2021-2022學(xué)年江蘇省泰州中學(xué)附中八年級(jí)(上)第一次獨(dú)立作業(yè)數(shù)學(xué)試卷(解析版)

2021-2022學(xué)年江蘇省泰州中學(xué)附中八年級(jí)第一學(xué)期第一次獨(dú)立作業(yè)數(shù)學(xué)試卷一．選擇題：（每題3分，共18分）1．將一張長(zhǎng)方形紙對(duì)折，然后用筆尖在紙上扎出“B”，再把紙鋪平，可以看到的是（）A．C．B．D．2．與三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，是這個(gè)三角形的（）A．三條中線的交點(diǎn)B．三條角平分線的交點(diǎn)C．三條高的交點(diǎn)D．三邊的垂直平分線的交點(diǎn)3．下列等式：①＝，②＝﹣2，③＝2，④＝﹣，⑤＝±4，⑥﹣＝﹣2；正確的有（）個(gè)．A．4B．3C．2D．14．有理數(shù)a的平方根為（）A．a(chǎn)B．±aC．±D．±5．如圖，在△ABC中，AB＝AC＞BC，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，連接BE、CD，相交于點(diǎn)F，BE＝BC，∠ABE＝∠BCD，若CE＝5，則CF的長(zhǎng)為（）A．6B．5C．4D．36．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＜∠B，且∠A≠30°，以△ABC的一邊為邊畫(huà)等腰三角形，使得它的第三個(gè)頂點(diǎn)P在△ABC的其他邊上，則可以畫(huà)出不同的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（）A．4B．5C．6D．7二．填空題：（每題3分，共30分）7．如圖，從鏡子中看到一鐘表的時(shí)針和分針，此時(shí)的實(shí)際時(shí)刻是．8．比較大小（填“＞、＝、＜”）9．如圖，在△ABC和△ADC中，AB⊥BC，AD⊥DC，只需添加一個(gè)條件即可證明△ABC≌△ADC，這個(gè)條件可以是（寫(xiě)出一個(gè)即可）．10．的算術(shù)平方根是．11．如圖，△ABC的面積為4cm2，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于P，則△PBC的面積為cm2．12．對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a、b，定義一種新的運(yùn)算如下，那么6*（5*4）＝．，如：，13．已知y＝+9，則3x+2y的算術(shù)平方根＝．14．如圖，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AM和BN分別是∠BAC、∠ABC的平分線，若△ABN的周長(zhǎng)為10，BM＝2，則AB的長(zhǎng)為．15．如圖，點(diǎn)O在直線m上，在m的同側(cè)有A，B兩點(diǎn)，∠AOB＝90°，OA＝10cm，OB＝8cm，點(diǎn)P以2cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿A﹣O﹣B路徑向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以1cm/s的速度從點(diǎn)B出發(fā)沿B﹣O﹣A路徑向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)都要到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng)．分別過(guò)點(diǎn)P，Q作PC⊥m于點(diǎn)C，QD⊥m于點(diǎn)D，若△OPC與△OQD全等，則點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是秒．16．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，CE⊥BD，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若BD＝8，則CE＝．三．解答下列各題：17．計(jì)算：（1）．（2）求4（1﹣2x）2﹣36＝0中x的值．18．如圖，在11×11的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格中有一個(gè)格點(diǎn)△ABC（即三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）．（1）在圖中作出△ABC關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)的△A1B1C1（要求A與A1，B與B1，C與C1相對(duì)應(yīng)）；（2）在直線l上找一點(diǎn)P，使得△PAC的周長(zhǎng)最??；（3）在（1）問(wèn)的結(jié)果下，連接BB1、CC1，求四邊形BB1C1C的面積．19．已知5x﹣1的算術(shù)平方根是3，4x+2y+1的立方根是1，求4x﹣2y的平方根．20．如圖，∠1＝∠2，∠A＝∠B，AE＝BE，點(diǎn)D在邊AC上，AE與BD相交于點(diǎn)O；（1）求證：△AEC≌△BED；（2）若∠2＝40°，求∠C的度數(shù)．21．實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)：．22．如圖，等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中線BD將這個(gè)等腰三角形周長(zhǎng)分成15和6兩部分，求這個(gè)三角形的腰長(zhǎng)及底邊長(zhǎng)．23．如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．（1）求證：AD平分∠BAC；（2）已知AB＝5，AC＝8，求BE的長(zhǎng)．24．如圖，已知點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC，AD＝AE．（1）求證：BD＝CE；（2）若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度數(shù)．25．如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，P是AC邊上任意一點(diǎn)（與A、C兩點(diǎn)不重合）．Q是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且始終滿(mǎn)足條件BQ＝AP，過(guò)P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D．（1）如圖（1），當(dāng)∠CQP＝30°時(shí)．求AP的長(zhǎng)．（2）如圖（2），當(dāng)P在任意位置時(shí)，求證：DE＝AB．26．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于點(diǎn)E．（1）當(dāng)∠BDA＝105°時(shí)，∠EDC＝°，∠DEC＝°；點(diǎn)D從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠BDA逐漸變．（填“大”或“小”）（2）當(dāng)DC等于多少時(shí)，△ABD≌△DCE？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠BDA的度數(shù)；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案一．選擇題：（每題3分，共18分）1．將一張長(zhǎng)方形紙對(duì)折，然后用筆尖在紙上扎出“B”，再把紙鋪平，可以看到的是（）A．C．B．D．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)判定即可．解：根據(jù)題意，兩個(gè)字母B，關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，故選：C．2．與三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，是這個(gè)三角形的（）A．三條中線的交點(diǎn)B．三條角平分線的交點(diǎn)C．三條高的交點(diǎn)D．三邊的垂直平分線的交點(diǎn)【分析】可分別根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)進(jìn)行思考，首先滿(mǎn)足到A點(diǎn)、B點(diǎn)的距離相等，然后思考滿(mǎn)足到C點(diǎn)、B點(diǎn)的距離相等，都分別在各自線段的垂直平分線上，于是答案可得．解：如圖：∵OA＝OB，∴O在線段AB的垂直平分線上，∵OB＝OC，∴O在線段BC的垂直平分線上，∵OA＝OC，∴O在線段AC的垂直平分線上，又三個(gè)交點(diǎn)相交于一點(diǎn)，∴與三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，是這個(gè)三角形的三邊的垂直平分線的交點(diǎn)．故選：D．3．下列等式：①＝，②＝﹣2，③＝2，④＝﹣，⑤＝±4，⑥﹣＝﹣2；正確的有（）個(gè)．A．4B．3C．2D．1【分析】如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根．解：＝，故①錯(cuò)誤．＝4，故⑤錯(cuò)誤．其他②③④⑥是正確的．故選：A．4．有理數(shù)a的平方根為（）A．a(chǎn)B．±aC．±D．±【分析】根據(jù)平方根的定義解決此題．解：根據(jù)平方根的定義，a的平方根為故選：C．．5．如圖，在△ABC中，AB＝AC＞BC，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，連接BE、CD，相交于點(diǎn)F，BE＝BC，∠ABE＝∠BCD，若CE＝5，則CF的長(zhǎng)為（）A．6B．5C．4D．3【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角得到∠ABC＝ACB．∠BEC＝∠BCE，由∠ABE＝∠BCD得∠EBC＝∠ECD，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)以及等量代換可得∠CEF＝∠CFE，等角對(duì)等邊可得出結(jié)論．解：∵AB＝AC，BE＝BC，∴∠ABC＝∠ACB．∠BEC＝∠BCE，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BEC，∵∠ABE＝∠BCD，∴∠EBC＝∠ECD，∵∠CFE為△CBF的外角，∴∠CFE＝∠CBF+∠FCB，∵∠ABE＝∠BCD，∴∠CFE＝∠CBF+∠FCB＝∠ABC，∴∠CFE＝∠CEF，∴CF＝CE＝5，故選：B．6．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＜∠B，且∠A≠30°，以△ABC的一邊為邊畫(huà)等腰三角形，使得它的第三個(gè)頂點(diǎn)P在△ABC的其他邊上，則可以畫(huà)出不同的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（）A．4B．5C．6D．7【分析】①以B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)P，△BCP就是等腰三角形；②以A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)P，△ACP就是等腰三角形；③以C為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AC于點(diǎn)P，△BCP就是等腰三角形；④以C為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)P，△BCP就是等腰三角形；⑤作AB的垂直平分線交AC于P，則△APB是等腰三角形；⑥作BC的垂直平分線交AB于P，則△BCP和△ACP是等腰三角形．解：如圖：故選：C．二．填空題：（每題3分，共30分）7．如圖，從鏡子中看到一鐘表的時(shí)針和分針，此時(shí)的實(shí)際時(shí)刻是8：00．【分析】鏡子中的時(shí)間和實(shí)際時(shí)間關(guān)于鐘表上過(guò)6和12的直線對(duì)稱(chēng)，作出相應(yīng)圖形，即可得到準(zhǔn)確時(shí)間．解：由圖中可以看出，此時(shí)的時(shí)間為8：00．故答案為：8：00．8．比較大?。荆ㄌ睢埃尽ⅲ?、＜”）【分析】先比較出（）3與（）3的大小，即可得出答案．）3＝9，（）3＝3，解：∵（∴＞；故答案為：＞．9．如圖，在△ABC和△ADC中，AB⊥BC，AD⊥DC，只需添加一個(gè)條件即可證明△ABC≌△ADC，這個(gè)條件可以是CB＝CD（或AB＝AD或∠ACB＝∠ACD或∠BAC＝∠DAC）（寫(xiě)出一個(gè)即可）．【分析】利用已知條件得到∠B＝∠D＝90°，加上AC為公共邊，然后根據(jù)全等三角形的判定方法添加條件．解：∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B＝∠D＝90°，∵AC＝AC，∴當(dāng)添加CB＝CD或AB＝AD時(shí)，則可根據(jù)“HL”判斷△ABC≌△ADC；當(dāng)添加∠ACB＝∠ACD或∠BAC＝∠DAC時(shí)，則可根據(jù)“AAS”判斷△ABC≌△ADC．故答案為CB＝CD（或AB＝AD或∠ACB＝∠ACD或∠BAC＝∠DAC）．10．的算術(shù)平方根是2．【分析】首先根據(jù)算術(shù)平方根的定義求出的值，然后再利用算術(shù)平方根的定義即可求出結(jié)果．解：∵＝4，∴的算術(shù)平方根是＝2．故答案為：2．11．如圖，△ABC的面積為4cm2，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于P，則△PBC的面積為2cm2．【分析】延長(zhǎng)AP交BC于D，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AP＝PD，再根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可得S△ABP＝S△DBP，S△ACP＝S△DCP，然后求出△PBC的面積的面積等于S△ABC，再進(jìn)行計(jì)算即可得解．解：如圖，延長(zhǎng)AP交BC于D，∵BP平分∠ABC，AP⊥BP，∴AP＝PD，∴S△ABP＝S△DBP，S△ACP＝S△DCP，∴△PBC的面積＝S△DBP+S△DCP＝S△ABC＝×4＝2cm2．故答案為：2．12．對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a、b，定義一種新的運(yùn)算如下，那么6*（5*4）＝1．，如：，【分析】本題需先根據(jù)已知條件求出5*4的值，再求出6*（5*4）的值即可求出結(jié)果．解：∵，∴5*4＝＝3，∴6*（5*4）＝6*3，＝，＝1．故答案為：1．13．已知y＝+9，則3x+2y的算術(shù)平方根＝3．【分析】根據(jù)被開(kāi)方數(shù)大于等于0列不等式求出x的值，再求出y，然后代入代數(shù)式求解，再根據(jù)算術(shù)平方根的定義解答．解：由題意得，x﹣3≥0且3﹣x≥0，解得x≥3且x≤3，所以x＝3，y＝9，所以，3x+2y＝3×3+2×9＝9+18＝27，所以，3x+2y的算術(shù)平方根＝＝3．故答案為：3．14．如圖，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AM和BN分別是∠BAC、∠ABC的平分線，若△ABN的周長(zhǎng)為10，BM＝2，則AB的長(zhǎng)為4．【分析】根據(jù)角平分線的定義求出∠CBN＝∠ABC，由等角對(duì)等邊可得BN＝CN，得出BN+AN＝AC①，過(guò)點(diǎn)M作MF∥BN交CN于點(diǎn)F，利用AAS證明△ABM≌△AFM，由全等三角形的性質(zhì)可得AB+BM＝AC②，進(jìn)而可得BN+AN＝AB+BM，由△ABN的周長(zhǎng)為10，BM＝2，可求解．解：∵BN平分∠ABC，∴∠CBN＝∠ABC，∵∠ABC＝2∠C，∴∠CBN＝∠C，∴BN＝CN，∴BN+AN＝CN+AN＝AC①，過(guò)點(diǎn)M作MF∥BN交CN于點(diǎn)F，則∠CMF＝∠CBN，∠AFM＝∠ANB，∴∠CMF＝∠CBN＝∠C，∴MF＝CF，∵∠ANB＝∠C+∠CBN＝2∠C，∴∠AFM＝2∠C，∴∠ABC＝∠AFM，∵AM平分∠BAC，∴∠BAM＝∠CAM，在△ABM和△AFM中，，∴△ABM≌△AFM（AAS），∴AB＝AF，BM＝MF，∴MF＝BM＝CF，∴AB+BM＝AF+MF＝AF+CF＝AC②，由①②得BN+AN＝AB+BM，∵△ABN的周長(zhǎng)為10，BM＝2，∴AB+BN+AN＝AB+BM+AB＝10，∴AB＝4．故答案為：4．15．如圖，點(diǎn)O在直線m上，在m的同側(cè)有A，B兩點(diǎn)，∠AOB＝90°，OA＝10cm，OB＝8cm，點(diǎn)P以2cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿A﹣O﹣B路徑向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以1cm/s的速度從點(diǎn)B出發(fā)沿B﹣O﹣A路徑向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)都要到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng)．分別過(guò)點(diǎn)P，Q作PC⊥m于點(diǎn)C，QD⊥m于點(diǎn)D，若△OPC與△OQD全等，則點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是2或6或16秒．【分析】由題意可知只要PO＝QO，則△POC與△QOC全等，所以根據(jù)PO＝QO列出關(guān)于t的方程即可求解．解：①當(dāng)0?t＜5時(shí)，P在AO，Q在BO上時(shí)，∵∠AOB＝90°，∴∠POC+∠QOD＝90°，∵∠OQD+∠QOD＝90°，∴∠POC＝∠OQD，所以當(dāng)PO＝QO時(shí)，△POC≌△OQD，∴10﹣2t＝8﹣t，解得t＝2；②當(dāng)5＜t＜8時(shí)，P，Q都在OB上時(shí)，因?yàn)椤螾OD＝∠QOC，所以當(dāng)所以當(dāng)PO＝QO時(shí)，△POC≌△OQD，∴2t﹣10＝8﹣t解得t＝6；③當(dāng)8＜t＜9，P在OB上，Q在OA上時(shí)，∵∠AOB＝90°，∴∠POC+∠QOD＝90°，∵∠OQD+∠QOD＝90°，∴∠POC＝∠OQD，所以當(dāng)PO＝QO時(shí)，△POC≌△OQD，∴2t﹣10＝t﹣8，解得t＝2（舍去）；④當(dāng)9?t＜18，P與B重合，Q在OA上時(shí)，當(dāng)PO＝QO時(shí)，△POC≌△OQD，∴t﹣8＝8，∴t＝16．綜上所述：t＝2或6或16，故答案為：2或6或16．16．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，CE⊥BD，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若BD＝8，則CE＝4．【分析】延長(zhǎng)BA、CE相交于點(diǎn)F，利用“角邊角”證明△BCE和△BFE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CE＝EF，根據(jù)等角的余角相等求出∠ABD＝∠ACF，然后利用“角邊角”證明△ABD和△ACF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BD＝CF，然后求解即可．解：如圖，延長(zhǎng)BA、CE相交于點(diǎn)F，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，在△BCE和△BFE中，，∴△BCE≌△BFE（ASA），∴CE＝EF，∵∠BAC＝90°，CE⊥BD，∴∠ACF+∠F＝90°，∠ABD+∠F＝90°，∴∠ABD＝∠ACF，在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD＝CF，∵CF＝CE+EF＝2CE，∴BD＝2CE＝8，∴CE＝4．故答案為：4．三．解答下列各題：17．計(jì)算：（1）．（2）求4（1﹣2x）2﹣36＝0中x的值．【分析】（1）首先計(jì)算零指數(shù)冪、開(kāi)方、開(kāi)立方和絕對(duì)值，然后從左向右依次計(jì)算，求出算式的值即可．（2）首先求出（1﹣2x）2的值，然后根據(jù)平方根的含義和求法，求出1﹣2x的值，進(jìn)而求出x的值即可．解：（1）＝5﹣（﹣3）+（﹣1）+1＝5+3+﹣1+1＝8+．（2）∵4（1﹣2x）2﹣36＝0，∴（1﹣2x）2＝9，∴1﹣2x＝3或1﹣2x＝﹣3，解得：x＝﹣1或2．18．如圖，在11×11的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格中有一個(gè)格點(diǎn)△ABC（即三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）．（1）在圖中作出△ABC關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)的△A1B1C1（要求A與A1，B與B1，C與C1相對(duì)應(yīng)）；（2）在直線l上找一點(diǎn)P，使得△PAC的周長(zhǎng)最小；（3）在（1）問(wèn)的結(jié)果下，連接BB1、CC1，求四邊形BB1C1C的面積．【分析】（1）分別作出各點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，再順次連接即可；（2）由于AC的長(zhǎng)是定值，所以連接AC1交直線l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求；（3）直接根據(jù)梯形的面積公式即可得出結(jié)論．解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；（2）如圖，點(diǎn)P即為所求；（3）S梯形BB1C1C＝（2+4）×4＝12．19．已知5x﹣1的算術(shù)平方根是3，4x+2y+1的立方根是1，求4x﹣2y的平方根．【分析】根據(jù)算術(shù)平方根、立方根的定義求出x、y的值，求出4x﹣2y的值，再根據(jù)平方根定義求出即可．解：∵5x﹣1的算術(shù)平方根為3，∴5x﹣1＝9，∴x＝2，∵4x+2y+1的立方根是1，∴4x+2y+1＝1，∴y＝﹣4，4x﹣2y＝4×2﹣2×（﹣4）＝16，∴4x﹣2y的平方根是±4．20．如圖，∠1＝∠2，∠A＝∠B，AE＝BE，點(diǎn)D在邊AC上，AE與BD相交于點(diǎn)O；（1）求證：△AEC≌△BED；（2）若∠2＝40°，求∠C的度數(shù)．【分析】（1）由“ASA”可證△AEC≌△BED；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得DE＝EC，即可求∠C的度數(shù)．【解答】證明：（1）∵∠1＝∠2∴∠BED＝∠AEC，且AE＝BE，∠A＝∠B∴△AEC≌△BED（ASA）（2）∵△AEC≌△BED∴DE＝EC，∠1＝∠2＝40°∴∠C＝70°21．實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)：．【分析】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置判斷絕對(duì)值里邊式子的正負(fù)，利用絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡(jiǎn)，去括號(hào)合并即可得到結(jié)果．解：根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置得：b＜a＜0＜c，且|a|＜|c|＜|b|，∴c﹣b＞0，a+b＜0，a﹣c＜0，則原式＝﹣a+c﹣b+a+b+c﹣a＝2c﹣a．22．如圖，等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中線BD將這個(gè)等腰三角形周長(zhǎng)分成15和6兩部分，求這個(gè)三角形的腰長(zhǎng)及底邊長(zhǎng)．【分析】設(shè)AB＝AC＝2X，BC＝Y(jié)，則AD＝CD＝X，則有兩種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系解答．解：設(shè)AB＝AC＝2X，BC＝Y(jié)，則AD＝CD＝X，∵AC上的中線BD將這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分成15和6兩部分，∴有兩種情況：①當(dāng)3X＝15，且X+Y＝6，解得X＝5，Y＝1，∴三邊長(zhǎng)分別為10，10，1；②當(dāng)X+Y＝15且3X＝6時(shí)，解得X＝2，Y＝13，此時(shí)腰為4，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，任意兩邊之和大于第三邊，而4+4＝8＜13，故這種情況不存在．∴腰長(zhǎng)是10，底邊長(zhǎng)是1．23．如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．（1）求證：AD平分∠BAC；（2）已知AB＝5，AC＝8，求BE的長(zhǎng)．【分析】（1）求出∠E＝∠DFC＝90°，根據(jù)全等三角形的判定定理得出Rt△BED≌Rt△CFD，推出DE＝DF，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AE＝AF，由線段的和差關(guān)系求出答案．【解答】（1）證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E＝∠DFC＝90°，在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴DE＝DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC；（2）由（1）知，Rt△ADE≌Rt△ADF，∴AE＝AF，∵AB＝AE﹣BE＝AF﹣BE＝AC﹣CF﹣BE，BE＝CF，∴AB＝AC﹣2BE，∵AB＝5，AC＝8，∴BE＝．24．如圖，已知點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC，AD＝AE．（1）求證：BD＝CE；（2）若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度數(shù)．【分析】（1）作AF⊥BC于點(diǎn)F，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到BF＝CF，DF＝EF，相減后即可得到正確的結(jié)論．（2）根據(jù)等邊三角形的判定得到△ADE是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系即可求解．【解答】（1）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于F．∵AB＝AC，AD＝AE．∴BF＝CF，DF＝EF，∴BD＝CE．（2）∵AD＝DE＝AE，∴△ADE是等邊三角形，∴∠DAE＝∠ADE＝60°．∵AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA．∴∠DAB＝∠ADE＝30°．∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°．25．如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，P是AC邊上任意一點(diǎn)（與A、C兩點(diǎn)不重合）．Q是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且始終滿(mǎn)足條件BQ＝AP，過(guò)P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D．（1）如圖（1），當(dāng)∠CQP＝30°時(shí)．求AP的長(zhǎng)．（2）如圖（2），當(dāng)P在任意位置時(shí)，求證：DE＝AB．【分析】（1）作PF∥BC交AB于點(diǎn)F．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)就可以求出∠QPC＝∠DPA＝90°，得出AB＝3AP而求出結(jié)論；（2）作PF∥BC交AB于點(diǎn)F．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出△PFD≌△QBD就有DF＝DB，由等腰三角形的性質(zhì)就可以得出AE＝EF，由EF+FD＝ED就可以得出結(jié)論．解：（1）如圖（1），作PF∥BC交AB于點(diǎn)F，∴∠AFP＝∠ABC，∠APF＝∠C．∠PFD＝∠QBD，∠FPD＝∠BQD．∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．AB＝BC＝AC．∴∠AFP＝60°，∠APF＝60°，∴∠AFP＝∠APF＝∠A＝60°，∴△AFP是等邊三角形，∴AF＝AP＝PF．∵PE⊥AB，∴AE＝EF．∵∠CQP＝30°，∠C＝60°，∴∠QPC＝90°，∴∠DPA＝90°，∴∠ADP＝30°．∴AD＝2AP．∴AD＝2AF．∵DF+AF＝AD，∴DF+AF＝2AF，∴DF＝AF，∵BQ＝AP，∴BQ＝FP．在△PFD和△QBD中，∴△PFD≌△QBD（ASA），∴FD＝BD．∴BD＝DF＝AF＝AB．∵AB＝6，∴AF＝2，∴AP＝2．答：AP的長(zhǎng)為2；（2）如圖2，作PF∥BC交AB于點(diǎn)F．∴∠AFP＝∠ABC，∠APF＝∠C．∠PFD＝∠QBD，∠FPD＝∠BQD．∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．AB＝BC＝AC．∴∠AFP＝60°，∠APF＝60°，∴∠AFP＝∠APF＝∠C＝60°，∴△AFP是等邊三角形，∴AF＝AP＝PF．∵PE⊥AB，∴AE＝EF＝AF．∵BQ＝AP，∴BQ＝FP．在△PFD和△QBD中，∴△PFD≌△QBD（ASA），∴FD＝BD＝BF．∵ED＝EF+DF＝