差商與其性質

定義4為函數在的一階差商（一階均差）；稱為y=在點的二階差商（二階均差）；（3）一般由函數y=的n－1階差商表可定義函數的n階差商。稱為函數y=在點的n階差商（n階均差）。，稱（1）對于的一階差商表，再作一次差商，即（2）由函數y=即n－1階差商第一頁，共20頁。2

基本性質定理5（2）k階差商關于節(jié)點是對稱的，或說均差與節(jié)點順序無關，即例如：共6個的線性組合，即的k階差商是函數值（1）第二頁，共20頁。分析：當k=1時,(1)可用歸納法證明。(2)利用(1)很容易得到。只證(1)證明：（1）當k

=1時,第三頁，共20頁。第四頁，共20頁。

(0階差商)一階差商二階差商三階差商k階差商

表2.43

差商表

計算順序:同列維爾法，即每次用前一列同行的差商與前一列上一行的差商再作差商。第五頁，共20頁。4.2

牛頓插值多項式已知函數表（4.1）,

由差商定義及對稱性，得

1

牛頓插值多項式的推導第六頁，共20頁。將(b)式兩邊同乘以,抵消抵消抵消(d)式兩邊同乘以,把所有式子相加,得,(c)式兩邊同乘以第七頁，共20頁。記

---牛頓插值多項式---牛頓插值余項可以驗證

，即滿足插值條件,因此可得以下結論。

第八頁，共20頁。定理6

則滿足插值條件的插值多項式為：（牛頓插值多項式）其中，---牛頓插值多項式---牛頓插值余項2

n+1階差商函數與導數的關系由n次插值多項式的唯一性，則有,牛頓插值多項式與拉格朗日插值多項式都是次數小于或等于n的多項式,只是表達方式不同.?因為而的基函數可為:已知

函數表牛頓插值多項式系數牛頓插值多項式系數牛頓插值多項式系數第九頁，共20頁。階導數存在時，由插值多項式的唯一性有余項公式n+1階差商函數導數其中且為包含區(qū)間.依賴于則n

階差商與導數的關系為其中n+1階差商函數與導數的關系定理7第十頁，共20頁。計算步驟:(2)用秦九韶算法或著說用嵌套乘法計算.3

牛頓插值多項式計算次數(當k=n時)(1)計算差商表(計算的系數)

(0階差商)一階差商二階差商三階差商k階差商

除法次數(k=n):第十一頁，共20頁。(2)用秦九韶算法或著說用嵌套乘法計算.乘法次數:n優(yōu)點:(1)計算量小,較L-插值法減少了3-4倍.(2)當需要增加一個插值節(jié)點時,只需再計算一項,即

---遞推公式(適合計算機計算).乘除法次數大約為:第十二頁，共20頁。4

兩函數相乘的差商定理8（兩函數相乘的差商）

顯然公式成立。

事實上，

一般情況，可用歸納法證明。#設證明：階差商為第十三頁，共20頁。5

重節(jié)點差商（通過差商極限定義）定義5

(重節(jié)點差商)

若,的節(jié)點xi(i=0，1，…，n)定理7中互異，有了重節(jié)點差商的定義，該式中的節(jié)點可以相同。

說明：?則定義

類似的有第十四頁，共20頁。其中

---牛頓插值多項式---牛頓插值余項§4

差商與牛頓插值多項式牛頓插值公式5

重節(jié)點差商定義5

(重節(jié)點差商)若,?則定義

類似的有第十五頁，共20頁。證明：(2)首先,由定義泰勒展開式第十六頁，共20頁。第十七頁，共20頁。本課重點：

1、理解差商定義P.857作業(yè):

3、會用牛頓插值多項式解簡單題目。

2、掌握牛頓插值公式其中，---牛頓插值多項式---牛頓插值余項課本P.37例3編程:第十八頁，共20頁。一、

Lagrange插值多項式，

k=0,1,?,n

.

復習：過n+1個節(jié)點，滿足插值條件：Lj(

xj)=yj(j=0,1,?,n

)的n次插值或插值基函數含義直觀形式對稱優(yōu)點：計算量大缺點：