數(shù)值分析-第五章插值與擬合

第五章插值與擬合本章主要內(nèi)容：

1、拉格朗日插值方法

2、牛頓插值方法

3、埃爾米特插值方法

4、曲線(xiàn)擬合作用：由物理量離散的分布近似得到其連續(xù)的變化規(guī)律。

實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常要涉及到函數(shù)值的計(jì)算問(wèn)題：（1）如果函數(shù)表達(dá)式本身比較復(fù)雜，且需要多次重復(fù)計(jì)算時(shí)，計(jì)算量會(huì)很大；（2）有的函數(shù)甚至沒(méi)有表達(dá)式，只是一種表格函數(shù)，而我們需要的函數(shù)值可能不在該表格中。對(duì)于這兩種情況，我們都需要尋找一個(gè)計(jì)算方便且表達(dá)簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)近似代替，這就是插值問(wèn)題。

問(wèn)題背景5.1插值的基本概念定義：已知定義于區(qū)間上的實(shí)值函數(shù)在個(gè)互一、問(wèn)題的引出異節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值，這里構(gòu)造一個(gè)函數(shù)P(x)，滿(mǎn)足（5-1）作為函數(shù)y=f(x)的近似，稱(chēng)這樣的問(wèn)題為插值問(wèn)題。滿(mǎn)足關(guān)系式（5-1）的P(x)為f(x)的插值函數(shù)，f(x)為被插值函數(shù)，

[a,b]為插值區(qū)間，為插值節(jié)點(diǎn)，（5-1）式為插值條件。插值類(lèi)型代數(shù)插值：插值函數(shù)P(x)為多項(xiàng)式函數(shù)x0x1x2x3x4xP(x)

f(x)幾何意義：有理插值：插值函數(shù)P(x)為有理分式函數(shù)三角插值：插值函數(shù)P(x)為三角函數(shù)按照所選取的差值函數(shù)的類(lèi)型，可將插值分為二、插值多項(xiàng)式的存在唯一性設(shè)插值多項(xiàng)式為代入插值條件：要證插值多項(xiàng)式存在唯一，只要證上述n+1元線(xiàn)性方程組的解存在唯一。由于系數(shù)行列式是范德蒙行列式定理5-1：滿(mǎn)足插值條件(5-1)的不超過(guò)n次的插值多項(xiàng)式是唯一存在的.因此方程組存在唯一解。從而有下述定理注：由定理知，要得到n次的插值多項(xiàng)式，必須給定關(guān)于函數(shù)f(x)的n+1

個(gè)條件！

定理5.2其中．

的區(qū)間[a,b]上若在包含著插值節(jié)點(diǎn)與有關(guān)的

次可微，則對(duì)任意,存在使得

(5-2)稱(chēng)Rn(x)為插值多項(xiàng)式Pn(x)的余項(xiàng)（截?cái)嗾`差）三、插值余項(xiàng)證當(dāng)x=xi

(i=0,1,…,n)時(shí)，Rn(xi)=f(xi)-Pn(xi)=0,而

wn+1(xi)=0,所以（5-2）式成立。則g(t)在[a,b]上n+1次可微。顯然，t

=x,x0,x1,…,xn是g(t)的n+2個(gè)互異的零點(diǎn)。由羅爾(Rolle)定理可知，在g(t)的每?jī)蓚€(gè)零點(diǎn)之間至少存在一個(gè)g’(t)的零點(diǎn)，因此g’(t)在(a，b)內(nèi)至少有n+1個(gè)零點(diǎn)。反復(fù)對(duì)g’(t),

g’’(t),

…,

g(n)(t)用羅爾定理，得到g’’(t)至少有個(gè)n零點(diǎn)，g’’’(t)至少有個(gè)n-1零點(diǎn),…,g(n+1)(t)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即至少存在一點(diǎn)由于因而有一、線(xiàn)性插值(n=1)5.2拉格朗日(Lagrange)插值首先從低次的代數(shù)插值談起————給定兩個(gè)點(diǎn)(x0,y0)和(x1y1),且x0≠x1,構(gòu)造一次多項(xiàng)式L1(x)，使其滿(mǎn)足條件:

L1(x0)=y0,

L1(x1)=y1.由直線(xiàn)的兩點(diǎn)式可知：,解之，得進(jìn)一步可改寫(xiě)成:其中并稱(chēng)是的插值基函數(shù)，他們具有如下性質(zhì)：注意：只與插值節(jié)點(diǎn)有關(guān)，而與函數(shù)值無(wú)關(guān)??！二、拋物插值(n=2)構(gòu)造，使?jié)M足：此時(shí)有三個(gè)插值節(jié)點(diǎn)，仿照前一情形，這里稱(chēng)為二次插值基函數(shù)，只與有關(guān)，且滿(mǎn)足：由插值條件可求得類(lèi)似的，所要尋求的多項(xiàng)式可以寫(xiě)成如下形式由條件可知,

其中A為待定系數(shù)。又由，可得從而，同理，是的兩個(gè)根，從而下面我們以為例來(lái)確定出：三、n次拉格朗日插值多項(xiàng)式設(shè)x0,x1,…,xn是[a,b]上的n+1個(gè)互異點(diǎn)，取與節(jié)點(diǎn)有關(guān)，而與f無(wú)關(guān)顯然li(x)是一個(gè)n次多項(xiàng)式，且有稱(chēng)為n次Lagrange插值基函數(shù)．(5-3)拉格朗日多項(xiàng)式令則Ln(x)為次數(shù)不超過(guò)n次的多項(xiàng)式，且滿(mǎn)足插值條件：稱(chēng)由（5-4）確定的Ln(x)為n次拉格朗日插值多項(xiàng)式。(5-4)若記

插值基函數(shù)的個(gè)數(shù)=插值節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)；注意：

插值基函數(shù)的次數(shù)=插值節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)-1；

插值基函數(shù)決定著插值多項(xiàng)式滿(mǎn)足插值條件；

插值基函數(shù)與插值節(jié)點(diǎn)的次序無(wú)關(guān)。例如也是一個(gè)插值多項(xiàng)式，其中可以是任意多項(xiàng)式。（2）拉格朗日插值多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)，形式簡(jiǎn)單.（3）誤差估計(jì)式注：（1）若不將多項(xiàng)式次數(shù)限制為n

，則插值多項(xiàng)式不唯一。（4）當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增加時(shí)，拉氏基函數(shù)需要重新計(jì)算，

n

較大時(shí)，計(jì)算量非常大，故常用于理論分析。測(cè)試:

給定xi=i+1,i=0,1,2,3,4,5.下面哪個(gè)是l2(x)的圖像？

y

0

-

-

-

1

0.5

-0.5

1

2

3

4

5

6

x

y

0

-

-

-

1

0.5

-0.5

1

2

3

4

5

6

x

y

0

-

-

-

1

0.5

-0.5

1

2

3

4

5

6

x

ABC，并利用計(jì)算出

的近似值

解

首先計(jì)算插值基函數(shù)：

求

的二次Lagrange插值多項(xiàng)式

例1的如下函數(shù)值：

已知函數(shù)于是

例2：已知分別利用sinx的1次、2次Lagrange

插值計(jì)算sin50并估計(jì)誤差。sin50=0.7660444…解n=1分別利用x0,x1

以及x1,x2

計(jì)算利用這里而外插

/*extrapolation*/

的實(shí)際誤差0.0101sin50=0.7660444…利用sin50

0.76008,內(nèi)插

/*interpolation*/

的實(shí)際誤差0.00596高次插值通常優(yōu)于低次插值n=2)185(50sin20pL0.76543sin50=0.7660444…二次插值的實(shí)際誤差0.00061但絕對(duì)不是次數(shù)越高就越好，嘿嘿……5.3

牛頓插值拉格朗日插值雖然結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，但若要增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，全部基函數(shù)li(x)

都需重新算過(guò)。將Ln(x)改寫(xiě)成的形式，希望每加一個(gè)節(jié)點(diǎn)，只附加一項(xiàng)上去即可。????一、差商的定義1階差商2階差商給定函數(shù)f(x)在n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值，稱(chēng)一般地，可定義

k階差商：差商的值與插值節(jié)點(diǎn)xi

的順序無(wú)關(guān)！即f(x)的k-1階差商的差商稱(chēng)為f(x)的k

階差商。此外補(bǔ)充定義，為零階差商。二、差商性質(zhì)性質(zhì)1即其中證明：用數(shù)學(xué)歸納法n=1n=2由數(shù)學(xué)歸納法知，結(jié)論成立。性質(zhì)3此性質(zhì)給出了n

階差商和n

階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。性質(zhì)2差商具有對(duì)稱(chēng)性，即的值與節(jié)點(diǎn)的順序無(wú)關(guān)。由性質(zhì)1即得。推論設(shè)f(x)為n次多項(xiàng)式，則f(x)的n階差商為常數(shù)，而f(x)的n+1階差商恒為零。設(shè)f(x)為n次多項(xiàng)式，則f(x)的一階差商f[x,

xi]是x的n-1次多項(xiàng)式。推論性質(zhì)4證設(shè)f(x)為n次多項(xiàng)式，則f(x)的k階差商是n-k次多項(xiàng)式12…………n+1將上述各式逐次由后一式代入上一式可得

Nn(x)Rn(x)3三、牛頓插值多項(xiàng)式由差商的定義設(shè)為n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)，且求滿(mǎn)足插值條件：于是有顯然,

Nn(x)為次數(shù)不超過(guò)n次多項(xiàng)式，且有Nn(x)為f(x)關(guān)于節(jié)點(diǎn)x,x,…,x的n次插值多項(xiàng)式，稱(chēng)為牛頓插值插值余項(xiàng)

牛頓插值多項(xiàng)式的遞推公式增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)，只需在的基礎(chǔ)上，增加計(jì)算即可。注：由插值多項(xiàng)式的唯一性可知只是算法不同，故其插值余項(xiàng)也相同，即

計(jì)算牛頓插值多項(xiàng)式關(guān)鍵是計(jì)算差商f[x0,x1]f[x1,x2]…………f[xn1,xn]f[x0,x1,x2]……f[xn2,xn1,xn]f[x0,…,xn]

xn+1

f(xn+1)f[xn,xn+1]f[xn1,xn,xn+1]f[x1,…,xn+1]f[x0,…,xn+1]f(x0)f(x1)f(x2)…f(xn1)f(xn)x0x1x2…xn1xn（建立差商表）解首先利用均差表計(jì)算均差由上面的均差表可知，故所求的插值多項(xiàng)式為：例4已知f(0)=2,f(1)=-3,f(2)=-6,f(3)=11,求f(x)的3次插值多項(xiàng)式。例5：已知函數(shù)的函數(shù)表：

xi12345yi=f(xi)14786寫(xiě)出4次牛頓插值多項(xiàng)式。解：構(gòu)造差商表例3已知求關(guān)于上述節(jié)點(diǎn)組的插值多項(xiàng)式解首先利用均差表計(jì)算均差由上面的均差表可知，故所求的插值多項(xiàng)式為：

四、等距節(jié)點(diǎn)插值公式當(dāng)節(jié)點(diǎn)等距分布時(shí):稱(chēng)為在點(diǎn)處的階向前差分稱(chēng)為在點(diǎn)處的階向后差分向前差分向后差分差分性質(zhì)性質(zhì)1差分與差商的關(guān)系其中證明：用數(shù)學(xué)歸納法k=1當(dāng)k=j+1設(shè)k=j時(shí)結(jié)論成立即性質(zhì)1對(duì)任意整數(shù)k成立性質(zhì)2差分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系其中存在證明：且

等距節(jié)點(diǎn)的牛頓插值公式牛頓向前插值公式當(dāng)插值點(diǎn)位于插值區(qū)間左端點(diǎn)附近時(shí)令上述公式中用差分代替差商稱(chēng)之為牛頓向前插值公式。插值余項(xiàng)牛頓向后插值公式當(dāng)插值點(diǎn)位于插值區(qū)間右端點(diǎn)附近時(shí)

令將節(jié)點(diǎn)順序倒置：上述公式中用差分代替差商稱(chēng)之為牛頓向后插值公式。注：一般當(dāng)x

靠近x0時(shí)用前插公式，靠近xn時(shí)用后插公式。插值余項(xiàng)例4：已知函數(shù)的函數(shù)表：

xi0.40.50.6yi=f(xi)0.389420.479430.56464分別利用牛頓前插和后插公式計(jì)算的近似值。精確值0.解：構(gòu)造差分表牛頓前插公式牛頓后插公式精確值0.5.4

埃爾米特插值

不僅要求函數(shù)值重合，而且要求若干階導(dǎo)數(shù)也重合。即：要求插值函數(shù)滿(mǎn)足，i=0,1,…,n對(duì)于埃爾米特插值問(wèn)題，主要討論下面的特殊情形：稱(chēng)上述問(wèn)題為一般情形的埃爾米特插值問(wèn)題。問(wèn)題：已知函數(shù)在互異節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值以及導(dǎo)數(shù)值,要構(gòu)造不超過(guò)2n+1次的多項(xiàng)式,滿(mǎn)足如下的2n+2個(gè)條件一、一般情形的埃爾米特插值多項(xiàng)式的構(gòu)造思想類(lèi)似于拉格朗日插值多項(xiàng)式的構(gòu)造方法，即通過(guò)構(gòu)造一組插值基函數(shù)來(lái)表示埃爾米特插值多項(xiàng)式。

設(shè)滿(mǎn)足前述2n+2個(gè)條件的插值多項(xiàng)式為其中，滿(mǎn)足的計(jì)算方法：和均為2n+1次多項(xiàng)式，且有n個(gè)二重根和令其中代入條件解之得從而得到插值基函數(shù)再求另一組插值基函數(shù),令利用條件:可以確定:

代入得到一般情形的埃爾米特插值多項(xiàng)式其中余項(xiàng)為x0x1x2x3x4xH9(x)

f(x)

一般情形的埃爾米特插值多項(xiàng)式幾何意義如n=1時(shí)，埃爾米特插值多項(xiàng)式為012

123-101應(yīng)用埃爾米特插值計(jì)算的近似值。例1：已知函數(shù)在點(diǎn)數(shù)據(jù)表：解：二、導(dǎo)數(shù)值不完全的Hermite插值

Hermite插值問(wèn)題中，還有只在部分節(jié)點(diǎn)處給定其導(dǎo)數(shù)值的情形。例如，已知求三次插值多項(xiàng)式H3(x),使得再如，已知求三次插值多項(xiàng)式H3(x),使得對(duì)于上述這類(lèi)導(dǎo)數(shù)值不完全的Hermite插值，其插值多項(xiàng)式的構(gòu)造可分成兩步來(lái)進(jìn)行：1、由給定的函數(shù)值構(gòu)造出相應(yīng)的插值多項(xiàng)式；2、在所構(gòu)造出的插值多項(xiàng)式的基礎(chǔ)上，加入導(dǎo)數(shù)值構(gòu)造出帶導(dǎo)數(shù)值的插值多項(xiàng)式。例給定求三次插值多項(xiàng)式H3(x)。解

第1步：由3個(gè)函數(shù)值f0,

f1,

f2,構(gòu)造二次插值多項(xiàng)式P2(x).第2步：令其中λ為待定常量.顯然有H3(xi)=f(xi),

i=0,1,2.下面利用5