數(shù)學(xué)-課程導(dǎo)學(xué)第七章第二節(jié)

第二節(jié)

空間幾何體的表面積與體積了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計(jì)算公式．要點(diǎn)梳理·基礎(chǔ)落實(shí)考綱點(diǎn)擊柱、錐、臺和球的側(cè)面積和體積知識掃描Shπr2hπrlπ(r1＋r2)lChSh4πR2

[辨析]如何求不規(guī)則幾何體的體積？提示可以將不規(guī)則幾何體“分割”成若干個(gè)規(guī)則的幾何體求體積，即所謂的“分割法”求不規(guī)則幾何體的體積，也可以給不規(guī)則幾何體“補(bǔ)上”一個(gè)規(guī)則的幾何體使“補(bǔ)”后的幾何體變成規(guī)則幾何體求解．1．(2014·陜西)將邊長為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的側(cè)面積是A．4π

B．3π

C．2π

D．π解析由題意可知，旋轉(zhuǎn)體是一個(gè)底面半徑為1，高為1的圓柱，故其側(cè)面積為2π×1×1＝2π.答案C小題熱身3．表面積為3π的圓錐，它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則該圓錐的底面直徑為________．解析設(shè)圓錐的母線為l，圓錐底面半徑為r，則πrl＋πr2＝3π，πl(wèi)＝2πr，解得r＝1，即直徑為2.答案24．已知正三棱柱的底面正三角形邊長為2，側(cè)棱長為3，則它的體積V＝________．5．某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為________．(1)(2015·三明模擬)已知矩形的周長為36，矩形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)圓柱，則旋轉(zhuǎn)形成的圓柱的側(cè)面積的最大值為________．考點(diǎn)突破·規(guī)律總結(jié)考點(diǎn)一幾何體的表面積例1【答案】

162π(2)(2014·浙江)幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的表面積是A．90cm2

B．129cm2

C．132cm2

D．138cm2【答案】

D[規(guī)律方法]

幾何體表面積的求法(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治觯瑥娜晥D中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理．(3)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和．1．(2014·常德期末)若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是A．60

B．54

C．48

D．24◎變式訓(xùn)練答案A考點(diǎn)二幾何體的體積例2【答案】

C【解析】

如圖，該長方體的底面邊長為2，高為3，點(diǎn)B、C、D分別為對應(yīng)棱的中點(diǎn)，沿著平行四邊形ABCD切割該長方體，顯然被切割的部分占上面正方體的一半，所以剩余的部分體積為8.【答案】D[規(guī)律方法]

求幾何體體積的類型及思路(1)若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進(jìn)行求解；(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解．(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解．2．(2014·菏澤模擬)已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為◎變式訓(xùn)練答案C考點(diǎn)三多面體與球的切、接問題例3【解析】

如圖：∵球心O在AB上，PO⊥平面ABC，∴AB為球的直徑．△ABC在球大圓上，∴AC⊥BC.設(shè)球半徑為R，則PO＝OA＝OB＝OC＝R.又∵AB＝2AC，【答案】

D(2)(2014·長春模擬)若圓錐的內(nèi)切球與外接球的球心重合，且內(nèi)切球的半徑為1，則圓錐的體積為________．[規(guī)律方法]

解決與球有關(guān)的切、接問題的方法(1)一般要過球心及多面體中的特殊點(diǎn)或過線作截面將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，從而尋找?guī)缀误w各元素之間的關(guān)系．(2)若球面上四點(diǎn)P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長方體或正方體確定直徑解決外接問題．3．(2014·黃岡模擬)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是正三角形，則幾何體的外接球的表面積為◎變式訓(xùn)練答案D創(chuàng)新設(shè)計(jì)·素能培優(yōu)[解題模型構(gòu)建]

8.利用等體積法求空間

幾何體的體積(2014·福建)如圖，三棱錐A－BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.(1)求證：CD⊥平面ABD；(2)若AB＝BD＝CD＝1，M為AD中點(diǎn)，求三棱錐A－MBC的體積．典例【審題】

①信息搜集：底面為直角三角形的三棱錐，有一條側(cè)棱垂直于底面三角形，要求證明線面垂直并求三棱錐A－MBC的體積．②信息處理：要證線面垂直，需證線線垂直，所給條件中已經(jīng)存在一個(gè)線線垂直，另外一個(gè)可通過線面垂直得到，第(2)要求三棱錐A－MBC的體積，直接求底面MBC上的高比較困難，可以利用第(1)問的結(jié)論求出底面ABM上的高，即可轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)求體積．解析(1)證明∵PC⊥BC，PC⊥AB，又AB∩BC＝B，∴PC⊥平面