函數(shù)的極值與最大（小）值（第一課時(shí)） 函數(shù)的極值 課件-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

第一課時(shí)函數(shù)的極值

5.3.2函數(shù)的極值與最大（?。┲祮?wèn)題引入：

在用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可以判斷函數(shù)的增減.如果函數(shù)在某些點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0，那么在這些點(diǎn)處函數(shù)有什么性質(zhì)呢？探究1：觀察下圖，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)t=a時(shí)，高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員距水面的高度最大，那么函數(shù)h(t)在此點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是多少？

此點(diǎn)附近的函數(shù)圖象有什么特點(diǎn)？相應(yīng)地，導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有什么變化規(guī)律?放大t=a附近的函數(shù)

h(t)的圖象，可以看出，；可以看出，；在t=a的附近，當(dāng)t<a時(shí)，函數(shù)

h(t)單調(diào)遞增，；當(dāng)t>a時(shí)，函數(shù)

h(t)單調(diào)遞減，.在

t=a附近，函數(shù)值先增后減.這樣當(dāng)

t在

a的附近從小到大經(jīng)過(guò)a時(shí)，先正后負(fù)，且連續(xù)變化，于是有.對(duì)于一般的函數(shù)y=f(x)，是否具有同樣的性質(zhì)？探究2函數(shù)

y=f(x)在

x=a,b,c,d,e等點(diǎn)的函數(shù)值與這些點(diǎn)附近的函數(shù)值有什么關(guān)系

？

y=f(x)在這些點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值是多少？

在這些點(diǎn)附近，y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性有什么規(guī)律？函數(shù)

y=f(x)在點(diǎn)

x=a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)

x=a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，；而且在點(diǎn)

x=a附近的左側(cè)，右側(cè).把

a

叫做函數(shù)

y=f(x)的極小值點(diǎn)，

f(a)叫做函數(shù)

y=f(x)的極小值；函數(shù)

y=f(x)在點(diǎn)

x=b的函數(shù)值

f(b)比它在點(diǎn)

x=b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，；而且在點(diǎn)x=b附近的左側(cè)，右側(cè).把b

叫做函數(shù)

y=f(x)的極大值點(diǎn)，

f(b)叫做函數(shù)

y=f(x)的極大值.極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值.極值反映了函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況，刻畫(huà)了函數(shù)的局部性質(zhì)思考：極大值一定大于極小值嗎？小試牛刀設(shè)y＝f′(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)從左到右橫坐標(biāo)依次為x1，x2，x3，x4，則f(x)在x＝x1，x＝x3處取得極大值，在x＝x2，x＝x4處取得極小值x1x2x3x4思考導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)嗎？提示：導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)不一定是函數(shù)的極值點(diǎn)

一般地，函數(shù)

y=f(x)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0是函數(shù)

y=f(x)在這點(diǎn)取極值的必要條件，而非充分條件.

[解析]由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知：x∈(－∞，0)∪(2,4)時(shí)，f′(x)>0，x∈(0,2)∪(4，＋∞)時(shí)，f′(x)<0，因此f(x)在(－∞，0)，(2,4)上單調(diào)遞增，

在(0,2)，(4，＋∞)上單調(diào)遞減，所以x＝0取得極大值，x＝2取得極小值，x＝4取得極大值，角度一：知圖判斷函數(shù)的極值角度二：求不含參數(shù)的函數(shù)極值問(wèn)題[解]函數(shù)的定義域?yàn)镽，f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′

＝2xe－x－x2·e－x

＝x(2－x)e－x.令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，解得x＝0或x＝2.x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)單調(diào)遞減極小值0單調(diào)遞增極大值4e－2單調(diào)遞減當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：因此當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)有極小值，且極小值f(0)＝0；求函數(shù)極值的步驟(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0得方程的根；(4)利用方程f′(x)＝0的根將定義域分成若干個(gè)小區(qū)間，列表，判定導(dǎo)函數(shù)在各個(gè)小區(qū)間的符號(hào)；(5)確定函數(shù)的極值，如果f′(x)的符號(hào)在x0處由正(負(fù))變負(fù)(正)，則f(x)在x0處取得極大(小)值．

[解]

(1)當(dāng)m＝1時(shí)，f(x)＝－x3＋x2，f′(x)＝－x2＋2x，

故f′(1)＝1.所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線的斜率為1.角度三：求含參數(shù)的函數(shù)極值問(wèn)題所以f(x)在(－∞，1－m)，(1＋m，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減，在(1－m,1＋m)內(nèi)單調(diào)遞增．函數(shù)f(x)在x＝1－m處取得極小值f(1－m)，x(－∞，1－m)1－m(1－m，1＋m)1＋m(1＋m，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減(2)f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1.

令f′(x)＝0，解得x＝1－m或x＝1＋m.因?yàn)閙＞0，所以1＋m＞1－m.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：[例4]已知f(x)＝ax5－bx3＋c在x＝±1處的極大值為4，極小值為0，試確定a，b，c的值．已知函數(shù)的極值求參數(shù)x(－∞，－1)－1(－1,0)0(0,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0－0＋f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減無(wú)極值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增[解]

f′(x)＝5ax4－3bx2＝x2(5ax2－3b)．由題意，f′(x)＝0應(yīng)有根x＝±1，故5a＝3b，于是f′(x)＝5ax2(x2－1)，①當(dāng)a＞0，x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：②當(dāng)a＜0時(shí)，同理可得a＝－3，b＝－5，c＝2.又5a＝3b，解得：a＝3，b＝5，c＝2.綜上可知a＝3，b＝5，c＝2或a＝－3，b＝－5，c＝2.已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時(shí)，注意兩點(diǎn)(1)根據(jù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解；(2)因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)證充分性．

解析：若a<－1，

∵f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，

∴f(x)在(－∞，a)上單調(diào)遞減，在(a，－1)上單調(diào)遞增，

∴f(x)在x＝a處取得極小值，與題意不符；若－1<a<0，則f(x)在(－1，a)上單調(diào)遞增，在(a，＋∞)上單調(diào)遞減，從而在x＝a處取得極大值．若a>0，則f(x)在(－1，a)上單調(diào)遞減，在(a，＋∞)上單調(diào)遞增，與題意矛盾，故選D.[解]

因?yàn)閒(x)在x＝－1處取得極值且f′(x)＝3x2－3a，所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，所以a＝1.所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.當(dāng)x<－1時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)－1<x<1時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)>0.所以由f(x)的單調(diào)性可知，f(x)在x＝－1處取得極大值f(－1)＝1，在x＝1處取得極小值f(1)＝－3.因?yàn)橹本€y＝m與函數(shù)y＝f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合f(x)的圖象可知，m的取值范圍是(－3,1)．作出f(x)的大致圖象如圖所示：因?yàn)橹本€y＝m與函數(shù)y＝f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，解：由例題解析可知：當(dāng)m＝－3或m＝1時(shí)，直線y＝m與y＝f(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；

當(dāng)m<－3或m>1時(shí)，直線y＝m與y＝f(x)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)．m＝－3m＝11．研究方程根的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為研究相應(yīng)函數(shù)的圖象問(wèn)題，一般地，方程f(x)＝0的根就是函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，方程f(x)＝g(x)的根就是函數(shù)f(x)與g(x)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．2．事實(shí)上利用導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的極值情況，并能在此基礎(chǔ)上畫(huà)出函數(shù)的大致圖象，從直觀上判斷函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)或兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而為研究方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題提供了方便．函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系(1)函數(shù)的極小值與極小值點(diǎn)若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x＝a處的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝0，而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)