拉第認(rèn)為光具有電磁性質(zhì)，是光的電磁波理論的先驅(qū)1852年他引進(jìn)磁力線概念。他的很多成就不僅非常重要、且是帶根本性的理論。（1791～1867）他制造了世界上第一臺(tái)發(fā)電機(jī)。法拉第發(fā)現(xiàn)電介質(zhì)的作用，創(chuàng)立了介電常數(shù)的概念。后來電容的單位“法拉”就是用他的名字命名的。返回法拉第英國物理學(xué)家和化學(xué)家。（1791～1867）13麥克斯韋(JamesClerkMaxwel1831～1879)

生平簡(jiǎn)介：英國物理學(xué)家，1831年6月13日生于英國愛丁堡的一個(gè)地主家庭，8歲時(shí)，母親去世，在父親的誘導(dǎo)下學(xué)習(xí)科學(xué)，16歲時(shí)進(jìn)入愛丁堡大學(xué)，1850年轉(zhuǎn)入劍橋大學(xué)研習(xí)數(shù)學(xué)，1854年以優(yōu)異成績(jī)畢業(yè)于該校三一學(xué)院數(shù)學(xué)系，并留校任職。1856年到阿伯丁的馬里沙耳學(xué)院任自然哲學(xué)教授。1860年到倫敦任皇家學(xué)院自然哲學(xué)及天文學(xué)教授。1865年辭去教職還鄉(xiāng)，專心治學(xué)和著述。1871年受聘為劍橋大學(xué)的實(shí)驗(yàn)物理學(xué)教授，負(fù)責(zé)籌建該校的第一所物理學(xué)實(shí)驗(yàn)室——卡文迪許實(shí)驗(yàn)室，1874年建成后擔(dān)任主任。1879年11月5日在劍橋逝世，終年只有49歲。科學(xué)成就：電磁場(chǎng)理論和光的電磁理論，預(yù)言了電磁波的存在，1873《電磁學(xué)通論》。他建立了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的嚴(yán)格理論，并重復(fù)卡文迪許的實(shí)驗(yàn)，他還發(fā)明了麥克斯韋電橋。運(yùn)用數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)的方法導(dǎo)出了分子運(yùn)動(dòng)的麥克斯韋速度分布律，創(chuàng)立了定量色度學(xué)，負(fù)責(zé)建立起來的卡文迪許實(shí)驗(yàn)室。法拉第專于實(shí)驗(yàn)探索，麥克斯韋擅長理論概括

返回麥克斯韋(JamesClerkMaxwel1831～114返回實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家邁克爾孫

邁克耳孫1873年畢業(yè)于美國海軍學(xué)院，并留校教物理和化學(xué)。大約在5年后，開始進(jìn)行光速的測(cè)量工作，隨后游學(xué)歐洲，在德國和法國學(xué)習(xí)光學(xué)。回國后離開海軍成為凱斯學(xué)院物理學(xué)教授。邁克耳孫因?yàn)榫芄鈱W(xué)儀器和借助這些儀器進(jìn)行的光譜學(xué)和度量學(xué)的研究工作做出的貢獻(xiàn)獲得1907年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。邁克耳孫自己設(shè)計(jì)了旋轉(zhuǎn)鏡和干涉儀，用以測(cè)定微小的長度、折射率和光波波長。1879年，他得到的光速為299910±5千米／秒；1882年，他得到的光速為299853±6千米／秒。這個(gè)結(jié)果被公認(rèn)為國際標(biāo)準(zhǔn)，沿用了40年。邁克耳孫最后一次測(cè)量光速是在加利福尼亞兩座相差35千米的山上進(jìn)行的，光速測(cè)量精確度最后達(dá)到了299798±4千米／秒。他就在這次測(cè)量過程中中風(fēng)，于1931年去世。邁克耳孫最著名的實(shí)驗(yàn)是被稱為邁克耳孫－莫雷的測(cè)定以太是否存在的實(shí)驗(yàn)（1887）。

返回實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家邁克爾孫邁克耳孫1873年畢業(yè)于美國海軍學(xué)15愛因斯坦

20世紀(jì)最杰出的科學(xué)家

愛因斯坦生于德國烏爾姆一個(gè)經(jīng)營電器作坊的小業(yè)主家庭。一年后，隨全家遷居慕尼黑。1894年，他的家遷到意大利米蘭。1895年他轉(zhuǎn)學(xué)到瑞士阿勞市的州立中學(xué)。1896年進(jìn)蘇黎世工業(yè)大學(xué)師范系學(xué)習(xí)物理學(xué)，1900年畢業(yè)。1901年取得瑞士國籍。1902年被伯爾尼瑞士專利局錄用為技術(shù)員，從事發(fā)明專利申請(qǐng)的技術(shù)鑒定工作。他利用業(yè)余時(shí)間開展科學(xué)研究，于1905年在物理學(xué)三個(gè)不同領(lǐng)域中取得了歷史性成就，特別是狹義相對(duì)論的建立和光量子論的提出，推動(dòng)了物理學(xué)理論的革命。同年，以論文《分子大小的新測(cè)定法》，取得蘇黎世大學(xué)的博士學(xué)位。

1879-1955愛因斯坦20世紀(jì)最杰愛因斯坦生于德國烏爾姆16

愛因斯坦1908年兼任伯爾尼大學(xué)編外講師。1909年離開專利局任蘇黎世大學(xué)理論物理學(xué)副教授。1911年任布拉格德語大學(xué)理論物理學(xué)教授，1912年任母校蘇黎世聯(lián)邦工業(yè)大學(xué)教授。1914年，應(yīng)馬克斯·普朗克和瓦爾特·能斯脫的邀請(qǐng)，回德國任威廉皇家物理研究所所長兼柏林大學(xué)教授，直到1933年。1920年應(yīng)亨德里克·安東·洛倫茲和保耳·埃倫菲斯特的邀請(qǐng)，兼任荷蘭萊頓大學(xué)特邀教授。第一次世界大戰(zhàn)爆發(fā)后，他投入公開和地下的反戰(zhàn)活動(dòng)。愛因斯坦1908年兼任伯爾尼大學(xué)編外講師。1909年離開171915年愛因斯坦發(fā)表了廣義相對(duì)論。他所作的光線經(jīng)過太陽引力場(chǎng)要彎曲的預(yù)言于1919年由英國天文學(xué)家亞瑟·斯坦利·愛丁頓的日全食觀測(cè)結(jié)果所證實(shí)。1916年他預(yù)言的引力波在1978年也得到了證實(shí)。愛因斯坦和相對(duì)論在西方成了家喻戶曉的名詞，同時(shí)也招來了德國和其他國家的沙文主義者、軍國主義者和排猶主義者的惡毒攻擊。愛因斯坦因在光電效應(yīng)方面的研究，而被授予1921年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。1933年1月納粹黨攫取德國政權(quán)后，愛因斯坦是科學(xué)界首要的迫害對(duì)象，幸而當(dāng)時(shí)他在美國講學(xué)，未遭毒手。3月他回歐洲后避居比利時(shí)，9月9日發(fā)現(xiàn)有準(zhǔn)備行刺他的蓋世太保跟蹤，星夜渡海到英國，10月轉(zhuǎn)到美國普林斯頓大學(xué)，任新建的高級(jí)研究院教授，直至1945年退休。1940年他取得美國國籍。1915年愛因斯坦發(fā)表了廣義相對(duì)論。他所作的光線經(jīng)過太陽引力181939年他獲悉鈾核裂變及其鏈?zhǔn)椒磻?yīng)的發(fā)現(xiàn)，在匈牙利物理學(xué)家利奧·西拉德推動(dòng)下，上書羅斯?？偨y(tǒng)，建議研制原子彈，以防德國占先。第二次世界大戰(zhàn)結(jié)束前夕，美國在日本廣島和長崎兩個(gè)城市上空投擲原子彈，愛因斯坦對(duì)此強(qiáng)烈不滿。戰(zhàn)后，為開展反對(duì)核戰(zhàn)爭(zhēng)的和平運(yùn)動(dòng)和反對(duì)美國國內(nèi)法西斯危險(xiǎn)，進(jìn)行不懈的斗爭(zhēng)。1955年4月18日愛因斯坦因主動(dòng)脈瘤破裂逝世于普林斯頓。遵照他的遺囑，不舉行任何喪禮，不筑墳?zāi)梗涣⒓o(jì)念碑，骨灰撒在永遠(yuǎn)對(duì)人保密的地方，為的是不使任何地方成為圣地。愛因斯坦的后半生一直從事尋找大統(tǒng)一理論的工作，不過這項(xiàng)工作沒有獲得成功，現(xiàn)在大統(tǒng)一理論是理論物理學(xué)研究的中心問題。愛因斯坦是耶路撒冷希伯來大學(xué)的注冊(cè)商標(biāo)

返回1939年他獲悉鈾核裂變及其鏈?zhǔn)椒磻?yīng)的發(fā)現(xiàn)，在匈牙利物理學(xué)家19§1

矢量代數(shù)與張量初步直角坐標(biāo)系中

矢量定義

矢量的基本運(yùn)算

§1矢量代數(shù)與張量初步直角坐標(biāo)系中矢量定義矢量的基本20矢量代數(shù)中的兩個(gè)重要公式混合積矢量微分雙重矢量積注意順序不能顛倒矢量代數(shù)中的兩個(gè)重要公式混合積矢量微分雙重矢量積注意順序不21

并矢與張量

（一般

）

為單位并矢，張量的基（9個(gè)分量）

矢量與張量的矩陣表示

并矢與張量（一般）為單位并矢，張量的基（9個(gè)分量）22張量的運(yùn)算張量的運(yùn)算23兩并矢的一次點(diǎn)乘

兩并矢的二次點(diǎn)乘單位張量與矢量、張量的點(diǎn)乘

兩并矢的一次點(diǎn)乘兩并矢的二次點(diǎn)乘單位張量與矢量、張量的點(diǎn)乘24補(bǔ)充練習(xí)題（0，

，

－1，1）計(jì)算與矢量垂直,即證明計(jì)算下列各式證明下列各式補(bǔ)充練習(xí)題（0，25一、場(chǎng)的概念§2矢量場(chǎng)論復(fù)習(xí)

描述一定空間中連續(xù)分布的物質(zhì)對(duì)象的物理量?；蛘f：若在一定空間中的每一點(diǎn)，都對(duì)應(yīng)著某個(gè)物理量的確定值，就說在這空間中確定了該物理的場(chǎng)。如：強(qiáng)度場(chǎng)、速度場(chǎng)、引力場(chǎng)、電磁場(chǎng)。場(chǎng)用一個(gè)空間和時(shí)間坐標(biāo)的函數(shù)來描述：穩(wěn)恒場(chǎng)（穩(wěn)定場(chǎng)、靜場(chǎng)）：場(chǎng)與時(shí)間無關(guān)變化場(chǎng)（時(shí)變場(chǎng)）：場(chǎng)函數(shù)與時(shí)間有關(guān)一、場(chǎng)的概念§2矢量場(chǎng)論復(fù)習(xí)描述一定空間中連續(xù)分布的物26已知場(chǎng)函數(shù)可以了解場(chǎng)的各種性質(zhì)：隨時(shí)空的變化關(guān)系（梯、散、旋度）。已知場(chǎng)函數(shù)的梯度、散度、旋度可以確定場(chǎng)函數(shù)，

這是電動(dòng)力學(xué)求解電磁場(chǎng)的主要方法。二、標(biāo)量場(chǎng)的梯度

在空間任意靠近兩點(diǎn)函數(shù)的全微分在空間某點(diǎn)的任意方向上，導(dǎo)數(shù)有無窮多個(gè)，其中有一個(gè)值最大，這個(gè)方向?qū)?shù)的最大值定義為梯度：

已知場(chǎng)函數(shù)可以了解場(chǎng)的各種性質(zhì)：隨時(shí)空的變化關(guān)系（梯、散、旋27

梯度的意義：空間某點(diǎn)標(biāo)量場(chǎng)函數(shù)的最大變化率，刻畫了標(biāo)量場(chǎng)的空間分布特征等值面：常數(shù)的曲面稱為等值面。梯度與等值面的關(guān)系：梯度與等值面垂直。

已知梯度即可求出沿任一方向的方向?qū)?shù)。三、矢量微分算子

既具有矢量性質(zhì)，又具有微分性質(zhì)

注意：它可以作用在矢量上，可以作點(diǎn)乘、叉乘。梯度的意義：空間某點(diǎn)標(biāo)量場(chǎng)函數(shù)的最大變化率等值面：28解：=？例1：解：=？例1：29解：例2：=？解：例2：=？30四、高斯定理與矢量場(chǎng)的散度

矢量族

在矢量場(chǎng)中對(duì)于給定的一點(diǎn)，有一個(gè)方向，它沿某一曲線的切線方向，這條曲線形成一條矢量線，又叫場(chǎng)線（對(duì)靜電場(chǎng)稱為電力線），無窮多條這樣的曲線構(gòu)成一個(gè)矢量族。

矢量場(chǎng)的通量

面元的通量：

有限面積的通量

意義：用來描述空間某一范圍內(nèi)場(chǎng)的發(fā)散或會(huì)聚，它只具有局域性質(zhì)，不能反映空間一點(diǎn)的情況。有源無源負(fù)源

閉合曲面的通量

四、高斯定理與矢量場(chǎng)的散度矢量族在矢量場(chǎng)中對(duì)于31高斯公式

矢量場(chǎng)的散度

縮小到一點(diǎn)若空間各點(diǎn)處處則稱為無源場(chǎng)。該點(diǎn)有源該點(diǎn)無源該點(diǎn)為負(fù)源

高斯公式矢量場(chǎng)的散度縮小到一點(diǎn)若空間各點(diǎn)處處則稱32例子：求求例子：求求33

證明證：證明證：34五、斯托克斯公式與矢量場(chǎng)的旋度

矢量場(chǎng)的環(huán)量（環(huán)流）

表明在區(qū)域內(nèi)無渦旋狀態(tài)，場(chǎng)線不閉合表明在區(qū)域內(nèi)存在渦旋狀態(tài)，場(chǎng)線閉合斯托克斯公式（定理）

矢量沿任一閉合曲線的積分稱為環(huán)量五、斯托克斯公式與矢量場(chǎng)的旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量（環(huán)流）表明在35定義為矢量場(chǎng)的旋度，它在法線方向上的分量為單位面積上的環(huán)量?？坍嬍噶繄?chǎng)場(chǎng)線在空間某點(diǎn)上的環(huán)流特征。若空間各點(diǎn)，則稱為無旋場(chǎng)。

矢量場(chǎng)的旋度

當(dāng)L無限小：

定義為矢量場(chǎng)的旋度，它在法線方向上的分量為36例子：證明同理證=0例子：證明同理證=037證明

證：證明證：38六、有關(guān)場(chǎng)的四個(gè)定理關(guān)于散度旋度的兩個(gè)定理正定理：標(biāo)量場(chǎng)的梯度必為無旋場(chǎng)，即逆定理：無旋場(chǎng)必可以表示為某一標(biāo)量場(chǎng)的梯度。即若，則，稱為無旋場(chǎng)的標(biāo)量勢(shì)函數(shù)。2.正定理:矢量場(chǎng)的旋度必為無散場(chǎng)，即逆定理:無源場(chǎng)必可表示為某個(gè)矢量場(chǎng)的旋度。即若，則，稱為無源場(chǎng)的矢量勢(shì)函數(shù)。

六、有關(guān)場(chǎng)的四個(gè)定理關(guān)于散度旋度的兩個(gè)定理正定理：標(biāo)量場(chǎng)的梯39亥姆霍茲定理

任意矢量場(chǎng)[]均可分解為無旋場(chǎng)和無源場(chǎng)之和。即可分解為[]。又稱為的橫場(chǎng)部分，可引入標(biāo)勢(shì)，

又稱為的縱場(chǎng)部分，可引入矢勢(shì)，亥姆霍茲定理任意矢量場(chǎng)[40唯一性定理

定理：在空間某一區(qū)域內(nèi)給定場(chǎng)的散度和旋度以及矢量場(chǎng)在區(qū)域邊界上的法線分量，則該矢量場(chǎng)在區(qū)域內(nèi)是唯一確定的。

V唯一性定理定理：在空間某一區(qū)域內(nèi)給定場(chǎng)的散度和旋度以及則41

1795~1799年在哥廷根大學(xué)學(xué)習(xí)，1799年獲博士學(xué)位。1870年任哥廷根大學(xué)數(shù)學(xué)教授和哥廷根天文臺(tái)臺(tái)長，一直到逝世。1855年2月23日在哥廷根逝世。他一生中共發(fā)表323篇（種）著作，提出404項(xiàng)科學(xué)創(chuàng)見（發(fā)表178項(xiàng)），在各領(lǐng)域的主要成就有：（1）關(guān)于靜電學(xué)溫差電和摩擦電的研究、利用絕對(duì)單位（長度質(zhì)量和時(shí)間）法則量度非力學(xué)量以及地磁分布的理論研究；（2）利用幾何學(xué)知識(shí)研究光學(xué)系統(tǒng)近軸光線行為和成像，建立高斯定理光學(xué)；（3）天文學(xué)和大地測(cè)量學(xué)中，如小行星軌道的計(jì)算，地球大小和形狀的理論研究等；（4）結(jié)合試驗(yàn)數(shù)據(jù)的測(cè)算，發(fā)展了概率統(tǒng)計(jì)理論和誤差理論，發(fā)明了最小二乘法，引入高斯定理誤差曲線。此外，在純數(shù)學(xué)方面，對(duì)數(shù)論、代數(shù)、幾何學(xué)的若干基本定理作出嚴(yán)格證明。

德國數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家。1777年4月30日生于德國布倫瑞克，幼時(shí)家境貧困，聰敏異常，受一貴族資助才進(jìn)學(xué)校受教育。高

斯1795~1799年在哥廷根大學(xué)學(xué)習(xí)，1799年獲博士42§3三度在坐標(biāo)系中的表示及一些重要公式

一、矢量微分算子（哈密頓算子）二、柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系§3三度在坐標(biāo)系中的表示及一些重要公式一、矢量微分算子（43三、“三度”在坐標(biāo)系中的具體表示形式四、關(guān)于“三度”的一些常用公式復(fù)合函數(shù)的三度公式

積分變換公式

高斯公式

斯托克斯公式利用混合積公式三、“三度”在坐標(biāo)系中的具體表示形式四、關(guān)于“三度”的一些常44格林公式第一公式

第二公式

積分變換的一般規(guī)則格林公式第一公式第二公式積分變換的一般規(guī)則45一般變換規(guī)則證明

證：任取常矢量點(diǎn)乘上式兩端左1。=2。證：任取常矢量點(diǎn)乘上式兩端左一般變換規(guī)則證明證：任取常矢量點(diǎn)乘上式兩端左1。46矢量微分算符常用公式

1。3。4。5。6。7。8。9。10。2。矢量微分算符常用公式1。3。4。5。6。7。8。9。10。47僅證明7式證：同理去掉腳標(biāo)微分運(yùn)算矢量運(yùn)算僅證明7式證：同理去掉腳標(biāo)微分運(yùn)算矢量運(yùn)算48§4函數(shù)與點(diǎn)電荷密度一維三維§4函數(shù)與點(diǎn)電荷密度一維三維49電動(dòng)力學(xué)中一個(gè)重要的函數(shù)形式證：=0[]/點(diǎn)電荷密度分布電動(dòng)力學(xué)中一個(gè)重要的函數(shù)形式證：=0[]/點(diǎn)電荷密度分布50作業(yè)：P452、4、6作業(yè)：P452、4、651電動(dòng)力學(xué)課件52電動(dòng)力學(xué)應(yīng)用物理學(xué)專業(yè)必修課程青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院電動(dòng)力學(xué)應(yīng)用物理學(xué)專業(yè)必修課程青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院53第0章緒論及數(shù)學(xué)準(zhǔn)備第2章靜電場(chǎng)第3章靜磁場(chǎng)第4章電磁波的傳播第5章電磁波的輻射電動(dòng)力學(xué)目錄第1章電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律第6章狹義相對(duì)論第0章緒論及數(shù)學(xué)準(zhǔn)備第2章靜電場(chǎng)第3章靜磁場(chǎng)第54課程簡(jiǎn)介課程類型：應(yīng)用物理學(xué)本科生必修課成績(jī)?cè)u(píng)定：考試（70%），課堂提問和作業(yè)（30%）。

學(xué)時(shí)學(xué)分：64學(xué)時(shí)，4學(xué)分先修要求：普通物理電磁學(xué)，高等數(shù)學(xué)基本目的：1.學(xué)習(xí)處理電磁問題的一般理論和方法2.學(xué)習(xí)狹義相對(duì)論的理論和方法內(nèi)容提要：1．電磁場(chǎng)的基本規(guī)律2．靜電問題和靜磁問題3．電磁波的輻射和傳播4．狹義相對(duì)論的概念和理論的數(shù)學(xué)形式課程簡(jiǎn)介課程類型：應(yīng)用物理學(xué)本科生必修課成績(jī)?cè)u(píng)定：學(xué)時(shí)學(xué)分：55緒論及數(shù)學(xué)準(zhǔn)備第零章緒論及數(shù)學(xué)準(zhǔn)備第零章56一、基本情況及要求研究對(duì)象電動(dòng)力學(xué)主要研究電磁場(chǎng)的基本性質(zhì)，運(yùn)動(dòng)規(guī)律以及與帶電物質(zhì)之間的相互作用。

課程性質(zhì)電動(dòng)力學(xué)是物理學(xué)科的一門重要基礎(chǔ)理論課，是物理學(xué)的“四大力學(xué)”之一?！?緒論普通物理學(xué)數(shù)學(xué)電動(dòng)力學(xué)統(tǒng)計(jì)力學(xué)量子力學(xué)理論物理學(xué)固體物理學(xué)激光物理學(xué)量子電動(dòng)力學(xué)量子場(chǎng)論電子通信類課程電磁相關(guān)的技術(shù)一、基本情況及要求研究對(duì)象課程性質(zhì)§1緒論普通物理學(xué)57

學(xué)習(xí)目的與要求（1）通過學(xué)習(xí)電磁運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律，加深對(duì)電磁場(chǎng)基本性質(zhì)的理解；（2）通過學(xué)習(xí)狹義相對(duì)論理論了解相對(duì)論的時(shí)空觀及有關(guān)的基本理論；（3）獲得在本門課程領(lǐng)域內(nèi)分析和處理一些基本問題的初步能力；（4）為學(xué)習(xí)后續(xù)課程和獨(dú)力解決實(shí)際問題打下必要的基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)目的與要求58主要考核目標(biāo)（包括重點(diǎn)及難點(diǎn)）（1）掌握矢量場(chǎng)論的簡(jiǎn)單運(yùn)算；（2）掌握電磁場(chǎng)基本理論、重要實(shí)驗(yàn)定律；（3）掌握靜電場(chǎng)和靜磁場(chǎng)的基本理論和解題方法；（4）掌握電磁波傳播和輻射的基本概念和簡(jiǎn)單應(yīng)用；（5）掌握狹義相對(duì)論的基本理論和簡(jiǎn)單應(yīng)用。重點(diǎn)：第一、二、四、六章難點(diǎn)：公式多、需要記得多、數(shù)學(xué)推導(dǎo)較繁雜；解題難度大、相對(duì)論概念不易理解。主要考核目標(biāo)（包括重點(diǎn)及難點(diǎn)）重點(diǎn)：第一、二、四、六章59二、電動(dòng)力學(xué)與電磁學(xué)的聯(lián)系與區(qū)別范圍既討論靜場(chǎng)又討論變化場(chǎng)，外加相對(duì)論。深度從矢量場(chǎng)論出發(fā)，總結(jié)電磁現(xiàn)象普遍規(guī)律，解題更具一般性。方法建立模型、求解方程、注重理論。

數(shù)學(xué)矢量場(chǎng)論、張量分析初步、線性代數(shù)、數(shù)理方程、特殊函數(shù)………二、電動(dòng)力學(xué)與電磁學(xué)的聯(lián)系與區(qū)別范圍60三、理論物理的特點(diǎn)模型建立在一些實(shí)驗(yàn)與一系列假設(shè)基礎(chǔ)之上模型一般為偏微分方程求解方程需要特殊的數(shù)學(xué)方法理論的正確由求解結(jié)果與實(shí)驗(yàn)是否相符合來驗(yàn)證一些基本思想在爭(zhēng)論中不斷發(fā)展三、理論物理的特點(diǎn)模型建立在一些實(shí)驗(yàn)與一系列假設(shè)基礎(chǔ)之上61四、適用范圍及主要應(yīng)用適用于宏觀電磁現(xiàn)象，對(duì)于微觀粒子不考慮波動(dòng)性同時(shí)也不考慮電磁場(chǎng)的量子性。主要應(yīng)用：電力工業(yè)技術(shù)、廣播、通訊、雷達(dá)、測(cè)井技術(shù)、加速器、光電子技術(shù)、激光理論、非線性光學(xué)、等離子體、天體物理……。四、適用范圍及主要應(yīng)用適用于宏觀電磁現(xiàn)象，對(duì)于微觀粒子不考62五、主要參考書[1]《電動(dòng)力學(xué)》郭碩鴻高教出版社第二版1997[2]《電動(dòng)力學(xué)》蔡圣善等高教出版社第二版2002[3]《電動(dòng)力學(xué)》虞福春北京大學(xué)出版社1992[4]《電動(dòng)力學(xué)題解》林璇英、張之翔科學(xué)出版社1999；[5]《電動(dòng)力學(xué)解題指導(dǎo)》王雪君北京師范大學(xué)出版社1998[6]經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)(影印版)(第3版)JohnDavidJackson高等教育出版社2004.五、主要參考書[1]《電動(dòng)力學(xué)》郭碩鴻高教出版社第二版63⑴1675庫侖定律⑵1820電流磁效應(yīng)（畢－薩定律）⑶1822安培作用力定律（電動(dòng)力學(xué)一詞開始使用）⑷1831電磁感應(yīng)（法拉第），場(chǎng)的思想⑸1856-1873麥克斯韋方程，預(yù)言了電磁波的存在⑹1881-1887邁克爾遜實(shí)驗(yàn)（1881）,邁－莫雷實(shí)驗(yàn)（1887）⑺1888赫茲證實(shí)電磁波存在⑻1905狹義相對(duì)論（愛因斯坦“論運(yùn)動(dòng)物體的電動(dòng)力學(xué)”）。六、發(fā)展簡(jiǎn)史4123⑴1675庫侖定律六、發(fā)展簡(jiǎn)史412364法拉第英國物理學(xué)家和化學(xué)家。最主要貢獻(xiàn)：1831年發(fā)現(xiàn)了電磁感應(yīng)現(xiàn)象。1834年他研究電流通過溶液時(shí)產(chǎn)生的化學(xué)變化，提出了法拉第電解定律。這一定律為發(fā)展電結(jié)構(gòu)理論開辟了道路。1845年9月13日法拉第發(fā)現(xiàn)，一束平面偏振光通過磁場(chǎng)時(shí)發(fā)生旋轉(zhuǎn)，這種現(xiàn)象被稱為“法拉第效應(yīng)”。法拉第認(rèn)為光具有電磁性質(zhì)，是光的電磁波理論的先驅(qū)1852年他引進(jìn)磁力線概念。他的很多成就不僅非常重要、且是帶根本性的理論。（1791～1867）他制造了世界上第一臺(tái)發(fā)電機(jī)。法拉第發(fā)現(xiàn)電介質(zhì)的作用，創(chuàng)立了介電常數(shù)的概念。后來電容的單位“法拉”就是用他的名字命名的。返回法拉第英國物理學(xué)家和化學(xué)家。（1791～1867）65麥克斯韋(JamesClerkMaxwel1831～1879)

生平簡(jiǎn)介：英國物理學(xué)家，1831年6月13日生于英國愛丁堡的一個(gè)地主家庭，8歲時(shí)，母親去世，在父親的誘導(dǎo)下學(xué)習(xí)科學(xué)，16歲時(shí)進(jìn)入愛丁堡大學(xué)，1850年轉(zhuǎn)入劍橋大學(xué)研習(xí)數(shù)學(xué)，1854年以優(yōu)異成績(jī)畢業(yè)于該校三一學(xué)院數(shù)學(xué)系，并留校任職。1856年到阿伯丁的馬里沙耳學(xué)院任自然哲學(xué)教授。1860年到倫敦任皇家學(xué)院自然哲學(xué)及天文學(xué)教授。1865年辭去教職還鄉(xiāng)，專心治學(xué)和著述。1871年受聘為劍橋大學(xué)的實(shí)驗(yàn)物理學(xué)教授，負(fù)責(zé)籌建該校的第一所物理學(xué)實(shí)驗(yàn)室——卡文迪許實(shí)驗(yàn)室，1874年建成后擔(dān)任主任。1879年11月5日在劍橋逝世，終年只有49歲。科學(xué)成就：電磁場(chǎng)理論和光的電磁理論，預(yù)言了電磁波的存在，1873《電磁學(xué)通論》。他建立了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的嚴(yán)格理論，并重復(fù)卡文迪許的實(shí)驗(yàn)，他還發(fā)明了麥克斯韋電橋。運(yùn)用數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)的方法導(dǎo)出了分子運(yùn)動(dòng)的麥克斯韋速度分布律，創(chuàng)立了定量色度學(xué)，負(fù)責(zé)建立起來的卡文迪許實(shí)驗(yàn)室。法拉第專于實(shí)驗(yàn)探索，麥克斯韋擅長理論概括

返回麥克斯韋(JamesClerkMaxwel1831～166返回實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家邁克爾孫

邁克耳孫1873年畢業(yè)于美國海軍學(xué)院，并留校教物理和化學(xué)。大約在5年后，開始進(jìn)行光速的測(cè)量工作，隨后游學(xué)歐洲，在德國和法國學(xué)習(xí)光學(xué)?；貒箅x開海軍成為凱斯學(xué)院物理學(xué)教授。邁克耳孫因?yàn)榫芄鈱W(xué)儀器和借助這些儀器進(jìn)行的光譜學(xué)和度量學(xué)的研究工作做出的貢獻(xiàn)獲得1907年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。邁克耳孫自己設(shè)計(jì)了旋轉(zhuǎn)鏡和干涉儀，用以測(cè)定微小的長度、折射率和光波波長。1879年，他得到的光速為299910±5千米／秒；1882年，他得到的光速為299853±6千米／秒。這個(gè)結(jié)果被公認(rèn)為國際標(biāo)準(zhǔn)，沿用了40年。邁克耳孫最后一次測(cè)量光速是在加利福尼亞兩座相差35千米的山上進(jìn)行的，光速測(cè)量精確度最后達(dá)到了299798±4千米／秒。他就在這次測(cè)量過程中中風(fēng)，于1931年去世。邁克耳孫最著名的實(shí)驗(yàn)是被稱為邁克耳孫－莫雷的測(cè)定以太是否存在的實(shí)驗(yàn)（1887）。

返回實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家邁克爾孫邁克耳孫1873年畢業(yè)于美國海軍學(xué)67愛因斯坦

20世紀(jì)最杰出的科學(xué)家

愛因斯坦生于德國烏爾姆一個(gè)經(jīng)營電器作坊的小業(yè)主家庭。一年后，隨全家遷居慕尼黑。1894年，他的家遷到意大利米蘭。1895年他轉(zhuǎn)學(xué)到瑞士阿勞市的州立中學(xué)。1896年進(jìn)蘇黎世工業(yè)大學(xué)師范系學(xué)習(xí)物理學(xué)，1900年畢業(yè)。1901年取得瑞士國籍。1902年被伯爾尼瑞士專利局錄用為技術(shù)員，從事發(fā)明專利申請(qǐng)的技術(shù)鑒定工作。他利用業(yè)余時(shí)間開展科學(xué)研究，于1905年在物理學(xué)三個(gè)不同領(lǐng)域中取得了歷史性成就，特別是狹義相對(duì)論的建立和光量子論的提出，推動(dòng)了物理學(xué)理論的革命。同年，以論文《分子大小的新測(cè)定法》，取得蘇黎世大學(xué)的博士學(xué)位。

1879-1955愛因斯坦20世紀(jì)最杰愛因斯坦生于德國烏爾姆68

愛因斯坦1908年兼任伯爾尼大學(xué)編外講師。1909年離開專利局任蘇黎世大學(xué)理論物理學(xué)副教授。1911年任布拉格德語大學(xué)理論物理學(xué)教授，1912年任母校蘇黎世聯(lián)邦工業(yè)大學(xué)教授。1914年，應(yīng)馬克斯·普朗克和瓦爾特·能斯脫的邀請(qǐng)，回德國任威廉皇家物理研究所所長兼柏林大學(xué)教授，直到1933年。1920年應(yīng)亨德里克·安東·洛倫茲和保耳·埃倫菲斯特的邀請(qǐng)，兼任荷蘭萊頓大學(xué)特邀教授。第一次世界大戰(zhàn)爆發(fā)后，他投入公開和地下的反戰(zhàn)活動(dòng)。愛因斯坦1908年兼任伯爾尼大學(xué)編外講師。1909年離開691915年愛因斯坦發(fā)表了廣義相對(duì)論。他所作的光線經(jīng)過太陽引力場(chǎng)要彎曲的預(yù)言于1919年由英國天文學(xué)家亞瑟·斯坦利·愛丁頓的日全食觀測(cè)結(jié)果所證實(shí)。1916年他預(yù)言的引力波在1978年也得到了證實(shí)。愛因斯坦和相對(duì)論在西方成了家喻戶曉的名詞，同時(shí)也招來了德國和其他國家的沙文主義者、軍國主義者和排猶主義者的惡毒攻擊。愛因斯坦因在光電效應(yīng)方面的研究，而被授予1921年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。1933年1月納粹黨攫取德國政權(quán)后，愛因斯坦是科學(xué)界首要的迫害對(duì)象，幸而當(dāng)時(shí)他在美國講學(xué)，未遭毒手。3月他回歐洲后避居比利時(shí)，9月9日發(fā)現(xiàn)有準(zhǔn)備行刺他的蓋世太保跟蹤，星夜渡海到英國，10月轉(zhuǎn)到美國普林斯頓大學(xué)，任新建的高級(jí)研究院教授，直至1945年退休。1940年他取得美國國籍。1915年愛因斯坦發(fā)表了廣義相對(duì)論。他所作的光線經(jīng)過太陽引力701939年他獲悉鈾核裂變及其鏈?zhǔn)椒磻?yīng)的發(fā)現(xiàn)，在匈牙利物理學(xué)家利奧·西拉德推動(dòng)下，上書羅斯?？偨y(tǒng)，建議研制原子彈，以防德國占先。第二次世界大戰(zhàn)結(jié)束前夕，美國在日本廣島和長崎兩個(gè)城市上空投擲原子彈，愛因斯坦對(duì)此強(qiáng)烈不滿。戰(zhàn)后，為開展反對(duì)核戰(zhàn)爭(zhēng)的和平運(yùn)動(dòng)和反對(duì)美國國內(nèi)法西斯危險(xiǎn)，進(jìn)行不懈的斗爭(zhēng)。1955年4月18日愛因斯坦因主動(dòng)脈瘤破裂逝世于普林斯頓。遵照他的遺囑，不舉行任何喪禮，不筑墳?zāi)?，不立紀(jì)念碑，骨灰撒在永遠(yuǎn)對(duì)人保密的地方，為的是不使任何地方成為圣地。愛因斯坦的后半生一直從事尋找大統(tǒng)一理論的工作，不過這項(xiàng)工作沒有獲得成功，現(xiàn)在大統(tǒng)一理論是理論物理學(xué)研究的中心問題。愛因斯坦是耶路撒冷希伯來大學(xué)的注冊(cè)商標(biāo)

返回1939年他獲悉鈾核裂變及其鏈?zhǔn)椒磻?yīng)的發(fā)現(xiàn)，在匈牙利物理學(xué)家71§1

矢量代數(shù)與張量初步直角坐標(biāo)系中

矢量定義

矢量的基本運(yùn)算

§1矢量代數(shù)與張量初步直角坐標(biāo)系中矢量定義矢量的基本72矢量代數(shù)中的兩個(gè)重要公式混合積矢量微分雙重矢量積注意順序不能顛倒矢量代數(shù)中的兩個(gè)重要公式混合積矢量微分雙重矢量積注意順序不73

并矢與張量

（一般

）

為單位并矢，張量的基（9個(gè)分量）

矢量與張量的矩陣表示

并矢與張量（一般）為單位并矢，張量的基（9個(gè)分量）74張量的運(yùn)算張量的運(yùn)算75兩并矢的一次點(diǎn)乘

兩并矢的二次點(diǎn)乘單位張量與矢量、張量的點(diǎn)乘

兩并矢的一次點(diǎn)乘兩并矢的二次點(diǎn)乘單位張量與矢量、張量的點(diǎn)乘76補(bǔ)充練習(xí)題（0，

，

－1，1）計(jì)算與矢量垂直,即證明計(jì)算下列各式證明下列各式補(bǔ)充練習(xí)題（0，77一、場(chǎng)的概念§2矢量場(chǎng)論復(fù)習(xí)

描述一定空間中連續(xù)分布的物質(zhì)對(duì)象的物理量?；蛘f：若在一定空間中的每一點(diǎn)，都對(duì)應(yīng)著某個(gè)物理量的確定值，就說在這空間中確定了該物理的場(chǎng)。如：強(qiáng)度場(chǎng)、速度場(chǎng)、引力場(chǎng)、電磁場(chǎng)。場(chǎng)用一個(gè)空間和時(shí)間坐標(biāo)的函數(shù)來描述：穩(wěn)恒場(chǎng)（穩(wěn)定場(chǎng)、靜場(chǎng)）：場(chǎng)與時(shí)間無關(guān)變化場(chǎng)（時(shí)變場(chǎng)）：場(chǎng)函數(shù)與時(shí)間有關(guān)一、場(chǎng)的概念§2矢量場(chǎng)論復(fù)習(xí)描述一定空間中連續(xù)分布的物78已知場(chǎng)函數(shù)可以了解場(chǎng)的各種性質(zhì)：隨時(shí)空的變化關(guān)系（梯、散、旋度）。已知場(chǎng)函數(shù)的梯度、散度、旋度可以確定場(chǎng)函數(shù)，

這是電動(dòng)力學(xué)求解電磁場(chǎng)的主要方法。二、標(biāo)量場(chǎng)的梯度

在空間任意靠近兩點(diǎn)函數(shù)的全微分在空間某點(diǎn)的任意方向上，導(dǎo)數(shù)有無窮多個(gè)，其中有一個(gè)值最大，這個(gè)方向?qū)?shù)的最大值定義為梯度：

已知場(chǎng)函數(shù)可以了解場(chǎng)的各種性質(zhì)：隨時(shí)空的變化關(guān)系（梯、散、旋79

梯度的意義：空間某點(diǎn)標(biāo)量場(chǎng)函數(shù)的最大變化率，刻畫了標(biāo)量場(chǎng)的空間分布特征等值面：常數(shù)的曲面稱為等值面。梯度與等值面的關(guān)系：梯度與等值面垂直。

已知梯度即可求出沿任一方向的方向?qū)?shù)。三、矢量微分算子

既具有矢量性質(zhì)，又具有微分性質(zhì)

注意：它可以作用在矢量上，可以作點(diǎn)乘、叉乘。梯度的意義：空間某點(diǎn)標(biāo)量場(chǎng)函數(shù)的最大變化率等值面：80解：=？例1：解：=？例1：81解：例2：=？解：例2：=？82四、高斯定理與矢量場(chǎng)的散度

矢量族

在矢量場(chǎng)中對(duì)于給定的一點(diǎn)，有一個(gè)方向，它沿某一曲線的切線方向，這條曲線形成一條矢量線，又叫場(chǎng)線（對(duì)靜電場(chǎng)稱為電力線），無窮多條這樣的曲線構(gòu)成一個(gè)矢量族。

矢量場(chǎng)的通量

面元的通量：

有限面積的通量

意義：用來描述空間某一范圍內(nèi)場(chǎng)的發(fā)散或會(huì)聚，它只具有局域性質(zhì)，不能反映空間一點(diǎn)的情況。有源無源負(fù)源

閉合曲面的通量

四、高斯定理與矢量場(chǎng)的散度矢量族在矢量場(chǎng)中對(duì)于83高斯公式

矢量場(chǎng)的散度

縮小到一點(diǎn)若空間各點(diǎn)處處則稱為無源場(chǎng)。該點(diǎn)有源該點(diǎn)無源該點(diǎn)為負(fù)源

高斯公式矢量場(chǎng)的散度縮小到一點(diǎn)若空間各點(diǎn)處處則稱84例子：求求例子：求求85

證明證：證明證：86五、斯托克斯公式與矢量場(chǎng)的旋度

矢量場(chǎng)的環(huán)量（環(huán)流）

表明在區(qū)域內(nèi)無渦旋狀態(tài)，場(chǎng)線不閉合表明在區(qū)域內(nèi)存在渦旋狀態(tài)，場(chǎng)線閉合斯托克斯公式（定理）

矢量沿任一閉合曲線的積分稱為環(huán)量五、斯托克斯公式與矢量場(chǎng)的旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量（環(huán)流）表明在87定義為矢量場(chǎng)的旋度，它在法線方向上的分量為單位面積上的環(huán)量?？坍嬍噶繄?chǎng)場(chǎng)線在空間某點(diǎn)上的環(huán)流特征。若空間各點(diǎn)，則稱為無旋場(chǎng)。

矢量場(chǎng)的旋度

當(dāng)L無限?。?/p>

定義為矢量場(chǎng)的旋度，它在法線方向上的分量為88例子：證明同理證=0例子：證明同理證=089證明

證：證明證：90六、有關(guān)場(chǎng)的四個(gè)定理關(guān)于散度旋度的兩個(gè)定理正定理：標(biāo)量場(chǎng)的梯度必為無旋場(chǎng)，即逆定理：無旋場(chǎng)必可以表示為某一標(biāo)量場(chǎng)的梯度。即若，則，稱為無旋場(chǎng)的標(biāo)量勢(shì)函數(shù)。2.