江蘇省2022-2023學年高三上學期大聯考數學試題含答案

江蘇省2023屆高三年級大聯考數學本試卷共6頁，22小題，滿分150分．考試時間120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上．將條形碼橫貼在答題卡“條形碼粘貼處”．2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答無效．4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結束后，將試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設全集，集合，，則（）A. B. C.或 D.或2.設復數的共軛復數為，已知，則（）A.7 B.5 C.3 D.3.設，則“”是“”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.某人在湖面之上5米處測得空中一氣球的仰角為，而湖中氣球倒影的俯角為，若不考慮水的折射，則氣球離水面的高度（單位：米）為（）A. B. C. D.5.函數的圖像可能是（）A. B.C D.6.把函數圖象上所有點向左平移個單位，得到函數的圖象.若的圖象關于直線對稱，則函數的最小值為（）A. B. C. D.07.已知，，，則（）A. B. C. D.8.設函數，的最小值為，則的最大值為（）A. B.0 C.1 D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知，，則（）A B. C. D.10.已知函數的最大值為2，且，則（）A.B.的圖象關于直線對稱C.的圖象關于點中心對稱D.將的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼囊话?，得到的圖象11.已知，，，則（）A.的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最大值為12.19世紀，德國數學家狄利克雷（，1805-1859）引入現代函數，他還給出了一個定義在實數集R上的函數稱為狄利克雷函數，則（）A.B.C.若有理數，，則D.存在三個點，，，使得為正三角形三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.曲線在點（，2）處的切線方程是________．14若，則_______．15.在銳角中，內角所對的邊分別為．若，，則的取值范圍為_____________；的最大值為__________．16.已知函數，，用max{m，n}表示m，n中的最大值，設．若在上恒成立，則實數a的取值范圍為_____四、解答題；本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.設函數．（1）若，求在上的零點；（2）求函數的最大值．18.已知函數．（1）證明有且僅有兩條經過原點的直線與曲線相切；（2）記（1）中兩條切線為，，設，與曲線異于原點的公共點分別為．若，求的值．19.在中，內角，，所對的邊分別為，，，，點在邊上，．（1）若，求；（2）若，求．20.在中，，點，分別在，邊上．（1）若，，求面積的最大值；（2）設四邊形的外接圓半徑為，若，且的最大值為，求的值．21.已知，函數．（1）證明存唯一極大值點；（2）若存在，使得對任意成立，求的取值范圍．22.已知函數．（1）討論函數的單調性；（2）設，是函數的兩個零點，證明：．

2023屆高三年級大聯考數學本試卷共6頁，22小題，滿分150分．考試時間120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上．將條形碼橫貼在答題卡“條形碼粘貼處”．2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答無效．4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結束后，將試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設全集，集合，，則（）A. B. C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】先求出，再求其補集.【詳解】，，，或.故選：D.2.設復數的共軛復數為，已知，則（）A.7 B.5 C.3 D.【答案】B【解析】【分析】根據復數的除法運算求出復數，再根據共軛復數及復數的乘法運算即可得解.【詳解】解：由，得，則，所以.故選：B.3.設，則“”是“”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【詳解】分析：由題意首先求解三角不等式，然后結合題意確定“”與“”的充分性和必要性即可.詳解：求解絕對值不等式可得，若，則，當時，，據此可得：“”是“”的充分而不必要條件.故選：A4.某人在湖面之上5米處測得空中一氣球仰角為，而湖中氣球倒影的俯角為，若不考慮水的折射，則氣球離水面的高度（單位：米）為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】結合題意作出示意圖，利用直角三角形中正切函數的定義得到關于氣球離水面的高度的方程，解之即可.【詳解】結合題意作出示意圖，易知點與點關于湖面對稱，則，，故，在中，，即，在中，，，故，即，故，所以氣球離水面的高度為.故選：C..5.函數的圖像可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據函數奇偶性的定義，求得函數為奇函數，圖象關于原點對稱，再結合，即可求解.【詳解】由題意，函數定義域為，且，所以函數為奇函數，圖象關于原點對稱，排除B.又當時，，所以，故排除CD.故選：A6.把函數圖象上所有點向左平移個單位，得到函數的圖象.若的圖象關于直線對稱，則函數的最小值為（）A. B. C. D.0【答案】A【解析】【分析】根據平移變換及正弦函數的對稱性求出，再根據余弦函數的性質結合整體思想即可得解.【詳解】解：函數圖象上所有點向左平移個單位，得到函數，因為的圖象關于直線對稱，所以，又，所以，則，因為，所以，故，所以.故選：A.7.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】構造函數，由易得；構造函數，由導數與函數的單調性求得的單調性，從而證得；由此可得.【詳解】令，所以時，，因為，即，所以，故，即，令，則，顯然在單調遞增，令，得，故在上單調遞增，因為，故，則，故在上單調遞增，則，即，即，故，綜上：.故選：A.8.設函數，的最小值為，則的最大值為（）A. B.0 C.1 D.【答案】C【解析】【分析】對分類討論求出，再分類討論求出的最大值.【詳解】設，不妨設，所以，所以，所以，當時，函數在上單調遞減，所以.當時，函數在上單調遞減，在單調遞增，所以.所以.當時，，所以，所以所以在單調遞減，所以，所以在單調遞增，所以.所以的最大值為1.當時，，在單調遞減，沒有最大值，所以的最大值為1.故選：C【點睛】關鍵點睛：本題解題的關鍵有兩個，其一是分類討論求出，其二是分類討論求出的最大值.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9已知，，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據不等式的性質結合指數函數和對數函數的單調性逐一分析判斷即可.【詳解】解：因為，所以，又，所以，故A正確；當時，，當時，，故B錯誤；由，得，所以，故C正確；由，，得，則，所以，故D正確.故選：ACD.10.已知函數的最大值為2，且，則（）A.B.的圖象關于直線對稱C.的圖象關于點中心對稱D.將的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼囊话耄玫降膱D象【答案】AC【解析】【分析】利用輔助角公式結合已知求出，即可判斷A，再根據正弦函數的對稱性代入檢驗即可判斷BC，根據周期變換的原則即可判斷D.【詳解】解：，（其中），因為函數的最大值為2，所以，解得（舍去），故A正確；則，因為，所以的圖象關于點中心對稱，故B錯誤；因為，所以的圖象關于點中心對稱，故C正確；將的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼囊话?，得到函數，而，故D錯誤.故選：AC.11.已知，，，則（）A.的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最大值為【答案】BC【解析】【分析】利用基本不等式及其變形可分析AC選項，由二次函數求最值可判斷B，可用三角換元來分析D選項【詳解】對于A選項，由基本不等式得，整理得，當且僅當，即，時，的最大值為，所以A錯誤.對于B選項，，得，，當時，的最小值為，所以B正確.對于C選項，，當且僅當，時的最小值為，所以C正確.對于D選項，令，，由，，可知，，得，，由題意得，設，，，，，，所以D錯誤.故選：BC12.19世紀，德國數學家狄利克雷（，1805-1859）引入現代函數，他還給出了一個定義在實數集R上的函數稱為狄利克雷函數，則（）A.B.C.若有理數，，則D.存在三個點，，，使得為正三角形【答案】BCD【解析】【分析】根據狄利克雷函數的定義結合分段函數的性質，分別討論為有理數和無理數，依次判斷各個選項，即可得解.【詳解】對于A，是無理數，若為有理數，是無理數，則；若為無理數，有可能為有理數，如，此時，故A錯誤；對于B，當為有理數，為有理數，則；當為無理數，為無理數，則，故B正確；對于C，為有理數，若為有理數，則是有理數，則；若為無理數，是無理數，則，故C正確；對于D，存在三個點且為有理數，則，，是邊長為的等邊三角形，故D正確；故選：BCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.曲線在點（，2）處的切線方程是________．【答案】【解析】【分析】求導，利用導數的幾何意義求出切線方程的斜率，進而求出切線方程.【詳解】，所以，故在點（，2）處的切線方程為，即.故答案為：14.若，則_______．【答案】【解析】【分析】利用切化弦、二倍角公式可推導得到，由此可化簡所求式子為，利用二倍角正切公式可求得結果.【詳解】，，，原式.故答案為：.15.在銳角中，內角所對的邊分別為．若，，則的取值范圍為_____________；的最大值為__________．【答案】①.②.##【解析】【分析】利用正弦定理可得，結合三角恒等變換知識及的范圍可化簡得到，由的范圍可求得的范圍，進而得到的范圍；利用兩角和差正弦公式、二倍角和輔助角公式可化簡得到，根據正弦型函數最值的求法可求得結果.【詳解】由正弦定理得：；，為銳角三角形，，，，，，，，即的取值范圍為；；，，，當時，取得最大值.故答案為：；.16.已知函數，，用max{m，n}表示m，n中的最大值，設．若在上恒成立，則實數a的取值范圍為_____【答案】【解析】【分析】分別討論當時，與的關系，可將問題轉化為在上恒成立，運用參數分離和構造函數法，結合導數求得最大值，可得所求范圍．【詳解】當時，，當時，，所以在必成立，問題轉化為在恒成立，由恒成立，可得在恒成立，設，則，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，故a的取值范圍是.故答案為：【點睛】本題考查利用導數研究不等式恒成立的問題，考查學生的邏輯推理能力、數學運算能力，是一道有一定難度的壓軸填空題.四、解答題；本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.設函數．（1）若，求在上的零點；（2）求函數的最大值．【答案】（1）（2）當時，；當時，【解析】【分析】（1）利用誘導公式及二倍角的余弦公式化簡，再解關于的一元二次方程即可；（2）利用誘導公式及二倍角的余弦公式化簡，再結合二次函數的性質分類討論，從而可得出答案.【小問1詳解】解：若，，令，解得（舍去），又因，所以，所以在上零點為；【小問2詳解】解：令，則，當時，，則，當時，函數的對稱軸為，若，則在上遞減，所以，若，即時，，若，即時，，綜上所述，當時，；當時，.18.已知函數．（1）證明有且僅有兩條經過原點的直線與曲線相切；（2）記（1）中兩條切線為，，設，與曲線異于原點的公共點分別為．若，求的值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）設出切點，結合導數的幾何意義求出有兩個不同的切點即可證明；（2）先求出兩條切線的方程，聯立曲線方程，求出交點，結合向量夾角公式可求答案.【小問1詳解】證明：，設過原點的直線與曲線相切于點，則，整理得，即或；所以有且僅有兩條經過原點的直線與曲線相切.【小問2詳解】當時，，由（1）知切點為，；兩條切線方程分別為：，即；聯立方程，得和（舍），可得；同理可求，，，，所以.19.在中，內角，，所對的邊分別為，，，，點在邊上，．（1）若，求；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中和在中，分別利用正弦定理求出，再結合已知即可得解；（2）在中，利用余弦定理求出，在中，再次利用余弦定理即可得解.【小問1詳解】解：在中，由，得，在中，由，得，則，因為，所以，又，所以，因為，所以，所以；【小問2詳解】解：在中，，，即，解得（舍去），在中，，則，所以，即.20.在中，，點，分別在，邊上．（1）若，，求面積的最大值；（2）設四邊形的外接圓半徑為，若，且的最大值為，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理及基本不等式求得的最大值為1，再利用面積公式即可求解；（2）由四邊形存在外接圓，知四邊形為等腰梯形，連接，設，，利用正弦定理，表示，進而利用基本不等式求解.【小問1詳解】由已知，在中，利用余弦定理知，結合基本不等式有，當且僅當時，等號成立，即的最大值為1，所以面積的最大值為【小問2詳解】四邊形存在外接圓，又，，，，所以四邊形為等腰梯形，連接，設，，在中，由正弦定理得，，，同理，在中，由正弦定理得，，所以，，，當且僅當，即，，當且僅當時，等號成立，即，即21.已知，函數．（1）證明存在唯一極大值點；（2）若存在，使得對任意成立，求的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）求導，再對求導，判斷其單調性，然后結合零點存在性定理進而可知有唯一零點，結合極值點定義可證得結論；（2）題目轉化為，構造，利用導數研究函數的單調性，求其最值，即可得解.【小問1詳解】函數，求導，令，則又，，在上單調遞減，當時，，當時，，故存在，使得當，，故函數在上單調遞增，當，，故函數在上單調遞減，所以存在唯一極大值點；【小問2詳解】由題知，存在，使得對任