概率統(tǒng)計學-隨機變量及其分布

第二章隨機變量及其分布

為了更好的揭示隨機現(xiàn)象的規(guī)律性并利用數(shù)學工具描述其規(guī)律，引入隨機變量來描述隨機試驗的不同結(jié)果例

拋擲一枚硬幣可能出現(xiàn)的兩個結(jié)果，也可以用一個變量來描述例電話總機某段時間內(nèi)接到的電話次數(shù)，可用一個變量X

來描述1§2.1隨機變量的概念定義設E是一隨機試驗，Ω是它的樣本空間，則稱Ω上的單值實值函數(shù)X()為隨機變量若

隨機變量的概念2隨機變量是上的映射，這個映射具有如下的特點：定義域:

Ω

隨機性

:隨機變量X

的可能取值不止一個，試驗前只能預知它的可能的取值但不能預知取哪個值概率特性:X

以一定的概率取某個值或某些值3隨機變量的分類離散型隨機變量非離散型隨機變量—其中一種重要的類型為

連續(xù)性隨機變量

任何隨機現(xiàn)象可被隨機變量描述

借助微積分方法深入討論引入隨機變量重要意義4隨機變量的分布函數(shù)5定義設X為隨機變量,對每個實數(shù)x,隨機事件的概率定義了一個x的實值函數(shù)，稱為隨機變量X

的分布函數(shù)，記為F(x),即分布函數(shù)的性質(zhì)6

F(x)單調(diào)不減，即（為什么）且

F(x)右連續(xù)，即（]ab]]（]7利用分布函數(shù)可以計算例8設

隨機變量

X的分布函數(shù)：計算解§2.3離散型隨機變量及其概率分布定義若隨機變量X

的可能取值是有限多個或無窮可列多個，則稱X

為離散型隨機變量描述離散型隨機變量的概率特性常用它的概率分布或分布律，即離散型隨機變量的概念10概率分布的性質(zhì)11

F(x)是分段階梯函數(shù)，在X

的可能取值

xk處發(fā)生間斷，間斷點為第一類跳躍間斷點，在間斷點處有躍度

pk離散型隨機變量的分布函數(shù)12?1?2??k?k+1?o?1?o?o?oF(X)13例設一汽車在開往目的地的途中需經(jīng)過4盞信號燈，每盞信號燈獨立地以概率p允許汽車通過。令

X

表示首次停下時已通過的信號燈的盞數(shù)，求X

的概率分布與p=0.4時的分布函數(shù)。出發(fā)地目的地解14?0?1?2?3?4xx]]]?]??kpk012340.60.4*0.60.42*0.60.43*0.60.4415?0?1?2?3?4xF(x)o?o?1?o?o?o16概率分布或分布函數(shù)可用來計算有關(guān)事件的概率例在上例中，分別用概率分布與分布函數(shù)計算下述事件的概率：1718Poisson定理說明：若X~B(n,p),則當n

較大，p

較小，而適中，則可以用近似公式(2)二項分布背景：n

重Bernoulli試驗中，每次試驗感興趣的事件A

在n次試驗中發(fā)生的次數(shù)——X是一離散型隨機變量若P(A)=p,則二項分布的取值情況設.039.156.273.273.179.068.017.0024.00000123456780.273?由圖表可見,當

時，分布取得最大值此時的稱為最可能成功次數(shù)xP?0?1?2?3?4?5?6?7?820設.01.06.14.21.22.18.11.06.02.01.002<.00101234567891011~20??xP?????1?3?5?7?9????0?2?4?6?8?10?20由圖表可見,當時，分布取得最大值0.22

?21

二項分布中最可能出現(xiàn)次數(shù)則稱為最可能出現(xiàn)的次數(shù)22當(n+1)p=整數(shù)時，在k=[(n+1)p]與

[(n+1)p]–1處的概率取得最大值對固定的n、p,P(X=k)的取值呈不對稱分布；固定p,隨著

n

的增大，其取值的分布趨于對稱23例獨立射擊5000次，每次的命中率為0.001,求(1)最可能命中次數(shù)及相應的概率；

(2)命中次數(shù)不少于2次的概率.(2)令X表示命中次數(shù)，則X~B(5000,0.001)解

(1)

k=[(n+1)p]=[(5000+1)0.001]=524其中通過MatLab計算：cdf('bino',1,5000,0.001)=0.0404或計算和：pdf('bino',1,5000,0.001)=0.0336cdf('bino',0,5000,0.001)=0.0067Possion定理則對固定的

k設Poisson定理說明：若X~B(n,p),則當n

較大，p

較小，而適中，則可以用近似公式26解令X表示命中次數(shù)，則X~B(5000,0.001)令利用Poisson定理再求例

(2)27此結(jié)果也可通過MatLab計算Poisson分布pdf('poiss',0,5)=0.0067pdf('poiss',1,5)=0.0337得到在實際計算中，當n

=20,p=0.05時，可用上述公式近似計算；而當n

=100,p=0.01時,精度更好00.3490.3580.3690.3660.36810.3050.3770.3720.3700.36820.1940.1890.1860.1850.18430.0570.0600.0600.0610.06140.0110.0130.0140.0150.015按二項分布按Possion公式

kn=10

p=0.1n=20p=0.05n=40p=0.025n=100p=0.01λ=np=128解

(1)設需要配備N

個維修工人,設X

為90臺設備中發(fā)生故障的臺數(shù)，則X~B(90,0.01)

設有同類型設備90臺，每臺工作相互獨立，每臺設備發(fā)生故障的概率都是0.01.在通常情況下，一臺設備發(fā)生故障可由一個人獨立維修，每人同時也只能維修一臺設備.問至少要配備多少維修工人，才能保證當設備發(fā)生故障時不能及時維修的概率小于0.01?(2)問3個人共同負責90臺還是3個人各自獨立負責30臺設備發(fā)生故障不能及時維修的概率低？例29令則30通過MatLab計算得到如果N=4:如果N=3:pdf('poiss',0,0.9)=0.4066pdf('poiss',1,0.9)=0.3659pdf('poiss',2,0.9)=0.1647pdf('poiss',3,0.9)=0.0494pdf('poiss',4,0.9)=0.0111…cdf('poiss',3,0.9)=0.9865cdf('poiss',4,0.9)=0.9977三個人共同負責90臺設備發(fā)生故障不能及時維修的概率為32設30臺設備中發(fā)生故障的臺數(shù)為

Y~B(30,0.01)設每個人獨立負責30臺設備，第i個人負責的30臺設備發(fā)生故障不能及時維修為事件Ai

則三個人各獨立負責30臺設備發(fā)生故障不能及時維修為事件故

三個人共同負責90臺設備比各自負責好！33在Poisson定理中，由此產(chǎn)生了一種離散型隨機變量的概率分布—Poisson分布34(3)Poisson分布或或若其中是常數(shù)，則稱

X服從參數(shù)為的Poisson分布，記作在一定時間間隔內(nèi)：一匹布上的疵點個數(shù)；大賣場的顧客數(shù)；應用場合電話總機接到的電話次數(shù)；35一個容器中的細菌數(shù)；放射性物質(zhì)發(fā)出的粒子數(shù)；一本書中每頁印刷錯誤的個數(shù)；某一地區(qū)發(fā)生的交通事故的次數(shù)都可以看作是源源不斷出現(xiàn)的隨機質(zhì)點流,若它們滿足一定的條件，則稱為