隨機(jī)積分與Ito定理課件

-B2aMkgsaaaa第八章隨機(jī)積分一Ito積分第一節(jié)引言冷第二節(jié)Ito積分的理論第三節(jié)Ito積分的特征第四節(jié)Ito定理及應(yīng)用第五節(jié)更復(fù)雜情況下的Ito公式-B2aMkgsaaaa1第一節(jié)引言一、Io積分的導(dǎo)出在物理現(xiàn)象中是用微分方程來描述其模型,而建立微分方程是從導(dǎo)數(shù)定義出發(fā)。并可根據(jù)微分與積分的關(guān)系,建立相應(yīng)的積分方程。但在隨機(jī)環(huán)境中,由于不可預(yù)測(cè)的“消息”不斷出現(xiàn),并且表示現(xiàn)象動(dòng)態(tài)性的等式是這些噪音的函數(shù),這就無法定義一個(gè)有效的導(dǎo)數(shù),建立一個(gè)微分方程。然而,在某些條件下可以定義一個(gè)積分Ito積分,建立積分方程。首頁(yè)第一節(jié)引言2前面討論的隨機(jī)微分等式,其中的項(xiàng)dS,、aW都只是近似討論,而沒給出精確的解釋。但如果給出Ito積分的定義,反過來才能更確切地討論。即若用微分方程ds,=a(S,,t)dt+o(S,,t)dw代表資產(chǎn)價(jià)格S,的動(dòng)態(tài)行為,那么能否對(duì)兩邊取積分,即dsa(S,,u)du+o(s,,u)dw也就是說,是否等式右邊第二項(xiàng)的積分有意義?為解釋此項(xiàng)積分的含義,需引進(jìn)Ito積分首頁(yè)前面討論的隨機(jī)微分等式,其中的項(xiàng)dS,、aW3也就是說,一旦定義o積分,則上積分等式才有意義即有a(S,u)d+(o(S,)lW首頁(yè)其中h為一定的時(shí)間間隔。若a(S,)和G(S,u)是S和u的平滑函數(shù),即當(dāng)h很小,它們?cè)趌∈[t,t+h內(nèi)變化都不大則上等式改寫為t+hs,a(s,,du+o(s,,t)Sh-S=a(S,,t)h+o(S,,t)[W,h-W,As,=a(s,,t)h+o(s,,,t)Aw這正是在固定間隔下的隨機(jī)微分方程表示式也就是說,一旦定義o積分,則上積分等式才有意義4此表示式為一近似式,其精確公式為a(s,,t)dt+o(s,,t)dw、Ito積分的重要性首先隨機(jī)微分方程只能根據(jù)Io積分方程來定義,要理解隨機(jī)微分方程的真正含義,必須首先理解Ito積分。其次在實(shí)際運(yùn)用當(dāng)中,經(jīng)常先用固定的時(shí)間間隔,得出隨機(jī)微分方程的近似值,然后再通過Ito積分就可以給出近似值的精確形式。首頁(yè)返回此表示式為一近似式,其精確公式為5第二節(jié)Ito積分的理論Ito積分是用來定義隨時(shí)間的變化無法統(tǒng)計(jì)和不可預(yù)測(cè)的隨機(jī)增量的總和一、Ito積分的定義布朗運(yùn)動(dòng)維納過程{W(t),t≥0E[W(t)=0首頁(yè)ar[W(t)-W(s)It-sR(S,t)=σ-min(s,t)W(t)標(biāo)準(zhǔn)布朗果≠1(t)/σ運(yùn)動(dòng)第二節(jié)Ito積分的理論6定義1設(shè){X(t)t∈[a,b]為二階矩過程,0≤a<bW(t)是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)滿足R(s,t)=min(s,t)Var[W(t)-W(s)l=對(duì)[ab]的一組分點(diǎn)a=t0<t1<…<tn=b△n=max(tk-tk1≤k≤n作和式1n=∑X(1)W(2)-W(1)如果均方極限1..m,存在則稱此極限為X(1)關(guān)于W(t)的Io積分記為(D)「X()dw(t)首頁(yè)定義1設(shè){X(t)t∈[a,b]為二階矩過程,0≤a<b7注意在定義中不能按通常的黎曼積分那樣作和式即y=∑X((,)=W(2)原因是當(dāng)t在[411中任意選擇時(shí),yn的均方極限將不存在所以這里取固定的左端點(diǎn)。定理1設(shè)X(1)均方連續(xù),且對(duì)任意s1s2≤141<1及S1<S2≤t1(X(S1),X(s2)W(s2)-W(s1)與W(t)-W(t-1)相互獨(dú)立則X(t)關(guān)于W()的Io積分存在且唯首頁(yè)注意在定義中不能按通常的黎曼積分那樣作和式8定理2設(shè){W(1),t≥0}是維納過程To<Ib對(duì)[a,b]的一組分點(diǎn):max1.im2(W(tk)-W(t&))=(b-a證令A(yù)W=W(,)-W(2)△2E∑AW-(b-a)=E∑(△W2-△(k)k=1∑E(△W-4)2+∑E[(△W2-△)(△W2-△,)k=1∑E(△W-2△W2△1+△2)首頁(yè)定理2設(shè){W(1),t≥0}是維納過程9∑(△NW1-E12AW2A1+E△,1DL首頁(yè)=∑(3△12-2△t,+△2∑Atk≤2A△tk=2△n(b-a)0>0因?yàn)椤鱓(t)~N(O,△)+0E[AW(tK)]dre-atk2丌^tzai'ed3AlElnw(t)t∑(△NW1-E12AW2A1+E△,1DL首頁(yè)10隨機(jī)積分與Ito定理課件11隨機(jī)積分與Ito定理課件12隨機(jī)積分與Ito定理課件13隨機(jī)積分與Ito定理課件14隨機(jī)積分與Ito定理課件15隨機(jī)積分與Ito定理課件16隨機(jī)積分與Ito定理課件17隨機(jī)積分與Ito定理課件18隨機(jī)積分與Ito定理課件19隨機(jī)積分與Ito定理課件20隨機(jī)積分與Ito定理課件21隨機(jī)積分與Ito定理課件22隨機(jī)積分與Ito定理課件23隨機(jī)積分與Ito定理課件24隨機(jī)積分與Ito定理課件25隨機(jī)積分與Ito定理課件26隨機(jī)積分與Ito定理課件27隨機(jī)積分與Ito定理課件28隨機(jī)積分與Ito定理課件29隨機(jī)積分與Ito定理課件30隨機(jī)積分與Ito定理課件31隨機(jī)積分與Ito定理課件32隨機(jī)積分與Ito定理課件33隨機(jī)積分與Ito定理課件34隨機(jī)積分與Ito定理課件35隨機(jī)積分與Ito定理課件36隨機(jī)積分與Ito定理課件37隨機(jī)積分與Ito定理課件38隨機(jī)積分與Ito定理課件39隨機(jī)積分與Ito定理課件40隨機(jī)積分與Ito定理課件41隨機(jī)積分與Ito定理課件42隨機(jī)積分與Ito定理課件43隨機(jī)積分與Ito定理課件44隨機(jī)積分與Ito定理課件45隨機(jī)積分與Ito定理課件46隨機(jī)積分與Ito定理課件47隨機(jī)積分與Ito定理課件48隨機(jī)積分與Ito定理課件49隨機(jī)積分與Ito定理課件50隨機(jī)積分與Ito定理課件51隨機(jī)積分與Ito定理課件52隨機(jī)積分與Ito定理課件53隨機(jī)積分與Ito定理課件54隨機(jī)積分與Ito定理課件55隨機(jī)積分與Ito定理課件56隨機(jī)積分與Ito定理課件57隨機(jī)積分與Ito定理課件58隨機(jī)積分與Ito定理課件59隨機(jī)積分與Ito定理課件60隨機(jī)積分與Ito定理課件61隨機(jī)積分與Ito定理課件62-B2aMkgsaaaa第八章隨機(jī)積分一Ito積分第一節(jié)引言冷第二節(jié)Ito積分的理論第三節(jié)Ito積分的特征第四節(jié)Ito定理及應(yīng)用第五節(jié)更復(fù)雜情況下的Ito公式-B2aMkgsaaaa63第一節(jié)引言一、Io積分的導(dǎo)出在物理現(xiàn)象中是用微分方程來描述其模型,而建立微分方程是從導(dǎo)數(shù)定義出發(fā)。并可根據(jù)微分與積分的關(guān)系,建立相應(yīng)的積分方程。但在隨機(jī)環(huán)境中,由于不可預(yù)測(cè)的“消息”不斷出現(xiàn),并且表示現(xiàn)象動(dòng)態(tài)性的等式是這些噪音的函數(shù),這就無法定義一個(gè)有效的導(dǎo)數(shù),建立一個(gè)微分方程。然而,在某些條件下可以定義一個(gè)積分Ito積分,建立積分方程。首頁(yè)第一節(jié)引言64前面討論的隨機(jī)微分等式,其中的項(xiàng)dS,、aW都只是近似討論,而沒給出精確的解釋。但如果給出Ito積分的定義,反過來才能更確切地討論。即若用微分方程ds,=a(S,,t)dt+o(S,,t)dw代表資產(chǎn)價(jià)格S,的動(dòng)態(tài)行為,那么能否對(duì)兩邊取積分,即dsa(S,,u)du+o(s,,u)dw也就是說,是否等式右邊第二項(xiàng)的積分有意義?為解釋此項(xiàng)積分的含義,需引進(jìn)Ito積分首頁(yè)前面討論的隨機(jī)微分等式,其中的項(xiàng)dS,、aW65也就是說,一旦定義o積分,則上積分等式才有意義即有a(S,u)d+(o(S,)lW首頁(yè)其中h為一定的時(shí)間間隔。若a(S,)和G(S,u)是S和u的平滑函數(shù),即當(dāng)h很小,它們?cè)趌∈[t,t+h內(nèi)變化都不大則上等式改寫為t+hs,a(s,,du+o(s,,t)Sh-S=a(S,,t)h+o(S,,t)[W,h-W,As,=a(s,,t)h+o(s,,,t)Aw這正是在固定間隔下的隨機(jī)微分方程表示式也就是說,一旦定義o積分,則上積分等式才有意義66此表示式為一近似式,其精確公式為a(s,,t)dt+o(s,,t)dw、Ito積分的重要性首先隨機(jī)微分方程只能根據(jù)Io積分方程來定義,要理解隨機(jī)微分方程的真正含義,必須首先理解Ito積分。其次在實(shí)際運(yùn)用當(dāng)中,經(jīng)常先用固定的時(shí)間間隔,得出隨機(jī)微分方程的近似值,然后再通過Ito積分就可以給出近似值的精確形式。首頁(yè)返回此表示式為一近似式,其精確公式為67第二節(jié)Ito積分的理論Ito積分是用來定義隨時(shí)間的變化無法統(tǒng)計(jì)和不可預(yù)測(cè)的隨機(jī)增量的總和一、Ito積分的定義布朗運(yùn)動(dòng)維納過程{W(t),t≥0E[W(t)=0首頁(yè)ar[W(t)-W(s)It-sR(S,t)=σ-min(s,t)W(t)標(biāo)準(zhǔn)布朗果≠1(t)/σ運(yùn)動(dòng)第二節(jié)Ito積分的理論68定義1設(shè){X(t)t∈[a,b]為二階矩過程,0≤a<bW(t)是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)滿足R(s,t)=min(s,t)Var[W(t)-W(s)l=對(duì)[ab]的一組分點(diǎn)a=t0<t1<…<tn=b△n=max(tk-tk1≤k≤n作和式1n=∑X(1)W(2)-W(1)如果均方極限1..m,存在則稱此極限為X(1)關(guān)于W(t)的Io積分記為(D)「X()dw(t)首頁(yè)定義1設(shè){X(t)t∈[a,b]為二階矩過程,0≤a<b69注意在定義中不能按通常的黎曼積分那樣作和式即y=∑X((,)=W(2)原因是當(dāng)t在[411中任意選擇時(shí),yn的均方極限將不存在所以這里取固定的左端點(diǎn)。定理1設(shè)X(1)均方連續(xù),且對(duì)任意s1s2≤141<1及S1<S2≤t1(X(S1),X(s2)W(s2)-W(s1)與W(t)-W(t-1)相互獨(dú)立則X(t)關(guān)于W()的Io積分存在且唯首頁(yè)注意在定義中不能按通常的黎曼積分那樣作和式70定理2設(shè){W(1),t≥0}是維納過程To<Ib對(duì)[a,b]的一組分點(diǎn):max1.im2(W(tk)-W(t&))=(b-a證令A(yù)W=W(,)-W(2)△2E∑AW-(b-a)=E∑(△W2-△(k)k=1∑E(△W-4)2+∑E[(△W2-△)(△W2-△,)k=1∑E(△W-2△W2△1+△2)首頁(yè)定理2設(shè){W(1),t≥0}是維納過程71∑(△NW1-E12AW2A1+E△,1DL首頁(yè)=∑(3△12-2△t,+△2∑Atk≤2A△tk=2△n(b-a)0>0因?yàn)椤鱓(t)~N(O,△)+0E[AW(tK)]dre-atk2丌^tzai'ed3AlElnw(t)t∑(△NW1-E12AW2A1+E△,1DL首頁(yè)72隨機(jī)積分與Ito定理課件73隨機(jī)積分與Ito定理課件74隨機(jī)積分與Ito定理課件75隨機(jī)積分與Ito定理課件76隨機(jī)積分與Ito定理課件77隨機(jī)積分與Ito定理課件78隨機(jī)積分與Ito定理課件79隨機(jī)積分與Ito定理課件80隨機(jī)積分與Ito定理課件81隨機(jī)積分與Ito定理課件82隨機(jī)積分與Ito定理課件83隨機(jī)積分與Ito定理課件84隨機(jī)積分與Ito定理課件85隨機(jī)積分與Ito定理課件86隨機(jī)積分與Ito定理課件87隨機(jī)積分與Ito定理課件88隨機(jī)積分與Ito定理課件89隨機(jī)積分與Ito定理課件90隨機(jī)積分與Ito定理課件91隨機(jī)積分與Ito定理課件92隨機(jī)積分與Ito定理課件93隨機(jī)積分與Ito定理課件94隨機(jī)積分與Ito定理課件95隨機(jī)積分與Ito定理課件96隨機(jī)積分與Ito定理課件97隨機(jī)積分與Ito定理課件98隨機(jī)積分與Ito定理課件99隨機(jī)積分與Ito定理課件100隨機(jī)積分與Ito定理課件101隨機(jī)積分與Ito定理課件102隨機(jī)積分與Ito定理課件103隨機(jī)積分與Ito定理課件104隨機(jī)積分與Ito定理課件105隨機(jī)積分與Ito定理課件106隨機(jī)積分與Ito定理課件107隨機(jī)積分與Ito定理課件1