原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系Word版

整理為word格式整理為word格式整理為word格式課題：探究原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系首師大附中數(shù)學(xué)組王建華設(shè)計(jì)思路這節(jié)課是在學(xué)完導(dǎo)數(shù)和積分之后，學(xué)生從大量的實(shí)例中對(duì)原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系有了一定的認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上展開教學(xué)的。由于這部分內(nèi)容課本上沒有，但數(shù)學(xué)內(nèi)部的聯(lián)系規(guī)律和對(duì)稱美又會(huì)使學(xué)生既覺得有挑戰(zhàn)性又充滿探究的興趣。備這個(gè)課的過程中我雖然參考了大量已有的資料，但需要做更深入地思考這些命題間的聯(lián)系，以什么方式展開更利于學(xué)生拾級(jí)而上，最終登上高峰體會(huì)一覽眾山小的樂趣和成就感。教師實(shí)際上是在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一次理論的探險(xiǎn)，大膽地猜，小心地證，謹(jǐn)慎地修改條件，步步逼近真理。最終學(xué)生能否記住這些結(jié)論并不重要，重要的是研究相互關(guān)聯(lián)的事物的一般思路和方法。對(duì)優(yōu)秀生或熱愛數(shù)學(xué)的學(xué)生來說會(huì)有更多的收獲。整個(gè)教學(xué)流程1.從經(jīng)驗(yàn)觀察發(fā)現(xiàn)，猜想得命題p,q.這兩個(gè)命題為真命題，證明它們的方法用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，比較容易上手。2.學(xué)生自然會(huì)想到這個(gè)命題的逆命題是否成立，嘗試證明。證明的思路也要逆向思考。發(fā)現(xiàn)由于導(dǎo)數(shù)確定后原函數(shù)不能唯一確定，有上下平移的可能，這樣關(guān)于y軸對(duì)稱的性質(zhì)能夠保持，但關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)就不能保證了。3.函數(shù)的平移不改變函數(shù)圖象的對(duì)稱性，因此將奇函數(shù)的性質(zhì)拓展為關(guān)于中心對(duì)稱，將偶函數(shù)的性質(zhì)拓展為關(guān)于直線對(duì)稱，研究前面的四個(gè)命題還是否成立。研究方法可以類比遷移前面的方法。能成立的嚴(yán)格證明，不能成立的舉出反例，并嘗試通過改變條件使之成為真命題。4.已有成果的應(yīng)用：利用二次函數(shù)的對(duì)稱性性質(zhì)研究三次函數(shù)的對(duì)稱性。教學(xué)目標(biāo)在這個(gè)探究過程中1.加強(qiáng)學(xué)生對(duì)導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)相生相伴的關(guān)系的理解；2.增強(qiáng)學(xué)生對(duì)函數(shù)對(duì)稱性的理解和抽象概括表達(dá)能力；3體驗(yàn)研究事物的角度，一個(gè)新定理是怎樣誕生的，怎樣才是全面地認(rèn)識(shí)了一個(gè)事物。4.培養(yǎng)學(xué)生的思辨能力，分析法解決問題的能力，舉反例的能力等等。教學(xué)重點(diǎn)以原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱性的聯(lián)系為載體讓學(xué)生體驗(yàn)觀察發(fā)現(xiàn)、概括猜想、辨別真?zhèn)蔚倪^程。教學(xué)難點(diǎn)靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)探索未知領(lǐng)域。新課引入前面解題時(shí)我們常根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)示意圖畫出原函數(shù)的單調(diào)性示意圖，你能根據(jù)原函數(shù)的圖像畫出導(dǎo)函數(shù)的示意圖嗎？探究由原函數(shù)的奇偶性能否推出導(dǎo)函數(shù)的奇偶性。整理為word格式整理為word格式整理為word格式問題1已知函數(shù)的圖像，請(qǐng)嘗試畫出其導(dǎo)函數(shù)的圖像示意圖。yxoxyyxoxyoyxoyxoooxyxxyo導(dǎo)函數(shù)的實(shí)質(zhì)是原函數(shù)的瞬時(shí)變化率，導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)反應(yīng)了原函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)函數(shù)的大小反應(yīng)了原函數(shù)增減的快慢。從圖像的整體性質(zhì)上看，你還有什么發(fā)現(xiàn)？猜想p:可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，猜想q:可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。問題2你能根據(jù)圖象上解釋一下你的猜想嗎？奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，它的曲線在原點(diǎn)兩側(cè)等距離處升降速度相同，即切線斜率相等；偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱，它的曲線在y軸兩側(cè)等距離處升降速度絕對(duì)值相等，即切線斜率互為相反數(shù)。問題3嘗試證明你的猜想P:已知是可導(dǎo)的奇函數(shù)，求證時(shí)偶函數(shù)分析1：欲證時(shí)偶函數(shù)，只需證整理為word格式整理為word格式整理為word格式若將理解將中的替換為得到的函數(shù)，可以用導(dǎo)數(shù)定義證明。證明：當(dāng)是奇函數(shù)時(shí),對(duì)定義域中的任意都有所以時(shí)偶函數(shù)分析2.用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)證明：當(dāng)是奇函數(shù)時(shí)，對(duì)定義域中的任意都有兩邊對(duì)求導(dǎo)得，即得，所以時(shí)偶函數(shù)命題q同理可證.思考：看來已知原函數(shù)的奇偶性，我們可以確定導(dǎo)函數(shù)的奇偶性，那么已知導(dǎo)函數(shù)的奇偶性能否推知原函數(shù)的奇偶性呢？命題p和q的逆命題是否成立呢？二．探究由導(dǎo)函數(shù)的奇偶性能否推出原函數(shù)的奇偶性。問題4p和q的逆命題是否成立？p的逆命題：若是偶函數(shù)，則奇函數(shù)此命題不正確，可舉出反例：如是奇函數(shù)，而原函數(shù)當(dāng)c不為0時(shí)，原函數(shù)不是偶函數(shù)。這是什么原因造成的呢？因?yàn)樵瘮?shù)定了，導(dǎo)函數(shù)是唯一確定的，而同一個(gè)導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)有無窮多個(gè)。一個(gè)函數(shù)向上或向下平移后導(dǎo)函數(shù)是不變的，直觀理解是切線的斜率不變。而函數(shù)上下平移就不能保證圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱了。q的逆命題：若是奇函數(shù)，則偶函數(shù)證明：是奇函數(shù)時(shí)能否推出？只能推出，思考是確定的值嗎？能求嗎？整理為word格式整理為word格式整理為word格式問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)是0，原函數(shù)是什么？可以舉出分段的常數(shù)函數(shù)，為使此命題成立，我們加強(qiáng)一下條件，將命題改為“對(duì)于在R上連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)，若是奇函數(shù)，則偶函數(shù)”。此時(shí)在處有定義，則，此時(shí)可得，原函數(shù)是偶函數(shù)。三．探究由原函數(shù)的對(duì)稱性能否推出導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱性對(duì)于連續(xù)的可導(dǎo)函數(shù)，原函數(shù)的奇偶性可以推出導(dǎo)函數(shù)的奇偶性，而逆命題中當(dāng)導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)時(shí)，原函數(shù)是偶函數(shù)，但當(dāng)導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)時(shí)，原函數(shù)不一定是奇函數(shù)，那么此時(shí)原函數(shù)雖然不是奇函數(shù)了，它是不是也有什么性質(zhì)呢？它的圖像應(yīng)該是中心對(duì)稱的。能否將剛才的結(jié)論推廣一下？問題5奇函數(shù)圖象特征是關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，偶函數(shù)圖象特征是關(guān)于軸對(duì)稱，能否將上述命題推廣一下？P的推廣命題：若可導(dǎo)函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，則它的導(dǎo)函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱。證明：關(guān)于對(duì)稱，則，即，所以其導(dǎo)函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱。q的推廣命題：若可導(dǎo)函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，則它的導(dǎo)函數(shù)關(guān)于對(duì)稱證明：關(guān)于對(duì)稱，則，即所以其導(dǎo)函數(shù)關(guān)于對(duì)稱導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱中心在軸上.修改命題.若可導(dǎo)函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，則它的導(dǎo)函數(shù)關(guān)于對(duì)稱令中可得，能否從圖像中找到解釋？四．探究由導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱性能否推出原函數(shù)的對(duì)稱性整理為word格式整理為word格式整理為word格式問題6思考：命題，逆命題是否成立？命題的逆命題：對(duì)于在R上可導(dǎo)的函數(shù)，若它的導(dǎo)函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，則原函數(shù)關(guān)于對(duì)稱證明：關(guān)于直線對(duì)稱，則而得當(dāng)時(shí)可得，所以，即函數(shù)關(guān)于對(duì)稱。對(duì)稱中心在函數(shù)圖像上。命題的逆命題：（課上只寫出命題，判斷驗(yàn)證留作課后思考題）對(duì)于在R上連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)，若它的導(dǎo)函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，則原函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱證明：關(guān)于直線對(duì)稱，則而得當(dāng)時(shí)，此命題不成立。當(dāng)時(shí)，由時(shí)可得，所以，即函數(shù)關(guān)于對(duì)稱。命題的逆命題需要修正，若對(duì)于在R上連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)，若它的導(dǎo)函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，則原函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱五．原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)對(duì)稱性聯(lián)系的應(yīng)用1.我們知道二次函數(shù)都是有對(duì)稱軸的，而二次函數(shù)又是三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，你能由此得出三次函數(shù)具有什么性質(zhì)？分析：由命題的逆命題知三次函數(shù)必有對(duì)稱中心。對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)與導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱軸的橫坐標(biāo)相同。求任意三次多項(xiàng)式函數(shù)的對(duì)稱中心。整理為word格式整理為word格式整理為word格式解：，其對(duì)稱軸是，將此值代入解析式可得對(duì)稱中心縱坐標(biāo)。即函數(shù)的對(duì)稱中心為.2.若是偶函數(shù)，則的關(guān)系是解：由其導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，且在0處有定義，可得，得，代回檢驗(yàn)。小結(jié)：整體結(jié)構(gòu)：原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)原函數(shù)奇偶性奇偶性p：可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)（真）q:可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)（真）p逆：若是偶函數(shù)，則奇函數(shù).（假）q逆：若是奇函數(shù)，則偶函數(shù).（真）對(duì)稱對(duì)稱性r：若R上可導(dǎo)函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，則它的導(dǎo)函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱。(真)s:若R上可導(dǎo)函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，則它的導(dǎo)函數(shù)關(guān)于對(duì)稱。(真)r逆：對(duì)于在R上可導(dǎo)的函數(shù)，若它的導(dǎo)函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，則原函數(shù)關(guān)于對(duì)稱.（真）s逆（改）：對(duì)于在R上可導(dǎo)的函數(shù)，若它的導(dǎo)函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，則原函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱。（真）證明上述命題的思路：由原函數(shù)研究導(dǎo)函數(shù)用符合函數(shù)求導(dǎo)；由導(dǎo)函數(shù)研究原函數(shù)從要證的式子出發(fā)尋找原函數(shù)的性質(zhì)。課后思考研究：判斷s逆是否正確，如果正確嘗試證明，若不正確舉出反例。整理為word格式整理為word格式整理為word格式教學(xué)反思：學(xué)生對(duì)這樣的課很感興趣，一方面可以在探索的過程中加深對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解，另一方面可以感受到數(shù)學(xué)內(nèi)部的嚴(yán)謹(jǐn)性和對(duì)稱美。命題的產(chǎn)生來自經(jīng)驗(yàn)，命題的證明需要用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)這一工具溝通原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，開始學(xué)生覺得有點(diǎn)吃力，需要教師加以啟發(fā)引導(dǎo)。但證過兩個(gè)命題后，學(xué)生對(duì)后面的命題證明就有了可以類比遷移的樣板，證明的思路就更清晰了。最后講的兩個(gè)應(yīng)用問題