教輔同步課時(shí)檢測球的體積和表面積

課時(shí)跟蹤檢測（六）球的體積和表面積層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1．用與球心距離為1的平面去截球，所得截面圓的面積為π，則球的表面積為()\f(8π,3) \f(32π,3)C．8π \f(8\r(2)π,3)解析：選C設(shè)球的半徑為R，則截面圓的半徑為eq\r(R2－1)，∴截面圓的面積為S＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(R2－1)))2＝(R2－1)π＝π，∴R2＝2，∴球的表面積S＝4πR2＝8π.2．已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱錐的高為3，體積為6，則這個(gè)球的表面積為()A．16π B．20πC．24π D．32π解析：選A設(shè)正四棱錐的高為h，底面邊長為a，由V＝eq\f(1,3)a2h＝a2＝6，得a＝eq\r(6).由題意，知球心在正四棱錐的高上，設(shè)球的半徑為r，則(3－r)2＋(eq\r(3))2＝r2，解得r＝2，則S球＝4πr2＝16π.故選A.3．某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為()A．72π B．48πC．30π D．24π解析：選C由三視圖可知幾何體由一個(gè)半球和倒立的圓錐組成的組合體．V＝eq\f(1,3)π×32×4＋eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×33＝30π.4．等體積的球和正方體的表面積S球與S正方體的大小關(guān)系是()A．S正方體>S球 B．S正方體<S球C．S正方體＝S球 D．無法確定解析：選A設(shè)正方體的棱長為a，球的半徑為R，由題意，得V＝eq\f(4,3)πR3＝a3，∴a＝eq\r(3,V)，R＝eq\r(3,\f(3V,4π))，∴S正方體＝6a2＝6eq\r(3,V2)＝eq\r(3,216V2)，S球＝4πR2＝eq\r(3,36πV2)<eq\r(3,216V2).5．球的表面積S1與它的內(nèi)接正方體的表面積S2的比值是()\f(π,3) \f(π,4)\f(π,2) D．π解析：選C設(shè)球的內(nèi)接正方體的棱長為a，球的半徑為R，則3a2＝4R2，所以a2＝eq\f(4,3)R2，球的表面積S1＝4πR2，正方體的表面積S2＝6a2＝6×eq\f(4,3)R2＝8R2，所以eq\f(S1,S2)＝eq\f(π,2).6．已知正方體的棱長為2，則與正方體的各棱都相切的球的表面積是________．解析：過正方體的對角面作截面如圖．故球的半徑r＝eq\r(2)，∴其表面積S＝4π×(eq\r(2))2＝8π.答案：8π7．球內(nèi)切于正方體的六個(gè)面，正方體的棱長為a，則球的表面積為________．解析：正方體的內(nèi)切球球心是正方體的中心，切點(diǎn)是六個(gè)面(正方形)的中心，經(jīng)過四個(gè)切點(diǎn)及球心作截面，如圖，所以有2r1＝a，r1＝eq\f(a,2)，所以S1＝4πreq\o\al(2,1)＝πa2.答案：πa28．圓柱形容器的內(nèi)壁底半徑是10cm，有一個(gè)實(shí)心鐵球浸沒于容器的水中，若取出這個(gè)鐵球，測得容器的水面下降了eq\f(5,3)cm，則這個(gè)鐵球的表面積為________cm2.解析：設(shè)該鐵球的半徑為r，則由題意得eq\f(4,3)πr3＝π×102×eq\f(5,3)，解得r3＝53，∴r＝5，∴這個(gè)鐵球的表面積S＝4π×52＝100π(cm2)．答案：100π9．若三個(gè)球的表面積之比為1∶4∶9，求這三個(gè)球的體積之比．解：設(shè)三個(gè)球的半徑分別為R1，R2，R3，∵三個(gè)球的表面積之比為1∶4∶9，∴4πReq\o\al(2,1)∶4πReq\o\al(2,2)∶4πReq\o\al(2,3)＝1∶4∶9，即Req\o\al(2,1)∶Req\o\al(2,2)∶Req\o\al(2,3)＝1∶4∶9，∴R1∶R2∶R3＝1∶2∶3，得Req\o\al(3,1)∶Req\o\al(3,2)∶Req\o\al(3,3)＝1∶8∶27，∴V1∶V2∶V3＝eq\f(4,3)πReq\o\al(3,1)∶eq\f(4,3)πReq\o\al(3,2)∶eq\f(4,3)πReq\o\al(3,3)＝Req\o\al(3,1)∶Req\o\al(3,2)∶Req\o\al(3,3)＝1∶8∶27.10．某組合體的直觀圖如圖所示，它的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，若圖中r＝1，l＝3，試求該組合體的表面積和體積．解：該組合體的表面積S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π，該組合體的體積V＝eq\f(4,3)πr3＋πr2l＝eq\f(4,3)π×13＋π×12×3＝eq\f(13π,3).層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1．在一個(gè)倒置的正三棱錐容器內(nèi)，放入一個(gè)鋼球，鋼球恰好與棱錐的四個(gè)面都接觸，經(jīng)過棱錐的一條側(cè)棱和高作截面，正確的截面圖形是()解析：選B正三棱錐的內(nèi)切球球心在高線上，與側(cè)面有公共點(diǎn)，與棱無公共點(diǎn)．故選B.2．一平面截一球得到直徑是6cm的圓面，球心到這個(gè)圓面的距離是4cm，則該球的體積是()\f(100π,3)cm3 \f(208π,3)cm3\f(500π,3)cm3 \f(416\r(13)π,3)cm3解析：選C根據(jù)球的截面的性質(zhì)，得球的半徑R＝eq\r(32＋42)＝5(cm)，所以V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(500π,3)(cm3)．3．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的表面積S＝()A．32＋π B．32＋2πC．28＋2π D．28＋π解析：選A由三視圖可知此幾何體的上半部分為半個(gè)球，下半部分是一個(gè)長方體，故其表面積S＝4π×eq\f(1,2)＋4×2×3＋2×2＋2×2－π＝32＋π.4.(新課標(biāo)全國卷Ⅰ)圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示．若該幾何體的表面積為16＋20π，則r＝()A．1 B．2C．4 D．8解析：選B如圖，該幾何體是一個(gè)半球與一個(gè)半圓柱的組合體，球的半徑為r，圓柱的底面半徑為r，高為2r，則表面積S＝eq\f(1,2)×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故選B.5.已知某一多面體內(nèi)接于球構(gòu)成一個(gè)簡單組合體，如果該組合體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖均如圖所示，且圖中的四邊形是邊長為2的正方形，則該球的表面積是________．解析：依題意得，該幾何體是球的一個(gè)內(nèi)接正方體，且該正方體的棱長為2.設(shè)該球的直徑為2R，則2R＝eq\r(22＋22＋22)＝2eq\r(3)，所以該幾何體的表面積為4πR2＝4π(eq\r(3))2＝12π.答案：12π6．已知一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都相切，且這個(gè)球的體積是eq\f(32,3)π，那么這個(gè)三棱柱的體積是________．解析：設(shè)球的半徑為r，則eq\f(4,3)πr3＝eq\f(32,3)π，得r＝2，柱體的高為2r＝4.又正三棱柱的底面三角形的內(nèi)切圓半徑與球的半徑相等，所以底面正三角形的邊長為4eq\r(3)，所以正三棱柱的體積V＝eq\f(\r(3),4)×(4eq\r(3))2×4＝48eq\r(3).答案：48eq\r(3)7．軸截面是正三角形的圓錐內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，若圓錐的底面半徑為1cm，求球的體積．解：如右圖所示，作出軸截面，O是球心，與邊BC，AC相切于點(diǎn)D，E.連接AD，OE，∵△ABC是正三角形，∴CD＝eq\f(1,2)AC.∵Rt△AOE∽Rt△ACD，∴eq\f(OE,AO)＝eq\f(CD,AC).∵CD＝1cm，∴AC＝2cm，AD＝eq\r(3)cm，設(shè)OE＝r，則AO＝(eq\r(3)－r)，∴eq\f(r,\r(3)－r)＝eq\f(1,2)，∴r＝eq\f(\r(3),3)cm，V球＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))3＝eq\f(4\r(3),27)π(cm3)，即球的體積等于eq\f(4\r(3),27)πcm3.8．在半徑為15的球O內(nèi)有一個(gè)底面邊長為12eq\r(3)的內(nèi)接正三棱錐A-BCD，求此正三棱錐的體積．解：①如圖甲所示的情形，顯然OA＝OB＝OC＝OD＝15.設(shè)H為△BCD的中心，則A，O，H三點(diǎn)在同一條直線上．∵HB＝HC＝HD＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×12eq\r(3)＝12，∴OH＝eq\r(OB2－HB2)＝9，∴正三棱錐A-BCD的高h(yuǎn)＝9＋15＝24.又S△BCD＝eq\f(\r(3),4)×(12eq\r(3))2＝108eq