數(shù)學(xué)重點難點易錯點全總結(jié)-基本初等函數(shù)與三角函數(shù)

1份你不能錯過的資料包知識集冪函數(shù)及圖象變 要點一：冪函數(shù)概 要點二：冪函數(shù)的圖象及性 要點三：初等函數(shù)圖象變 函數(shù)與方 要點一：函數(shù)的零 要點二：一元二次方程根的分布與方程系數(shù)的關(guān) 函數(shù)模型的應(yīng)用實 要點一：解答應(yīng)用問題的基本思想和步 要點二：解答函數(shù)應(yīng)用題應(yīng)注意的問 任意角和弧度 要點一：任意角的概 要點二：弧度 任意角的三角函 要點一：三角函數(shù)定 要點二：三角函數(shù)在各象限的符 要點三：誘導(dǎo)公式 要點四：單位圓中的三角函數(shù) 同角三角函數(shù)基本關(guān) 要點一：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 要點二：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公 要點一：誘導(dǎo)公 要點二：誘導(dǎo)公式的要點三：三角函數(shù)的三類基本題 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖 要點一：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的畫 要點二：正弦曲線、余弦曲 要點三：函數(shù)圖象的變 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性 要點一：周期函數(shù)的定 要點二：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性 正切函數(shù)的性質(zhì)與圖 yAsin(x)的圖象與性 要點一：用五點法作函數(shù)yAsin(x)的圖 要點二：函數(shù)yAsin(x)中有關(guān)概 要點三：由ysinx得圖象通過變換得到y(tǒng)Asin(x)的圖 三角函數(shù)模型的簡單應(yīng) 要點一：三角函數(shù)模型的建立程 要點二：解答三角函數(shù)應(yīng)用題的一般步 冪函數(shù)及圖象變換要點一、冪函數(shù)概念yxR的函數(shù)，叫做冪函數(shù)，其中為常數(shù).yxRx1，指數(shù)為常數(shù).y3x4yx21,yx22等都不是冪函數(shù).要點二、冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)1(1)yx；(2)yx2；(3)yx2；(4)yx1；(5)yx3時，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)010時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,x從右邊趨向原點時，圖象在y軸右方無限地近y軸正半軸，當(dāng)x趨于時，圖象在x軸上方無限地近x軸正半軸．如果為偶函數(shù)，則根據(jù)y軸對稱作出第二象限的圖象；值．(3)如函數(shù)f(x)kxa是冪函數(shù)，求fx的表達(dá)式，就應(yīng)由定義知必有k1f(x)xa要點三、初等函數(shù)圖象變f(xx2yx1)2yx21,y2x2y|x 圖象左（a0）、右（a0） 圖象上（b0）、下（b0）y=f(x)→y=f(－x),y軸對稱y=f(x)→y=－f(x),x軸對稱y=f(xy=－f(－x)圖象關(guān)于原點對稱y=f(xyf 關(guān)于y軸對稱．（注意：它是一個偶函數(shù)）y=f(xy=|f(x)|x軸上方的圖象保留，x軸下方的圖象關(guān)于x軸對稱函數(shù)與方程要點一：函數(shù)的零點yf(x在實數(shù)f(0a叫做這yf(xf(x0方程f(x)0有實數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點函數(shù)yf(x如果函yf(x)在一個區(qū)間a，b上的圖象不間斷，并且在它的兩個端點處的函數(shù)fafb0，則這個函數(shù)在這個區(qū)間上，至少有一個零點，即存在一點x0a，bfx00x0f(x0的根.f(x在區(qū)間abf(af(b0f(x在(abf(xx2在1,1上，fxx22x3在區(qū)間2,4上就是這樣的．故f(xabf(af(b0③若函f(x)在區(qū)間ab上的圖象不是連續(xù)不斷的曲線，f(x)在ab內(nèi)也可能是有零點，例如函數(shù)f(x)11在2,2上就是這樣的．xf(x0函數(shù)F( f(x)g(x的零點就是方程f(x)g(x)的實數(shù)根，也就是函yf(xyg(x要點二：一元二次方程根的分布與方程系數(shù)的關(guān)系x1＜x2＜k時，有f(k0bb k＜x1＜x2時，有f(k0bb x1＜k＜x2f(k0f(k)f(k2④當(dāng)x1，x2∈（k1，k2）時f(k2

kb 數(shù)值的符號；③對稱軸與區(qū)間的相對位置．當(dāng)k=0時，也就是一元二次方程根的布．所謂一元二次方程根的布，是指方程的根相對于零的關(guān)系．比如一元二次方設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個實根為x1，x2，且b24ac①x0,x0xxb0 0xxc0 b24ac②x0,x xb0 0 0xxc012 ③x10x2a0 ④x1=0，x2＞0c=0b0；x＜0，x=0c=0

0 要點三：二分第一步：在D內(nèi)取一個閉區(qū)間a0,b0D，使fa0fa0fb00，零點位于區(qū)間a0,b0中第二步：取區(qū)間a0,b0的中點，則此中點對應(yīng)的坐標(biāo)xa1ba1ab fx0fa0，并判斷①如fx00x0fx的零點，計算終

fb0②如fa0fx00，則零點位于區(qū)間a0x0中，令a1a0,b1x0③如fa0fx00，則零點位于區(qū)間x0,b0中，令a1x0,b1第三步：取區(qū)間a1,b1的中點，則此中點對應(yīng)的坐標(biāo)xa1ba1ab fx1fa1，并判斷①如果fx10x1就是fx的零點，計算終②如fa1fx10，則零點位于區(qū)間a1x1中，令a2a1b2x1③如fa1fx10，則零點位于區(qū)間x1b1中，令a2x1b2繼續(xù)實施上述步驟，直到區(qū)間anbn，函數(shù)的零點總位于區(qū)間anbn上，當(dāng)an和bnyfx的近似零點，計算終止.yfx的近似零點滿足給定的精確度.f(af(b的值比較容易計算且f(a)f(b)f(xg(xF(xf(xg(xF(x的零點即為方程f(x)g(x)的根．函數(shù)模型的應(yīng)用實例要點一：解答應(yīng)用問題的基本思想和步實際問題(文字語言數(shù)學(xué)問題(數(shù)量關(guān)系與函數(shù)模型建模(數(shù)學(xué)語言求模(求解數(shù)學(xué)問題反饋(還原成實際問題的解答).要點二：解答函數(shù)應(yīng)用題應(yīng)注意的問題任意角和弧度制要點一：任意角的概念|k360，k|k k k|k360 k|k360 kx|k ky|k180 k|k k是第一象限角，所以|是第二象限角，所以|

360k36090,kZ

3609036090k360180,k是第三象限角，所以|360270k360360270k360360,kZ

360180k360270,kZ要點二：弧度制180

1rad=

≈57.30°=57°18′，1°=180 S1lr1||r2. ,r任意角的三角函數(shù)要點一：三角函數(shù)定義y叫做的正弦,記做sin,即sinyx叫做的余弦,記做cos,即cosxy叫做的正切,tan,即tany(x0) x2x2x2的距離r ,那么sin ,x2x2x2x要點二：三角函數(shù)在各象限的符號y-o+y-o++-xy+o-+-x -o+正弦、余 余弦、正 正切、余要點三：誘導(dǎo)公式一sin(k2)sin，其中kZcos(k2)cos，其中kZtan(k2)tan，其中kZ要點四：單位圓中的三角函數(shù)線PPPMxMPNyN.A為原點建AT(AT)分別叫作的余弦線、正弦線、正切線，統(tǒng)稱為三角函數(shù)線.有向線段：既有大余弦線在x軸上；同角三角函數(shù)基本關(guān)系sincossincos

tan要點一：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin

tantancot1sincsc1cossecsin2是(sin)2的簡寫要點二：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變sin21cos2，cos21sin2，12sincos(sincossincos

三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式2

,的正弦、余弦、正切要點一：誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式二：sin()sin，cos()cos，tan()tan誘導(dǎo)公式三：sin()sin， cos()cos，tan()tansin(sin，cos(costan( 誘導(dǎo)公式sin

cos，cos

sin 誘導(dǎo)公式sin

cos，cos

sin（kZ(1)要化的角的形式為k90k為常整數(shù) (4)sinx xcosx ；cosx x 4 4 4 要點二：誘導(dǎo)公式的值：當(dāng)k為奇數(shù)時，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)k為偶數(shù)時，函數(shù)名不變，然后的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)視為銳角時原函數(shù)值的符號.要點三：三角函數(shù)的三類基本題型正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象要點一：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的畫利用三角函數(shù)線作出正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在[0,2]內(nèi)的圖象，再通過平移得到y(tǒng)sinxycosx在確定正弦函數(shù)ysinx在[0,2]上的圖象形狀時，起關(guān)鍵作用的五個點是(0,0), ,1),(,0),(

,1),(2若xR，可先作出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2]上的圖ysinxycosx由誘導(dǎo)公式y(tǒng)cosxsin(x 22

要點二：正弦曲線、余弦曲線ysinx(xRycosx(xR的圖象分別叫做正運用數(shù)形結(jié)合的思想研究與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)有關(guān)的問題，如x0,2，方lgxsinx要點三：函數(shù)圖象的變換ysinxysin(x)yAsin(x正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)以及與x軸的交點等)。要點一：周期函數(shù)的定義yf(x)IxIf(xT)f(xT是一個非零的常數(shù)，則yf(x是周期函數(shù)，T是它的一個周期.x值不滿足f(xT)f(xTyf(x的一個周期.要點二：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性RR最小正周期最小正周期[2k，2k 增區(qū)間2k，2k減區(qū)間2k，2k最大值點(2k2最小值點(2k ,2最大值點2k,(k,2xk2x正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域為1,1，是指整個正弦函數(shù)、余弦函數(shù)或一個周期不是1,1，因而求正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域時，要特別注意其定義域。ysin(xysin(xysinx再ysinx的單調(diào)遞減區(qū)間；二是根據(jù)單調(diào)性的定義，所求的單調(diào)區(qū)間必須要點三：正弦型函數(shù)和余弦型函數(shù)的性yAsin(xyAcos(xysinx數(shù)ycosx類似地得到：值域A,yAsin(xyAcos(xA,0的單調(diào)區(qū)間可以通過解不等式的方法去解答，即把x視為一個“整體”，分別與正弦函ysinxycosx的單調(diào)遞增（減）x，即為所求的單調(diào)遞增2

x2k(kZx2區(qū)間，由2k2

x2k3(kZx2不一定具備奇偶性。對于函數(shù)yAsin(xk(kz)k (kzyAcos(x，當(dāng)k(kz 數(shù)，當(dāng)k

2yAsin(x)yAcos(x的奇偶性除利用定義和有關(guān)結(jié)論外，x的系數(shù)有關(guān)，其周期為T22

取得最大值（或最小值yAsin(x的對稱軸由xk(kZ2解出，其對稱中心的橫坐標(biāo)xk(kz

k

,0

理，yAcos(x)的對稱軸由xk(kz)解出，對稱中心的橫坐標(biāo)由xk2

(kZ解出xRyAsin(xyAcos(x不一定有對稱軸和對稱正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象ytanxytanx在 22 要點一：正切函數(shù)的圖象正切函數(shù)ytan kkz的圖象，稱“正切曲線2復(fù)習(xí)單位圓中的正切線：

2

2

③把橫坐標(biāo)從

tan（x+π）=tanxy=tanxπy=tanxx(

22要點二：正切函數(shù)的性質(zhì) x|x

k,kz

ktanx k(kz)，tanx無限減小2xkkz2奇偶性：正切函數(shù)是奇函數(shù)，即tanxtanx觀察正切函數(shù)的圖象還可得到：點

,0

(kz)是函數(shù)ytanxxR，且 xk2 單調(diào)性：在開區(qū)間kkk