數(shù)學(xué)-3函數(shù)單調(diào)性與最值

1.f(x)＝x3－6ax的單調(diào)遞減區(qū)間是(－2,2)a的取值范 [答案 [解析 fa≤0f′(x)≥0，∴f(x)單調(diào)增，排a>0，則由f′(x)＝0x＝±2ax<－2ax>2a時f′(x)>0，f(x)單調(diào)增，當(dāng)－2a<x<2a時，f(x)單調(diào)減∴f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(－2a，2a)，從而[點(diǎn)評]f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－2,2)f(x)在(－2，2)上單調(diào)遞減是不同的，應(yīng)加以區(qū)分．本例亦x＝±2是方f′(x)＝3x2－6a＝0的兩根解得a＝2.12．(2010·)給定函數(shù)①y＝x22

[答案 1 ①y＝x2為增函數(shù)，排除A、D；④y＝2x＋1為增函數(shù)，排除C，故選B.3．函數(shù)f(x)＝ln(4＋3x－x2)的單調(diào)遞減區(qū)間是 [答案 [解析 由4＋3x－x2>0得，函數(shù)f(x)的定義域是 22的單調(diào)減區(qū)間為2

4的減區(qū)間 f(x)B；f(0)＝ln4，f(1)＝ln6，f(0)<f(1)，排除C，故選D.4．(2011·省“江南十校”高三聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù)且為奇函數(shù)，則f(1)的值( A．恒為正 B．恒為負(fù)C．恒為0 [解析 ∵f(x)在R上有意義，且f(x)為奇函數(shù)為增函數(shù)5．(2011·學(xué)普教育中心)若函數(shù)f(x)＝2x2－lnx在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間(k－1，k＋1)單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范是 2 22 2[答案 [解析 因?yàn)閒(x)定義域?yàn)?0，＋∞)，f2＝02

－x，

f據(jù)題意

21≤k<326(2010·鞍山一中模擬)已知偶函數(shù)y＝f(x)對任意實(shí)數(shù)x＋1)＝－f(x)，且在[0,1]上單調(diào)遞減，則 [答案 [解析 由條件知∴f(x)是周期為2的周期函數(shù)，∵f(x)為偶函 ∵f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減 7．如果函數(shù)f(x)＝ax2＋2x－3在區(qū)間(－∞，4)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 [答案

(1)當(dāng)a＝0時，f(x)＝2x－3，在定義域R上單調(diào)遞增，(2)當(dāng)a≠0時，二次函數(shù)f(x)的對稱軸為直線

＝－a，因

在(－∞，4)上單調(diào)遞增，所a<0所述

，且

4，解

a<0.綜8．f(x)＝xlnx的單調(diào)遞增區(qū)間 [答案

[解析 f′(x)＝lnx＋1，令f′(x)>0

∴f(x)在e，＋∞上單調(diào)遞增 1.f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]f(a)·f(b)<0f(x)＝0在內(nèi) 至少有一實(shí)數(shù) B．至多有一實(shí)數(shù) 利用函數(shù)f(x)在[a，b]上是單調(diào)減函數(shù)，又f(a)，f(b)異號．故選D.2．(文)若函數(shù)y＝f(x)的在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，則函數(shù) [答案 [解析 ∵導(dǎo)函數(shù)f′(x)是增函數(shù)∴切線的斜率隨著切點(diǎn)橫坐標(biāo)的增大，逐漸增大，故選 B圖中切線斜率逐漸減小，C圖中f′(x)為常數(shù)，D圖(理)如果函y＝a－x(a>0，且a≠1)是減函數(shù)，那么loga 的圖象大致是 [答案 [解析 解法一：由函數(shù)y＝a－x(a>0，且a≠1)是減函數(shù)知1af(x)＝log a

函數(shù)f(x)的圖象可以看作由函數(shù)a

x的圖象向左1單位長度得到y(tǒng)＝log1x是減函數(shù)，∴f(x)為減函數(shù)，故選a

解法二：由于f(0)＝0，故排除A、B；由 ，即y＝a減函數(shù)a>1，∴x>0時，f(x)<0，排除D3(2010·南昌市模擬)已知函數(shù)y＝2sin(ωx＋θ)為偶函數(shù)其圖象與直線y＝2某兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1、x2，若|x2－x1|的最小值為π，則該函數(shù)在區(qū)間(

D.4，4 [答案 [解析 ∵y＝2sin(ωx＋θ)為偶函數(shù)2cosωx，由條件知，此函數(shù)的周期為

π＝2，∴y＝∴y＝2cos2x，由2kπ－π≤2x≤2kπ，(k∈Z)

∈Z)，令k＝0知，函數(shù)在－2，0上是增函數(shù)，故A正確 4．(文)定義R上的偶函f(x)滿足：對任0](x1≠x2)，有(x2－x1)(f(x2)－f(x1))>0，則當(dāng)n∈N*時，有()[答案]C[解析]由(x2－x1)(f(x2)－f(x1))>0f(x)在(－∞0]上為增函數(shù)．f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)在[0，＋∞)上為減函數(shù)．f(－n)＝f(n)∴f(n＋1)<f(n)<f(n－1)，即f(n＋1)<f(－n)<f(n－1)．故選(理)(2010·南充市)已知函數(shù)f(x)圖象的兩條對稱軸x＝0和x＝1，x∈[－1,0]f(x)單調(diào)遞增a＝f(3)，b＝f(2)，c＝f(2)a、b、c的大小關(guān)系是() [答案 ∵f(x)在[－1,0]上單調(diào)增，f(x)的圖象關(guān)于直線x＝0對∴f(x)在[0,1]上單調(diào)減；又f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱∴f(x)在[1,2]上單調(diào)增，在[2,3]上單調(diào)減．由對稱性f(3)＝(－1)＝f(1)<(2)<f(2)，即>b>a.5．(文)若函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax與g(x)＝ 在區(qū)間[1,2]上都減函數(shù)，則a的取值范圍 [答案 由f(x)＝－x2＋2ax得函數(shù)對稱軸為x＝a，又在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù)，所以a≤1，＝又g(x) a ＝a的取值范圍為(理)若函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋alnx在(0,1)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的 [答案 [解析 ∵函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋alnx在(0,1)上單調(diào)遞減，∴當(dāng)∈(0,1)時，f′(x)＝2x＋2 a≤0在x∈(0,1)時恒成立，

∵g(x)的對稱軸

∴g(1)≤0，即＝6．(文)已知 x ＝(1)若a＝－2，試證f(x)在(－∞，－2)內(nèi)單調(diào)遞增(2)a>0f(x)在(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減，求a的取值范圍[解析 (1)證明：設(shè) 則 x1

∴f(x)在(－∞，－2)內(nèi)單調(diào)遞增(2)解：設(shè)1<x1<x2，＝ x1 － ＝

∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1.綜上所0<a≤1.[點(diǎn)評]第(2)問中f(x)單調(diào)遞減x1<x2時，f(x1)－f(x2)>0恒成立，從而(x1－a)(x2－a)>0恒成立，由于a>0，x1>1，x2>1，故只0<a≤1時才滿足．(理)已知函數(shù)f(x)對任意的ab∈R都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，x>0時，f(x)>1.(1)求證：f(x)是R上的增函數(shù)(2)f(4)＝5，解不等[解析 (1)證明：任取x1、x2∈R且∴f(x)R上的增函數(shù)(2)解∴f(3m2－m－2)<3f(3m2－m－2)<f(2)．又由(1)的結(jié)論f(x)R上的增函數(shù)，

7．(文)(2010·市東城區(qū))已知函數(shù)f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0a≠1.求f(x)的定義判斷f(x)的奇偶性并予以證明a>1時，求f(x)>0x的取值范圍[解析 (1)要使f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)有意義，

，解得故所求定義域?yàn)橛?1)知f(x)的定義域?yàn)椋剑璮(x)，故f(x)為奇函因?yàn)楫?dāng)a>1時，f(x)在定義域{x|－1<x<1}內(nèi)是增函數(shù)所以f(x)>0x的取值范圍是(理)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為實(shí)數(shù)，且 若f(－1)＝0，曲線y＝f(x)通過點(diǎn)(0,2a＋3)，且在點(diǎn)1))處的切線垂直于y軸，求F(x)的表達(dá)式在(1)的條件下，當(dāng)x∈[－1,1]時，g(x)＝kx－f(x)是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)k的取值范圍；設(shè)mn<0m＋n>0a>0且f(x)為偶函數(shù)證明F(m)＋F(n)>0. (1)因?yàn)閒(x)＝ax2＋bx＋c，所以f′(x)＝2ax＋b.又曲y＝f(x)在點(diǎn)(－1，f(－1))處的切線垂yf即－2a＋b＝0，因b＝2a.①f(－1)＝0，所b＝a＋c.②又因?yàn)閥＝f(x)通過點(diǎn)(0,2a＋3)，c＝2a＋3.③解由①，②，③組成的方程組得，a＝－3，b＝－6，c＝－3.從而f(x＝－3x2－6x－3.

由(1)所以由g(x)在[－1,1]上是單調(diào)函數(shù)知 — ≤－1或－ k≤－12f(x)是偶函數(shù)，可知又因mn<0，m＋n>0，可m，n異號．m>0n<0.m<0n>0.同理可綜上可1．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，＋∞)

是增函數(shù)．令a＝fsin7，b＝fcos7，c＝ftan7，則 [答案

[解析 由已知得a＝fsin14，b＝fcos7＝f－sin14

3π

2π 因此b<a<c2．(2010·山東濟(jì)寧)若函f(x)＝x2＋2x＋alnx在(0,1)上單調(diào)減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 [答案 [解析 ∵函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋alnx在(0,1)上單調(diào)遞減，∴當(dāng)∈(0,1)時，f′(x)＝2x＋2 a≤0在x∈(0,1)時恒成立，

∴g(0)≤0，g(1)≤0，即R上的偶函f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)

1則適合不等式f(log

x)>0的x的取值范圍是 3 33 3[答案 [解析 ∵定義在R上的偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，13f()＝0，則f(log3

x)>0，得|log

x|>1log

3x>或log 33－1.3函數(shù)y＝f(x)(x∈R)的圖g(x)＝f(log12的單調(diào)減區(qū)間是 A．[1，2B．[2C．(0,1]和[2，＋∞)D．(－∞，1]和[2，＋∞) [解析 令2

x，則此函數(shù)為減函數(shù)，由圖知y＝f(t)1－∞，－2和[0，＋∞)上都是增函數(shù)，當(dāng)t∈－∞，－2時，x∈[ ＋∞)t∈[0，＋∞)時，x∈(0,1]，∴函2

x)在和[2，＋∞)上都是減函數(shù)若函數(shù)y＝log2(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( [答案 [解析 本題考查含參數(shù)的函數(shù)的討論及復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用．由知：y＝log2x為單調(diào)增函數(shù)，y＝log2(x2－ax＋3a)的單調(diào)增區(qū)間為＝x2－ax＋3a的增區(qū)間的一個子區(qū)間，由－a，又在[2，＋∞)是單調(diào)增函數(shù)，即在x∈[2，＋∞)，2x－a＞0恒成立，即只需2×2－a＞0即可?a＜4y＝x2－ax＋3ax∈[2，當(dāng)a＝4時同樣成立．故選B.[點(diǎn)評 本題還可以根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸討論求解．欲滿足 中條件2≤22－a×2＋3a＞0?a≤4且a＞－4即有最小值－2，則實(shí)數(shù)a的值為 [