離散型隨機變量及其概率分布課件

§2.2離散型隨機變量及其概率分布定義

若隨機變量X

的可能取值是有限個或可列個,則稱X

為離散型隨機變量描述X的概率特性常用概率分布或分布律XP或離散隨機變量及分布律即§2.212§2.2離散型隨機變量及其概率分布定義分布律的性質(zhì)

非負(fù)性

規(guī)范性X~或13分布律的性質(zhì)非負(fù)性規(guī)范性X~或13

F(x)是分段階梯函數(shù),在X

的可能取值xk處發(fā)生間斷,間斷點為第一類跳躍間斷點,在間斷點處有躍度

pk.離散隨機變量及分布函數(shù)其中.

14F(x)是分段階梯函數(shù),在X的可解例1設(shè)汽車在開往甲地途中需經(jīng)過4盞信號燈,每盞信號燈獨立地以概率p允許汽車通過.出發(fā)地甲地首次停下時已通過的信號燈盞數(shù),求X

的概率分布與p=0.4時的分布函數(shù).令

X

表示例1

15解例1設(shè)汽車在開往甲地途中需經(jīng)出發(fā)地?0?1?2?3?4xx]]]?]??kpk012340.60.40.60.420.60.430.60.44當(dāng)16?????xx]]]?]??kpk0?0?1?2?3?4xF(x)o?o?1?o?o?o17?????xF(x)o?o?1?o?o?o17用分布律或分布函數(shù)來計算事件的概率例2

在上例中,分別用分布律與分布函數(shù)計算下述事件的概率：例2解或18用分布律或分布函數(shù)來計算事件的概率例2在上例中,分別用或此式應(yīng)理解為極限19或19例3一門大炮對目標(biāo)進行轟擊,假定此目標(biāo)必須被擊中r

次才能被摧毀.若每次擊中目標(biāo)的概率為p(0<p<1),且各次轟擊相互獨立,一次次地轟擊直到摧毀目標(biāo)為止.求所需轟擊次數(shù)X的概率分布.解P(X=k)=P(前k–1次擊中r–1次，第k

次擊中目標(biāo))例3帕斯卡分布20例3一門大炮對目標(biāo)進行轟擊,假定此目標(biāo)解P(X=k)注利用冪級數(shù)在收斂域內(nèi)可逐項求導(dǎo)的性質(zhì)當(dāng)21注利用冪級數(shù)在收斂域內(nèi)可逐項求導(dǎo)的性質(zhì)當(dāng)21歸納地令22歸納地令22作業(yè)P82習(xí)題二24習(xí)題5623作業(yè)P82習(xí)題二24習(xí)題5(1)0–1分布X=xk

10Pkp1-p0<p<

1注其分布律可寫成

常見的離散型隨機變量的分布凡試驗只有兩個可能的結(jié)果，常用應(yīng)用場合0–1分布描述，如產(chǎn)品是否合格、人口性別統(tǒng)計、系統(tǒng)是否正常、電力消耗是否超標(biāo)等等.24(1)0–1分布X=xk1(2)二項分布n

重Bernoulli試驗中,X是事件A

在n次試驗中發(fā)生的次數(shù),P(A)=p,若則稱X服從參數(shù)為n,p

的二項分布，記作0–1分布是n=1的二項分布25(2)二項分布n重Bernoulli試驗中,X是事二項分布的取值情況設(shè).039.156.273.273.179.068.017.0024.00000123456780.273?由圖表可見,當(dāng)時，分布取得最大值此時的稱為最可能成功次數(shù)xP?0?1?2?3?4?5?6?7?826二項分布的取值情況設(shè).039.156.273.22727設(shè).01.06.14.21.22.18.11.06.02.01.002<.00101234567891011~20??xP?????1?3?5?7?9????0?2?4?6?8?10?20由圖表可見,當(dāng)時，分布取得最大值0.22?28設(shè).01.06.14.21.22.182929二項分布中最可能出現(xiàn)次數(shù)的定義與推導(dǎo)則稱為最可能出現(xiàn)的次數(shù)30二項分布中最可能出現(xiàn)次數(shù)的定義與推導(dǎo)則稱為最可能出現(xiàn)的

當(dāng)(n+1)p=整數(shù)時,在k=(n+1)p與(n+1)p–1處的概率取得最大值對固定的n、p,P(X=k)的取值呈不對稱分布固定p,隨著

n

的增大，其取值的分布趨于對稱

當(dāng)(n+1)p

整數(shù)時,在k=[(n+1)p]處的概率取得最大值31當(dāng)(n+1)p=整數(shù)時,在k=(例4獨立射擊5000次,每次命中率為0.001,例4解

(1)k=[(n+1)p]=[(5000+1)0.001]=5求(1)最可能命中次數(shù)及相應(yīng)的概率；(2)命中次數(shù)不少于1次的概率.32例4獨立射擊5000次,每次命中率為0.001,例4(2)令X表示命中次數(shù),則X~B(5000,0.001)

小概率事件雖不易發(fā)生，但重復(fù)次數(shù)多了，就成大概率事件.本例啟示33(2)令X表示命中次數(shù),則X~B(5000,0.由此可見日常生活中“提高警惕,防火由于時間無限,自然界發(fā)生地震、海嘯、空難、泥石流等都是必然的，早晚的同樣,人生中發(fā)生車禍、失戀、患絕癥、考試不及格、炒股大虧損等都是正?，F(xiàn)象,大可不必怨天尤人,更不要想不開而防盜”的重要性.事，不用奇怪，不用驚慌.跳物理樓(交大閔行校區(qū)最高樓)自殺.啟示34由此可見日常生活中“提高警惕,防火由于時間無限,自然界發(fā),則對固定的

k設(shè)Possion定理Poisson定理說明若X~B(n,p),則當(dāng)n

較大，p

較小,而適中,則可以用近似公式問題如何計算？

35,則對固定的k設(shè)Possion定理Poisson定理說明證

記36證記36類似地,從裝有

a

個白球，b

個紅球的袋中不放回地任取n個球,其中恰有k

個白球的概率為當(dāng)時，對每個n有結(jié)論超幾何分布的極限分布是二項分布二項分布的極限分布是Poisson分布37類似地,從裝有a個白球，b個紅球的袋中當(dāng)時，對每個解令X表示命中次數(shù),則令此結(jié)果也可直接查P.378附表2泊松

分布表得到，它與用二項分布算得的結(jié)果

0.9934僅相差萬分之一.利用Poisson定理再求例4

(2)X~B(5000,0.001)38解令X表示命中次數(shù),則令此結(jié)果也可例5

某廠產(chǎn)品不合格率為0.03,現(xiàn)將產(chǎn)品裝箱,若要以不小于90%的概率保證每箱中至少有100個合格品,則每箱至少應(yīng)裝解

設(shè)每箱至少應(yīng)裝100+n個,每箱的不合格品個數(shù)為X,則X~B(100+n,0.03)由題意

3(100+n)0.03=3+0.03n取=3多少個產(chǎn)品？例539例5某廠產(chǎn)品不合格率為0.03,現(xiàn)將產(chǎn)品裝箱,若要查Poisson分布表,=3得n+1=6,n=5故每箱至少應(yīng)裝105個產(chǎn)品,才能符合要求.應(yīng)用Poisson定理40查Poisson分布表,=3得n+1=6,在實際計算中,當(dāng)n

20,p0.05時,可用上述公式近似計算;而當(dāng)n

100,np10時,精度更好00.3490.3580.3690.3660.36810.3050.3770.3720.3700.36820.1940.1890.1860.1850.18430.0570.0600.0600.0610.06140.0110.0130.0140.0150.015

按二項分布

按Possion公式

kn=10

p=0.1n=20p=0.05n=40p=0.025n=100p=0.01=np=141在實際計算中,當(dāng)n20,p0.05時,可用上解(1)設(shè)需要配備N

個維修工人,設(shè)X

為90臺設(shè)備中發(fā)生故障的臺數(shù)，則X~B(90,0.01)自學(xué)（詳解見教材P.61例6)設(shè)有同類型設(shè)備90臺，每臺工作相互獨立，每臺設(shè)備發(fā)生故障的概率都是0.01.在通常情況下，一臺設(shè)備發(fā)生故障可由一個人獨立維修，每人同時也只能維修一臺設(shè)備.問至少要配備多少維修工人，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障時不能及時維修的概率小于0.01?(2)問3個人共同負(fù)責(zé)90臺還是3個人各自獨立負(fù)責(zé)30臺設(shè)備發(fā)生故障不能及時維修的概率低？例6例642解(1)設(shè)需要配備N個維修工人,設(shè)X為90令則查附表2得N=443令則查附表2得N=443三個人共同負(fù)責(zé)90臺設(shè)備發(fā)生故障不能及時維修的概率為44三個人共同負(fù)責(zé)90臺設(shè)備發(fā)生故障不能44設(shè)30臺設(shè)備中發(fā)生故障的臺數(shù)為

Y~B(30,0.01)設(shè)每個人獨立負(fù)責(zé)30臺設(shè)備，第i個人負(fù)責(zé)的30臺設(shè)備發(fā)生故障不能及時維修為事件Ai

則三個人各獨立負(fù)責(zé)30臺設(shè)備發(fā)生故障不能及時維修為事件故

三個人共同負(fù)責(zé)90臺設(shè)備比各自負(fù)責(zé)好！45設(shè)30臺設(shè)備中發(fā)生故障的臺數(shù)為Y~B(30,0.0在Poisson定理中，由此產(chǎn)生了一種離散型隨機變量的概率分布—Poisson分布46在Poisson定理中，由此產(chǎn)生了一種離散型隨機變量的概率(3)Poisson分布若其中是常數(shù)，則稱

X服從參數(shù)為的Poisson分布.或記作47(3)Poisson分布若其中是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)在某個時段內(nèi)：大賣場的顧客數(shù)；某地區(qū)撥錯號的電話呼喚次數(shù)；市級醫(yī)院急診病人數(shù)；某地區(qū)發(fā)生的交通事故的次數(shù).①②③④⑤一個容器中的細菌數(shù)；一本書一頁中的印刷錯誤數(shù)；一匹布上的疵點個數(shù)；⑥⑦⑧應(yīng)用場合放射性物質(zhì)發(fā)出的粒子數(shù)；48在某個時段內(nèi)：大賣場的顧客數(shù)；某地區(qū)撥錯號的電話呼喚次數(shù)；市都可以看作是源源不斷出現(xiàn)的隨機質(zhì)點流,若它們滿足一定的條件,則稱為Poisson流,在長為

t

的時間內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點數(shù)Xt~P(t)49都可以看作是源源不斷出現(xiàn)的隨機49例7設(shè)一只昆蟲所生蟲卵數(shù)為隨機變量

X,例7設(shè)各個蟲卵是否能發(fā)育成幼蟲是相互獨立的.已知X~P()，且每個蟲卵發(fā)育成幼蟲的概率為p.求一昆蟲所生的蟲卵發(fā)育成幼蟲數(shù)Y

的概率分布.50例7設(shè)一只昆蟲所生蟲卵數(shù)為隨機變例7設(shè)解昆蟲X

個蟲卵Y個幼蟲已知由全概率公式51解昆蟲X個蟲卵Y個幼蟲已知由全概率公式51故52故52作業(yè)P82習(xí)題二8(1)121415習(xí)題53作業(yè)P82習(xí)題二8(1)習(xí)題53每周一題5已知運載火箭在飛行中進入其儀器艙的宇宙粒子數(shù)服從參數(shù)為2的泊松分布.而進入儀器艙的粒子隨機落到儀器重要部位的概率為0.1，求有3個粒子落到儀器重要部位的概率.第五周問題54每周一題5已知運載火箭在飛行中進入其儀器艙的宇宙粒子數(shù)服從參

BlaisePascal1623-1662帕斯卡法國數(shù)學(xué)家物理學(xué)家思想家帕斯卡55BlaisePascal帕斯卡法國數(shù)學(xué)家帕斯卡55帕斯卡四歲喪母,在父親精心培養(yǎng)下,16歲時發(fā)現(xiàn)帕斯卡六邊形定理,寫成《圓錐曲線論》,由此定理導(dǎo)出400余條推論,這是古希臘阿波羅尼奧斯以來圓錐曲線論的最大進步.帕斯卡簡介1642年發(fā)明世界上第一臺機械加法計算機——帕斯卡計算器.56帕斯卡四歲喪母,在父親精心培養(yǎng)帕斯卡簡介他應(yīng)用此方法解決了擺線問題.1654年研究二項系數(shù)性質(zhì),寫出《論算術(shù)三角形》一文,還深入討論不可分原理,這實際上相當(dāng)于已知道1647年他發(fā)現(xiàn)了流體靜力學(xué)的帕斯卡原理.57他應(yīng)用此方法解決了擺線問題.1654年研三十歲時他曾研究過賭博問題,對早期概率論的發(fā)展頗有影響.1658年完成了《擺線論》,這給G.W.萊布尼茨以很大啟發(fā),促使了微積分的建立.在離散型隨機變量的分布中有個以帕斯卡名字命名的分布，它應(yīng)用于重復(fù)獨立試驗中，事件發(fā)生次的場58三十歲時他曾研究過賭博問題,1658年完帕斯卡還寫過不少文學(xué)著作.1654年他進入修道院,獻身于哲學(xué)合.而有名的幾何分布正是其

時的特例.和宗教.59帕斯卡還寫過不少文學(xué)著作.1654年他進入思考題自動生產(chǎn)線調(diào)整以后出現(xiàn)廢品的概率為p,當(dāng)生產(chǎn)過程中出現(xiàn)廢品時立即重新進行調(diào)整,問兩次調(diào)整之間的合格品數(shù)服從什么分布？思考題附錄60思考題自動生產(chǎn)線調(diào)整以后出思考題附錄60§2.2離散型隨機變量及其概率分布定義

若隨機變量X

的可能取值是有限個或可列個,則稱X

為離散型隨機變量描述X的概率特性常用概率分布或分布律XP或離散隨機變量及分布律即§2.261§2.2離散型隨機變量及其概率分布定義分布律的性質(zhì)

非負(fù)性

規(guī)范性X~或62分布律的性質(zhì)非負(fù)性規(guī)范性X~或13

F(x)是分段階梯函數(shù),在X

的可能取值xk處發(fā)生間斷,間斷點為第一類跳躍間斷點,在間斷點處有躍度

pk.離散隨機變量及分布函數(shù)其中.

63F(x)是分段階梯函數(shù),在X的可解例1設(shè)汽車在開往甲地途中需經(jīng)過4盞信號燈,每盞信號燈獨立地以概率p允許汽車通過.出發(fā)地甲地首次停下時已通過的信號燈盞數(shù),求X

的概率分布與p=0.4時的分布函數(shù).令

X

表示例1

64解例1設(shè)汽車在開往甲地途中需經(jīng)出發(fā)地?0?1?2?3?4xx]]]?]??kpk012340.60.40.60.420.60.430.60.44當(dāng)65?????xx]]]?]??kpk0?0?1?2?3?4xF(x)o?o?1?o?o?o66?????xF(x)o?o?1?o?o?o17用分布律或分布函數(shù)來計算事件的概率例2

在上例中,分別用分布律與分布函數(shù)計算下述事件的概率：例2解或67用分布律或分布函數(shù)來計算事件的概率例2在上例中,分別用或此式應(yīng)理解為極限68或19例3一門大炮對目標(biāo)進行轟擊,假定此目標(biāo)必須被擊中r

次才能被摧毀.若每次擊中目標(biāo)的概率為p(0<p<1),且各次轟擊相互獨立,一次次地轟擊直到摧毀目標(biāo)為止.求所需轟擊次數(shù)X的概率分布.解P(X=k)=P(前k–1次擊中r–1次，第k

次擊中目標(biāo))例3帕斯卡分布69例3一門大炮對目標(biāo)進行轟擊,假定此目標(biāo)解P(X=k)注利用冪級數(shù)在收斂域內(nèi)可逐項求導(dǎo)的性質(zhì)當(dāng)70注利用冪級數(shù)在收斂域內(nèi)可逐項求導(dǎo)的性質(zhì)當(dāng)21歸納地令71歸納地令22作業(yè)P82習(xí)題二24習(xí)題5672作業(yè)P82習(xí)題二24習(xí)題5(1)0–1分布X=xk

10Pkp1-p0<p<

1注其分布律可寫成

常見的離散型隨機變量的分布凡試驗只有兩個可能的結(jié)果，常用應(yīng)用場合0–1分布描述，如產(chǎn)品是否合格、人口性別統(tǒng)計、系統(tǒng)是否正常、電力消耗是否超標(biāo)等等.73(1)0–1分布X=xk1(2)二項分布n

重Bernoulli試驗中,X是事件A

在n次試驗中發(fā)生的次數(shù),P(A)=p,若則稱X服從參數(shù)為n,p

的二項分布，記作0–1分布是n=1的二項分布74(2)二項分布n重Bernoulli試驗中,X是事二項分布的取值情況設(shè).039.156.273.273.179.068.017.0024.00000123456780.273?由圖表可見,當(dāng)時，分布取得最大值此時的稱為最可能成功次數(shù)xP?0?1?2?3?4?5?6?7?875二項分布的取值情況設(shè).039.156.273.27627設(shè).01.06.14.21.22.18.11.06.02.01.002<.00101234567891011~20??xP?????1?3?5?7?9????0?2?4?6?8?10?20由圖表可見,當(dāng)時，分布取得最大值0.22?77設(shè).01.06.14.21.22.187829二項分布中最可能出現(xiàn)次數(shù)的定義與推導(dǎo)則稱為最可能出現(xiàn)的次數(shù)79二項分布中最可能出現(xiàn)次數(shù)的定義與推導(dǎo)則稱為最可能出現(xiàn)的

當(dāng)(n+1)p=整數(shù)時,在k=(n+1)p與(n+1)p–1處的概率取得最大值對固定的n、p,P(X=k)的取值呈不對稱分布固定p,隨著

n

的增大，其取值的分布趨于對稱

當(dāng)(n+1)p

整數(shù)時,在k=[(n+1)p]處的概率取得最大值80當(dāng)(n+1)p=整數(shù)時,在k=(例4獨立射擊5000次,每次命中率為0.001,例4解

(1)k=[(n+1)p]=[(5000+1)0.001]=5求(1)最可能命中次數(shù)及相應(yīng)的概率；(2)命中次數(shù)不少于1次的概率.81例4獨立射擊5000次,每次命中率為0.001,例4(2)令X表示命中次數(shù),則X~B(5000,0.001)

小概率事件雖不易發(fā)生，但重復(fù)次數(shù)多了，就成大概率事件.本例啟示82(2)令X表示命中次數(shù),則X~B(5000,0.由此可見日常生活中“提高警惕,防火由于時間無限,自然界發(fā)生地震、海嘯、空難、泥石流等都是必然的，早晚的同樣,人生中發(fā)生車禍、失戀、患絕癥、考試不及格、炒股大虧損等都是正?，F(xiàn)象,大可不必怨天尤人,更不要想不開而防盜”的重要性.事，不用奇怪，不用驚慌.跳物理樓(交大閔行校區(qū)最高樓)自殺.啟示83由此可見日常生活中“提高警惕,防火由于時間無限,自然界發(fā),則對固定的

k設(shè)Possion定理Poisson定理說明若X~B(n,p),則當(dāng)n

較大，p

較小,而適中,則可以用近似公式問題如何計算？

84,則對固定的k設(shè)Possion定理Poisson定理說明證

記85證記36類似地,從裝有

a

個白球，b

個紅球的袋中不放回地任取n個球,其中恰有k

個白球的概率為當(dāng)時，對每個n有結(jié)論超幾何分布的極限分布是二項分布二項分布的極限分布是Poisson分布86類似地,從裝有a個白球，b個紅球的袋中當(dāng)時，對每個解令X表示命中次數(shù),則令此結(jié)果也可直接查P.378附表2泊松

分布表得到，它與用二項分布算得的結(jié)果

0.9934僅相差萬分之一.利用Poisson定理再求例4

(2)X~B(5000,0.001)87解令X表示命中次數(shù),則令此結(jié)果也可例5

某廠產(chǎn)品不合格率為0.03,現(xiàn)將產(chǎn)品裝箱,若要以不小于90%的概率保證每箱中至少有100個合格品,則每箱至少應(yīng)裝解

設(shè)每箱至少應(yīng)裝100+n個,每箱的不合格品個數(shù)為X,則X~B(100+n,0.03)由題意

3(100+n)0.03=3+0.03n取=3多少個產(chǎn)品？例588例5某廠產(chǎn)品不合格率為0.03,現(xiàn)將產(chǎn)品裝箱,若要查Poisson分布表,=3得n+1=6,n=5故每箱至少應(yīng)裝105個產(chǎn)品,才能符合要求.應(yīng)用Poisson定理89查Poisson分布表,=3得n+1=6,在實際計算中,當(dāng)n

20,p0.05時,可用上述公式近似計算;而當(dāng)n

100,np10時,精度更好00.3490.3580.3690.3660.36810.3050.3770.3720.3700.36820.1940.1890.1860.1850.18430.0570.0600.0600.0610.06140.0110.0130.0140.0150.015

按二項分布

按Possion公式

kn=10

p=0.1n=20p=0.05n=40p=0.025n=100p=0.01=np=190在實際計算中,當(dāng)n20,p0.05時,可用上解(1)設(shè)需要配備N

個維修工人,設(shè)X

為90臺設(shè)備中發(fā)生故障的臺數(shù)，則X~B(90,0.01)自學(xué)（詳解見教材P.61例6)設(shè)有同類型設(shè)備90臺，每臺工作相互獨立，每臺設(shè)備發(fā)生故障的概率都是0.01.在通常情況下，一臺設(shè)備發(fā)生故障可由一個人獨立維修，每人同時也只能維修一臺設(shè)備.問至少要配備多少維修工人，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障時不能及時維修的概率小于0.01?(2)問3個人共同負(fù)責(zé)90臺還是3個人各自獨立負(fù)責(zé)30臺設(shè)備發(fā)生故障不能及時維修的概率低？例6例691解(1)設(shè)需要配備N個維修工人,設(shè)X為90令則查附表2得N=492令則查附表2得N=443三個人共同負(fù)責(zé)90臺設(shè)備發(fā)生故障不能及時維修的概率為93三個人共同負(fù)責(zé)90臺設(shè)備發(fā)生故障不能44設(shè)30臺設(shè)備中發(fā)生故障的臺數(shù)為

Y~B(30,0.01)設(shè)每個人獨立負(fù)責(zé)30臺設(shè)備，第i個人負(fù)責(zé)的30臺設(shè)備發(fā)生故障不能及時維修為事件Ai

則三個人各獨立負(fù)責(zé)30臺設(shè)備發(fā)生故障不能及時維修為事件故

三個人共同負(fù)責(zé)90臺設(shè)備比各自負(fù)責(zé)好！94設(shè)30臺設(shè)備中發(fā)生故障的臺數(shù)為Y~B(30,0.0在Poisson定理中，由此產(chǎn)生了一種離散型隨機變量的概率分布—Poisson分布95在Poisson定理中，由此產(chǎn)生了一種離散型隨機變量的概率(3)Poisson分布若其中是常數(shù)，則稱

X服從參數(shù)為的Poisson分布.或記作96(3)Poisson分布若其中是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)在某個時段內(nèi)：大賣場的顧客數(shù)；某地區(qū)撥錯號的電話呼喚次數(shù)；市級醫(yī)院急診病人數(shù)；某地區(qū)發(fā)生的交通事故的次數(shù).①②③④⑤一個容器中的細菌數(shù)；一本書一頁中的印刷錯誤數(shù)；一匹布上的疵點個數(shù)；⑥⑦⑧應(yīng)用場合放射性物質(zhì)發(fā)出的粒子數(shù)；97在某個時段內(nèi)：大賣場