河北大學(xué)自控課件8

8.1非線件控制系統(tǒng)概述一、為什么研究非線性控制系統(tǒng)理想的線性系統(tǒng)并不存在，實(shí)際系統(tǒng)往往都是非線性系統(tǒng)，只是做了一些合理的假設(shè)以后把他們看成線性系統(tǒng)來(lái)處理。但是，這種線性方法并不是在一切情況下都適用的。系統(tǒng)中的非線性主要存在于兩個(gè)部分1）控制儀表和傳動(dòng)機(jī)構(gòu)2）對(duì)象本身的特性12/13/20221電子信息工程學(xué)院8.1非線件控制系統(tǒng)概述一、為什么研究非線性控制系統(tǒng)小偏差線性化：實(shí)質(zhì)：將連續(xù)變化的非線性函數(shù)y=f(x)在平衡工作點(diǎn)（x0y0）展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)：xyy=f(x)x0增量較小時(shí)略去其高次冪項(xiàng)，則有12/13/20222電子信息工程學(xué)院小偏差線性化：實(shí)質(zhì)：將連續(xù)變化的非線性函數(shù)y=f(x)在平衡例單擺運(yùn)動(dòng)

lMgsinθMgθ單擺運(yùn)動(dòng)示意圖根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律可以直接導(dǎo)出此系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為非線性項(xiàng)這是一輸入為零，輸出量為擺幅的二階非線性微分方程。當(dāng)控制系統(tǒng)處在自動(dòng)調(diào)節(jié)狀態(tài)的小擺幅下運(yùn)行時(shí)，可應(yīng)用小偏差線性化方法將非線性系統(tǒng)線性化。平衡狀態(tài)為

線性二階微分方程12/13/20223電子信息工程學(xué)院例單擺運(yùn)動(dòng)lMgsinθMgθ單擺運(yùn)動(dòng)示意圖根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定小偏差線性化條件：（1）系統(tǒng)中的變量在某一額定工作點(diǎn)附近做微小變化。（2）非線性特性在此工作點(diǎn)可導(dǎo)，也就是曲線光滑。在許多情況下，上述條件并不能夠滿足，如：存在有本質(zhì)非線性情況。1、飽和特性－aak0ue放大器等很多元件都具有飽和特性2、死區(qū)特性－aak0ue測(cè)量元件，電機(jī)等都有死區(qū)12/13/20224電子信息工程學(xué)院小偏差線性化條件：在許多情況下，上述條件并不能夠滿足，如：存3、間隙特性－aak0xe齒輪間隙是典型的間隙特性4、繼電器特性12/13/20225電子信息工程學(xué)院3、間隙特性－aak0xe齒輪間隙是典型的間隙特性4、繼電器二、非線性控制系統(tǒng)的特點(diǎn)2、穩(wěn)定性分析復(fù)雜。1、非線性系統(tǒng)的重要特征是不滿足線性疊加原理。例：一階非線性系統(tǒng)：兩個(gè)平衡狀態(tài)，其解為平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的平衡狀態(tài)—小范圍穩(wěn)定平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)c=1c(t)c=0tc0>1c0<1由于描述非線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型為非線性微分方程，因此疊加原理不能應(yīng)用。故能否應(yīng)用疊加原理是兩類系統(tǒng)的本質(zhì)區(qū)別。12/13/20226電子信息工程學(xué)院二、非線性控制系統(tǒng)的特點(diǎn)2、穩(wěn)定性分析復(fù)雜。1、非線對(duì)于線性系統(tǒng)，只有一個(gè)平衡狀態(tài)，而且其穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與外作用和初始條件無(wú)關(guān)。對(duì)于非線性系統(tǒng)，系統(tǒng)可能存在多個(gè)平衡狀態(tài)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性需要考慮各個(gè)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，而且其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性與外作用和初始條件有關(guān)。總結(jié)：3、可能存在自激振蕩現(xiàn)象所謂自激振蕩是指沒(méi)有外界周期變化信號(hào)的作用時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)產(chǎn)生的具有固定振幅和頻率的穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)。范德波爾方程非線性阻尼項(xiàng)12/13/20227電子信息工程學(xué)院對(duì)于線性系統(tǒng)，只有一個(gè)平衡狀態(tài)，而且其穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)當(dāng)擾動(dòng)使時(shí)—系統(tǒng)具有負(fù)阻尼此時(shí)系統(tǒng)從外部獲得能量，的運(yùn)動(dòng)呈發(fā)散形式當(dāng)擾動(dòng)使時(shí)—系統(tǒng)具有正阻尼此時(shí)系統(tǒng)消耗能量，的運(yùn)動(dòng)呈收斂形式當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)為零阻尼，其運(yùn)動(dòng)呈等幅振蕩形式系統(tǒng)能克服擾動(dòng)的影響，保持幅值為1的等幅振蕩——自持振蕩

tc(t)10-1非線性系統(tǒng)的自持振蕩12/13/20228電子信息工程學(xué)院當(dāng)擾動(dòng)使時(shí)—系統(tǒng)具有負(fù)阻尼此時(shí)系統(tǒng)從外4、頻率響應(yīng)發(fā)生畸變非線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)除了含有與輸入同頻率的正弦信號(hào)分量(基頻分量)外，還含有關(guān)于的高次諧波分量，使輸出波形發(fā)生非線性畸變。例：死區(qū)非線性特性三、非線性系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)方法(1)相平面法相平面法是推廣應(yīng)用時(shí)域分析法的一種圖解分析方法。該方法既能提供穩(wěn)定性信息，又能提供時(shí)間響應(yīng)信息，特別適用于分析非線性系統(tǒng)在不同初始條件下或非周期信號(hào)輸入(脈沖、階躍、斜坡等)作用下的瞬態(tài)響應(yīng)特性。但相平面法只限于一階、二階系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)。(2)描述函數(shù)法描述函數(shù)法是基于頻域分析法和非線性特性諧波線性化的一種圖解分析方法。特別適用于分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性或自激振蕩。(3)逆系統(tǒng)法12/13/20229電子信息工程學(xué)院4、頻率響應(yīng)發(fā)生畸變非線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)除了含有與輸常見(jiàn)的本質(zhì)非線性－aak0ue－aak0ue－aak0xe12/13/202210電子信息工程學(xué)院常見(jiàn)的本質(zhì)非線性－aak0ue－aak0ue－aak0xe18.2相平面法一、相平面的基本概念描述二階時(shí)不變系統(tǒng)的常微分方程為是和的線性或非線性函數(shù)——系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的相變量(狀態(tài)變量)

—橫坐標(biāo)—縱坐標(biāo)0相平面（，）直角坐標(biāo)平面稱為相平面

在一定的初始條件下，求解相變量從初始時(shí)刻對(duì)應(yīng)的狀態(tài)點(diǎn)起，隨著時(shí)間的推移，狀態(tài)點(diǎn)在相平面上運(yùn)動(dòng)形成的曲線稱為相軌跡。不同的初始狀態(tài)對(duì)應(yīng)不同的相軌跡—相軌跡簇。12/13/202211電子信息工程學(xué)院8.2相平面法一、相平面的基本概念描述二階時(shí)不變系統(tǒng)的常相平面圖相軌跡簇相平面相平面法——根據(jù)相平面圖分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特征0t1t2t3t4t1t2t3t4t1t2t3t412/13/202212電子信息工程學(xué)院相平面圖相軌跡簇相平面相平面法——根據(jù)相平面圖分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)例8-1某彈簧-質(zhì)量運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)如圖所示，若初始條件為，，試確定系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的相軌跡。描述系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的微分方程式為該系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的相軌跡為以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心、為半徑的圓分離變量積分得：012/13/202213電子信息工程學(xué)院例8-1某彈簧-質(zhì)量運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)如圖所例8-2已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，求零初始條件，單位階躍輸入下系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的相軌跡。-系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)對(duì)單位階躍輸入關(guān)于誤差的微分方程為由給定零初始條件得(1,0)0MP12/13/202214電子信息工程學(xué)院例8-2已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，求二、相軌跡的性質(zhì)：（1）相軌跡上每一點(diǎn)斜率—相軌跡斜率（2）相軌跡的奇點(diǎn)

當(dāng)相軌跡同時(shí)滿足，時(shí)，該點(diǎn)相軌跡的斜率為0/0，是一個(gè)不定值，因此通過(guò)該點(diǎn)的相軌跡就有無(wú)數(shù)多條。同時(shí)滿足，的點(diǎn)稱為奇點(diǎn)。如果在一條線上滿足，則該直線為奇線。12/13/202215電子信息工程學(xué)院二、相軌跡的性質(zhì)：（1）相軌跡上每一點(diǎn)斜率—相軌跡斜率（2）（3）相軌跡正交于軸在軸上，因而除去奇點(diǎn)外，在這些點(diǎn)上的斜率為∞，這表示相軌跡與相平面的橫軸正交。（4）相軌跡的運(yùn)動(dòng)方向在相平面的上半平面，隨著時(shí)間的推移，系統(tǒng)狀態(tài)沿相軌跡的運(yùn)動(dòng)方向是的增大方向，即向右運(yùn)動(dòng)。在相平面的下半平面，隨著時(shí)間的推移，系統(tǒng)狀態(tài)沿相軌跡的運(yùn)動(dòng)方向是的減小方向，即向左運(yùn)動(dòng)。012/13/202216電子信息工程學(xué)院（3）相軌跡正交于軸在軸上，三、相軌跡的繪制方法（1）解析法（2）等傾線法直接由微分方程獲得和的解析關(guān)系式?；舅枷耄夯舅枷耄合却_定相軌跡的等傾線，進(jìn)而繪出相軌跡的切線方向場(chǎng)，然后從初始條件出發(fā)，沿方向場(chǎng)逐步繪制相軌跡。（不需求解微分方程）等傾線：相平面上相軌跡具有相等斜率的點(diǎn)的連線。該方程給出了相軌跡在相平面上任一點(diǎn)處切線的斜率。取相軌跡切線的斜率為某一常數(shù)，得等傾線方程：對(duì)于線性系統(tǒng)，等傾線為直線，非線性系統(tǒng)的等傾線為曲線。12/13/202217電子信息工程學(xué)院三、相軌跡的繪制方法（1）解析法（2）等傾線法直接由微分方試用等傾線法繪制二階系統(tǒng)的相軌跡圖。例8-3—等傾線方程，

設(shè)，等傾線方程為—過(guò)原點(diǎn)，斜率的直線據(jù)此，求得取不同值時(shí)的等傾線：當(dāng)取不同的值時(shí)，就得到不同斜率的等傾線，在每一條等傾線上作一系列相應(yīng)斜率為的短線段。12/13/202218電子信息工程學(xué)院試用等傾線法繪制二階系統(tǒng)的相軌跡圖。例8-3—等傾線方程，（3）法（圓弧近似法）在繪制相軌跡時(shí)，只要從初始點(diǎn)出發(fā)，沿著方向場(chǎng)依次連接各等傾線上的短線段。就得到系統(tǒng)在確定初始條件下的完整的相軌跡。由圖可見(jiàn)，由任何初始狀態(tài)出發(fā)的相軌跡是一卷向坐標(biāo)原點(diǎn)的螺旋線。使用等傾線法繪制相軌跡應(yīng)注意：坐標(biāo)軸小和應(yīng)選用相同的比例尺，以便于根據(jù)等傾線斜率準(zhǔn)確繪制等傾線上一點(diǎn)的相軌跡切線；一般地，等傾線分布越密，則所作的相軌跡越準(zhǔn)確。但隨所取等傾線的增加，繪圖工作量增加，同時(shí)也使作圖產(chǎn)生的積累誤差增大。為提高作圖精度，可采用平均斜率法，即取相鄰兩條等傾線所對(duì)應(yīng)的斜率的平均值為兩條等傾線間直線的斜率。12/13/202219電子信息工程學(xué)院（3）法（圓弧近似法）在繪制相軌跡時(shí)，四、線性系統(tǒng)的相軌跡一階線性系統(tǒng)一階線性系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的微分方程：T<0T>0穩(wěn)定不穩(wěn)定12/13/202220電子信息工程學(xué)院四、線性系統(tǒng)的相軌跡一階線性系統(tǒng)一階線性系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的微分方二階線性系統(tǒng)二階線性系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的微分方程：對(duì)應(yīng)的特征方程的特征根求其等傾線方程：令等傾線方程等傾線斜率為：兩條特殊的等傾線：等傾線斜率＝過(guò)等傾線的相軌跡的斜率當(dāng)相軌跡運(yùn)動(dòng)至特殊的等傾線時(shí)，將沿著等傾線收斂或發(fā)散——漸近線12/13/202221電子信息工程學(xué)院二階線性系統(tǒng)二階線性系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的微分方程：對(duì)應(yīng)的特征方程的兩條特殊的等傾線斜率滿足：——二階線性系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的微分方程所對(duì)應(yīng)的特征方程的特征根1、12/13/202222電子信息工程學(xué)院兩條特殊的等傾線斜率滿足：——二階線性系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的微分方程2、—奇線發(fā)散收斂12/13/202223電子信息工程學(xué)院2、—奇線發(fā)散收斂12/12/202223電子信息工程學(xué)院3、?。?）0相軌跡是以振蕩的方式卷向平衡點(diǎn)（2）兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)根相軌跡是以非振蕩的方式趨向平衡點(diǎn)12/13/202224電子信息工程學(xué)院3、?。?）0相軌跡是以振蕩的方式卷向平衡點(diǎn)（2）兩個(gè)相等的（3）兩個(gè)互異的負(fù)實(shí)根相軌跡是以非振蕩的方式趨向平衡點(diǎn)（4）一對(duì)純虛根0相軌跡為等幅振蕩12/13/202225電子信息工程學(xué)院（3）兩個(gè)互異的負(fù)實(shí)根相軌跡是以非振蕩的方式趨向平衡點(diǎn)（4）（5）0（6）12/13/202226電子信息工程學(xué)院（5）0（6）12/12/202226電子信息工程學(xué)院（6）總結(jié)：12/13/202227電子信息工程學(xué)院（6）總結(jié)：12/12/202227電子信息工程學(xué)院3、奇點(diǎn)與極限環(huán)（1）奇點(diǎn)同時(shí)滿足，的點(diǎn)稱為奇點(diǎn)。12/13/202228電子信息工程學(xué)院3、奇點(diǎn)與極限環(huán)（1）奇點(diǎn)同時(shí)滿足c&cwjawjac&c0wjac&c0wjac&cwjac&c0wjac&c穩(wěn)定焦點(diǎn)不穩(wěn)定焦點(diǎn)穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)中心點(diǎn)鞍點(diǎn)12/13/202229電子信息工程學(xué)院c&cwjawjac&c0wjac&c0wjac&cwjac00盡量增大此類極限環(huán)的尺寸盡量減小此類極限環(huán)的尺寸穩(wěn)定的極限環(huán)不穩(wěn)定的極限環(huán)12/13/202230電子信息工程學(xué)院00盡量增大此類極限環(huán)的尺寸盡量減小此類極限環(huán)的尺寸穩(wěn)定的極00盡量增大此類極限環(huán)的尺寸盡量避免此類極限環(huán)的存在半穩(wěn)定的極限環(huán)半穩(wěn)定的極限環(huán)12/13/202231電子信息工程學(xué)院00盡量增大此類極限環(huán)的尺寸盡量避免此類極限環(huán)的存在半穩(wěn)定的非線性系統(tǒng)的相平面分析（針對(duì)于本質(zhì)非線性）基本思想：分段線性化非線性系統(tǒng)分區(qū)線性系統(tǒng)相軌跡開(kāi)關(guān)線-M－M繼電型非線性元件特性開(kāi)關(guān)線：Ⅱ區(qū)Ⅰ區(qū)繼電型非線性系統(tǒng)的分析例8-412/13/202232電子信息工程學(xué)院非線性系統(tǒng)的相平面分析（針對(duì)于本質(zhì)非線性）基本思想：分段線設(shè)在Ⅰ區(qū)內(nèi)

系統(tǒng)誤差方程為由令等傾線方程顯然等傾線是平行于軸的一族直線，因此相軌跡是沿水平方向平移的一族曲線。漸近線：令Ⅱ區(qū)Ⅰ區(qū)12/13/202233電子信息工程學(xué)院設(shè)在Ⅰ區(qū)內(nèi)系統(tǒng)誤差方程為由令等傾線方程顯然等傾線是平行在Ⅱ區(qū)內(nèi)

系統(tǒng)誤差方程為兩個(gè)區(qū)域的相平面圖關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱等傾線方程漸近線：Ⅱ區(qū)Ⅰ區(qū)12/13/202234電子信息工程學(xué)院在Ⅱ區(qū)內(nèi)系統(tǒng)誤差方程為兩個(gè)區(qū)域的相平面圖關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱等初始狀態(tài)(1，0)Ⅱ區(qū)Ⅰ區(qū)ABCD由A點(diǎn)開(kāi)始，沿相軌跡曲線Ⅰ運(yùn)動(dòng)到開(kāi)關(guān)線上的銜接點(diǎn)B；進(jìn)入Ⅱ區(qū)，再?gòu)腂點(diǎn)開(kāi)始沿相軌跡曲線Ⅱ運(yùn)動(dòng)到分界線上的銜接點(diǎn)C；然后再進(jìn)入I區(qū)，如此往復(fù)……。經(jīng)過(guò)如此的往返振蕩，從理論上說(shuō)系統(tǒng)狀態(tài)最后收斂于原點(diǎn)(0，0)。系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)曲線呈衰減振蕩形式，靜態(tài)誤差為零。12/13/202235電子信息工程學(xué)院初始狀態(tài)(1，0)Ⅱ區(qū)Ⅰ區(qū)ABCD由A點(diǎn)開(kāi)始，沿相軌跡)(tc-)(tx)(ty0)(=tr)(sGN非線性環(huán)節(jié)線性部分設(shè)非線性環(huán)節(jié)輸入輸出描述為當(dāng)非線性環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)為正弦信號(hào)8.3描述函數(shù)法一、描述函數(shù)的基本概念一般情況下，為非正弦周期信號(hào)，因而可以展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)：直流分量第n次諧波分量12/13/202236電子信息工程學(xué)院)(tc-)(tx)(ty0)(=tr)(sGN非線性環(huán)節(jié)線直流分量當(dāng)非線性元件的特性對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)是奇對(duì)稱時(shí)，直流分量第n次諧波分量一般本質(zhì)非線性均滿足當(dāng)系統(tǒng)的線性環(huán)節(jié)具有低通濾波特性時(shí)，可認(rèn)為中只有一次諧波分量會(huì)對(duì)輸出產(chǎn)生影響。非線性環(huán)節(jié)可近似認(rèn)為具有和線性環(huán)節(jié)相類似的頻率響應(yīng)形式。12/13/202237電子信息工程學(xué)院直流分量當(dāng)非線性元件的特性對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)是奇對(duì)稱時(shí)，直流分量第定義：正弦輸入信號(hào)作用下，非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出中一次諧波分量和輸入信號(hào)的復(fù)數(shù)比為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)。

非線性系統(tǒng)描述函數(shù)法分析的應(yīng)用有三個(gè)條件：

1、非線性系統(tǒng)應(yīng)簡(jiǎn)化成一個(gè)非線性環(huán)節(jié)和一個(gè)線性部分閉環(huán)連接的典型結(jié)構(gòu)形式

。2、非線性元件的特性對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)是奇對(duì)稱的。3、系統(tǒng)的線性部分應(yīng)具有較好的低通濾波性能。12/13/202238電子信息工程學(xué)院定義：正弦輸入信號(hào)作用下，非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出中一次諧波分二、描述函數(shù)的計(jì)算關(guān)于描述函數(shù)的計(jì)算，具有以下特點(diǎn)：若為奇函數(shù)，即，則為奇函數(shù)，且又為半周期內(nèi)對(duì)稱描述函數(shù)為實(shí)數(shù)12/13/202239電子信息工程學(xué)院二、描述函數(shù)的計(jì)算關(guān)于描述函數(shù)的計(jì)算，具有以下特點(diǎn)：若為例8-7設(shè)繼電特性為試計(jì)算該非線性特性的描述函數(shù)。輸入信號(hào)直流分量為零繼電特性的描述函數(shù)12/13/202240電子信息工程學(xué)院例8-7設(shè)繼電特性為試計(jì)算該非線性特性的描述函數(shù)。輸入信號(hào)典型非線性特性的描述函數(shù)：理想繼電特性有死區(qū)的繼電特性有滯環(huán)的繼電特性有死區(qū)與滯環(huán)的繼電特性12/13/202241電子信息工程學(xué)院典型非線性特性的描述函數(shù)：理想繼電特性有死區(qū)的繼電特性三、非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的描述函數(shù)法1.化簡(jiǎn)成標(biāo)準(zhǔn)形式2.穩(wěn)定性分析用奈氏判據(jù)，閉環(huán)頻率特性)()(1)()()()(jGANjGANjRjC+=wwww)(1)(0)()(1

ANjGjGAN-=T=+ww特征方程負(fù)倒描述函數(shù)：-1/N(A)12/13/202242電子信息工程學(xué)院三、非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的描述函數(shù)法1.化簡(jiǎn)成標(biāo)準(zhǔn)形式2.對(duì)于奈氏判據(jù)，線性系統(tǒng)的－１對(duì)應(yīng)非線性系統(tǒng)的－１/N(A)。設(shè)線性部分是最小相位系統(tǒng)，穩(wěn)定性判據(jù)如下。1）線性部分頻率特性G(jω)不包圍－１/N(A)，穩(wěn)定。2）線性部分頻率特性G(jω)包圍－１/N(A)，不穩(wěn)定。3）線性部分頻率特性G(jω)與－１/N(A)相交，可能產(chǎn)生自持振蕩，需進(jìn)一步分析。12/13/202243電子信息工程學(xué)院對(duì)于奈氏判據(jù)，線性系統(tǒng)的－１對(duì)應(yīng)非線性系統(tǒng)的－１/N(A)。8.1非線件控制系統(tǒng)概述一、為什么研究非線性控制系統(tǒng)理想的線性系統(tǒng)并不存在，實(shí)際系統(tǒng)往往都是非線性系統(tǒng)，只是做了一些合理的假設(shè)以后把他們看成線性系統(tǒng)來(lái)處理。但是，這種線性方法并不是在一切情況下都適用的。系統(tǒng)中的非線性主要存在于兩個(gè)部分1）控制儀表和傳動(dòng)機(jī)構(gòu)2）對(duì)象本身的特性12/13/202244電子信息工程學(xué)院8.1非線件控制系統(tǒng)概述一、為什么研究非線性控制系統(tǒng)小偏差線性化：實(shí)質(zhì)：將連續(xù)變化的非線性函數(shù)y=f(x)在平衡工作點(diǎn)（x0y0）展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)：xyy=f(x)x0增量較小時(shí)略去其高次冪項(xiàng)，則有12/13/202245電子信息工程學(xué)院小偏差線性化：實(shí)質(zhì)：將連續(xù)變化的非線性函數(shù)y=f(x)在平衡例單擺運(yùn)動(dòng)

lMgsinθMgθ單擺運(yùn)動(dòng)示意圖根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律可以直接導(dǎo)出此系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為非線性項(xiàng)這是一輸入為零，輸出量為擺幅的二階非線性微分方程。當(dāng)控制系統(tǒng)處在自動(dòng)調(diào)節(jié)狀態(tài)的小擺幅下運(yùn)行時(shí)，可應(yīng)用小偏差線性化方法將非線性系統(tǒng)線性化。平衡狀態(tài)為

線性二階微分方程12/13/202246電子信息工程學(xué)院例單擺運(yùn)動(dòng)lMgsinθMgθ單擺運(yùn)動(dòng)示意圖根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定小偏差線性化條件：（1）系統(tǒng)中的變量在某一額定工作點(diǎn)附近做微小變化。（2）非線性特性在此工作點(diǎn)可導(dǎo)，也就是曲線光滑。在許多情況下，上述條件并不能夠滿足，如：存在有本質(zhì)非線性情況。1、飽和特性－aak0ue放大器等很多元件都具有飽和特性2、死區(qū)特性－aak0ue測(cè)量元件，電機(jī)等都有死區(qū)12/13/202247電子信息工程學(xué)院小偏差線性化條件：在許多情況下，上述條件并不能夠滿足，如：存3、間隙特性－aak0xe齒輪間隙是典型的間隙特性4、繼電器特性12/13/202248電子信息工程學(xué)院3、間隙特性－aak0xe齒輪間隙是典型的間隙特性4、繼電器二、非線性控制系統(tǒng)的特點(diǎn)2、穩(wěn)定性分析復(fù)雜。1、非線性系統(tǒng)的重要特征是不滿足線性疊加原理。例：一階非線性系統(tǒng)：兩個(gè)平衡狀態(tài)，其解為平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的平衡狀態(tài)—小范圍穩(wěn)定平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)c=1c(t)c=0tc0>1c0<1由于描述非線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型為非線性微分方程，因此疊加原理不能應(yīng)用。故能否應(yīng)用疊加原理是兩類系統(tǒng)的本質(zhì)區(qū)別。12/13/202249電子信息工程學(xué)院二、非線性控制系統(tǒng)的特點(diǎn)2、穩(wěn)定性分析復(fù)雜。1、非線對(duì)于線性系統(tǒng)，只有一個(gè)平衡狀態(tài)，而且其穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與外作用和初始條件無(wú)關(guān)。對(duì)于非線性系統(tǒng)，系統(tǒng)可能存在多個(gè)平衡狀態(tài)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性需要考慮各個(gè)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，而且其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性與外作用和初始條件有關(guān)?？偨Y(jié)：3、可能存在自激振蕩現(xiàn)象所謂自激振蕩是指沒(méi)有外界周期變化信號(hào)的作用時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)產(chǎn)生的具有固定振幅和頻率的穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)。范德波爾方程非線性阻尼項(xiàng)12/13/202250電子信息工程學(xué)院對(duì)于線性系統(tǒng)，只有一個(gè)平衡狀態(tài)，而且其穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)當(dāng)擾動(dòng)使時(shí)—系統(tǒng)具有負(fù)阻尼此時(shí)系統(tǒng)從外部獲得能量，的運(yùn)動(dòng)呈發(fā)散形式當(dāng)擾動(dòng)使時(shí)—系統(tǒng)具有正阻尼此時(shí)系統(tǒng)消耗能量，的運(yùn)動(dòng)呈收斂形式當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)為零阻尼，其運(yùn)動(dòng)呈等幅振蕩形式系統(tǒng)能克服擾動(dòng)的影響，保持幅值為1的等幅振蕩——自持振蕩

tc(t)10-1非線性系統(tǒng)的自持振蕩12/13/202251電子信息工程學(xué)院當(dāng)擾動(dòng)使時(shí)—系統(tǒng)具有負(fù)阻尼此時(shí)系統(tǒng)從外4、頻率響應(yīng)發(fā)生畸變非線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)除了含有與輸入同頻率的正弦信號(hào)分量(基頻分量)外，還含有關(guān)于的高次諧波分量，使輸出波形發(fā)生非線性畸變。例：死區(qū)非線性特性三、非線性系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)方法(1)相平面法相平面法是推廣應(yīng)用時(shí)域分析法的一種圖解分析方法。該方法既能提供穩(wěn)定性信息，又能提供時(shí)間響應(yīng)信息，特別適用于分析非線性系統(tǒng)在不同初始條件下或非周期信號(hào)輸入(脈沖、階躍、斜坡等)作用下的瞬態(tài)響應(yīng)特性。但相平面法只限于一階、二階系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)。(2)描述函數(shù)法描述函數(shù)法是基于頻域分析法和非線性特性諧波線性化的一種圖解分析方法。特別適用于分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性或自激振蕩。(3)逆系統(tǒng)法12/13/202252電子信息工程學(xué)院4、頻率響應(yīng)發(fā)生畸變非線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)除了含有與輸常見(jiàn)的本質(zhì)非線性－aak0ue－aak0ue－aak0xe12/13/202253電子信息工程學(xué)院常見(jiàn)的本質(zhì)非線性－aak0ue－aak0ue－aak0xe18.2相平面法一、相平面的基本概念描述二階時(shí)不變系統(tǒng)的常微分方程為是和的線性或非線性函數(shù)——系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的相變量(狀態(tài)變量)

—橫坐標(biāo)—縱坐標(biāo)0相平面（，）直角坐標(biāo)平面稱為相平面

在一定的初始條件下，求解相變量從初始時(shí)刻對(duì)應(yīng)的狀態(tài)點(diǎn)起，隨著時(shí)間的推移，狀態(tài)點(diǎn)在相平面上運(yùn)動(dòng)形成的曲線稱為相軌跡。不同的初始狀態(tài)對(duì)應(yīng)不同的相軌跡—相軌跡簇。12/13/202254電子信息工程學(xué)院8.2相平面法一、相平面的基本概念描述二階時(shí)不變系統(tǒng)的常相平面圖相軌跡簇相平面相平面法——根據(jù)相平面圖分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特征0t1t2t3t4t1t2t3t4t1t2t3t412/13/202255電子信息工程學(xué)院相平面圖相軌跡簇相平面相平面法——根據(jù)相平面圖分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)例8-1某彈簧-質(zhì)量運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)如圖所示，若初始條件為，，試確定系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的相軌跡。描述系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的微分方程式為該系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的相軌跡為以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心、為半徑的圓分離變量積分得：012/13/202256電子信息工程學(xué)院例8-1某彈簧-質(zhì)量運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)如圖所例8-2已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，求零初始條件，單位階躍輸入下系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的相軌跡。-系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)對(duì)單位階躍輸入關(guān)于誤差的微分方程為由給定零初始條件得(1,0)0MP12/13/202257電子信息工程學(xué)院例8-2已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，求二、相軌跡的性質(zhì)：（1）相軌跡上每一點(diǎn)斜率—相軌跡斜率（2）相軌跡的奇點(diǎn)

當(dāng)相軌跡同時(shí)滿足，時(shí)，該點(diǎn)相軌跡的斜率為0/0，是一個(gè)不定值，因此通過(guò)該點(diǎn)的相軌跡就有無(wú)數(shù)多條。同時(shí)滿足，的點(diǎn)稱為奇點(diǎn)。如果在一條線上滿足，則該直線為奇線。12/13/202258電子信息工程學(xué)院二、相軌跡的性質(zhì)：（1）相軌跡上每一點(diǎn)斜率—相軌跡斜率（2）（3）相軌跡正交于軸在軸上，因而除去奇點(diǎn)外，在這些點(diǎn)上的斜率為∞，這表示相軌跡與相平面的橫軸正交。（4）相軌跡的運(yùn)動(dòng)方向在相平面的上半平面，隨著時(shí)間的推移，系統(tǒng)狀態(tài)沿相軌跡的運(yùn)動(dòng)方向是的增大方向，即向右運(yùn)動(dòng)。在相平面的下半平面，隨著時(shí)間的推移，系統(tǒng)狀態(tài)沿相軌跡的運(yùn)動(dòng)方向是的減小方向，即向左運(yùn)動(dòng)。012/13/202259電子信息工程學(xué)院（3）相軌跡正交于軸在軸上，三、相軌跡的繪制方法（1）解析法（2）等傾線法直接由微分方程獲得和的解析關(guān)系式。基本思想：基本思想：先確定相軌跡的等傾線，進(jìn)而繪出相軌跡的切線方向場(chǎng)，然后從初始條件出發(fā)，沿方向場(chǎng)逐步繪制相軌跡。（不需求解微分方程）等傾線：相平面上相軌跡具有相等斜率的點(diǎn)的連線。該方程給出了相軌跡在相平面上任一點(diǎn)處切線的斜率。取相軌跡切線的斜率為某一常數(shù)，得等傾線方程：對(duì)于線性系統(tǒng)，等傾線為直線，非線性系統(tǒng)的等傾線為曲線。12/13/202260電子信息工程學(xué)院三、相軌跡的繪制方法（1）解析法（2）等傾線法直接由微分方試用等傾線法繪制二階系統(tǒng)的相軌跡圖。例8-3—等傾線方程，

設(shè)，等傾線方程為—過(guò)原點(diǎn)，斜率的直線據(jù)此，求得取不同值時(shí)的等傾線：當(dāng)取不同的值時(shí)，就得到不同斜率的等傾線，在每一條等傾線上作一系列相應(yīng)斜率為的短線段。12/13/202261電子信息工程學(xué)院試用等傾線法繪制二階系統(tǒng)的相軌跡圖。例8-3—等傾線方程，（3）法（圓弧近似法）在繪制相軌跡時(shí)，只要從初始點(diǎn)出發(fā)，沿著方向場(chǎng)依次連接各等傾線上的短線段。就得到系統(tǒng)在確定初始條件下的完整的相軌跡。由圖可見(jiàn)，由任何初始狀態(tài)出發(fā)的相軌跡是一卷向坐標(biāo)原點(diǎn)的螺旋線。使用等傾線法繪制相軌跡應(yīng)注意：坐標(biāo)軸小和應(yīng)選用相同的比例尺，以便于根據(jù)等傾線斜率準(zhǔn)確繪制等傾線上一點(diǎn)的相軌跡切線；一般地，等傾線分布越密，則所作的相軌跡越準(zhǔn)確。但隨所取等傾線的增加，繪圖工作量增加，同時(shí)也使作圖產(chǎn)生的積累誤差增大。為提高作圖精度，可采用平均斜率法，即取相鄰兩條等傾線所對(duì)應(yīng)的斜率的平均值為兩條等傾線間直線的斜率。12/13/202262電子信息工程學(xué)院（3）法（圓弧近似法）在繪制相軌跡時(shí)，四、線性系統(tǒng)的相軌跡一階線性系統(tǒng)一階線性系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的微分方程：T<0T>0穩(wěn)定不穩(wěn)定12/13/202263電子信息工程學(xué)院四、線性系統(tǒng)的相軌跡一階線性系統(tǒng)一階線性系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的微分方二階線性系統(tǒng)二階線性系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的微分方程：對(duì)應(yīng)的特征方程的特征根求其等傾線方程：令等傾線方程等傾線斜率為：兩條特殊的等傾線：等傾線斜率＝過(guò)等傾線的相軌跡的斜率當(dāng)相軌跡運(yùn)動(dòng)至特殊的等傾線時(shí)，將沿著等傾線收斂或發(fā)散——漸近線12/13/202264電子信息工程學(xué)院二階線性系統(tǒng)二階線性系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的微分方程：對(duì)應(yīng)的特征方程的兩條特殊的等傾線斜率滿足：——二階線性系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的微分方程所對(duì)應(yīng)的特征方程的特征根1、12/13/202265電子信息工程學(xué)院兩條特殊的等傾線斜率滿足：——二階線性系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的微分方程2、—奇線發(fā)散收斂12/13/202266電子信息工程學(xué)院2、—奇線發(fā)散收斂12/12/202223電子信息工程學(xué)院3、取（1）0相軌跡是以振蕩的方式卷向平衡點(diǎn)（2）兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)根相軌跡是以非振蕩的方式趨向平衡點(diǎn)12/13/202267電子信息工程學(xué)院3、取（1）0相軌跡是以振蕩的方式卷向平衡點(diǎn)（2）兩個(gè)相等的（3）兩個(gè)互異的負(fù)實(shí)根相軌跡是以非振蕩的方式趨向平衡點(diǎn)（4）一對(duì)純虛根0相軌跡為等幅振蕩12/13/202268電子信息工程學(xué)院（3）兩個(gè)互異的負(fù)實(shí)根相軌跡是以非振蕩的方式趨向平衡點(diǎn)（4）（5）0（6）12/13/202269電子信息工程學(xué)院（5）0（6）12/12/202226電子信息工程學(xué)院（6）總結(jié)：12/13/202270電子信息工程學(xué)院（6）總結(jié)：12/12/202227電子信息工程學(xué)院3、奇點(diǎn)與極限環(huán)（1）奇點(diǎn)同時(shí)滿足，的點(diǎn)稱為奇點(diǎn)。12/13/202271電子信息工程學(xué)院3、奇點(diǎn)與極限環(huán)（1）奇點(diǎn)同時(shí)滿足c&cwjawjac&c0wjac&c0wjac&cwjac&c0wjac&c穩(wěn)定焦點(diǎn)不穩(wěn)定焦點(diǎn)穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)中心點(diǎn)鞍點(diǎn)12/13/202272電子信息工程學(xué)院c&cwjawjac&c0wjac&c0wjac&cwjac00盡量增大此類極限環(huán)的尺寸盡量減小此類極限環(huán)的尺寸穩(wěn)定的極限環(huán)不穩(wěn)定的極限環(huán)12/13/202273電子信息工程學(xué)院00盡量增大此類極限環(huán)的尺寸盡量減小此類極限環(huán)的尺寸穩(wěn)定的極00盡量增大此類極限環(huán)的尺寸盡量避免此類極限環(huán)的存在半穩(wěn)定的極限環(huán)半穩(wěn)定的極限環(huán)12/13/202274電子信息工程學(xué)院00盡量增大此類極限環(huán)的尺寸盡量避免此類極限環(huán)的存在半穩(wěn)定的非線性系統(tǒng)的相平面分析（針對(duì)于本質(zhì)非線性）基本思想：分段線性化非線性系統(tǒng)分區(qū)線性系統(tǒng)相軌跡開(kāi)關(guān)線-M－M繼電型非線性元件特性開(kāi)關(guān)線：Ⅱ區(qū)Ⅰ區(qū)繼電型非線性系統(tǒng)的分析例8-412/13/202275電子信息工程學(xué)院非線性系統(tǒng)的相平面分析（針對(duì)于本質(zhì)非線性）基本思想：分段線設(shè)在Ⅰ區(qū)內(nèi)

系統(tǒng)誤差方程為由令等傾線方程顯然等傾線是平行于軸的一族直線，因此相軌跡是沿水平方向平移的一族曲線。漸近線：令Ⅱ區(qū)Ⅰ區(qū)12/13/202276電子信息工程學(xué)院設(shè)在Ⅰ區(qū)內(nèi)系統(tǒng)誤差方程為由令等傾線方程顯然等傾線是平行在Ⅱ區(qū)內(nèi)

系統(tǒng)誤差方程為兩個(gè)區(qū)域的相平面圖關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱等傾線方程漸近線：Ⅱ區(qū)Ⅰ區(qū)12/13/202277電子信息工程學(xué)院在Ⅱ區(qū)內(nèi)系統(tǒng)誤差方程為兩個(gè)區(qū)域的相平面圖關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱等初始狀態(tài)(1，0)Ⅱ區(qū)Ⅰ區(qū)ABCD由A點(diǎn)開(kāi)始，沿相軌跡曲線Ⅰ運(yùn)動(dòng)到開(kāi)關(guān)線上的銜接點(diǎn)B；進(jìn)入Ⅱ區(qū)，再?gòu)腂點(diǎn)開(kāi)始沿相軌跡曲線Ⅱ運(yùn)動(dòng)到分界線上的銜接點(diǎn)C；然后再進(jìn)入I區(qū)，如此往復(fù)……