化高階方程為一階方程組

第四章線性微分方程（組）的理論與解法線性微分方程的理論是微分方程理論中發(fā)展得比較成熟的部分。在章中，曾經(jīng)給出過線性微分方程的概念，這里系統(tǒng)地介紹它們的一般理論和解法?；唠A方程為一階方程組共16頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!5.1化任意正規(guī)型微分方程和方程組為一階正規(guī)型微分方程組在章中，我們給出了微分方程的階和解等概念，這些概念可以對(duì)方程組類似的加以定義。先從兩個(gè)未知函數(shù)的情形說起，這時(shí)方程組的一般形式是

（5.1.1）化高階方程為一階方程組共16頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!其中x是自變量，y和z是未知函數(shù)，F(xiàn)和G是它們所依賴的m+n+1個(gè)變量的已知函數(shù)。出現(xiàn)在方程中的未知函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為方程組（5.1.1）關(guān)于y的階。未知函數(shù)z的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為方程組（5.1.1）關(guān)于z的階。而m+n則稱為方程組（5.1.1）的階。函數(shù)組稱為方程組（5.1.1）在區(qū)間I上的解，如果它們?cè)贗上有定義，化高階方程為一階方程組共16頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!而稱為方程組的階。對(duì)于方程組（5.1.1），初值問題或Cauchy問題的提法是，任意給定初始條件求方程（5.1.1）滿足這個(gè)條件的解。這里和一個(gè)方程的情形一樣，關(guān)于每個(gè)未知函數(shù)的初始條件的個(gè)數(shù)必須正好等于方程組關(guān)于這個(gè)未知函數(shù)的階數(shù)。（5.1.2）化高階方程為一階方程組共16頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!關(guān)于正規(guī)性方程（組）和隱形方程（組）的說法對(duì)于含有任意多個(gè)未知函數(shù)的微分方程組也是適用的。以后我們將著重研究含有n個(gè)未知函數(shù)的n個(gè)一階常微分方程構(gòu)成的常微分方程組，如果已經(jīng)就解出，則它的一般形式是

化高階方程為一階方程組共16頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!對(duì)于正規(guī)型微分方程

（5.1.7）（5.1.6）如果令則它與下面的微分方程組等價(jià)化高階方程為一階方程組共16頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!（5.1.6）在區(qū)間I上的解，令

則顯然有

這表明是方程組（5.1.8）在區(qū)間I上的解。（5.1.9）

（5.1.10）化高階方程為一階方程組共16頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!類似地，含有n個(gè)未知函數(shù)的高階微分方程組，總可以化成形如（5.1.5）的一階微分方程組。以兩個(gè)未知函數(shù)的（5.1.3）為例，與其等價(jià)的一階微分方程組是

（5.1.11）根據(jù)上述的等價(jià)性，任意一個(gè)正規(guī)型微分方程或微分方程組的研究都可以化為形如（5.1.5）的正規(guī)型微分方程組的研究?；唠A方程為一階方程組共16頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!其中系數(shù)上都是連續(xù)的已知函數(shù)。采用矩陣和向量記號(hào)

則可以將（5.1.12）寫成向量形式

.（5.1.13）化高階方程為一階方程組共16頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!具有從1到m階導(dǎo)數(shù)，具有從1到n對(duì)所有成立。類似地可以定義含而出現(xiàn)在方程組中的的導(dǎo)數(shù)的最高階，則階導(dǎo)數(shù)，并且能使三個(gè)和更多個(gè)未知函數(shù)的微分方程組的解。如果方程組中的未知函數(shù)為數(shù)為則稱為方程組關(guān)于的階，

化高階方程為一階方程組共16頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!關(guān)于含有任意多個(gè)未知函數(shù)的方程組的初值問題或Cauchy問題的提法也可以類推。

從關(guān)系式（5.1.1）中就最高階導(dǎo)數(shù)解出所得到的方程組

稱為正規(guī)型微分方程組，這里f和g都是它們所依賴的m+n+1個(gè)變量的已知函數(shù)。形為（5.1.1）的方程組稱為隱形微分方程組（5.1.3）化高階方程為一階方程組共16頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!或

（5.1.5）

（5.1.4）化高階方程為一階方程組共16頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!

的形如（5.1.5）的正規(guī)型（5.1.8）顯然方程組（5.1.8）是一個(gè)含有未知函數(shù)微分方程組。這里等價(jià)的意義是，如果是方程化高階方程為一階方程組共16頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!

反之，設(shè)是方程組（5.1.8）在區(qū)間I上的解。于是關(guān)系式（5.1.10）在I上恒成立。由此關(guān)系式的前n-1個(gè)式子，首先看出函數(shù)滿足（5.1.9），在由此及（5.1.10）的最后一個(gè)式子，得出

這表明是方程組（5.1.6）在區(qū)間I上的解。

化高階方程為一階方程組共16頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!因此我們將大部分注意力放在（5.1.5）型方程的研究上。對(duì)于這類方程組進(jìn)行研究得到的結(jié)論，通過上述等價(jià)性，立即可以推廣到任意正規(guī)型方程或方程組上去。如果方程組（5.1.5）中每個(gè)方程中的

（5.1.12）作為n+1元函數(shù)，它的變?cè)宰兞縳以外全是線性的，則稱這樣的方程組為一階線性微分方程組，正規(guī)型一階線性微分方程組的一般形式是化高階方程為一階方程組共16頁，您