立體幾何中三角形的四心問題

數(shù)學來源于生活，又回歸于生活數(shù)學來源于生活，又回歸于生活立體幾何中三角形的四心問題一、外心問題（若PA=PB=PC,則O為三角形ABC的外心）例1.設P是AABC所在平面a外一點，若PAPB,PC與平面a所成的角都相等，那么P在平面a內(nèi)的射影是AABC白^（）A.內(nèi)心B.外心C.垂心D.重心如圖所示，作PO1平面a于0,連OAOBOC那么/PAO/PBO/PCO分別是PAPRPC與平面a所成的角，且已知它們都相等.?.RtAPAWRtAPB8RtAPCO...0A=0B=OC ..應選B.例2.Rt^ABC中，/C=90°,BC=36,若平面ABC外一點P與平面A,B,C三點等距離，且P到平面ABC的距離為80,M為AC的中點.（1）求證：PMLAC;（2）求P到直線AC的距離；（3）求PM與平面ABC所成角的正切值.解析：點P到△ABC的三個頂點等距離，則P在平面ABC內(nèi)的射影為△ABC的外心，而^ABC為直角三角形，其外心為斜邊的中點.證明（1） PA=PC,M是AC中點，PMLAC解（2）.「BC=36, MH^18，又P+80,PM=3PH2+MH2=《802+182=82,即P到直線AC的距離為82;PM=PB=PC，P在平面ABC內(nèi)的射線為△ABC的外心，???/C=90° P在平面ABC內(nèi)的射線為AB的中點Ho.「PHL平面ABC?1?HMK/PM^平面ABC上的射影，則/PMH^PM與平面ABC所成的角，，tan/PMH=膽=曰=生MH18 9例3.斜三棱柱ABC-A1B1C的底面△ABC中，AB=AC=10BC=12,Ai到A、C三點的距離都相等，且AA1=13求斜三棱柱的側面積。解析：??.A1A=AB=AC??點A1在平面ABC上的射影為△ABC的外心，在/BAC平分線AD上??AB=ACADXBCAD為AA在平面ABC上的射影EB??BCXAA1 BC±BBEBBBQC為矩形，S=BBXBC=156取AB中點E,連A1E??A1A=AB A1E±ABA1E=\'AA1-(2)=12 SAA1C1C—SAA1B1B—120

S側=396二、內(nèi)心問題（若P點到三邊AB,BC,CA的距離相等，則O是三角形ABC的內(nèi)心）例4.如果三棱錐S—ABC的底面是不等邊三角形，側面與底面所成的角都相等，且頂點S在底面白^射影O在AABC內(nèi)，那么。是AABC的（）A.垂心B.重心C.外心D.內(nèi)心解（1）利用三垂線定理和三角形全等可證明 。到AABC的三邊的距離相等,因而。是AABC的內(nèi)心，因此選D.的定義和性質必須掌握旁心、重心,它們的定義和性質必須掌握旁心、重心,它們ADC圖2—24則有:BMMPBNNFADC圖2—24則有:BMMPBNNFBGGH二2三.重心問題（若PA垂直PB,PB垂直PC,PC垂直PA,則O是三角形ABC的重心）例6.如圖2—24:B為AAC所在平面外一點，MN、G分別為△ABG：ABD:BCD勺重心，（1）求證：平面MNG平面AC。（2）求S加NG:S&DC解析：（1）要證明平面MNG〃平面ACQ由于MLN、G分別為4ABC△ABt3△BCD勺重心，因此可想到利用重心的性質找出與平面平行的直線。證明：連ZBMBZBG并延長交AGARC皿別于P、F、H。MN、G分別為△ABC△ABD△BCD的重心，連結PF、FH、PH有MMPF,又PF二平面ACD MN/平面ACD同理：MG/平面ACDM⑹MNkM, ??平面MNG//平面ACD（2）分析：因為△MNM在的平面與△ACD所在的平面相互平行，因此,求兩三角形的面積之比，實則求這兩個三角形的對應邊之比。MGBG2解：由（1）可知 =——=—,PHBH3TOC\o"1-5"\h\z_2___ 1_ _1_MG=—PH,又PH^—AD,MG=—AD3 2 3一1一同理：ng=，AC,MNk-CQ3.??；：MN。,ACD其相似比為1：3,…SMNG:S.ADC點評：立體幾何問題，一般都是化成平面幾何問題，所以要重視平面幾何。比如重心定理，三角形的三邊中線交點叫做三角形有重心， 到頂點的距離等于它到對邊中點距離的2倍。例7.如圖9-26,P為△ABC所在平面外一點，點M、N分別是△PAB和△PBC的重心.求證：MN//平面ABC.（三角形的三條中線交于一點，稱為重心，重心到一個頂點的距離是該點到對邊中點距離的 2倍）解析：如圖9-16,連結PM并延長交AB于D,連結PN并延長交BC于E,連結DE.在APAB中，:M是APAB的重心，， EM=2,同理在△MDPN PMPNPBC中有一=2,在4PDE中，=--=--, MN//DEJ-MN0NE MD NE平面ABC,DE$平面ABC,MN//平面ABC.例9.如圖，在三棱錐S—ABC中，A、B、C1分別是ASBGASCAASAB的重心，（1）求證：平面ABC//平面ABQ（2）求三棱錐S—A1BC與S—ABC體積之比.解析：本題顯然應由三角形重心的性質， 結合成比例線段的關系推導出“線

線平行”再到“線面平行”到“面面平行” ，至于體積的比的計算只要能求出相似三角形面積的比和對應高的比就可以了 ^證：（1）:???A1、B、C是ASBGASCAASAB的重心，連SA、SC并延長交BCAB于N、M則ZM必是BC和AB的中點.連MN..SG_SA_2SMSN3??AiCi//MN.???MN=平面ABG AiCi//平面ABC.同理可證AB//平面ABC.平面AiBiCi//平面ABC.(2)由(i):AC!=2,MNLIaC,MN3 =2-i-??.AiG//—AC.-3同理可證：AiB^IaB,BiCi立1BC.=3 =3i-??AAiBiCi=AABCSaa =—Saabc△AiB1ci 9設三棱錐S-ABC的高為h,S—AiBiC的高為hi則有：與=毀=2,，hihSN32=h.3i- 2.VSAB1clVSBBCS?AABCVSAB1clVSBBC11Gh27Saabch39評析：要掌握線面平行的相互轉化的思想方法外， 還要有扎實的相似形和線段成比例的基礎.四垂心問題（若PA=PB=PC,AB=ACj。點在BC的中垂線上）例10.已知四面體S-ABC中，SAL底面ABC,^ABC是銳角三角形，H是點A在面SBC上的射影.求證：H不可能是^SBC的垂心.分析：本題因不易直接證明，故采用反證法.證明：假設H是△SBC的垂心，連結BH,并延長交SC于D點，則BH±SCSCXAEJ（三垂線定???AHL平面SBC,SCXAEJ（三垂線定BH是AB在平面SBC內(nèi)的射影理）

又「SA，底面ABC,AC是SC在面內(nèi)的射影 ABLAC（三垂線定理的逆定理）??4ABC是Rt△與已知^ABC是銳角三角形相矛盾，于是假設不成立.故H不可能是^SBC的垂心.例11.如圖2—40:P是4ABC所在平面外的一點，PAXPB,PBXPC,PCXPA,PHL平面ABC,H是垂足。求證：H是ABC的垂心。證明：-.PAXPB,PBXPC,?PAL平面PBC,BC仁平面PBCBC±PA.PH，平面ABC,BCU平面ABC??BCXPH.BC,平面PAH,AHU平面PAHAH±BC,同理BHXAC,CHLAB,因此H是^ABC的垂心。例14.如圖9-32,△ABD和4ACD都是以D為直角頂點的直角三角形,且AD=BD=CD,/BAC=60°,求證：A(6)A(6)圖9-32BDL平面ADC;(2)若H是4ABC的垂心，則H為D在平面ABC內(nèi)的射影.解析：(1)設AD=BD=CD=a,則AB=AC=v5a.「/BAC=60°,BC=U2a.由勾股定理可知，/BDC=90°,即BD^DC,又「BDXAD,ADnDC=D,BD,平面ADC.(2)如圖答9-21,要證H是D在平面ABC上的射影，只需證DHL平面ABD,連結HA、HB、HC.「H是△ABC的垂心，「.CH±AB.「CD±DA,CDXBD,「.CD，平面ABD,CDLAB.「CHACD=C,AB,平面DCH. ???DH金平面DCH,ABXDH,即DHLAB,數(shù)學來源于生活，又回歸于生活。數(shù)學來源于生活，又回歸于生活。同理DH^BC.???ABABC=B,，DH，平面ABC.五、四心綜合比較考查例15.P是^ABC所在平面外一點，O是點P在平面a上的射影.(1)若PA=PB=PC,則。是4ABC的心.(2)若點P到△ABC的三邊的距離相等，則OABC心.(3)若PA、PB、PC兩兩垂直，則OABC心.(4)若4ABC是直角三角形，且PA=PB=PC則O是4ABC的心.(5)若4ABC是等腰三角形，且PA=PB=PC,則O是△ABC的心.(6)若PA、PB、PC與平面ABC所成的角相等，則。是4ABC的心;解析：(1)外心.PA=PB=PC.,.OA=OB=OC, 。是4ABC的外心.(2)內(nèi)心(或旁心).作ODXAB于D,OELBC于E,OF,AC于F,連結PD、PE、PF.???POL平面ABC, OD、OE、OF分別為PD、PE、PF在平面ABC內(nèi)的射影，由三垂線定理可知， P