豐富的圖形世界（提高）知識(shí)講解

PAGE豐富的圖形世界（提高）知識(shí)講解責(zé)編：康紅梅【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．認(rèn)識(shí)常見幾何體的基本特征，能對(duì)這些幾何體進(jìn)行正確的識(shí)別和簡(jiǎn)單的分類，并能從組合圖形中分離出基本幾何體；2．認(rèn)識(shí)點(diǎn)、線、面、體的基本含義，了解點(diǎn)、線、面、體之間的關(guān)系；3．能辨認(rèn)和畫出從不同方向觀察立方體及其簡(jiǎn)單組合體得到的形狀圖；4．了解直棱柱、圓柱、圓錐的側(cè)面展開圖，能根據(jù)展開圖想象和制作立體模型．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、立體圖形定義：圖形的各部分不都在同一平面內(nèi)，這樣的圖形就是立體圖形，如長方體、圓柱、圓錐、球等．棱柱、棱錐也是常見的立體圖形．【高清課堂：多姿多彩的圖形397362空間圖形的分類】要點(diǎn)詮釋：常見的立體圖形有兩種分類方法：棱柱的相關(guān)概念：在棱柱中，相鄰兩個(gè)面的交線叫做棱，相鄰兩個(gè)側(cè)面的交線叫做側(cè)棱．通常根據(jù)底面圖形的邊數(shù)將棱柱分為三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它們底面圖形的形狀分別為三角形、四邊形、五邊形、六邊形……（如下圖）要點(diǎn)詮釋：（1）棱柱所有側(cè)棱長都相等．棱柱的上、下底面的形狀相同，側(cè)面的形狀都是平行四邊形．（2）長方體、正方體都是四棱柱．（3）棱柱可分為直棱柱和斜棱柱．直棱柱的側(cè)面是長方形，斜棱柱的側(cè)面是平行四邊形．3．點(diǎn)、線、面、體：長方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等都是幾何體,幾何體也簡(jiǎn)稱體；包圍著體的是面,面有平的面和曲的面兩種；面和面相交的地方形成線，線也分為直線和曲線兩種；線和線相交的地方形成點(diǎn)．從上面的描述中我們可以看出點(diǎn)、線、面、體之間的關(guān)系．此外，從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看：點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體．要點(diǎn)二、展開與折疊有些立體圖形是由一些平面圖形圍成，將它們的表面適當(dāng)剪開，可以展開成平面圖形，這樣的平面圖形稱為相應(yīng)立體圖形的展開圖．要點(diǎn)詮釋：(1)不是所有的立體圖形都可以展成平面圖形．例如，球便不能展成平面圖形．(2)不同的立體圖形可展成不同的平面圖形；同一個(gè)立體圖形，沿不同的棱剪開，也可得到不同的平面圖．要點(diǎn)三、截一個(gè)幾何體用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，截出的面叫做截面．截面的形狀可能是三角形、四邊形、五邊形、六邊形或圓等等．要點(diǎn)四、從三個(gè)方向看物體的形狀一般是從以下三個(gè)方向：(1)從正面看；(2)從左面看；(3)從上面看．從這三個(gè)方向看到的圖形分別稱為正視圖(也稱主視圖)、左視圖、俯視圖．（如下圖）【典型例題】類型一、立體圖形 1．將圖中的幾何體進(jìn)行分類，并說明理由．【思路點(diǎn)撥】首先要確定分類標(biāo)準(zhǔn)，可以按組成幾何體的面的平或曲來劃分，也可以按柱、錐、球來劃分．【答案與解析】解：若按形狀劃分：(1)(2)(6)(7)是一類，組成它的各面全是平面；(3)(4)(5)是一類，組成它的面至少有一個(gè)是曲面．若按構(gòu)成劃分：(1)(2)(4)(7)是一類，是柱體；(5)(6)是一類，即錐體；(3)是球體．【總結(jié)升華】先根據(jù)立體圖形的底面的個(gè)數(shù)，確定它是柱體、錐體還是球體，再根據(jù)其側(cè)面是否為多邊形來判斷它是圓柱(錐)還是棱柱(錐)．類型二、點(diǎn)、線、面、體2.18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了簡(jiǎn)單多面體中頂點(diǎn)數(shù)(V)、面數(shù)(F)、棱數(shù)(E)之間存在的一個(gè)有趣的關(guān)系式，被稱為歐拉公式．請(qǐng)你觀察下列幾種簡(jiǎn)單多面體模型，解答下列問題：(1)根據(jù)上面多面體模型，完成表格中的空格：你發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)數(shù)(V)、面數(shù)(F)、棱數(shù)(E)之間存在的關(guān)系式是________；(2)一個(gè)多面體的面數(shù)比頂點(diǎn)數(shù)大8，且有30條棱，則這個(gè)多面體的面數(shù)是________；(3)某個(gè)玻璃飾品的外形是簡(jiǎn)單多面體，它的外表面是由三角形和八邊形兩種多邊形拼接而成，且有24個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)處都有3條棱．設(shè)該多面體外表面三角形的個(gè)數(shù)為x個(gè)，八邊形的個(gè)數(shù)為y個(gè)，求x+y的值．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)四面體、長方體、正八面體，正十二面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)和棱數(shù)，總結(jié)出頂點(diǎn)數(shù)（v）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的關(guān)系式，再用這個(gè)關(guān)系式解答后面的問題．【答案與解析】解：(1)6，6，V+F-E＝2；(2)20；(3)這個(gè)多面體的面數(shù)為x+y，棱數(shù)為條，根據(jù)V+F-E＝2可得24+(x+y)-36＝2，∴x+y＝14．【總結(jié)升華】歐拉公式：V（頂點(diǎn)數(shù)）+F（面數(shù)）-E（棱數(shù)）＝2【變式】（2014?寧波）如果一個(gè)多面體的一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，那么這個(gè)多面體叫做棱錐．如圖是一個(gè)四棱柱和一個(gè)六棱錐，它們各有12條棱．下列棱柱中和九棱錐的棱數(shù)相等的是（）五棱柱B.六棱柱C.七棱柱D.八棱柱【答案】B解：九棱錐側(cè)面有9條棱，底面是九邊形，也有9條棱，共9+9=18條棱，A、五棱柱共15條棱，故A誤；B、六棱柱共18條棱，故B正確；C、七棱柱共21條棱，故C錯(cuò)誤；D、八棱柱共24條棱，故D錯(cuò)誤；3．將如右圖所示的兩個(gè)平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，對(duì)其所得的立體圖形，下列說法正確的是（）A．從正面看相同B．從左面看相同C．從上面看相同D．三個(gè)方向都不相同【答案】D【解析】首先考慮三角形和長方形旋轉(zhuǎn)后所得幾何體的形狀，然后再根據(jù)兩種幾何體從不同方向看所得到的圖形做出判斷．【總結(jié)升華】“面動(dòng)成體”，要充分發(fā)揮空間想象能力判斷立體圖形的形狀．舉一反三：【變式】如圖把一個(gè)圓繞虛線旋轉(zhuǎn)一周，得到的立體圖形是（）A．B．C．D．【答案】B類型三、展開與折疊4．（2015?廣安）在市委、市府的領(lǐng)導(dǎo)下，全市人民齊心協(xié)力，將廣安成功地創(chuàng)建為“全國文明城市”，為此小紅特制了一個(gè)正方體玩具，其展開圖如圖所示，原正方體中與“文”字所在的面上標(biāo)的字應(yīng)是（）A.全B.明C.城D.國【答案】C【解析】由正方體的展開圖特點(diǎn)可得：與“文”字所在的面上標(biāo)的字應(yīng)是“城”．【總結(jié)升華】培養(yǎng)空間想想能力的方法有兩種，一是通過動(dòng)手操作來解決；二是通過想象進(jìn)行確定．舉一反三：【變式】說出下列四個(gè)圖形(如圖所示)分別是由哪個(gè)立體圖形展開得到的?

【答案】

(1)正方體；(2)圓柱；(3)三棱柱；(4)四棱錐．類型四、截一個(gè)幾何體5．用一個(gè)平面去截一個(gè)正方體，如果截去的幾何體是一個(gè)三棱錐，請(qǐng)回答下列問題：

（1）截面一定是什么圖形？

（2）剩下的幾何體可能有幾個(gè)頂點(diǎn)？【思路點(diǎn)撥】當(dāng)截面截取由三個(gè)頂點(diǎn)組成的面時(shí)可以得到三角形，剩下的幾何體有7個(gè)點(diǎn)，當(dāng)截面截取一棱的一點(diǎn)和兩底點(diǎn)組成的面時(shí)可剩下幾何體有8個(gè)點(diǎn)，當(dāng)截面截取由2條棱中點(diǎn)和一頂點(diǎn)組成的面時(shí)剩下幾何體有9個(gè)頂點(diǎn)．當(dāng)截面截取由三棱中點(diǎn)組成的面時(shí)，剩余幾何體有10個(gè)頂點(diǎn)．【答案與解析】（1）如果截去的幾何體是一個(gè)三棱錐，那么截面一定是一個(gè)三角形；

（2）剩下的幾何體可能有7個(gè)頂點(diǎn)、或8個(gè)頂點(diǎn)、或9個(gè)頂點(diǎn)、或10個(gè)頂點(diǎn)，如圖所示．

【總結(jié)升華】截面的形狀既與被截的幾何體有關(guān)，還與截面的角度和方向有關(guān)．類型五、從三個(gè)方向看物體的形狀6．有一個(gè)正方體，在它的各個(gè)面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6．甲、乙、丙三名同學(xué)從三個(gè)不同的角度去觀察此正方體，觀察結(jié)果如圖所示，問這個(gè)正方體各組對(duì)面上的數(shù)字分別是幾?【答案與解析】解：由圖(1)(2)可知，1號(hào)面與2、3、4、6相鄰，所以與1號(hào)面相對(duì)的面是5號(hào)面；由圖(2)(3)可知，3號(hào)面與1、2、4、5相鄰，所以與3號(hào)面相對(duì)的面是6號(hào)面；由圖(1)(3)可知，4號(hào)面與1、3、5、6相鄰，所以與4號(hào)面相對(duì)的是2號(hào)面．所以，1號(hào)面與5號(hào)面相對(duì)，2號(hào)面與4號(hào)面相對(duì)，3號(hào)面與6號(hào)面相對(duì)．【總