數(shù)學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)全總結(jié)-基本初等函數(shù)與三角函數(shù)

1份你不能錯(cuò)過(guò)的資料包知識(shí)集冪函數(shù)及圖象變 要點(diǎn)一：冪函數(shù)概 要點(diǎn)二：冪函數(shù)的圖象及性 要點(diǎn)三：初等函數(shù)圖象變 函數(shù)與方 要點(diǎn)一：函數(shù)的零 要點(diǎn)二：一元二次方程根的分布與方程系數(shù)的關(guān) 函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí) 要點(diǎn)一：解答應(yīng)用問(wèn)題的基本思想和步 要點(diǎn)二：解答函數(shù)應(yīng)用題應(yīng)注意的問(wèn) 任意角和弧度 要點(diǎn)一：任意角的概 要點(diǎn)二：弧度 任意角的三角函 要點(diǎn)一：三角函數(shù)定 要點(diǎn)二：三角函數(shù)在各象限的符 要點(diǎn)三：誘導(dǎo)公式 要點(diǎn)四：?jiǎn)挝粓A中的三角函數(shù) 同角三角函數(shù)基本關(guān) 要點(diǎn)一：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 要點(diǎn)二：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公 要點(diǎn)一：誘導(dǎo)公 要點(diǎn)二：誘導(dǎo)公式的要點(diǎn)三：三角函數(shù)的三類基本題 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖 要點(diǎn)一：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的畫 要點(diǎn)二：正弦曲線、余弦曲 要點(diǎn)三：函數(shù)圖象的變 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性 要點(diǎn)一：周期函數(shù)的定 要點(diǎn)二：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性 正切函數(shù)的性質(zhì)與圖 yAsin(x)的圖象與性 要點(diǎn)一：用五點(diǎn)法作函數(shù)yAsin(x)的圖 要點(diǎn)二：函數(shù)yAsin(x)中有關(guān)概 要點(diǎn)三：由ysinx得圖象通過(guò)變換得到y(tǒng)Asin(x)的圖 三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng) 要點(diǎn)一：三角函數(shù)模型的建立程 要點(diǎn)二：解答三角函數(shù)應(yīng)用題的一般步 冪函數(shù)及圖象變換要點(diǎn)一、冪函數(shù)概念yxR的函數(shù)，叫做冪函數(shù)，其中為常數(shù).yxRx1，指數(shù)為常數(shù).y3x4yx21,yx22等都不是冪函數(shù).要點(diǎn)二、冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)1(1)yx；(2)yx2；(3)yx2；(4)yx1；(5)yx3時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)010時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,x從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在y軸右方無(wú)限地近y軸正半軸，當(dāng)x趨于時(shí)，圖象在x軸上方無(wú)限地近x軸正半軸．如果為偶函數(shù)，則根據(jù)y軸對(duì)稱作出第二象限的圖象；值．(3)如函數(shù)f(x)kxa是冪函數(shù)，求fx的表達(dá)式，就應(yīng)由定義知必有k1f(x)xa要點(diǎn)三、初等函數(shù)圖象變f(xx2yx1)2yx21,y2x2y|x 圖象左（a0）、右（a0） 圖象上（b0）、下（b0）y=f(x)→y=f(－x),y軸對(duì)稱y=f(x)→y=－f(x),x軸對(duì)稱y=f(xy=－f(－x)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱y=f(xyf 關(guān)于y軸對(duì)稱．（注意：它是一個(gè)偶函數(shù)）y=f(xy=|f(x)|x軸上方的圖象保留，x軸下方的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱函數(shù)與方程要點(diǎn)一：函數(shù)的零點(diǎn)yf(x在實(shí)數(shù)f(0a叫做這yf(xf(x0方程f(x)0有實(shí)數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)yf(x如果函yf(x)在一個(gè)區(qū)間a，b上的圖象不間斷，并且在它的兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)fafb0，則這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上，至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在一點(diǎn)x0a，bfx00x0f(x0的根.f(x在區(qū)間abf(af(b0f(x在(abf(xx2在1,1上，fxx22x3在區(qū)間2,4上就是這樣的．故f(xabf(af(b0③若函f(x)在區(qū)間ab上的圖象不是連續(xù)不斷的曲線，f(x)在ab內(nèi)也可能是有零點(diǎn)，例如函數(shù)f(x)11在2,2上就是這樣的．xf(x0函數(shù)F( f(x)g(x的零點(diǎn)就是方程f(x)g(x)的實(shí)數(shù)根，也就是函yf(xyg(x要點(diǎn)二：一元二次方程根的分布與方程系數(shù)的關(guān)系x1＜x2＜k時(shí)，有f(k0bb k＜x1＜x2時(shí)，有f(k0bb x1＜k＜x2f(k0f(k)f(k2④當(dāng)x1，x2∈（k1，k2）時(shí)f(k2

kb 數(shù)值的符號(hào)；③對(duì)稱軸與區(qū)間的相對(duì)位置．當(dāng)k=0時(shí)，也就是一元二次方程根的布．所謂一元二次方程根的布，是指方程的根相對(duì)于零的關(guān)系．比如一元二次方設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)實(shí)根為x1，x2，且b24ac①x0,x0xxb0 0xxc0 b24ac②x0,x xb0 0 0xxc012 ③x10x2a0 ④x1=0，x2＞0c=0b0；x＜0，x=0c=0

0 要點(diǎn)三：二分第一步：在D內(nèi)取一個(gè)閉區(qū)間a0,b0D，使fa0fa0fb00，零點(diǎn)位于區(qū)間a0,b0中第二步：取區(qū)間a0,b0的中點(diǎn)，則此中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)xa1ba1ab fx0fa0，并判斷①如fx00x0fx的零點(diǎn)，計(jì)算終

fb0②如fa0fx00，則零點(diǎn)位于區(qū)間a0x0中，令a1a0,b1x0③如fa0fx00，則零點(diǎn)位于區(qū)間x0,b0中，令a1x0,b1第三步：取區(qū)間a1,b1的中點(diǎn)，則此中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)xa1ba1ab fx1fa1，并判斷①如果fx10x1就是fx的零點(diǎn)，計(jì)算終②如fa1fx10，則零點(diǎn)位于區(qū)間a1x1中，令a2a1b2x1③如fa1fx10，則零點(diǎn)位于區(qū)間x1b1中，令a2x1b2繼續(xù)實(shí)施上述步驟，直到區(qū)間anbn，函數(shù)的零點(diǎn)總位于區(qū)間anbn上，當(dāng)an和bnyfx的近似零點(diǎn)，計(jì)算終止.yfx的近似零點(diǎn)滿足給定的精確度.f(af(b的值比較容易計(jì)算且f(a)f(b)f(xg(xF(xf(xg(xF(x的零點(diǎn)即為方程f(x)g(x)的根．函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例要點(diǎn)一：解答應(yīng)用問(wèn)題的基本思想和步實(shí)際問(wèn)題(文字語(yǔ)言數(shù)學(xué)問(wèn)題(數(shù)量關(guān)系與函數(shù)模型建模(數(shù)學(xué)語(yǔ)言求模(求解數(shù)學(xué)問(wèn)題反饋(還原成實(shí)際問(wèn)題的解答).要點(diǎn)二：解答函數(shù)應(yīng)用題應(yīng)注意的問(wèn)題任意角和弧度制要點(diǎn)一：任意角的概念|k360，k|k k k|k360 k|k360 kx|k ky|k180 k|k k是第一象限角，所以|是第二象限角，所以|

360k36090,kZ

3609036090k360180,k是第三象限角，所以|360270k360360270k360360,kZ

360180k360270,kZ要點(diǎn)二：弧度制180

1rad=

≈57.30°=57°18′，1°=180 S1lr1||r2. ,r任意角的三角函數(shù)要點(diǎn)一：三角函數(shù)定義y叫做的正弦,記做sin,即sinyx叫做的余弦,記做cos,即cosxy叫做的正切,tan,即tany(x0) x2x2x2的距離r ,那么sin ,x2x2x2x要點(diǎn)二：三角函數(shù)在各象限的符號(hào)y-o+y-o++-xy+o-+-x -o+正弦、余 余弦、正 正切、余要點(diǎn)三：誘導(dǎo)公式一sin(k2)sin，其中kZcos(k2)cos，其中kZtan(k2)tan，其中kZ要點(diǎn)四：?jiǎn)挝粓A中的三角函數(shù)線PPPMxMPNyN.A為原點(diǎn)建AT(AT)分別叫作的余弦線、正弦線、正切線，統(tǒng)稱為三角函數(shù)線.有向線段：既有大余弦線在x軸上；同角三角函數(shù)基本關(guān)系sincossincos

tan要點(diǎn)一：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin

tantancot1sincsc1cossecsin2是(sin)2的簡(jiǎn)寫要點(diǎn)二：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變sin21cos2，cos21sin2，12sincos(sincossincos

三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式2

,的正弦、余弦、正切要點(diǎn)一：誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式二：sin()sin，cos()cos，tan()tan誘導(dǎo)公式三：sin()sin， cos()cos，tan()tansin(sin，cos(costan( 誘導(dǎo)公式sin

cos，cos

sin 誘導(dǎo)公式sin

cos，cos

sin（kZ(1)要化的角的形式為k90k為常整數(shù) (4)sinx xcosx ；cosx x 4 4 4 要點(diǎn)二：誘導(dǎo)公式的值：當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)名不變，然后的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)視為銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào).要點(diǎn)三：三角函數(shù)的三類基本題型正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象要點(diǎn)一：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的畫利用三角函數(shù)線作出正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在[0,2]內(nèi)的圖象，再通過(guò)平移得到y(tǒng)sinxycosx在確定正弦函數(shù)ysinx在[0,2]上的圖象形狀時(shí)，起關(guān)鍵作用的五個(gè)點(diǎn)是(0,0), ,1),(,0),(

,1),(2若xR，可先作出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2]上的圖ysinxycosx由誘導(dǎo)公式y(tǒng)cosxsin(x 22

要點(diǎn)二：正弦曲線、余弦曲線ysinx(xRycosx(xR的圖象分別叫做正運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想研究與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，如x0,2，方lgxsinx要點(diǎn)三：函數(shù)圖象的變換ysinxysin(x)yAsin(x正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)以及與x軸的交點(diǎn)等)。要點(diǎn)一：周期函數(shù)的定義yf(x)IxIf(xT)f(xT是一個(gè)非零的常數(shù)，則yf(x是周期函數(shù)，T是它的一個(gè)周期.x值不滿足f(xT)f(xTyf(x的一個(gè)周期.要點(diǎn)二：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性RR最小正周期最小正周期[2k，2k 增區(qū)間2k，2k減區(qū)間2k，2k最大值點(diǎn)(2k2最小值點(diǎn)(2k ,2最大值點(diǎn)2k,(k,2xk2x正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域?yàn)?,1，是指整個(gè)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)或一個(gè)周期不是1,1，因而求正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域時(shí)，要特別注意其定義域。ysin(xysin(xysinx再ysinx的單調(diào)遞減區(qū)間；二是根據(jù)單調(diào)性的定義，所求的單調(diào)區(qū)間必須要點(diǎn)三：正弦型函數(shù)和余弦型函數(shù)的性yAsin(xyAcos(xysinx數(shù)ycosx類似地得到：值域A,yAsin(xyAcos(xA,0的單調(diào)區(qū)間可以通過(guò)解不等式的方法去解答，即把x視為一個(gè)“整體”，分別與正弦函ysinxycosx的單調(diào)遞增（減）x，即為所求的單調(diào)遞增2

x2k(kZx2區(qū)間，由2k2

x2k3(kZx2不一定具備奇偶性。對(duì)于函數(shù)yAsin(xk(kz)k (kzyAcos(x，當(dāng)k(kz 數(shù)，當(dāng)k

2yAsin(x)yAcos(x的奇偶性除利用定義和有關(guān)結(jié)論外，x的系數(shù)有關(guān)，其周期為T22

取得最大值（或最小值yAsin(x的對(duì)稱軸由xk(kZ2解出，其對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)xk(kz

k

,0

理，yAcos(x)的對(duì)稱軸由xk(kz)解出，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)由xk2

(kZ解出xRyAsin(xyAcos(x不一定有對(duì)稱軸和對(duì)稱正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象ytanxytanx在 22 要點(diǎn)一：正切函數(shù)的圖象正切函數(shù)ytan kkz的圖象，稱“正切曲線2復(fù)習(xí)單位圓中的正切線：

2

2

③把橫坐標(biāo)從

tan（x+π）=tanxy=tanxπy=tanxx(

22要點(diǎn)二：正切函數(shù)的性質(zhì) x|x

k,kz

ktanx k(kz)，tanx無(wú)限減小2xkkz2奇偶性：正切函數(shù)是奇函數(shù)，即tanxtanx觀察正切函數(shù)的圖象還可得到：點(diǎn)

,0

(kz)是函數(shù)ytanxxR，且 xk2 單調(diào)性：在開(kāi)區(qū)間kkk