第1輪總復習理科數學課件第56講復數的概念與運算

新課標高中一輪總復習新課標高中一輪總復習復數復數第56講復數的概念與運算第56講復數的概念與運算1.理解復數的有關概念，以及復數相等的充要條件.2.會進行復數的代數形式的四則運算.3.了解復數代數形式的幾何意義及復數的加、減法的幾何意義.1.理解復數的有關概念，以及復數相等的充要條件.1.如果用C、R和I分別表示復數集、實數集和純虛數集，其中C為全集，則下列關系正確的是（）DA.C=R∪IB.R∩I={0}C.CR=C∩ID.R∩I=由復數的分類可知應選D.1.如果用C、R和I分別表示復數集、實數集和純虛數集，其中C2.已知向量對應的復數為3-2i，對應的復數為-4-i，則對應的復數為（）CA.-1-iB.7-3iC.-7+iD.1+i由復數運算的幾何意義，=-=（-4-i)-(3-2i)=-7+i，故選C.2.已知向量對應的復數為3-2i，對應的復數為3.復數z1=3+i，z2=1-i，則z=z1·z2在復平面內對應的點位于（

）

DA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限z=z1·z2=(3+i)(1-i)=3×1+i×(-i)+i-3i=4-2i,對應的點為（4，-2），位于第四象限.3.復數z1=3+i，z2=1-i，則z=z1·z2在復平面4.已知復數z1=a+2i，z2=-2+i，且|z1|=|z2|,則實數a=

.±1由已知可得=，則a=±1.4.已知復數z1=a+2i，z2=-2+i，且|z1|=|z5.若復數為純虛數(i為虛數單位,a為實數)，則實數a=

.-1因為===+為純虛數,所以=0，且≠0，所以a=-1.5.若復數為純虛數(i為虛數單位,a為實數)，1.復數的代數形式：z=a+bi(a,b∈R),其中i2=-1,a為實部,b為虛部.2.復數的分類：實數(b=0)虛數(b≠0);純虛數(a=0)非純虛數（a≠0).復數a+bi虛數a+bi(b≠0)1.復數的代數形式：z=a+bi(a,b∈R),其中i2=-3.復數相等的充要條件：a+bi=c+di①

.4.復數的模：|a+bi|=②

=③

.5.共軛復數：a+bi與a-bi互為④

.顯然，任一實數的共軛復數是它自己.a=cb=d共軛復數3.復數相等的充要條件：a=c共軛復數6.復數的代數形式的幾何意義復數z=a+bi(a,b∈R)可用復平面內的點Z(a,b)以及⑤

表示,且三者之間為一一對應關系.規(guī)定:相等的向量表示同一個復數.7.復數的代數形式的四則運算：若a、b、c、d∈R,則：(a+bi)±(c+di)=⑥

；(a+bi)(c+di)=⑦

；==⑧

；其中c、d不同時為0.以原點為起點,點Z(a,b)為終點的向量(a±c)+(b±d)i(ac-bd)+(ad+bc)i6.復數的代數形式的幾何意義以原點為起點,點Z(a,b)為終8.復平面內兩點間的距離：復平面內兩點Z1、Z2對應的復數分別為z1、z2,則|

|=⑨

=⑩

,其中O為原點.9.復數的加、減法的幾何意義：復數的加、減運算滿足向量加、減法的平行四邊形法則(或三角形法則).|z2-z1|8.復平面內兩點間的距離：復平面內兩點Z1、Z2對應的復數分題型一復數的概念及幾何意義例1已知復數z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)I,當實數m為何值時，（1）z為純虛數；（2）z為實數；（3）z對應的點在復平面的第二象限.題型一復數的概念及幾何意義例1已知依據復數分類的條件和代數形式的幾何意義求解.（1）當m=3時，z為純虛數.

lg(m2-2m-2)=0m=3或m=-1

m2+3m+2≠0m≠-2或m≠-1m=3.z為純虛數依據復數分類的條件和代數形(2)當m=-2或m=-1時，為實數.m2+3m+2=0m=-2或m=-1

m2-2m-2>0m<1-3或m>1+3m=-2或m=-1.(3)當m∈(-1,3)時,z對應的點在復平面的第二象限.lg(m2-2m-2)<0m2-2m-3<0

m2+3m+2>0m2+3m+2>0,-1<m<3

m<-2或m>-1z為實數由,得解得，即-1<m<3.(2)當m=-2或m=-1時，為實數.z為實數由,得解得，即復數為何屬性的數的問題通常可轉化為其實數、虛部應滿足的條件，復數對應的點位于復平面的什么位置也取決于實部和虛部的取值.復數為何屬性的數的問題通?？赊D化題型二復數的運算例2計算：(1);(2).

(1)原式=i·(-2i)=-2i2=2.(2)原式==i+=i+-i=0.復數的四則運算類似于多項式的四則運算,此時含有虛數單位“i”的看作一類同類項,不含i的看作另一類同類項,分別合并即可.題型二復數的運算例2計算：題型三復數的相等的充要條件及應用例3已知關于x的方程x2-(tanθ+i)x-(2+i)=0有實數根,求銳角θ的值及實數根.由題設解是有實根，設其實根為x0，代入方程，由復數相等的充要條件即可求解.題型三復數的相等的充要條件及應用例3設原方程的實根為x0,則x02-(tanθ+i)x0-(2+i)=0,即(x02-tanθx0-2)-(x0+1)i=0，x02-tanθx0-2=0x0+1=0，求得x0=-1,tanθ=1，又θ∈(0,)，所以θ=.故θ=，實根為-1.由復數相等的充要條件得設原方程的實根為x0,由復數相等設z的共軛復數為，若z+=4，z·=8，求

的值.設z=x+yi（x、y∈R)，則=x-yi,所以z+=2x=4，所以x=2,又z·=x2+y2=8,所以y=±2,所以z=2±2i,所以==或,即z=i或-i.涉及復數方程問題一般轉化為復數相等的充要條件問題求解.設z的共軛復數為，若z+題型四復數加法運算的幾何意義及應用例4若復數z滿足|z+2|+|z-2|=8,求|z+2|的最大值和最小值.在復平面內滿足|z+2|+|z-2|=8的復數z對應的點的軌跡是以點(-2,0)和(2,0)為焦點，8為長軸長的橢圓.題型四復數加法運算的幾何意義及應用例4|z+2|表示橢圓上的點到焦點(-2,0)的距離.橢圓長軸上的兩個頂點到焦點的距離分別是最大值和最小值.因此，當z=4時，|z+2|有最大值6；當z=-4時,|z+2|有最小值2.此題若令z=x+yi,問題的條件和結論都是較復雜的式子，不好處理.從復數的加、減法的幾何意義去理解，則是一道簡單的幾何問題.|z+2|表示橢圓上的點到焦點(-2,0)的距離.若復數z滿足|z+2-2i|=1,求|z-2-2i|的最小值.(方法一)一般的，滿足|z-z0|=r的復數z對應的點的軌跡是以z0對應的點為圓心，r為半徑的圓.因為圓|z+2-2i|=1的圓心為C(-2,2),半徑r=1,而|z-2-2i|表示圓上的點到定點A(2，2)的距離,故其最小值為|CA|-r=4-1=3.若復數z滿足|z+2-2i|=1,求|(方法二)因為|z-2-2i|=|z+2-2i-4|≥||z+2-2i|-4|=3，故|z-2-2i|min=3.(方法三)設z=x+yi(x,y∈R)，因此有|x+2+(i-2)i|=1,即(x+2)2+(y-2)2=1.又|z-2-2i|===,而|x+2|=≤1,即-3≤x≤-1，所以當x=-1時，|z-2-2i|取得最小值3.(方法二)因為|z-2-2i|=|z+2-2i-4|方法一是一種常規(guī)方法，注意z對應的點在圓上這一約束條件；方法二是幾何法，以數尋形，有明顯的幾何特征，再由形解數，實現數與形的互化；方法三利用的是復數模的運算性質，體現了解題的靈活性.方法一是一種常規(guī)方法，注意z對應在復數集C內解一元二次方程x2-4x+5=0.由于Δ=b2-4ac=16-20=-4<0,所以x==2±i.實數集擴充為復數集后，解決了實系數一元二次方程在實數集中無解的問題，即在復數集中，實系數的一元二次方程總有解.當Δ<0時，實系數的一元二次方程有成對共軛虛數根.在復數集C內解一元二次方程x2-4x+5=0.1.設z=a+bi(a,b∈R),利用復數相等的充要條件轉化為實數問題是求解復數常用的方法.2.實數的共軛復數是它本身，兩個純虛數的積是實數.3.復數問題幾何化，利用復數、復數的模、復數運算的幾何意義，轉化條件和結論，有效利用數和形的結合，取得事半功倍的效果.1.設z=a+bi(a,b∈R),利用復數相等的充要條件轉化學例1(2008·遼寧卷)復數的虛部是()BA.iB.C.-iD.-==(-2-i)+(1+2i)=-+i,所以虛部為.學例1(2008·遼寧學例2

(2009·安徽卷)i是虛數單位,若=a+bi(a,b∈R)，則乘積ab的值是()BA.-15B.-3C.3D.15==-1+3i,所以a=-1,b=3,ab=-3，故選B.學例2(2009·安徽卷本節(jié)完，謝謝聆聽立足教育，開創(chuàng)未來本節(jié)完，謝謝聆聽立足教育，開創(chuàng)未來新課標高中一輪總復習新課標高中一輪總復習復數復數第56講復數的概念與運算第56講復數的概念與運算1.理解復數的有關概念，以及復數相等的充要條件.2.會進行復數的代數形式的四則運算.3.了解復數代數形式的幾何意義及復數的加、減法的幾何意義.1.理解復數的有關概念，以及復數相等的充要條件.1.如果用C、R和I分別表示復數集、實數集和純虛數集，其中C為全集，則下列關系正確的是（）DA.C=R∪IB.R∩I={0}C.CR=C∩ID.R∩I=由復數的分類可知應選D.1.如果用C、R和I分別表示復數集、實數集和純虛數集，其中C2.已知向量對應的復數為3-2i，對應的復數為-4-i，則對應的復數為（）CA.-1-iB.7-3iC.-7+iD.1+i由復數運算的幾何意義，=-=（-4-i)-(3-2i)=-7+i，故選C.2.已知向量對應的復數為3-2i，對應的復數為3.復數z1=3+i，z2=1-i，則z=z1·z2在復平面內對應的點位于（

）

DA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限z=z1·z2=(3+i)(1-i)=3×1+i×(-i)+i-3i=4-2i,對應的點為（4，-2），位于第四象限.3.復數z1=3+i，z2=1-i，則z=z1·z2在復平面4.已知復數z1=a+2i，z2=-2+i，且|z1|=|z2|,則實數a=

.±1由已知可得=，則a=±1.4.已知復數z1=a+2i，z2=-2+i，且|z1|=|z5.若復數為純虛數(i為虛數單位,a為實數)，則實數a=

.-1因為===+為純虛數,所以=0，且≠0，所以a=-1.5.若復數為純虛數(i為虛數單位,a為實數)，1.復數的代數形式：z=a+bi(a,b∈R),其中i2=-1,a為實部,b為虛部.2.復數的分類：實數(b=0)虛數(b≠0);純虛數(a=0)非純虛數（a≠0).復數a+bi虛數a+bi(b≠0)1.復數的代數形式：z=a+bi(a,b∈R),其中i2=-3.復數相等的充要條件：a+bi=c+di①

.4.復數的模：|a+bi|=②

=③

.5.共軛復數：a+bi與a-bi互為④

.顯然，任一實數的共軛復數是它自己.a=cb=d共軛復數3.復數相等的充要條件：a=c共軛復數6.復數的代數形式的幾何意義復數z=a+bi(a,b∈R)可用復平面內的點Z(a,b)以及⑤

表示,且三者之間為一一對應關系.規(guī)定:相等的向量表示同一個復數.7.復數的代數形式的四則運算：若a、b、c、d∈R,則：(a+bi)±(c+di)=⑥

；(a+bi)(c+di)=⑦

；==⑧

；其中c、d不同時為0.以原點為起點,點Z(a,b)為終點的向量(a±c)+(b±d)i(ac-bd)+(ad+bc)i6.復數的代數形式的幾何意義以原點為起點,點Z(a,b)為終8.復平面內兩點間的距離：復平面內兩點Z1、Z2對應的復數分別為z1、z2,則|

|=⑨

=⑩

,其中O為原點.9.復數的加、減法的幾何意義：復數的加、減運算滿足向量加、減法的平行四邊形法則(或三角形法則).|z2-z1|8.復平面內兩點間的距離：復平面內兩點Z1、Z2對應的復數分題型一復數的概念及幾何意義例1已知復數z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)I,當實數m為何值時，（1）z為純虛數；（2）z為實數；（3）z對應的點在復平面的第二象限.題型一復數的概念及幾何意義例1已知依據復數分類的條件和代數形式的幾何意義求解.（1）當m=3時，z為純虛數.

lg(m2-2m-2)=0m=3或m=-1

m2+3m+2≠0m≠-2或m≠-1m=3.z為純虛數依據復數分類的條件和代數形(2)當m=-2或m=-1時，為實數.m2+3m+2=0m=-2或m=-1

m2-2m-2>0m<1-3或m>1+3m=-2或m=-1.(3)當m∈(-1,3)時,z對應的點在復平面的第二象限.lg(m2-2m-2)<0m2-2m-3<0

m2+3m+2>0m2+3m+2>0,-1<m<3

m<-2或m>-1z為實數由,得解得，即-1<m<3.(2)當m=-2或m=-1時，為實數.z為實數由,得解得，即復數為何屬性的數的問題通?？赊D化為其實數、虛部應滿足的條件，復數對應的點位于復平面的什么位置也取決于實部和虛部的取值.復數為何屬性的數的問題通常可轉化題型二復數的運算例2計算：(1);(2).

(1)原式=i·(-2i)=-2i2=2.(2)原式==i+=i+-i=0.復數的四則運算類似于多項式的四則運算,此時含有虛數單位“i”的看作一類同類項,不含i的看作另一類同類項,分別合并即可.題型二復數的運算例2計算：題型三復數的相等的充要條件及應用例3已知關于x的方程x2-(tanθ+i)x-(2+i)=0有實數根,求銳角θ的值及實數根.由題設解是有實根，設其實根為x0，代入方程，由復數相等的充要條件即可求解.題型三復數的相等的充要條件及應用例3設原方程的實根為x0,則x02-(tanθ+i)x0-(2+i)=0,即(x02-tanθx0-2)-(x0+1)i=0，x02-tanθx0-2=0x0+1=0，求得x0=-1,tanθ=1，又θ∈(0,)，所以θ=.故θ=，實根為-1.由復數相等的充要條件得設原方程的實根為x0,由復數相等設z的共軛復數為，若z+=4，z·=8，求

的值.設z=x+yi（x、y∈R)，則=x-yi,所以z+=2x=4，所以x=2,又z·=x2+y2=8,所以y=±2,所以z=2±2i,所以==或,即z=i或-i.涉及復數方程問題一般轉化為復數相等的充要條件問題求解.設z的共軛復數為，若z+題型四復數加法運算的幾何意義及應用例4若復數z滿足|z+2|+|z-2|=8,求|z+2|的最大值和最小值.在復平面內滿足|z+2|+|z-2|=8的復數z對應的點的軌跡是以點(-2,0)和(2,0)為焦點，8為長軸長的橢圓.題型四復數加法運算的幾何意義及應用例4|z+2|表示橢圓上的點到焦點(-2,0)的距離.橢圓長軸上的兩個頂點到焦點的距離分別是最大值和最小值.因此，當z=4時，|z+2|有最大值6；當z=-4時,|z+2|有最小值2.此題若令z=x+yi,問題的條件和結論都是較復雜的式子，不好處理.從復數的加、減法的幾何意義去理解，則是一道簡單的幾何問題.|z+2|表示橢圓上的點到焦點(-2,0)的距離.若復數z滿足|z+2-2i|=1,求|z-2-2i|的最小值.(方法一)一般的，滿足|z-z0|=r的復數z對應的點的軌跡是以z0對應的點為圓心，r為半徑的圓.因為圓|z+2-2i|=1的圓心為C(-2,2),半徑r=1,而|z-2-2i|表示圓上的點到定點A(2，2)的距離,故其最小值為|CA|-r=4-1=3.若復數z滿足|z+2-2i|=1,求|(方法二)因為|z-2-2i|=|z+2-2i-4|≥||z+2-2i|-4|=3，故|z-2-2i|min=3.