三立體幾何中向量方法解決空間角與距離問題

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解直線與平面所成角、二面角的概念.2.掌握向量法解決空間角和距離問題 思考1 答 線線角、線面角、二面角思考 答 傳統(tǒng)方法和向量法 則cosθ＝|cosφ|＝|anα的一個(gè)法向量，aaaα所成的角為θ，則θ＝ 〈a，n〉－2，〈a，n〉θ＝〈〉＝〈〉②先求出二面角一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到另一面的距離及到棱的距離，然后通過解直角三角形求角.－l－αPP⊥，A⊥l，AAA⊥l成立，所以∠AO就是二面角的平面角.知識(shí)點(diǎn) 利用空間向量求距思考 思考 答 梳 →a〉 → 則點(diǎn)P0到直線l的距離 |a|如圖，設(shè)n＝(a，b，c)是平面α的一個(gè)法向量，P0(x0，y0，z0)為α外一點(diǎn)，P(x，y，z)是平 面α內(nèi)的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P0到平面α的距離類型 求兩條異面直線所成的例 ＝90°OB＝OO1＝2，OA＝3A1BAO1所成角的余弦值的大小 1，3)，B(0，2，0)，∴ A1B＝(－3，1，－3)，O1A＝(3，－1，－→ |－3，1，－3·3，－1，－∴|cos〈

17·A1B，O1A〉|＝ → 7·7∴A1BAO1所成角的余弦值為7與感悟在解決幾何中兩異面直線所成角問題時(shí)，若能構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，則建1ABCD－A1B1C1D1中，E、FA1D1、A1C1的中點(diǎn)，求異面直AECF所成角的余弦值. ∴ →|AE|＝5，|CF|＝又→ → → →AE·CF＝|AE||CF|cos〈AE，CF〉＝30cos〈AE，CF∴cos〈→〉＝ 10∴AECF所成角的余弦值為10類型 求直線和平面所成的例 已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長為a，側(cè)棱長為2a，求AC1與側(cè)面所成的角解建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0，C－

，a， 2 方法 取A1B1的中點(diǎn)2M(0，a，2a)2有 3 MC＝(－2a，0，0)，AB＝(0，a，0)，AA1＝(0，0，∴→ →∴ MC1⊥AB，MC1⊥AA1，又AB∩AA1＝A，∴MC1⊥∴∠C1AMAC1ABB1A1所成的角由于

3 AC1＝－2a，2，2a，AM＝(0，2，→ ∴AC1·AM＝0＋4＋2a＝44＋42 ＝ 4＋2a∴cos〈→，→〉 ＝∵〈

→

× ∴AC1ABB1A1方法二

3 AB＝(0，a，0)，AA1＝(0，0，2a)，AC1＝－2a，2，ABB1A1∴ n·AB＝0n·AA1＝0.∴ay＝0且∴y＝z＝0.∵ 3 AC1＝－2a，2，∴cos，n〉

→

∴|cos，n〉 又直線與平面所成的角在[0°，90°]∴AC1ABB1A1與感悟用向量法求線面角的一般步驟是先利用圖形的幾何特征建立適當(dāng)?shù)目臻g直角訓(xùn)練2 ABCDB＝BC＝2AAS⊥BCDAD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直線SC與底面ABCD的夾角θ的余弦值.AAD，AB，ASx軸，y軸，z軸，AB＝1

AS是底面的法向量，它與已知向量CSAS是底面的法向量，它與已知向量CS→故有sinθ＝cosβ＝AS·CS＝ ＝→ 1×

3∴cos 1－sin2θ＝3類型 求二面例 EPDEACABCD的夾角 如圖，以A為原點(diǎn)，分別以AC，AB，AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空PA＝AB＝a，AC＝bBDACOADF，則C(b，0，0)，B(0，a，0)→＝→ ∵→

∴→⊥→，→＝1→＝0，－a，0，→→ ∴ ∴∠EOFEACABCD的夾角(或補(bǔ)角→cos〈

2OE，OF〉＝→→＝2∴EACABCD方法系如方法一∴→AP＝(0，0，a)ABCD∴→→ AEC 由 得得∴x＝0，y＝z.∴→cos〈m→〉＝m·AP＝a＝

2∴AECABCD 訓(xùn)練3 若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝2，求二面角A－PB－C的 如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系則A(0，0，0)，B(故 AP＝(0，0，1)，AB＝(2，1，0)，CB＝(→→則

y＝－2m＝(1，－PBC→→則

y′＝－1z′＝－1∴cos〈m，n〉＝m·n＝ 又∵A－PB－C3∴A－PB－C的余弦值為－3 命題角度1 例 在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是C1C，D1A1的中點(diǎn)，求點(diǎn)A到直線的距離 以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐設(shè)，則∴

1＋－2＋1＝→→∴→

1

→ 66∴點(diǎn)A到直線EF的距離 |FA|2－1 29＝ 與感 用向量法求點(diǎn)到直線的距離的一般步另外，要注意平行直線間的距離與點(diǎn)到直線的距離之間的轉(zhuǎn)化訓(xùn)練4 AA′＝3，求點(diǎn)B到直線A′C的距離. ∴AC＝(1，2，－3).又∴→

→|BC·AC| 4AC

|AC|

→—∴BA′C

AC 4－16＝2|命題角度 點(diǎn)面距|

→C|

7例5 正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求點(diǎn)B到平面EFG的距離. EFG

由

y＝1→∴BEFGd＝|BE·n|＝2＝2

與感 利用向量法求點(diǎn)到平面的距離的一般步建立空間直角坐標(biāo)系求出該平面的一個(gè)法向量找出該點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)連線形成的斜線段對應(yīng)的向量法向量與斜線段對應(yīng)向量的數(shù)量積的絕對值再除以法向量的模，即為點(diǎn)到平面的距離訓(xùn)練5 在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中點(diǎn)，AA1＝AB＝2.(1)求證：A1C∥平面AB1D；C1AB1D的距離證 3，2)，A(0，3，0)，C1(1，0，2)，→＝(1，－3，－2)，→＝(－1，－3，2)，→ (0，－

AB1Dn＝(x，y，z)

即

z＝1∵A1C·n＝1×2＋(－∵∴→∴∵A1C?AB1D，∴A1C∥ 由(1)知平面AB1D的一個(gè)法向量n＝(2，0，1)，且→＝(－1，→∴C1AB1Dd＝|C1A·n|＝4＝4命題角度 線面距離與面面距

56ABCD－A1B1C1D1中，底面為直角梯形，AB∥CDCD＝3，BC＝2，AA1＝2，ECC1A1B1ABE的距離解DDA，DC，DD1x軸，y軸，z軸，建立空A1(1，0，2)，A(1，0，0)，E(0，3，1)，C(0，3，0).CAB的垂線交AB于點(diǎn)F，易得BF＝3，∴B(1，2∴→ AB＝(0，23，0)，BE＝(－1，－ABE→→

∴y＝0，x＝z∵∵→∴A1B1ABEd＝|AA1·n|＝2＝ 與感悟(1)求線面距離可以轉(zhuǎn)化為求直線上任意一點(diǎn)到平面的距離，利用求點(diǎn)到平面訓(xùn)練 已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，求平面A1BD與平面B1CD1間的離 以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示A1BD→→

z＝1∴D1A1BDd＝|A1D1·n|＝1＝ ∵A1BDB1CD1D1A1BD3∴A1BDB1CD1間的距離為3 A.

—

C.

6

15答

66解

知這個(gè)二面角的余弦值為15或－ A到直線BC的距離為( 235 235答 解 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系∴→ → 1＋4＋0＝→→→|AB·BC|＝→∴點(diǎn)A到直線BC的距離 5－2＝ 33

B.

C.

33答 33解 以D為原點(diǎn)，分別以→，→，→的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所的空間直角坐標(biāo)系

DA

故 故1DB＝(1，1，0)，DCBDC1→→

z＝1y＝－2，x＝2，所以n＝(2，－2，1).CDBDC1→sinθ＝|cos〈n〉|＝|n·DC| 答 49解 設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為∵ z即

z＝－2又 ∴DABC

＝49＝49

17在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝1，則PC與平面ABCD所成 答 解 →ABCDn＝(0，0，1)，所以cos〈，n〉＝PC·n 又因?yàn)椤?，n〉∈[0°，180°]，所以〈，n〉＝120°，PCABCD60°PCABCD(1)θφcosθ＝|cosφ|.(2)θφsin＝|cosφ|或cosθ＝sinP，Q兩點(diǎn)間的距離，可轉(zhuǎn)化為求的模nα的法向量，Bα外一點(diǎn)，Aα→|n|ABαBα|n|40分鐘作 答 異面直線所成角的范圍是(0°，90°]，所以l1與l2這兩條異面直線所成的角為180°－已知兩平面的法向量分別為m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，則兩平面所成的二面角為( C.45°或135° 答 解 cos〈m，n〉＝m·n＝1＝2 2即〈m，n〉＝45°.45°設(shè)直線l與平面α相交，且l的方向向量為a，α的法向量為n，若〈 lα所成的角為

〉＝3 D.答 解 線面角的范圍是 333∴l(xiāng)與法向量所在直線所成角為3∴l(xiāng)α所成的角為2ABCD－A1B1C1D1中，EDC 10

5

—

—答 解 ∴ ∴ |AB1|＝22，|ED1|＝→→∴cos〈

10AB1，ED1〉＝

→＝2

＝105510∴AB1ED1所成角的余弦值為10PABCDPAABCD，PA＝AD＝ACFPC的中點(diǎn)，則二面角C－BF－D的正切值為 6

3

D.243答 43 如圖所示，連接BD，AC∩BD＝O，連接OF.以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，OF所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.PA＝AD＝AC＝1BD＝B3，0，0，F(xiàn)0，0，1，C(0，1，0)，D(－ ＝0，1，0且BOF由→

BC＝－2，2，0，F(xiàn)B＝2BCFn＝(1，3，cos〈n〉＝21，sin〈n〉＝2 tan〈n〉＝2 3ABCDABEF全等，D－AB－E為直二面角，MAB中點(diǎn)，F(xiàn)M＝所成角為θ，且cos 3.則AB與BC的邊長之比為( ＝ B. C. 答 解 設(shè)AB＝a，BC＝b，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則相關(guān)各點(diǎn)坐標(biāo)為22 所以

→ b＋4 a＋b，F(xiàn)M·BD＝－2 2 3b2＋4b2＋4

＝9

解得a2＝2或a2＝－4(舍所以AB＝a＝ 2)，則點(diǎn)P到平面OAB的距離 答 n解 n

答 解

－1＝－1且〈n，v〉2·2∴〈n，ν〉＝120°.2·2別是線段PA，CD的中點(diǎn)，則異面直線EF與BD所成角的余弦值為 答案3解析建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則 cos〈→〉＝2＝3 63在空間四邊形OABC中

cos〈

答

解析→ → → →＝→

→

1→

→∴cos〈

OA，BC〉＝→AB.AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，求該二面角的大小.

∴→ → → → → → →|CD|＝|CA|＋|AB|＋|BD|＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈〉＝(2 ∴cos〈〉 ∴〈 ∴ABCD－A1B1C1D12，E，F(xiàn)，GCC1，D1A1，AB的中點(diǎn)，求AEFG的距離. 如圖，建立空間直角坐標(biāo)系∴→ n＝(x，y，z)EFG

x＝y(tǒng)＝z.x＝1 ∵ 3GAn

|n|

3＝33∴AEFG的距離為322D－A1C－E的正弦值證明AC1A1CFDFFAC1DAB的中點(diǎn)，所以DF∥BC1，DF?A1CD，BC1?A1CD，所以BC1∥平面A1CD.2 由AA1＝AC＝CB＝2AB＝2aAA1＝AC＝CB＝AC⊥BCCC1⊥ABC