關(guān)于曲線繪圖與運動控制問題的研究Word版

整理為word格式整理為word格式整理為word格式關(guān)于曲線繪圖與運動控制問題的研究姓名：張碩朱聰聰禹雪珂學(xué)號：201722060220172106102017210609專業(yè)：研究生組整理為word格式整理為word格式整理為word格式題目：關(guān)于曲線繪圖與運動控制問題的研究摘要隨著計算機的廣泛應(yīng)用，計算機輔助繪圖在當(dāng)今社會已成為計算機輔助設(shè)計的基礎(chǔ)。本文的建模題目就是利用數(shù)學(xué)建模的方法來研究計算機繪圖以及運動控制的原理。針對問題一，首先根據(jù)題意建立了滿足條件的三階貝塞爾曲線模型，讓屏幕上的4點在一條光滑又簡單的曲線上。然后根據(jù)模型計算出由以下4點構(gòu)成的參數(shù)方程，運用matlab編程，繪出了相應(yīng)的曲線。針對問題二的第一步，先把所給的參數(shù)方程的參數(shù)作4等分，即，然后用matlab編程繪圖，驗證出了當(dāng)參數(shù)作4等分時，這些點對應(yīng)的曲線弧長并不是4等分的。對于弧長n等分的問題，隨后利用微積分的原理建立了求弧長的公式模型。在弧長公式的基礎(chǔ)上，進(jìn)行弧長等分。利用這個模型，求出每段弧長對應(yīng)的參數(shù)t，結(jié)合所給的參數(shù)方程，最后利用編程繪制出了曲線的弧長4等分和10等分圖像。關(guān)鍵詞：貝塞爾曲線；微積分；MATLAB繪圖整理為word格式整理為word格式整理為word格式整理為word格式整理為word格式整理為word格式問題重述目前計算機輔助繪圖已成為計算機輔助設(shè)計的基礎(chǔ)，本文的問題就是利用數(shù)學(xué)建模的方法來研究計算機繪圖以及運動控制的基本原理。問題1：繪圖在計算機屏幕上隨機地畫出和，利用這4個點的信息繪制出一條曲線，其中讓為曲線的起點，為曲線的終點，和為控制點。曲線在起點處，以方向為切線方向，在終點處，以方向為切線方向。使用參數(shù)方程來描述這條曲線，但滿足上述條件的曲線有無窮條，請增加一些條件，使它表示一條曲線，并且具有形式簡單（如多項式）、曲線光滑（如連續(xù)可微）和美觀等特點。根據(jù)建立的模型寫出由以下4點構(gòu)成曲線的參數(shù)方程，并繪出這條曲線（同時在圖上標(biāo)注這4個點，和相應(yīng)的切線）。問題2：運動控制計算機輔助設(shè)計在一些情況下，需要對沿著指定的運動途徑的空間位置進(jìn)行精確的控制，而參數(shù)方程給出的曲線一般是達(dá)不到這一效果。也就是說，若將參數(shù)作等分，而對應(yīng)的曲線弧長并不是等分的。例如：需要控制的曲線由下列參數(shù)方程表示(1-1)若將參數(shù)作4等分，即，而這些點對應(yīng)的曲線弧長并不是4等分的，本題需要繪圖驗證這一點，并給出將弧長作等分的數(shù)學(xué)模型或計算公式。根據(jù)建立的數(shù)學(xué)模型，將參數(shù)方程(1-1)所繪出曲線的弧長4等分和10等分。繪出參數(shù)方程(1-1)的控制曲線，并標(biāo)注出弧長4等分和10等分的等分點。整理為word格式整理為word格式整理為word格式二．問題分析對于問題一，是讓我們對計算機屏幕上的隨機4點滿足的參數(shù)方程添加一些條件，使得繪出的曲線只有一條，且具有一定的特點。根據(jù)搜集的信息，首先我們建立了三階貝塞爾曲線方程的模型，這個模型是多項式，繪出的曲線具有形式簡單，曲線光滑和美觀等特點。然后根據(jù)模型求出了4點滿足的曲線的參數(shù)方程，并用matlab軟件繪制出了相應(yīng)的曲線。對于問題二，要求我們在參數(shù)等分的情況下，給出將弧長等分的數(shù)學(xué)模型。根據(jù)題意我們已經(jīng)知道了需要控制的曲線的參數(shù)方程，利用微積分的方法，給出了求曲線弧長的計算公式，在此基礎(chǔ)上對弧長進(jìn)行等分。根據(jù)建立的模型，利用matlab軟件繪制出將參數(shù)方程(1-1)所繪出曲線的弧長4等分和10等分的圖像。三．模型假設(shè)1.假設(shè)計算機屏幕上的隨機4點沒有重合。2.假設(shè)計算機正常運行。3.假設(shè)用matlab運行的誤差忽略不計。四．符號說明參數(shù)t定點控制點幕上的任意四點整理為word格式整理為word格式整理為word格式參數(shù)方程的系數(shù)總弧長每段的弧長五．模型的建立與求解5.1理論準(zhǔn)備5.1.1貝塞爾曲線簡介貝塞爾曲線，又稱貝茲曲線或貝濟(jì)埃曲線，是應(yīng)用于二維圖形應(yīng)用程序的數(shù)學(xué)曲線。一般的矢量圖形軟件通過它來精確畫出曲線，貝茲曲線由線段與節(jié)點組成，節(jié)點是可拖動的支點，線段像可伸縮的皮筋，它是計算機圖形學(xué)中相當(dāng)重要的參數(shù)曲線。貝塞爾曲線是根據(jù)4個位置任意的點坐標(biāo)繪制出的一條光滑曲線，我們把這4個點設(shè)為和，貝塞爾曲線必定通過首尾兩個端點，中間的兩個點雖然未必要通過，但卻起著牽制曲線形狀路徑的作用，稱為控制點。通過調(diào)整控制點，貝塞爾曲線的形狀會發(fā)生變化beisaier.gif。5.1.2貝塞爾曲線的參數(shù)表示當(dāng)控制點不同時，貝塞爾曲線的方程就不同。在這里，可以簡單的分為一階、二階、三階、和高階貝塞爾曲線。下面對其參數(shù)方程進(jìn)行簡單的介紹。一階貝塞爾曲線給定點P0、P1，線性貝茲曲線只是一條兩點之間的直線。這條線由下式給出：整理為word格式整理為word格式整理為word格式且其等同于線性插值。B.二階貝塞爾曲線二次方貝茲曲線的路徑由給定點P0、P1、P2的函數(shù)B（t）追蹤：TrueType字型就運用了以貝茲樣條組成的二次貝茲曲線。C.三階貝塞爾曲線P0、P1、P2、P3四個點在平面或在三維空間中定義了三次方貝茲曲線。曲線起始于P0走向P1，并從P2的方向來到P3。一般不會經(jīng)過P1或P2；這兩個點只是在那里提供方向資訊。P0和P1之間的間距，決定了曲線在轉(zhuǎn)而趨進(jìn)P3之前，走向P2方向的“長度有多長”。曲線的參數(shù)形式為：現(xiàn)代的成象系統(tǒng)，如PostScript、Asymptote和Metafont，運用了以貝茲樣條組成的三次貝茲曲線，用來描繪曲線輪廓。D.一般參數(shù)公式給定點P0、P1、…、Pn，其貝茲曲線即：如上公式可如下遞歸表達(dá)：用表示由點P0、P1、…、Pn所決定的貝茲曲線。5.1.3貝塞爾曲線的性質(zhì)貝塞爾曲線把組合參數(shù)曲線構(gòu)造成在連接處具有直到n階連續(xù)，即n階連續(xù)可微，這類光滑度稱之為nC或n階參數(shù)連續(xù)性。并且組合曲線在連接處滿足不同于nC的某一組約束條件，具有n階幾何連續(xù)性，整理為word格式整理為word格式整理為word格式5.2問題一模型的建立根據(jù)題目所給，要使參數(shù)方程并且具有形式簡單（如多項式）、曲線光滑（如連續(xù)可微）和美觀等特點，我們建立了三階貝塞爾曲線方程的模型：如果已知一條曲線的參數(shù)方程，系數(shù)都已知，兩個方程的參數(shù)為t，且它的值位于0，1之間，表現(xiàn)形式如下所示：xy由于這條曲線的起點為x1xxxyyy經(jīng)過觀察，不管方程的已知和所求是什么，一共有6個未知數(shù)，并且總能找到6個等式，其中x1整理為word格式整理為word格式整理為word格式cbacba所以，對于坐標(biāo)任意的4個已知點，總能構(gòu)建一條貝塞爾曲線，并可通過以上算法求出其參數(shù)方程。5.3問題一的求解根據(jù)建立的模型，將代入三階貝塞爾曲線模型中，得到cbacba所以得到的參數(shù)方程為x整理為word格式整理為word格式整理為word格式y(tǒng)t=1*根據(jù)計算結(jié)果，利用MATLAB寫出程序見（附錄1），繪出這條曲線同時在圖上標(biāo)注出四點點，和相應(yīng)的切線，其中為曲線的起點，為曲線的終點，和為控制點.曲線在起點處，以方向為切線方向，在終點處，以方向為切線方向.如下圖：5.3問題二模型的建立問題2中，需要控制的曲線的參數(shù)方程已知，當(dāng)參數(shù)作等分時，要使曲線弧長是等分，這時我們應(yīng)利用微積分的方法，給出求曲線弧長的計算公式，在此基礎(chǔ)上建立對弧長進(jìn)行等分的數(shù)學(xué)模型。若曲線弧的參數(shù)方程如下：x=φ（t）整理為word格式整理為word格式整理為word格式則弧長元素（弧微分）為：ds==φ所求弧長為S=因此得到將弧長進(jìn)行n等分的公式模型：s=......計算出n等分點的到起始點的弧長，利用Matlab可以求出每個等分點對應(yīng)的參數(shù)t，從而可繪出n等分的對應(yīng)圖像。5.4問題二的求解首先對于參數(shù)方程若將參數(shù)作4等分，即時，經(jīng)過matlab軟件編程繪制圖像，發(fā)現(xiàn)并驗證了這些點對應(yīng)的曲線弧長并不是4等分的。繪制的圖形如下：整理為word格式整理為word格式整理為word格式從圖5.4-1中可以看出當(dāng)參數(shù)作4等分時，對應(yīng)的弧長并不是4等分的。對于參數(shù)方程將其代入建立的模型之中，運用matlab編程求出弧長S為2.4952，若將弧長進(jìn)行4等分，每段的弧長s為0.6238。再次運用Matlab編程，用已知的四等分點的弧長s反過來求出對應(yīng)的參數(shù)t，數(shù)據(jù)如表格所示：弧長參數(shù)=0.0000=0.000=0.6238=0.550=1.2476=0.800=2.3348=0.918整理為word格式整理為word格式整理為word格式=2.4952=1.000進(jìn)而繪制出將弧長進(jìn)行4等分的圖像，并將4等分的等分點用紅色圓圈在圖上進(jìn)行了標(biāo)注，如圖：同理，運用模型可將曲線10等分。可求出10等分之后每段的弧長為0.2495，運用Matlab求出了所有等分點參數(shù)t的取值?；￠L參數(shù)=0.000=0.0000=0.249=0.2402=0.499=0.4324=0.748=0.6310整理為word格式整理為word格式整理為word格式=0.998=0.7332=1.248=0.8007=1.497=0.8532=1.747=0.8972=1.996=0.9353=2.245=0.9691=2.495=1.0000并繪制出了將弧長進(jìn)行10等分的圖像，并對弧長10等分的等分點進(jìn)行了標(biāo)注。六．模型評價6.1模型一的評價整理為word格式整理為word格式整理為word格式6.1.1優(yōu)點（1）模型簡單，通過一個貝塞爾曲線模型給出了屏幕上任意4點需要滿足的條件，利用限制條件繪制出了美觀的圖像，便于觀察。（2）該模型的原理淺顯易懂，計算過程不復(fù)雜，適用性比較強。6.1.2缺點由于所給的數(shù)據(jù)較少，繪制出的圖像不是特別準(zhǔn)確，存在一定的誤差。6.2模型二的評價6.2.1優(yōu)點（1）模型簡單，原理淺顯易懂，思路明確，直奔主題。（2）利用了微積分求弧長，化曲為直，簡化了計算過程。6.2.2缺點在計算n等分點時，過程較為繁瑣，復(fù)雜。參考文獻(xiàn)[1]劉衛(wèi)國，MATLAB程序設(shè)計與應(yīng)用（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2006.[2]龔純,王正林編..MATLAB語言常用算法程序集.北京：電子工業(yè)出版社,2008.整理為word格式整理為word格式整理為word格式[3]王正林等編.MATLAB/Simulink與控制系統(tǒng)仿真（第2版）.北京：電子工業(yè)出版社,2008[4]夏瑋等編.MATLAB控制系統(tǒng)仿真與實例詳解.北京：人民郵電出版社.2008.[5]張靜等編.

MATLAB在控制系統(tǒng)中的應(yīng)用

.北京：電子工業(yè)出版社,2007

[6]

方康玲編,過程控制及其MATLAB實現(xiàn)(第2版).北京：電子工業(yè)出版社,2013附錄問題1t=0:0.01:1;x=-5*t.^3+6*t.^2+1;y=t.^3-6*t.^2+6*t+1;plot(x,y,'-b');holdonx0=[1;1;3;2]y0=[1;3;3;2];plot(x0,y0,'^r')x1=[1;1];y1=[1;3];plot(x1,y1,'-g')t=0:0.01:1;整理為word格式整理為word格式整理為word格式x=-5*t.^3+6*t.^2+1;y=t.^3-6*t.^2+6*t+1;plot(x,y,'-b');holdonx0=[1;1;3;2];y0=[1;3;3;2];plot(x0,y0,'^r')x2=[3;2];y2=[3;2];plot(x2,y2,'-g')問題二（1）驗證當(dāng)參數(shù)作4等分，即時，這些點對應(yīng)的弧長不是4等分的程序：t=0:0.01:0.25x=0.5+0.3.*t+3.9.*t.*t-4.7.*t.^3;y=1.5+0.3.*t+0.9.*t.*t-2.7.*t.^3;plot(x,y,'*:b');holdont=0.25:0.01:0.5x=0.5+0.3.*t+3.9.*t.*t-4.7.*t.^3;y=1.5+0.3.*t+0.9.*t.*t-2.7.*t.^3;plot(x,y,'*:r');整理為word格式整理為word格式整理為word格式holdont=0.5:0.01:0.75x2=0.5+0.3.*t+3.9.*t.*t-4.7.*t.^3;y2=1.5+0.3.*t+0.9.*t.*t-2.7.*t.^3;plot(x2,y2,'*:g');holdont=0.75:0.01:1x3=0.5+0.3.*t+3.9.*t.*t-4.7.*t.^3;y3=1.5+0.3.*t+0.9.*t.*t-2.7.*t.^3;plot(x3,y3,'*:k');（2）由已知的參數(shù)方程求出的總弧長的程序：functionf=ft(t)f=sqrt((0.3+7.8.*t-14.1.*t.^2).^2+(0.3+1.8.*t-8.1.*t.