內(nèi)積空間與希爾伯特空間（講稿）課件

第五章內(nèi)積空間與希爾伯特空間內(nèi)積空間與希爾伯特空間內(nèi)積空間+完備性希爾伯特空間歐氏空間線性空間+內(nèi)積內(nèi)積空間元素的長(zhǎng)度（范數(shù)）兩向量夾角與正交內(nèi)積空間特點(diǎn)：第五章內(nèi)積空間與希爾伯特空間內(nèi)積空間與希爾伯特空間內(nèi)積空1內(nèi)積與內(nèi)積空間一、內(nèi)積空間與希爾伯特空間的概念定義1

設(shè)H是數(shù)域K上的線性空間，定義函數(shù)<·,·>:HHK,使得：對(duì)x,y,zH,K,滿足則稱<x,y>為數(shù)域K中x與y的內(nèi)積,而稱定義了內(nèi)積的空間H為內(nèi)積空間。注：1)

當(dāng)數(shù)域K為實(shí)數(shù)域時(shí)，稱H為實(shí)的內(nèi)積空間；當(dāng)數(shù)域K為復(fù)數(shù)域C時(shí)，則稱H為復(fù)的內(nèi)積空間。1內(nèi)積與內(nèi)積空間一、內(nèi)積空間與希爾伯特空間的概念定義12由內(nèi)積誘導(dǎo)的范數(shù)及由內(nèi)積誘導(dǎo)的距離定義2(1)范數(shù)稱為由內(nèi)積誘導(dǎo)的范數(shù)。(2)距離函數(shù)稱為由內(nèi)積誘導(dǎo)的距離。(2)

內(nèi)積與由內(nèi)積誘導(dǎo)的范數(shù)的等式關(guān)系：(3)由內(nèi)積誘導(dǎo)的范數(shù)滿足范數(shù)公理內(nèi)積空間按照由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù),是線性賦范空間。但反之不然注:(1)

內(nèi)積與由內(nèi)積誘導(dǎo)的范數(shù)的三角不等式關(guān)系——許瓦茲不等式2由內(nèi)積誘導(dǎo)的范數(shù)及由內(nèi)積誘導(dǎo)的距離定義2(1)3線性賦范空間成為內(nèi)積空間（范數(shù)是由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)）的充分必要條件定理1線性賦范空間X是內(nèi)積空間x,yX,有

||x+y||2+||x-y||2=2||x||2+2||y||2(平行四邊形公式或中線公式)定義3設(shè)H是內(nèi)積空間，若H按照由內(nèi)積誘導(dǎo)的范數(shù)成為Banach空間，則稱H是希爾伯特空間。4希爾伯特空間3線性賦范空間成為內(nèi)積空間（范數(shù)是由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)）的充例1

n維歐氏空間Rn按照內(nèi)積是內(nèi)積空間。Rn中由內(nèi)積導(dǎo)出的距離為Rn按照由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)因而是Hilbert空間。是Banach空間，例1n維歐氏空間Rn按照內(nèi)積是內(nèi)積空間。Rn中由內(nèi)積導(dǎo)出的

l2按照由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)是Banach空間，因而是Hilbert空間。l2中由內(nèi)積導(dǎo)出的距離為例2

l2空間按照內(nèi)積是內(nèi)積空間。(許瓦茲不等式)l2按照由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)是Banach空間，因而是H例3L2[a,b]空間按照內(nèi)積是內(nèi)積空間。L2[a,b]按照由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)是Banach空間，因而是Hilbert空間。L2[a,b]中由內(nèi)積導(dǎo)出的距離為例3L2[a,b]空間按照內(nèi)積是內(nèi)積空間。L2[a,bC[a,b]中范數(shù)不滿足平行四邊形公式，例4

C[a,b]按照范數(shù)是線性賦范空間，但C[a,b]不是內(nèi)積空間.證取x=1,y=(t-a)/(b-a)C[a,b]||x||=1,||y||=1||x+y||=max|1+(t-a)/(b-a)|=2,||x-y||=max|1-(t-a)/(b-a)|=1||x+y||2+||x-y||2=54=2(||x||2+||y||2)因而不是由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)C[a,b]不是內(nèi)積空間C[a,b]中范數(shù)不滿足平行四邊形公式，例4C[a,5

內(nèi)積空間中的極限證

xnx||xn-x||0

yny||yn-y||0

|<xn,yn>-<

x,y>|<xn,yn>-<x,yn>|+|<x,yn>-<x,y>|||xn-x||||yn||+||x||

||yn-y||0<xn,yn>

<x,y>(n)定義4（極限）設(shè)X是內(nèi)積空間，{xn}X,xX及yX,定理2設(shè)H是希爾伯特空間，則H中的內(nèi)積<x,y>是x,y的連續(xù)函數(shù),即{xn}、{yn}H,x,yH,若xnx,yny,則<xn,yn><x,y>.注：距離函數(shù)、范數(shù)、內(nèi)積都是連續(xù)函數(shù)（線性運(yùn)算對(duì)內(nèi)積的連續(xù)性）5內(nèi)積空間中的極限證xnx||xn-x||6

內(nèi)積空間的完備化定義5(內(nèi)積空間的同構(gòu))設(shè)X,Y是同一數(shù)域K上的內(nèi)積空間，若存在映射T:XY,保持線性運(yùn)算和內(nèi)積不變,即x,yX,,K,有

(1)T(x+y)=Tx+Ty,(2)<Tx,Ty>=<x,y>則稱內(nèi)積空間X與Y同構(gòu),而稱T為內(nèi)積空間X到Y(jié)的同構(gòu)映射。定理3設(shè)X是內(nèi)積空間，則必存在一個(gè)Hilbert空間H，使X與H的稠密子空間同構(gòu)，而且在同構(gòu)意義下，滿足上述條件的Hilbert空間是唯一的。6內(nèi)積空間的完備化定義5(內(nèi)積空間的同構(gòu))設(shè)X,Y二、內(nèi)積空間中的正交分解與投影定理在解析幾何中，有向量正交和向量投影的概念，而且兩個(gè)向量正交的充分必要條件是它們的內(nèi)積等于0，而向量x在空間中坐標(biāo)平面上的正交投影向量x0是將向量的起點(diǎn)移到坐標(biāo)原點(diǎn)，過向量的終點(diǎn)做平面的垂線所得的垂足與原點(diǎn)之間的有向線段而得到的。且有x=x0+x1,其中x1該坐標(biāo)平面。這時(shí)稱x=x0+x1為x關(guān)于做表面的正交分解。下面將把正交分解和正交投影的概念與推廣到一般的內(nèi)積空間中。其中的投影定理是一個(gè)理論和應(yīng)用上都極其重要的定理，利用投影定理可以將內(nèi)積空間分解成兩個(gè)字空間的正交和。這是內(nèi)積看所特有的性質(zhì)，這個(gè)定理在一般的巴拿赫空間中并不成立（因?yàn)榘湍煤湛臻g中沒有正交性的概念）。在實(shí)際應(yīng)用中，投影定理還常被用來判定最佳逼近的存在性和唯一性。x0x1x二、內(nèi)積空間中的正交分解與投影定理在解析幾何中，有向量正1

正交的概念

定義5(正交)設(shè)H是內(nèi)積空間,x,yH,

M,NH.

(1)xy<x,y>=0;

(2)xMyM,

都有<x,y>=0;

(3)MNxM，yN,都有<x,y>=0.定理4(勾股定理)設(shè)H是內(nèi)積空間,若x,yH,且xy,則

||x+y||2=||x||2+||y||2注:1）在一般的內(nèi)積空間中，若xy，則有勾股定理

||x+y||2=||x||2+||y||2成立，但反之不然。事實(shí)上，||x+y||2=||x||2+||y||2+2Re(x,y)

2）在實(shí)內(nèi)積空間中，xy||x+y||2=||x||2+||y||2，即勾股定理成立1正交的概念定義5(正交)設(shè)H是內(nèi)積空間,x,y

定義6(正交補(bǔ))設(shè)H是內(nèi)積空間,MH,稱集合

M={x|xy,yM}為M在H中的正交補(bǔ)。注：正交補(bǔ)的性質(zhì)：是H的閉線性子空間，即H的完備子空間.事實(shí)上，x,yM及zM,有<x,z>=0,<y,z>=0<x+y,z>=<x,z>+<x,z>=0<x+y,z>MM為H線性子空間

{xn}L,xnx,zM<x,z>=lim<xn,z>=0xMM為H的閉子空間定義6(正交補(bǔ))設(shè)H是內(nèi)積空間,MH,稱集合

定義10(正交分解與正交投影)設(shè)H是內(nèi)積空間，MH是線性子空間，xH,如果存在x0M,x1M,使得

x=x0+x1（1）則稱x0為x在M上的正交投影，而稱(1)式為x關(guān)于M的正交分解。2

正交分解與正交投影定理14(投影定理)設(shè)M是希爾伯特空間H的閉線性子空間,則對(duì)xH在M中存在唯一的正交投影x0,使得

x=x0+x1(其中x1M).

{yn}M,使得||yn-x||d(n)(下確界定義)證

xH,令x到M的距離定義10(正交分解與正交投影)設(shè)H是內(nèi)積空間，MHM是H的線性子空間ym,ynM,有0||ym-yn||2=||(ym-x)+(x-yn)||2

=||(ym-x)+(x-yn)||2+||(ym-x)-(x-yn)||2-||(ym-x)-(x-yn)||2

=2||ym-x||2+2||x-yn||2-||(ym+

yn)-2x||2(平行四邊形公式)

2||ym-x||2+2||x-yn||2-4d20(m,n)2)

證明{xn}在M中收斂1)

證明{yn}是基本列

M是Hilbert空間的閉線性子空間M是完備的x0M,使ynx0,||yn-x||||x0-x||(n){xn}是基本列M是H的線性子空間ym,ynM,有0||ym-3)

證明x0是x在M中的正交投影記x1=x-x0,zM,z,Cx0+zM特取4)

證明x0

是唯一的，從而上述正交分解式也是唯一的設(shè)是x在M上的兩個(gè)正交投影，則3)證明x0是x在M中的正交投影記x1=x-x0,z注：1)由定理的證明過程易知,只要M是H的完備子空間,而H本身不完備,定理結(jié)論也成立.從而上述正交分解式也唯一.2)設(shè){en}是內(nèi)積空間H的標(biāo)準(zhǔn)正交系,xH,{ck}={<x,ek>},

則即對(duì)任何數(shù)組1,2,…,n,有是x在內(nèi)積空間H上的正交投影注：1)由定理的證明過程易知,只要M是H的完備子空間,而H本2

正交投影的應(yīng)用——最佳逼近問題(1)最佳逼近問題的一般提法:設(shè)H是Hilbert空間,x,x1,x2,…,xnH,要求尋找出n個(gè)數(shù)1,2,…,n,

使得即要求出使得||x-x0||最小。(2)最佳逼近問題的幾何解釋：記M=span{x1,x2,…,xn}H,則表示x到M上某點(diǎn)的距離表示x到M的最短距離表示x在M上的正交投影最佳逼近問題實(shí)際上就是求正交投影的問題2正交投影的應(yīng)用——最佳逼近問題(1)最佳逼近問題的一般提(2)

最佳逼近問題的求解步驟：設(shè){xn}M線性無關(guān)，記M=span{x1,x2,…,xn}H唯一的x0:使得||x-x0||=inf||x-y||,且對(duì)yM,有<x-x0,y>=0<x-x0,xk>=0(xkM,k=1,2,…,n)<x0,xk>=<x,xk>(xkM,k=1,2,…,n)M是H的閉線性子空間(2)最佳逼近問題的求解步驟：設(shè){xn}M線性無關(guān)，記M三、內(nèi)積空間中的正交系與傅立葉級(jí)數(shù)1正交系的概念

在解析幾何中，向量i,j,k起著坐標(biāo)架的作用,他們兩兩正交,R3中一切向量x都能由他們線性表示：x=x1i+x2j+x3k。這是解析幾何的基礎(chǔ)。

R3中的向量正交概念一般內(nèi)積空間中的向量正交概念定義7(正交集與標(biāo)準(zhǔn)正交系)設(shè)H是內(nèi)積空間,MH,(1)如果對(duì)x,yM,xy,

都有<x,y>=0，則稱M是H中的正交系。

(2)設(shè){en}H,

若則稱{en}是H中的標(biāo)準(zhǔn)正交系。三、內(nèi)積空間中的正交系與傅立葉級(jí)數(shù)1正交系的概念在2正交的性質(zhì)

例如(1)

i,j,k

是R3中的標(biāo)準(zhǔn)正交系。是L2[-,]

中的標(biāo)準(zhǔn)正交系。(3)e1=(1,0,…,0,0,0,…),e2=(0,1,…,0,0,0,…),…,en=(0,0,…,0,1,0,…)定理4(勾股定理的推廣)設(shè)H是內(nèi)積空間，若{x1,x2,..,xn}H是正交系，則||x1+x2+…+xn||2=||x1||2+||x2||2+…||xn||2(2)是l2

中的標(biāo)準(zhǔn)正交系。2正交的性質(zhì)例如(1)i,j,k是R3中的標(biāo)定理7設(shè)H是內(nèi)積空間，若M={e1,e2,..,en,…

}H是標(biāo)準(zhǔn)正交系,則{e1,e2,…,en,…}是線性獨(dú)立系，即{e1,e2,..,en,…

}中的任何有限組是線性無關(guān)的。證

n,令1e1+…+nen=0<1e1+…+nen,ej>=0

j<ej,ej>=j=0

e1,…,en線性無關(guān){e1,…,en,…}是線性獨(dú)立系。定理8(Gram-Schmidt正交化定理)設(shè)H是內(nèi)積空間,{x1,x2,..,xn,…}H是H中任一個(gè)線性獨(dú)立系,則可將其進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)正交化，得到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交系。定理7設(shè)H是內(nèi)積空間，若M={e1,e2,..,en,定理8

設(shè)H是內(nèi)積空間，{e1,e2,..,en,…}H是標(biāo)準(zhǔn)正交系，記

Mn=span{e1,…,en}.即為x在Mn上的正交投影。(2)

若則（最佳逼近定理）(3)(1)

若則定理8設(shè)H是內(nèi)積空間，{e1,e2,..,en,…}H是

yMnxn-yMnx-xnxn-y

證

(1)<x,ei>=<1e1+…+nen,ei>=i<ei,ei>=i(2)

顯然xn=<x,e1>e1+…+<x,en>enMn,

<xn,ei>=<x,ei><ei,ei>=<x,ei>(i=1,2,…,n)x-xnMn

x-xn,e1,…,en兩兩正交,且x-xnxn.

<x-xn

,ei>=0

(i=1,2,…,n).

||xn||2=||<x,e1>e1+…+<x,en>en||2

=||<x,e1>e1||2

+…+||<x,en>en||2=|<x,e1>|2+…+|<x,en>|2||x||2=||(x-xn)+xn||2=||x-xn||2+||xn||2||x-xn||2=||x||2-||xn||2

||x-y||2=||(x-xn)+(xn-y)||2=||x-xn||2+||xn-y||2||x-xn||2yMnxn-yMnx-xnxn-y定理9(貝塞爾(Bessel)不等式)設(shè)H是內(nèi)積空間,{e1,e2,..,en,…}H

是標(biāo)準(zhǔn)正交系，則xH,

有證由定理8有,xn=<x,e1>e1+…+<x,en>en,xH,

||x||2=||x-xn||2+||xn||2||xn||2=||x||2-||x-xn||2||x||2

|<x,e1>|2+…+|<x,en>|2||x||2|<x,e1>|2+…+|<x,en>|2+…||x||2(n)推論

設(shè)H是內(nèi)積空間,{e1,e2,..,en,…}H是標(biāo)準(zhǔn)正交系,則xH,有證根據(jù)定理9，級(jí)數(shù)|<x,en>|2收斂定理9(貝塞爾(Bessel)不等式)設(shè)H是內(nèi)積空間,{e3內(nèi)積空間中的傅立葉級(jí)數(shù)定義8(Fourier級(jí)數(shù))設(shè)H是內(nèi)積空間,{en}(n=1,2,…)是H中的標(biāo)準(zhǔn)正交系,xH,則稱cn=<x,en>(n=1,2,…)為x關(guān)于{en}的Fourier系數(shù),而稱為x關(guān)于{en}的Fourier級(jí)數(shù)。記作注：1)xH,x的Fourier系數(shù)cn=<x,en>(n=1,2,…)滿足Bessel不等式2)

微積分學(xué)中的Fourier級(jí)數(shù)是L2[a,b]上元素x關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)正交系的Fourier級(jí)數(shù)。3內(nèi)積空間中的傅立葉級(jí)數(shù)定義8(Fourier級(jí)數(shù))設(shè)H是3)

xH,x的Fourier系數(shù)cn=<x,en>(n=1,2,…)是平方可和的，即{cn}l2.問題：由定理8可知，對(duì)xH,

及任何n,xn=<x,e1>e1+…+<x,en>en

到x的距離最小，那么當(dāng)n時(shí)，xn是否收斂于x呢？即x的Fourier級(jí)數(shù)<x,e1>e1+…+<x,en>en+…是否收斂于x？或者說x能否展開成傅立葉級(jí)數(shù)？3)xH,x的Fourier系數(shù)cn=<x,en>4內(nèi)積空間中的傅立葉級(jí)數(shù)的收斂性定理11(Fourier級(jí)數(shù)收斂的充要條件)設(shè){en}是內(nèi)積空間H的標(biāo)準(zhǔn)正交系,xH,則x關(guān)于{en}的Fourier級(jí)數(shù)收斂于x的充要條件是成立巴塞弗(Parseval)等式：證由定理8知,若xX,

取xn=<x,e1>e1+…+<x,en>en,則x-xnxn,且4內(nèi)積空間中的傅立葉級(jí)數(shù)的收斂性定理11(Fourier級(jí)問題：對(duì)于n維歐氏空間而言，如果基向量的個(gè)數(shù)小于n,則空間中的一些向量就無法用這些基向量線性表示。這時(shí)可以認(rèn)為基向量沒有選“完全”。此時(shí)不能保證Parseval等式成立，而只有Bessel不等式成立。只有基向量的個(gè)數(shù)等于n時(shí)，才能認(rèn)為基向量是“完全”的。對(duì)于一般的無限維內(nèi)積空間，也只有當(dāng)基選完全時(shí)，才能保證Parseval等式成立，從而使得空間中的任何元素都能由這組完全的基線性表示，其傅立葉級(jí)數(shù)才能收斂于自身，或者說，H中的任何元素都可以展開成傅立葉級(jí)數(shù)。那么，如何確認(rèn)其基向量是完全的呢？為此引入下面的定義：?jiǎn)栴}：對(duì)于n維歐氏空間而言，如果基向量的個(gè)數(shù)小于n,則空間中定義9(完全的標(biāo)準(zhǔn)正交系)設(shè)H是內(nèi)積空間，{en}(n=1,2,…)是H中的標(biāo)準(zhǔn)正交系，如果在H中不再存在于所有en(n=1,2,…)

都正交的非零元素，即如果xH,xen(n=1,2,…),

必有x=,則稱{en}是H中的完全標(biāo)準(zhǔn)正交系。是L2[-,]中的完全標(biāo)準(zhǔn)正交系。（2）勒讓德(Legendre)多項(xiàng)式表示的正交系例如，（1）三角函數(shù)系是L2[-1,1]中的完全標(biāo)準(zhǔn)正交系。定義9(完全的標(biāo)準(zhǔn)正交系)設(shè)H是內(nèi)積空間，{en}(n(4)

xH,Parseval等式成立。定理12(正交系完全的充要條件)設(shè){en}是希爾伯特空間H的標(biāo)準(zhǔn)正交系,則下列四個(gè)命題是等價(jià)的：

(3)xH,x關(guān)于{en}的Fourier級(jí)數(shù)收斂于x,即x可以展開成關(guān)于{en}的Fourier級(jí)數(shù):(1){en}是H中的完全標(biāo)準(zhǔn)正交系；(4)xH,Parseval等式成立。定理12(正五、可分希爾伯特空間根據(jù)前面的討論，L2[-,]上的確存在至多可列的完全標(biāo)準(zhǔn)正交系。事實(shí)上，這個(gè)結(jié)論與可分的希爾伯特空間也是成立的。定理15(H可分的充要條件—完全標(biāo)準(zhǔn)正交系的存在性)

H是可分的希爾伯特空間H有至多可列的完全標(biāo)準(zhǔn)正交系{en}.

定理16(可分希爾伯特空間的同構(gòu)性)

(1)

任意有限維可分的希爾伯特空間必與Rn同構(gòu)；

(2)

任意無限維可分的希爾伯特空間必與l2同構(gòu)。

證

H是可分存在H的完全標(biāo)準(zhǔn)正交系{e1,e2,…en}或{e1,e2,…en,…}.作映像:HRn（或l2）,(x)=(<x,e1>,<x,e2>,…,<x,en>)（或(x)=(<x,e1>,<x,e2>,…,<x,en>,…)）是一一映像且保持線性運(yùn)算和內(nèi)積不變，即H與Rn(或l2）同構(gòu)五、可分希爾伯特空間根據(jù)前面的討論，L2[-,注:

(1)歐式空間Rn任可以看作是有限維可分的希爾伯特空間的模型；

(2)l2空間可以看作是無限維可分的希爾伯特空間的模型。

(3)

對(duì)可分的希爾伯特空間的研究可以轉(zhuǎn)化為對(duì)Rn或l2的研究，要研究某可分的希爾伯特空間中的函數(shù)，只要研究該函數(shù)的傅立葉系數(shù)就夠了。注:演講完畢，謝謝觀看！演講完畢，謝謝觀看！第五章內(nèi)積空間與希爾伯特空間內(nèi)積空間與希爾伯特空間內(nèi)積空間+完備性希爾伯特空間歐氏空間線性空間+內(nèi)積內(nèi)積空間元素的長(zhǎng)度（范數(shù)）兩向量夾角與正交內(nèi)積空間特點(diǎn)：第五章內(nèi)積空間與希爾伯特空間內(nèi)積空間與希爾伯特空間內(nèi)積空1內(nèi)積與內(nèi)積空間一、內(nèi)積空間與希爾伯特空間的概念定義1

設(shè)H是數(shù)域K上的線性空間，定義函數(shù)<·,·>:HHK,使得：對(duì)x,y,zH,K,滿足則稱<x,y>為數(shù)域K中x與y的內(nèi)積,而稱定義了內(nèi)積的空間H為內(nèi)積空間。注：1)

當(dāng)數(shù)域K為實(shí)數(shù)域時(shí)，稱H為實(shí)的內(nèi)積空間；當(dāng)數(shù)域K為復(fù)數(shù)域C時(shí)，則稱H為復(fù)的內(nèi)積空間。1內(nèi)積與內(nèi)積空間一、內(nèi)積空間與希爾伯特空間的概念定義12由內(nèi)積誘導(dǎo)的范數(shù)及由內(nèi)積誘導(dǎo)的距離定義2(1)范數(shù)稱為由內(nèi)積誘導(dǎo)的范數(shù)。(2)距離函數(shù)稱為由內(nèi)積誘導(dǎo)的距離。(2)

內(nèi)積與由內(nèi)積誘導(dǎo)的范數(shù)的等式關(guān)系：(3)由內(nèi)積誘導(dǎo)的范數(shù)滿足范數(shù)公理內(nèi)積空間按照由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù),是線性賦范空間。但反之不然注:(1)

內(nèi)積與由內(nèi)積誘導(dǎo)的范數(shù)的三角不等式關(guān)系——許瓦茲不等式2由內(nèi)積誘導(dǎo)的范數(shù)及由內(nèi)積誘導(dǎo)的距離定義2(1)3線性賦范空間成為內(nèi)積空間（范數(shù)是由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)）的充分必要條件定理1線性賦范空間X是內(nèi)積空間x,yX,有

||x+y||2+||x-y||2=2||x||2+2||y||2(平行四邊形公式或中線公式)定義3設(shè)H是內(nèi)積空間，若H按照由內(nèi)積誘導(dǎo)的范數(shù)成為Banach空間，則稱H是希爾伯特空間。4希爾伯特空間3線性賦范空間成為內(nèi)積空間（范數(shù)是由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)）的充例1

n維歐氏空間Rn按照內(nèi)積是內(nèi)積空間。Rn中由內(nèi)積導(dǎo)出的距離為Rn按照由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)因而是Hilbert空間。是Banach空間，例1n維歐氏空間Rn按照內(nèi)積是內(nèi)積空間。Rn中由內(nèi)積導(dǎo)出的

l2按照由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)是Banach空間，因而是Hilbert空間。l2中由內(nèi)積導(dǎo)出的距離為例2

l2空間按照內(nèi)積是內(nèi)積空間。(許瓦茲不等式)l2按照由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)是Banach空間，因而是H例3L2[a,b]空間按照內(nèi)積是內(nèi)積空間。L2[a,b]按照由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)是Banach空間，因而是Hilbert空間。L2[a,b]中由內(nèi)積導(dǎo)出的距離為例3L2[a,b]空間按照內(nèi)積是內(nèi)積空間。L2[a,bC[a,b]中范數(shù)不滿足平行四邊形公式，例4

C[a,b]按照范數(shù)是線性賦范空間，但C[a,b]不是內(nèi)積空間.證取x=1,y=(t-a)/(b-a)C[a,b]||x||=1,||y||=1||x+y||=max|1+(t-a)/(b-a)|=2,||x-y||=max|1-(t-a)/(b-a)|=1||x+y||2+||x-y||2=54=2(||x||2+||y||2)因而不是由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)C[a,b]不是內(nèi)積空間C[a,b]中范數(shù)不滿足平行四邊形公式，例4C[a,5

內(nèi)積空間中的極限證

xnx||xn-x||0

yny||yn-y||0

|<xn,yn>-<

x,y>|<xn,yn>-<x,yn>|+|<x,yn>-<x,y>|||xn-x||||yn||+||x||

||yn-y||0<xn,yn>

<x,y>(n)定義4（極限）設(shè)X是內(nèi)積空間，{xn}X,xX及yX,定理2設(shè)H是希爾伯特空間，則H中的內(nèi)積<x,y>是x,y的連續(xù)函數(shù),即{xn}、{yn}H,x,yH,若xnx,yny,則<xn,yn><x,y>.注：距離函數(shù)、范數(shù)、內(nèi)積都是連續(xù)函數(shù)（線性運(yùn)算對(duì)內(nèi)積的連續(xù)性）5內(nèi)積空間中的極限證xnx||xn-x||6

內(nèi)積空間的完備化定義5(內(nèi)積空間的同構(gòu))設(shè)X,Y是同一數(shù)域K上的內(nèi)積空間，若存在映射T:XY,保持線性運(yùn)算和內(nèi)積不變,即x,yX,,K,有

(1)T(x+y)=Tx+Ty,(2)<Tx,Ty>=<x,y>則稱內(nèi)積空間X與Y同構(gòu),而稱T為內(nèi)積空間X到Y(jié)的同構(gòu)映射。定理3設(shè)X是內(nèi)積空間，則必存在一個(gè)Hilbert空間H，使X與H的稠密子空間同構(gòu)，而且在同構(gòu)意義下，滿足上述條件的Hilbert空間是唯一的。6內(nèi)積空間的完備化定義5(內(nèi)積空間的同構(gòu))設(shè)X,Y二、內(nèi)積空間中的正交分解與投影定理在解析幾何中，有向量正交和向量投影的概念，而且兩個(gè)向量正交的充分必要條件是它們的內(nèi)積等于0，而向量x在空間中坐標(biāo)平面上的正交投影向量x0是將向量的起點(diǎn)移到坐標(biāo)原點(diǎn)，過向量的終點(diǎn)做平面的垂線所得的垂足與原點(diǎn)之間的有向線段而得到的。且有x=x0+x1,其中x1該坐標(biāo)平面。這時(shí)稱x=x0+x1為x關(guān)于做表面的正交分解。下面將把正交分解和正交投影的概念與推廣到一般的內(nèi)積空間中。其中的投影定理是一個(gè)理論和應(yīng)用上都極其重要的定理，利用投影定理可以將內(nèi)積空間分解成兩個(gè)字空間的正交和。這是內(nèi)積看所特有的性質(zhì)，這個(gè)定理在一般的巴拿赫空間中并不成立（因?yàn)榘湍煤湛臻g中沒有正交性的概念）。在實(shí)際應(yīng)用中，投影定理還常被用來判定最佳逼近的存在性和唯一性。x0x1x二、內(nèi)積空間中的正交分解與投影定理在解析幾何中，有向量正1

正交的概念

定義5(正交)設(shè)H是內(nèi)積空間,x,yH,

M,NH.

(1)xy<x,y>=0;

(2)xMyM,

都有<x,y>=0;

(3)MNxM，yN,都有<x,y>=0.定理4(勾股定理)設(shè)H是內(nèi)積空間,若x,yH,且xy,則

||x+y||2=||x||2+||y||2注:1）在一般的內(nèi)積空間中，若xy，則有勾股定理

||x+y||2=||x||2+||y||2成立，但反之不然。事實(shí)上，||x+y||2=||x||2+||y||2+2Re(x,y)

2）在實(shí)內(nèi)積空間中，xy||x+y||2=||x||2+||y||2，即勾股定理成立1正交的概念定義5(正交)設(shè)H是內(nèi)積空間,x,y

定義6(正交補(bǔ))設(shè)H是內(nèi)積空間,MH,稱集合

M={x|xy,yM}為M在H中的正交補(bǔ)。注：正交補(bǔ)的性質(zhì)：是H的閉線性子空間，即H的完備子空間.事實(shí)上，x,yM及zM,有<x,z>=0,<y,z>=0<x+y,z>=<x,z>+<x,z>=0<x+y,z>MM為H線性子空間

{xn}L,xnx,zM<x,z>=lim<xn,z>=0xMM為H的閉子空間定義6(正交補(bǔ))設(shè)H是內(nèi)積空間,MH,稱集合

定義10(正交分解與正交投影)設(shè)H是內(nèi)積空間，MH是線性子空間，xH,如果存在x0M,x1M,使得

x=x0+x1（1）則稱x0為x在M上的正交投影，而稱(1)式為x關(guān)于M的正交分解。2

正交分解與正交投影定理14(投影定理)設(shè)M是希爾伯特空間H的閉線性子空間,則對(duì)xH在M中存在唯一的正交投影x0,使得

x=x0+x1(其中x1M).

{yn}M,使得||yn-x||d(n)(下確界定義)證

xH,令x到M的距離定義10(正交分解與正交投影)設(shè)H是內(nèi)積空間，MHM是H的線性子空間ym,ynM,有0||ym-yn||2=||(ym-x)+(x-yn)||2

=||(ym-x)+(x-yn)||2+||(ym-x)-(x-yn)||2-||(ym-x)-(x-yn)||2

=2||ym-x||2+2||x-yn||2-||(ym+

yn)-2x||2(平行四邊形公式)

2||ym-x||2+2||x-yn||2-4d20(m,n)2)

證明{xn}在M中收斂1)

證明{yn}是基本列

M是Hilbert空間的閉線性子空間M是完備的x0M,使ynx0,||yn-x||||x0-x||(n){xn}是基本列M是H的線性子空間ym,ynM,有0||ym-3)

證明x0是x在M中的正交投影記x1=x-x0,zM,z,Cx0+zM特取4)

證明x0

是唯一的，從而上述正交分解式也是唯一的設(shè)是x在M上的兩個(gè)正交投影，則3)證明x0是x在M中的正交投影記x1=x-x0,z注：1)由定理的證明過程易知,只要M是H的完備子空間,而H本身不完備,定理結(jié)論也成立.從而上述正交分解式也唯一.2)設(shè){en}是內(nèi)積空間H的標(biāo)準(zhǔn)正交系,xH,{ck}={<x,ek>},

則即對(duì)任何數(shù)組1,2,…,n,有是x在內(nèi)積空間H上的正交投影注：1)由定理的證明過程易知,只要M是H的完備子空間,而H本2

正交投影的應(yīng)用——最佳逼近問題(1)最佳逼近問題的一般提法:設(shè)H是Hilbert空間,x,x1,x2,…,xnH,要求尋找出n個(gè)數(shù)1,2,…,n,

使得即要求出使得||x-x0||最小。(2)最佳逼近問題的幾何解釋：記M=span{x1,x2,…,xn}H,則表示x到M上某點(diǎn)的距離表示x到M的最短距離表示x在M上的正交投影最佳逼近問題實(shí)際上就是求正交投影的問題2正交投影的應(yīng)用——最佳逼近問題(1)最佳逼近問題的一般提(2)

最佳逼近問題的求解步驟：設(shè){xn}M線性無關(guān)，記M=span{x1,x2,…,xn}H唯一的x0:使得||x-x0||=inf||x-y||,且對(duì)yM,有<x-x0,y>=0<x-x0,xk>=0(xkM,k=1,2,…,n)<x0,xk>=<x,xk>(xkM,k=1,2,…,n)M是H的閉線性子空間(2)最佳逼近問題的求解步驟：設(shè){xn}M線性無關(guān)，記M三、內(nèi)積空間中的正交系與傅立葉級(jí)數(shù)1正交系的概念

在解析幾何中，向量i,j,k起著坐標(biāo)架的作用,他們兩兩正交,R3中一切向量x都能由他們線性表示：x=x1i+x2j+x3k。這是解析幾何的基礎(chǔ)。

R3中的向量正交概念一般內(nèi)積空間中的向量正交概念定義7(正交集與標(biāo)準(zhǔn)正交系)設(shè)H是內(nèi)積空間,MH,(1)如果對(duì)x,yM,xy,

都有<x,y>=0，則稱M是H中的正交系。

(2)設(shè){en}H,

若則稱{en}是H中的標(biāo)準(zhǔn)正交系。三、內(nèi)積空間中的正交系與傅立葉級(jí)數(shù)1正交系的概念在2正交的性質(zhì)

例如(1)

i,j,k

是R3中的標(biāo)準(zhǔn)正交系。是L2[-,]

中的標(biāo)準(zhǔn)正交系。(3)e1=(1,0,…,0,0,0,…),e2=(0,1,…,0,0,0,…),…,en=(0,0,…,0,1,0,…)定理4(勾股定理的推廣)設(shè)H是內(nèi)積空間，若{x1,x2,..,xn}H是正交系，則||x1+x2+…+xn||2=||x1||2+||x2||2+…||xn||2(2)是l2

中的標(biāo)準(zhǔn)正交系。2正交的性質(zhì)例如(1)i,j,k是R3中的標(biāo)定理7設(shè)H是內(nèi)積空間，若M={e1,e2,..,en,…

}H是標(biāo)準(zhǔn)正交系,則{e1,e2,…,en,…}是線性獨(dú)立系，即{e1,e2,..,en,…

}中的任何有限組是線性無關(guān)的。證

n,令1e1+…+nen=0<1e1+…+nen,ej>=0

j<ej,ej>=j=0

e1,…,en線性無關(guān){e1,…,en,…}是線性獨(dú)立系。定理8(Gram-Schmidt正交化定理)設(shè)H是內(nèi)積空間,{x1,x2,..,xn,…}H是H中任一個(gè)線性獨(dú)立系,則可將其進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)正交化，得到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交系。定理7設(shè)H是內(nèi)積空間，若M={e1,e2,..,en,定理8

設(shè)H是內(nèi)積空間，{e1,e2,..,en,…}H是標(biāo)準(zhǔn)正交系，記

Mn=span{e1,…,en}.即為x在Mn上的正交投影。(2)

若則（最佳逼近定理）(3)(1)

若則定理8設(shè)H是內(nèi)積空間，{e1,e2,..,en,…}H是

yMnxn-yMnx-xnxn-y

證

(1)<x,ei>=<1e1+…+nen,ei>=i<ei,ei>=i(2)

顯然xn=<x,e1>e1+…+<x,en>enMn,

<xn,ei>=<x,ei><ei,ei>=<x,ei>(i=1,2,…,n)x-xnMn

x-xn,e1,…,en兩兩正交,且x-xnxn.

<x-xn

,ei>=0

(i=1,2,…,n).

||xn||2=||<x,e1>e1+…+<x,en>en||2

=||<x,e1>e1||2

+…+||<x,en>en||2=|<x,e1>|2+…+|<x,en>|2||x||2=||(x-xn)+xn||2=||x-xn||2+||xn||2||x-xn||2=||x||2-||xn||2

||x-y||2=||(x-xn)+(xn-y)||2=||x-xn||2+||xn-y||2||x-xn||2yMnxn-yMnx-xnxn-y定理9(貝塞爾(Bessel)不等式)設(shè)H是內(nèi)積空間,{e1,e2,..,en,…}H

是標(biāo)準(zhǔn)正交系，則xH,

有證由定理8有,xn=<x,e1>e1+…+<x,en>en,xH,

||x||2=||x-xn||2+||xn||2||xn||2=||x||2-||x-xn||2||x||2

|<x,e1>|2+…+|<x,en>|2||x||2|<x,e1>|2+…+|<x,en>|2+…||x||2(n)推論

設(shè)H是內(nèi)積空間,{e1,e2,..,en,…}H是標(biāo)準(zhǔn)正交系,則xH,有證根據(jù)定理9，級(jí)數(shù)|<x,en>|2收斂定理9(貝塞爾(Bessel)不等式)設(shè)H是內(nèi)積空間,{e3內(nèi)積空間中的傅立葉級(jí)數(shù)定義8(Fourier級(jí)數(shù))設(shè)H是內(nèi)積空間,{en}(n=1,2,…)是H中的標(biāo)準(zhǔn)正交系,xH,則稱cn=<x,en>(n=1,2,…)為x關(guān)于{en}的Fourier系數(shù),而稱為x關(guān)于{en}的Fourier級(jí)數(shù)。記作注：1)xH,x的Fourier系數(shù)cn=<x,en>(n=1,2,…)滿足Bessel不等式2)

微積分學(xué)中的Fourier級(jí)數(shù)是L2[a,b]