流體動力學基本方程

輸運方程流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!連續(xù)性方程流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!第四章

流體動力學基本方程

主要內(nèi)容實際流體的運動微分方程理想流體的運動微分方程理想流體的伯努利方程粘性流體總流的伯努利方程動量方程動量矩方程流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!dxApzzxydyzxzyfzfyfxyxopxxxzdzyxpyyyz一、實際流體中的應力zAM§4-1實際流體中的應力與變形速度

通過A點的三個互相垂直的平面上的九個應力分量描述了A點的的應力狀態(tài)流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!二、切向應力與變形速度之間的關系達朗伯原理：

作用在矩形六面體上的各力對通過六面體質(zhì)心M且與z軸平行的軸的力矩之和為0.1.法向應力的合力都與取矩的中心軸線相交，力矩為0.注意:2.在切向應力中，個角標為z的切向應力與取矩的中心軸線相交；第二個角標為z的切向應力與取矩的中心軸線平行，因此其力矩為0.3.質(zhì)量力作用在矩形六面體的質(zhì)心M，力矩為0.4.轉(zhuǎn)動慣性力矩與轉(zhuǎn)動慣量成正比，為四階小量，可忽略.xyyxxMdxdyyoAz(旋轉(zhuǎn)合力矩=轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積)流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!牛頓內(nèi)摩擦定律推廣到三維流動假定流體為各向同性(應力與變形率的關系和坐標系為直的選取無關)

廣義牛頓內(nèi)摩擦定律:

流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!法向應力與線變形速度之間的關系

如沿x方向的均勻流動，壓強計流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!

以應力形式表示的實際流體的運動微分方程應用牛頓第二定律流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!納維爾—斯托克斯方程寫成矢量形式為流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!§4－3理想流體的運動微分方程對于理想流體無粘性N-S方程

理想流體的運動微分方程(歐拉運動微分方程),適用于可壓縮流體和不可壓縮流體的運動流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!對于不可壓縮均質(zhì)流體，是常數(shù)，歐拉運動微分方程連續(xù)性方程初始和邊界條件對于可壓縮流體，是變量，歐拉運動微分方程連續(xù)性方程狀態(tài)方程初始和邊界條件x，y，z，px，y，z，p，流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!

蘭姆運動微分方程

歐拉運動微分方程適用于理想流體的任何運動，但該方程中只有表示平移運動的線速度,而沒有表示旋轉(zhuǎn)運動的角速度x,y,z流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!§4-4理想流體運動微分方程的積分與伯努利方程由于歐拉方程是非線性方程，所以對它的積分目前在數(shù)學上還存在著困難?，F(xiàn)在僅對幾種特殊的流動情況可以進行積分。最常見的有兩種：①定常流動的伯努利積分②定常無旋流動的歐拉積分兩個積分的前提條件是：(1)

定常流(2)質(zhì)量力有勢，即滿足

(3)正壓性流體，即流體的密度只與壓強有關這時存在一個壓強函數(shù)

定義為：

流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!將

代入蘭姆運動微分方程，則變成

流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!二、伯努利積分：(有旋流動)條件：沿流線（渦線）蘭姆運動微分方程兩側(cè)乘以流線上任一微分方程ds的三個分量dx,dy,dz

對于有旋和無旋流動沿流線均有:流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!三、伯努利方程如果質(zhì)量力僅僅是重力，對不可壓均質(zhì)流體，則伯努利方程z為單位重力流體具有的位勢能，又稱位置高度或位置水頭；為單位重力流體具有的壓強勢能，又稱壓強高度或壓強水頭；為單位重力流體具有的動能，又稱速度水頭或動壓頭。伯努利方程物理意義為：對不可壓理想流體在重力作用下作定常流動時，對有旋流動，沿同一流線單位重力流體的位勢能、壓力勢能以及動能之和為常數(shù)。對無旋流動，整個流場所有各點的總機械能為一常數(shù)。

流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!舉例如果流動在同一水平面，或流場中z的變化與其它流動參數(shù)相比可忽略時，則伯努利方程吹氣p0p0沿同一流線如果壓強增大，則速度降低如果壓強降低，則速度增大流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!船吸現(xiàn)象流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!§4－5粘性流體總流的伯努利方程當粘性流體流經(jīng)固體壁面時，在固體壁面與主流之間存在由零到主流速度的速度梯度，相對運動的流層之間存在切應力，形成流動阻力。為克服阻力維持流動，流體必然要消耗部分機械能，轉(zhuǎn)化為熱能耗散，造成不可逆損失。粘性流體沿微元流束（或流管）流動時，其機械能是減少的，必須對理想流體的伯努利方程進行修正。理想流體----無粘性；實際流體----有粘性流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!微元流束和總流的水頭線基準面基準面z1z2靜水頭線總水頭線hwz2靜水頭線總水頭線z1流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!

在總流的任一有效截面上，流體質(zhì)點的位能z，速度

，壓力p均有差別。

如果流動滿足下列兩個條件，我們稱之為緩變流：1.流線的切線之間夾角很小，即流線近乎平行；2.流線的曲率很小，即流線近乎為直線。凡不符合上述條件的流動稱為急變流緩變流緩變流緩變流緩變流緩變流急變流急變流急變流急變流急變流流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!為從1到2截面總流的單位重力流體的能量損失.

粘性流體總流的伯努利方程適用條件：不可壓粘性流體在重力作用下，作定常流動的任意兩緩變流截面，而緩變流之間有無急變流存在均可適用。為書寫方便方程中截面平均速度用“”表示

其中

為總流的動能修正系數(shù)

流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!§4－6伯努利方程的應用一、文特里管(或文丘里管)文特里管水平放置

基準面qV文丘里管水平放置d11Hρmρ等壓面2d2文特里管是由截面逐漸收縮，然后再逐漸擴大的一段短管組成的，最小截面處稱為喉部。在文丘里管收縮段前的直管段截面1和喉部截面2兩處測量靜壓差，根據(jù)靜壓差和兩個截面的面積可計算通過管道的流量。

流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!在實際應用中，由于實際流體都有粘性，考慮到因粘性引起的截面上速度分布的不均勻性和流動過程中有能量損失，所以實際通過的體積流量要比上式的理論值略小一些，引入修正系數(shù)β，可得

其中β為文丘里管的流量系數(shù)，由實驗確定

由于收縮段的能量損失比擴張段小得多，因此不能用擴張段的壓強來計算流量，以免增大誤差。

流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁!如果用Ｕ形管壓差計來測量壓差

等壓面列等壓面方程可得

流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁!沿流線A、B兩點列伯努利方程有：

流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁!流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁!三、孔板流量計

孔板流量計是電廠常用測量給水和蒸汽流量的節(jié)流裝置，其基本原理是流體在管道中流動時，其流通截面突然縮小，在孔板后某一距離流速達最大，流體靜壓下降，同時伴隨有能量損失，通過測量孔板前后的壓降，可算出流體的流量。

A1A0

d0Achp1’p1p2pcpx1c流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁!由于有能量損失，且孔板上的取壓位置并非在截面A1與Ac處，另外考慮到管壁的粗糙和孔板邊緣不尖銳等因素，并用實測的p1和p2代替和pc，應加上修正系數(shù)，即：

令

其中為孔板的流量系數(shù)，可由實驗得到，標準孔板的流量系數(shù)可查表得到。在特殊的情況下，如果管流的實際雷諾數(shù)小于孔板的極限雷諾數(shù)，則查得的流量系數(shù)應乘于粘度校正系數(shù)Kμ，Kμ通過查表得到。

流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁!

如圖所示,水在垂直管內(nèi)由上向下流動,在相距l(xiāng)的兩斷面間,測得測壓管水頭差為h,求兩斷面間沿程水頭損失hf(不計其它損失)lh12ab流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁!上節(jié)內(nèi)容簡要粘性流體總流的伯努里方程孔板流量計文丘里流量計幾個系數(shù)：流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁!由動量定理：對定常流動

表明：在定常流動條件下，單位時間內(nèi)經(jīng)過控制面的流體動量的通量，等于作用在系統(tǒng)上外力的矢量和。流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁!一般截面上的密度視為常數(shù)，但是必須考慮速度在截面的變化，用截面平均速度計算，須引入動量修正系數(shù)用有效截面上的平均流速計算流體動量，則上式可寫成：

工程計算中一般取1

流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁!動量矩定理;質(zhì)點系對于任一固定點的動量矩對時間的導數(shù)，等于所有作用于點系的外力對于同一點的力矩之和?！?－8動量矩方程

一、積分形式的動量矩方程由輸運方程：令

動量矩方程適用于渦輪機械中作定常流動的流體流體系統(tǒng)流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第35頁!二、渦輪機械基本方程

r12r2如圖所示為離心泵或風機的葉輪流體自內(nèi)圈流入，經(jīng)流通從外圈流出。取整個葉輪（即轉(zhuǎn)子）外側(cè)為控制面，則控制面包括葉輪的側(cè)面輪盤和內(nèi)外圓周流通截面。流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第36頁!兩側(cè)同乘，以功率形式表示兩側(cè)同除以上式為渦輪機械的基本方程。其中:HT稱為：單位重力理想流體通過葉輪所獲得的能量。HT反映了渦輪機械的基本性能。流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第37頁!應用動量定理在流場中取如圖所示的流體系統(tǒng),其體積為Vs，邊界面為As，作用在該系統(tǒng)內(nèi)單位質(zhì)量流體上的質(zhì)量力為，作用在單位界面面積上的表面力為.

ASVS圖2-3流體系統(tǒng)流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第38頁!對通過質(zhì)心M且與軸平行的軸的力矩之和為零轉(zhuǎn)動慣量=為四階小量可忽略同理只存在三個獨立的切向應力流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第39頁!三、法向應力與線變形速度之間的關系三個互相垂直的法向應力的算術平均值為:（為熱力學壓強）對于不可壓縮流體，對于溫度不太高的雙原子氣體（如空氣）和壓強不太高的單原子氣體，上述結(jié)果是正確的。流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第40頁!§4-2實際流體中的運動微分方程

dxApzzxydyzxzyfyfxfzyxzopxxxzdzyxpyyyz流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第41頁!納維爾—斯托克斯方程分量形式為：流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第42頁!問題廣義牛頓內(nèi)摩擦定律能否歸納出一個簡潔的表達式？在何條件下N-S方程的適用條件？討論題：兩平行平板間不可壓縮定常層流運動的解速度分布？切應力分布？

流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第43頁!當流體處于靜止狀態(tài)時歐拉平衡微分方程寫成矢量形式為：流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第44頁!圓柱坐標系(r,,z)下的歐拉運動微分方程流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第45頁!蘭姆方程的推導(以x方向為例)流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第46頁!

由于故有：

絕熱可逆流動的可壓縮流體，由對不可壓均質(zhì)流體則有：對等溫流動的可壓縮流體，由

則有：流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第47頁!一、歐拉積分

條件：定常無旋流

對可壓或不可壓理想正壓流體，在有勢的質(zhì)量力作用下作定常無旋流動時，在流場中任一點單位質(zhì)量流體的位勢能π，壓強勢能PF和動能之和為常數(shù)。物理意義為：將上式分別乘以流場中任意微元線段ds的三個分量dx,dy,dz，相加，再積分，則得歐拉積分式：流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第48頁!其物理意義為：對可壓縮或不可壓縮理想正壓流體，在有勢的質(zhì)量力作用下作定常有旋流動時，沿同一流線上各點單位質(zhì)量流體的位勢能π，壓強勢能PF和動能之和保持不變。三種機械能可以互相轉(zhuǎn)化。但對不同流線，該常數(shù)值一般是不同的。伯努利積分式，流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第49頁!靜水頭

總水頭伯努利方程幾何意義：對不可壓理想流體在重力作用下作定常流動時，對有旋流動，沿同一流線單位重力流體的位置水頭、壓強水頭和速度水頭之和為常數(shù)。即總水頭線是與基準面相平行的水平線。z2z1基準面靜水頭線總水頭線流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第50頁!直流線法線方向伯努利方程的應用直流線法線方向即有效截面為平面12z流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第51頁!思考、討論與N-S方程相比，蘭姆（Lamb)的創(chuàng)新之處？深入理解伯努里積分方程和歐拉積分方程的適用條件；流線為互相平行的直線時，其法線方向適用流體靜力學基本方程：怎樣應用？流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第52頁!一、粘性流體沿微元流束的伯努利方程理想不可壓流體在重力場下沿流線作定常流動時，流體的總機械能沿流線不變

即總水頭線始終是一條水平線。對于粘性流體，由于存在摩擦阻力，耗掉了流體的部分機械能，所以總機械能逐步減少。

為單位重力流體自截面1到截面2的能量損失，單位：m

流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第53頁!二、粘性流體總流的伯努利方程

總流為由無數(shù)微元流束組成，有效截面積為有限值的流束。要把沿流線的伯努利方程擴到總流，必然要進行修正。推導應用于總流的兩緩變流截面的伯努利方程。對管道總流中每一微元流束，寫出伯努利方程：上式兩邊同乘以單位時間通過微元流束的重量流量gdqV（dqV=1dA1=2dA2），對1、2總流的兩截面進行積分，則：流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第54頁!緩變流的特點是：在緩變流的同一有效截面上，壓強分布規(guī)律與重力作用下流體的靜壓強分布規(guī)律相同，即推導適用于兩個緩變流有效截面的粘性流體總流的伯努利方程且流體不可壓縮流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第55頁!說明1.

為動能修正系數(shù)，表示速度分布的不均勻性，恒大于12.粘性流體在圓管中作層流流動時，＝2;3.流動的紊流程度越大，越接近于1;4.

在工業(yè)管道中

=1.01～1.1，均?。?;5.能量損失hw包括沿程損失hf和局部損失hj。流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第56頁!假設截面1和截面2上的流速、壓力和截面面積分別為、p1、A1和、p2、A2連續(xù)性方程

列截面1和2的伯努利方程流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第57頁!若靜壓差(p1–p2)以U型管的液柱高度差H來表示，則對圖中所示的等壓面列等壓面方程，則有

基準面qV文丘里管水平放置d11Hρmρ等壓面2d2以液柱高度表示速度和體積流量

流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第58頁!文丘里管傾斜放置

文丘里管不僅可水平放置使用，也可傾斜放置，甚至可以豎直放置。假設文丘里管以某一傾斜角度放置，如圖所示。截面1和截面2上的中心線的位置高度分別為z1和z2。

2文丘里管傾斜放置a基準面qVd1Hρmρz1z21等壓面d2列伯努利方程

連續(xù)性方程

流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第59頁!z二、皮托管

皮托在1773年用一根彎成直角的玻璃管，測量了法國塞納河的流速。原理如圖所示，在液體管道某截面裝一個測壓管和一個兩端開口彎成直角的玻璃管（皮托管），皮托管一端正對來流，一端垂直向上，此時皮托管內(nèi)液柱比測壓管內(nèi)液柱高h，這是因為流體流到皮托管入口A點受到阻滯，速度降為零，流體的動能變化為壓強勢能，形成駐點A，A處的壓強稱為總壓，與A位于同一流線且在A上游的B點未受測壓管的影響，其壓強與A點測壓管測得的壓強相等，稱為靜壓。BAz流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第60頁!若將皮托管和靜壓管組合成一體，稱為皮托-靜壓管。

駐點實際上，由于探針頭部和小孔等因素的影響，測得的全壓有一定偏差，引入修正系數(shù)K,K=0.98~1.05流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第61頁!將皮托管與U型管連接，表示出來流的靜壓，動壓和全壓。

靜壓全壓動壓流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第62頁!根據(jù)連續(xù)性方程和伯努利方程有

流束最小截面積Ac與孔板圓孔面積A0的關系可表示為

其中Cc為流體的收縮系數(shù)。令：

流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第63頁!孔板流量計A1A0

d0Achp1’p1p2pcpxc1流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第64頁!思考、討論粘性流體總流的伯努里方程及適用條件？緩變流、急變流的概念？總流的伯努里方程在風機及管路系統(tǒng)、水泵及管路系統(tǒng)和文特里管中的應用問題?。ㄟB續(xù)性方程、流體靜力學基本方程、總流伯努里方程聯(lián)合應用）作業(yè)4-44-64-74-94-11

流體動力學基本方程共71頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第65頁!§