機(jī)械工程控制基礎(chǔ)-04穩(wěn)態(tài)誤差與準(zhǔn)確性分析

此課件除了PPT內(nèi)容，課件下方附帶的備注里講解內(nèi)容更細(xì)致：備注里有很多案例可以幫助理解；備注里有很多重點(diǎn)、難點(diǎn)內(nèi)容的詳西講解；備注里有很多易錯(cuò)、易誤導(dǎo)內(nèi)容的講解。機(jī)電工程控制基礎(chǔ)河北工程大學(xué)機(jī)械與裝備工程學(xué)院周雁冰第四章穩(wěn)態(tài)誤差與準(zhǔn)確性分析4.1誤差與穩(wěn)態(tài)誤差4.2輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算4.3干擾引起的穩(wěn)態(tài)誤差4.4減小系統(tǒng)誤差的途徑控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度的一種度量，是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)，定量描述系統(tǒng)的準(zhǔn)確性。通常把在階躍輸入作用下沒有原理性穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)稱為無差系統(tǒng)；而把有原理性穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)稱為有差系統(tǒng)。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，應(yīng)該是在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下研究才有意義；對于不穩(wěn)定的系統(tǒng)而言，根本不存在研究穩(wěn)態(tài)誤差的可能性。

本章主要討論線性控制系統(tǒng)由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、輸入作用形式、系統(tǒng)類型所產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差，即原理性穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算方法。4.1誤差與穩(wěn)態(tài)誤差1、控制系統(tǒng)的偏差與誤差考慮圖示反饋控制系統(tǒng)H(s)Xi(s)Xo(s)B(s)(s)G(s)

偏差信號(hào)(s)(s)=Xi(s)－B(s)＝Xi(s)－H(s)Xo(s)偏差信號(hào)(s)定義為系統(tǒng)輸入Xi(s)與系統(tǒng)反饋信號(hào)B(s)之差（負(fù)反饋），即：

誤差信號(hào)e(s)

誤差信號(hào)e(s)定義為系統(tǒng)期望輸出Xor(s)與系統(tǒng)實(shí)際輸出Xo(s)之差，即：e(s)=Xor(s)－Xo(s)

控制系統(tǒng)的期望輸出Xor(s)為偏差信號(hào)(s)＝0時(shí)的實(shí)際輸出值，即此時(shí)控制系統(tǒng)無控制作用，實(shí)際輸出等于期望輸出：Xo(s)＝Xor(s)由：(s)=Xi(s)－H(s)Xor(s)＝0可得：Xor(s)＝Xi(s)/H(s)對于單位反饋系統(tǒng)，H(s)＝1，Xor(s)＝Xi(s)

偏差信號(hào)(s)與誤差信號(hào)e(s)的關(guān)系對單位反饋系統(tǒng)：e(s)＝

(s)穩(wěn)態(tài)誤差：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差是誤差信號(hào)的穩(wěn)態(tài)分量，或者說指系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后的誤差，因此，不討論過渡過程中的情況。只有穩(wěn)定的系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差。記為ess(t)：

當(dāng)se(s)的極點(diǎn)均位于s平面左半平面（包括坐標(biāo)原點(diǎn)）時(shí)，根據(jù)拉氏變換的終值定理，有：同理，穩(wěn)態(tài)偏差的定義為：

穩(wěn)態(tài)誤差與穩(wěn)態(tài)偏差4.2輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算終值定理法系統(tǒng)在輸入作用下的偏差傳遞函數(shù)為：即：利用拉氏變換的終值定理，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差為：輸出：偏差信號(hào)；輸入：輸入信號(hào)。穩(wěn)態(tài)誤差：怎樣用終值定理法計(jì)算輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差，書上寫的太混亂，應(yīng)總結(jié)為：1、寫出輸入端的偏差傳遞函數(shù)及偏差表達(dá)式的拉氏變換(s)；2、由終值定理求穩(wěn)態(tài)偏差ss；3、由ess=ss/H(0)，求ess。對于單位反饋系統(tǒng)：

顯然，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差(穩(wěn)態(tài)誤差)取決于輸入信號(hào)Xi(s)和開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)，即決定于輸入信號(hào)的特性及系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)。

靜態(tài)誤差系數(shù)法開環(huán)傳遞函數(shù)表示為:積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)開環(huán)增益時(shí)間常數(shù)n>=m根軌跡增益?zhèn)鬟f函數(shù)的極點(diǎn)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)首1型：尾1型：首1型還是尾1型？開環(huán)增益還是根軌跡增益？工程上規(guī)定：v＝0，1，2時(shí)分別稱為0型，I型和II型系統(tǒng)。v愈高穩(wěn)態(tài)精度愈高，但穩(wěn)定性愈差，因此一般系統(tǒng)不超過III型。1、單位階躍輸入當(dāng)輸入為單位階躍信號(hào)

時(shí)

，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差為：式中稱KP為位置無偏系數(shù)（靜態(tài)位置誤差系數(shù)）。若記顯然則可將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)表示為：

階躍輸入時(shí)（比例系數(shù)為R0）不同型別系統(tǒng)響應(yīng)曲線

(a)υ=0(b)υ≥1r(t)t0c(t)r(t)c(t)r(t)t0c(t)r(t)c(t)essr=R01+Kessr=0essess=0對于0型系統(tǒng)，

，

，為有差系統(tǒng)，且K愈大，

愈小。對于I、II型系統(tǒng)，

，

，為位置無差系統(tǒng)。2、單位斜坡輸入當(dāng)輸入為單位斜坡信號(hào)時(shí)：式中，稱Kv為速度無偏系數(shù)（靜態(tài)速度誤差系數(shù)）。對于0型系統(tǒng)，

；r(t)t0c(t)r(t)c(t)r(t)t0c(t)斜坡輸入時(shí)（比例系數(shù)為α）不同型別系統(tǒng)的響應(yīng)曲線(a)υ=0(b)υ=1r(t)c(t)essr=∞essess(c)υ≥2r(t)t0c(t)r(t)c(t)essr=0ess對于I型系統(tǒng)，

；對于II型系統(tǒng)，

。essr=α/K3、單位加速度（拋物線）輸入當(dāng)輸入為加速度信號(hào)時(shí)，式中

稱Ka為加速度無偏系數(shù)（靜態(tài)加速度誤差系數(shù)）。r(t)t0c(t)r(t)c(t)r(t)t0c(t)r(t)c(t)

拋物輸入時(shí)（比例系數(shù)為α）不同型別系統(tǒng)響應(yīng)曲線(a)υ≤1essr=∞ess(b)υ=2essessr=α/K對于0、I型系統(tǒng)，

；對于II型系統(tǒng)，

。asR(s)υ

I型0型II型s3as2a

a1+K000∞∞∞KaKa

根據(jù)前面的分析可得出典型結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)輸入和型號(hào)的關(guān)系為（單位反饋時(shí)，穩(wěn)態(tài)誤差等于穩(wěn)態(tài)偏差）：

輸入信號(hào)的階次越高，穩(wěn)態(tài)誤差越大。系統(tǒng)的型次越高，穩(wěn)態(tài)誤差越小。對于Ⅲ型系統(tǒng)及以上系統(tǒng)：。

幾點(diǎn)結(jié)論：

不同類型的輸入信號(hào)作用于同一控制系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)誤差可能不同；相同的輸入信號(hào)作用于不同類型的控制系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)誤差也可能不同。

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與其開環(huán)增益有關(guān)，開環(huán)增益越大，穩(wěn)態(tài)誤差越小。

在階躍輸入作用下，0型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為定值，常稱為有差系統(tǒng)；I型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0，常稱為一階無差系統(tǒng)；

在速度輸入作用下，II型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0，常稱為二階無差系統(tǒng)。

令為輸入信號(hào)拉氏變換后s的階次，當(dāng)v時(shí)，無穩(wěn)態(tài)偏差（穩(wěn)態(tài)誤差）；-v=1時(shí)，穩(wěn)態(tài)偏差（穩(wěn)態(tài)誤差）為常數(shù)；-v=2時(shí)，穩(wěn)態(tài)偏差（穩(wěn)態(tài)誤差）為無窮大；

系統(tǒng)在多個(gè)信號(hào)共同作用下總的穩(wěn)態(tài)偏差（穩(wěn)態(tài)誤差）等于多個(gè)信號(hào)單獨(dú)作用下的穩(wěn)態(tài)偏差（穩(wěn)態(tài)誤差）之和。如：總的穩(wěn)態(tài)偏差：對于單位反饋系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)偏差等于穩(wěn)態(tài)誤差。對于非單位反饋系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)誤差可由穩(wěn)態(tài)偏差求得ess=εss/H(0)。例：某單位反饋的電液反饋伺服系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為試分別求出該系統(tǒng)對單位階躍、單位速度、單位加速度輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：變換可得，系統(tǒng)為K=10的II型系統(tǒng)，該系統(tǒng)的各種穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)分別為：所以系統(tǒng)對三種典型輸入的穩(wěn)態(tài)誤差分別為：

位置誤差

速度誤差

加速度誤差

4.3干擾引起的穩(wěn)態(tài)誤差G1(s)H(s)Xi(s)Xo(s)B(s)

(s)G2(s)N(s)++法一：由擾動(dòng)偏差傳遞函數(shù)求穩(wěn)態(tài)偏差，根據(jù)穩(wěn)態(tài)偏差與穩(wěn)態(tài)誤差的關(guān)系求穩(wěn)態(tài)誤差。當(dāng)系統(tǒng)同時(shí)受到輸入信號(hào)Xi(s)和擾動(dòng)信號(hào)N(s)作用時(shí)，由疊加原理，系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)偏差：，總的穩(wěn)態(tài)誤差：。由單輸入求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差方法已學(xué)過，接下來就是求由單干擾求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。即：所以擾動(dòng)引起的穩(wěn)態(tài)偏差：擾動(dòng)偏差傳遞函數(shù)為：所以擾動(dòng)引起的穩(wěn)態(tài)誤差：法二：求擾動(dòng)引起的輸出的實(shí)際值；另外，因?yàn)椴幌Ｍ到y(tǒng)有擾動(dòng)，所以擾動(dòng)的理想值為0；由此得到系統(tǒng)的誤差，再由終值定理求得穩(wěn)態(tài)誤差。因?yàn)閿_動(dòng)的理想值為0，即擾動(dòng)的系統(tǒng)誤差：擾動(dòng)的穩(wěn)態(tài)誤差：擾動(dòng)引起的輸出：對于單位反饋、單位階躍擾動(dòng)：若G1(0)G2(0)>>1，則即擾動(dòng)作用點(diǎn)前的前向通道傳遞函數(shù)G1(0)越大，由一定的擾動(dòng)引起的穩(wěn)態(tài)誤差越小。G1(s)H(s)Xi(s)Xo(s)B(s)

(s)G2(s)N(s)++4.4減小系統(tǒng)誤差的途徑為了減小系統(tǒng)誤差，可以考慮以下途徑：（1）系統(tǒng)的實(shí)際輸出通過反饋環(huán)節(jié)與輸入比較，因此反饋通道的精度對于減小系統(tǒng)的誤差是至關(guān)重要的。（2）在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，對于輸入引起的誤差，可通過增大系統(tǒng)開環(huán)放大倍數(shù)和提高系統(tǒng)的型次減小誤差；對于干擾引起的誤差，可通過在系統(tǒng)前向通道干擾點(diǎn)前加積分器和增大放大倍數(shù)減小誤差。（3）有的系統(tǒng)要求的性能很高，既要求穩(wěn)態(tài)誤差小，又要求良好的動(dòng)態(tài)性能。這時(shí)，單靠加大開環(huán)放大倍數(shù)或串入積分環(huán)節(jié)往往不能滿足上述要求，這時(shí)可采用復(fù)合控制的方法，或稱順饋的辦法來對誤差進(jìn)行補(bǔ)償。1、引入輸入補(bǔ)償輸入補(bǔ)償復(fù)合控制系統(tǒng)則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差:R(s)-+C(s)E(s)G2(s)G1(s)Gc(s)R(s)Gc(s)為使，應(yīng)保證，即R(s)2、引入擾動(dòng)補(bǔ)償擾動(dòng)補(bǔ)償復(fù)合控制系統(tǒng)-C(s)+E(s)+G1(s)G2(s)Gc(s)D(s)D(s)Gc(s)若為使，應(yīng)保證，即總結(jié)：essrR(s)1+G(s)H(s)s→0=lims·1、給定信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差2、靜態(tài)誤差系數(shù)Kp=limG(s)H(s)s→0υK=limsG(s)H(s)s→0Ka=lims2G(s)H(s)s→03、擾動(dòng)信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差essd=lims-G2(s)H(s)D(s)1+G1(s)G2(s)H(s)s→0