福建省廈門一中2016屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題(文科)-含解析

2016學(xué)年福建省廈門一中高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（文科）一、選擇題（每小題5分）1．集合M={y|y=lg（x2+1），x∈R}，集合N={x|4x＞4，x∈R}，則M∩N等于（）A．[0，+∞） B．[0，1） C．（1，+∞） D．（0，1]2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足=（）A．0 B．1 C． D．23．“a＜b＜0”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知?=﹣12，||=4，和的夾角為135°，則||為（）A．12 B．6 C． D．35．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為（）A．1 B．3 C．7 D．156．已知tanα=2（α∈（0，π）），則cos（+2α）=（）A． B． C．﹣ D．﹣7．已知數(shù)列{an}中，a3=，a7=，且{}是等差數(shù)列，則a5=（）A． B． C． D．8．函數(shù)y=x+cosx的大致圖象是（）A． B． C． D．9．平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，M為OC的中點，若=（2，4），=（1，3），則等于（）A． B．﹣ C．3 D．﹣310．給出下列四個命題：①f（x）=sin（2x﹣）的對稱軸為x=，k∈Z；②若函數(shù)y=2cos（ax﹣）（a＞0）的最小正周期是π，則a=2；③函數(shù)f（x）=sinxcosx﹣1的最小值為﹣；④函數(shù)y=sin（x+）在[﹣]上是增函數(shù)，其中正確命題的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個11．設(shè)點P是雙曲線=1（a＞0，b＞0）與圓x2+y2=a2+b2在第一象限的交點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，且|PF1|=2|PF2|，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．12．設(shè)函數(shù)f′（x）是奇函數(shù)f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)，f（﹣1）=0，當(dāng)x＞0時，xf′（x）﹣f（x）＜0，則使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）二、填空題（每小題5分）13．已知實數(shù)x，y滿足條件，則z=x﹣2y的最大值為．14．已知等差數(shù)列{an}中，a3=，則cos（a1+a2+a6）=．15．已知點A（2，4）在拋物線y2=2px上，且拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線=1（a＞0，b＞0）的一個焦點，若雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的方程為．16．當(dāng)x∈[﹣2，1]時，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是．三、解答題17．（12分）（2015秋?廈門校級期中）已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S1，S3，S2成等差數(shù)列，且a1﹣a3=3，（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）求Sn，并求滿足Sn≤2的n的值．18．（12分）（2015秋?廈門校級期中）已知函數(shù)f（x）=﹣3，=（2sinx，4），=（2cosx，cos2x）．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值及此時x的值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊，若f（A）為f（x）的最大值，且a=2，sinC=sinB，求△ABC的面積．19．（12分）（2014?重慶）已知函數(shù)f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于直線y=x．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．20．（12分）（2014?黑龍江）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦點，M是C上一點且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個交點為N．（1）若直線MN的斜率為，求C的離心率；（2）若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．21．（12分）（2013?天津）設(shè)a∈[﹣2，0]，已知函數(shù)（Ⅰ）證明f（x）在區(qū)間（﹣1，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；（Ⅱ）設(shè)曲線y=f（x）在點Pi（xi，f（xi））（i=1，2，3）處的切線相互平行，且x1x2x3≠0，證明．四、選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程22．（10分）（2014?黑龍江）在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程ρ=2cosθ，θ∈[0，]．（Ⅰ）求C的參數(shù)方程；（Ⅱ）設(shè)點D在C上，C在D處的切線與直線l：y=x+2垂直，根據(jù)（Ⅰ）中你得到的參數(shù)方程，確定D的坐標(biāo)．五、選修4-5：不等式選講23．（2014?黑龍江）設(shè)函數(shù)f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）證明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范圍．2015-2016學(xué)年福建省廈門一中高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題（每小題5分）1．集合M={y|y=lg（x2+1），x∈R}，集合N={x|4x＞4，x∈R}，則M∩N等于（）A．[0，+∞） B．[0，1） C．（1，+∞） D．（0，1]【考點】對數(shù)函數(shù)的值域與最值；交集及其運算；指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點．【專題】計算題．【分析】根據(jù)所給的兩個集合中的對數(shù)和指數(shù)式的特點，首先根據(jù)對數(shù)中真數(shù)的范圍求出對數(shù)的范圍，再根據(jù)指數(shù)的底數(shù)大于1，求解指數(shù)不等式，最后求交集得到結(jié)果．【解答】解：∵x2+1≥1∴集合M={y|y=lg（x2+1），x∈R}={y|y≥0}集合N={x|4x＞4，x∈R}={x|4x＞41}={x|x＞1}∴M∩N=（1，+∞）故選C【點評】本題考查指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的值域和定義域，本題解題的關(guān)鍵是求出兩個集合中的元素的范圍，最后求交集，本題是一個基礎(chǔ)題．2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足=（）A．0 B．1 C． D．2【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運算；復(fù)數(shù)求模．【專題】計算題．【分析】化簡復(fù)數(shù)方程，求出復(fù)數(shù)z為a+bi（a、b∈R）的形式，然后再求復(fù)數(shù)|1+z|的模．【解答】解：由于，所以1﹣z=i+zi所以z=═則|1+z|=故選C．【點評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運算，復(fù)數(shù)求模，是基礎(chǔ)題．3．“a＜b＜0”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】計算題．【分析】利用不等式的性質(zhì)判斷出“a＜b＜0”則有“”，通過舉反例得到，“”成立，推不出“a＜b＜0”成立，利用充要條件的有關(guān)定義得到結(jié)論．【解答】解：由a＜b＜0，得，﹣a＞﹣b＞0，由不等式的性質(zhì)可得，＞0；反之則不成立，例如a=1，b=2滿足，但不滿足“a＜b＜0”∴“a＜b＜0”是“”的充分不必要條件，故選A．【點評】此題主要考查不等式與不等關(guān)系之間的聯(lián)系，此題可以舉反例進(jìn)行求解，屬基礎(chǔ)題．4．已知?=﹣12，||=4，和的夾角為135°，則||為（）A．12 B．6 C． D．3【考點】數(shù)量積表示兩個向量的夾角；向量的模．【專題】計算題．【分析】利用兩個向量的數(shù)量積的定義可得=cos135°，把=4代入求得的值．【解答】解：由題意利用兩個向量的數(shù)量積的定義可得=cos135°=4?（），解得=6，故選B．【點評】本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，屬于基礎(chǔ)題．5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為（）A．1 B．3 C．7 D．15【考點】程序框圖．【專題】算法和程序框圖．【分析】算法的功能是求S=1+21+22+…+2k的值，根據(jù)條件確定跳出循環(huán)的k值，計算輸出的S值．【解答】解：由程序框圖知：算法的功能是求S=1+21+22+…+2k的值，∵跳出循環(huán)的k值為3，∴輸出S=1+2+4=7．故選：C．【點評】本題考查了當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，根據(jù)框圖的流程判斷算法的功能是解題的關(guān)鍵．6．已知tanα=2（α∈（0，π）），則cos（+2α）=（）A． B． C．﹣ D．﹣【考點】二倍角的余弦．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值．【分析】由條件利用誘導(dǎo)公式、二倍角的正弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得cos（+2α）的值．【解答】解：∵tanα=2，α∈（0，π），則cos（+2α）=cos（+2α）=﹣sin2α=﹣2sinαcosα=﹣=﹣═=﹣，故選：D．【點評】本題主要考查誘導(dǎo)公式、二倍角的正弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7．已知數(shù)列{an}中，a3=，a7=，且{}是等差數(shù)列，則a5=（）A． B． C． D．【考點】等差數(shù)列的通項公式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)模型法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】設(shè)等差數(shù)列{}的公差為d，則=+4d，解出d，即可得出．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{}的公差為d，則=+4d，∴=+4d，解得d=2．∴=+2d=10，解得a5=．故選：B．【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．8．函數(shù)y=x+cosx的大致圖象是（）A． B． C． D．【考點】函數(shù)的圖象與圖象變化；函數(shù)的圖象．【專題】計算題；數(shù)形結(jié)合．【分析】先研究函數(shù)的奇偶性知它是非奇非偶函數(shù)，從而排除A、C兩個選項，再看此函數(shù)與直線y=x的交點情況，即可作出正確的判斷．【解答】解：由于f（x）=x+cosx，∴f（﹣x）=﹣x+cosx，∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），故此函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，排除A、C；又當(dāng)x=時，x+cosx=x，即f（x）的圖象與直線y=x的交點中有一個點的橫坐標(biāo)為，排除D．故選：B．【點評】本題考查函數(shù)的圖象，考查同學(xué)們對函數(shù)基礎(chǔ)知識的把握程度以及數(shù)形結(jié)合的思維能力，屬于中檔題．9．平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，M為OC的中點，若=（2，4），=（1，3），則等于（）A． B．﹣ C．3 D．﹣3【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【專題】計算題；數(shù)形結(jié)合；向量法；平面向量及應(yīng)用．【分析】由題意畫出圖形，利用向量的加法法則與減法法則，結(jié)合坐標(biāo)運算得到的坐標(biāo)，則答案可求．【解答】解：如圖，∵ABCD為平行四邊形，且AC與BD交于點O，M為OC的中點，∴，又=（1，3），∴，則=（），又=（2，4），∴=（﹣1，﹣1），則=（﹣1，﹣1）?（）=（﹣1）×（）+（﹣1）×（﹣）=3．故選：C．【點評】本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查了向量的加減法及數(shù)量積的坐標(biāo)表示，是中檔題．10．給出下列四個命題：①f（x）=sin（2x﹣）的對稱軸為x=，k∈Z；②若函數(shù)y=2cos（ax﹣）（a＞0）的最小正周期是π，則a=2；③函數(shù)f（x）=sinxcosx﹣1的最小值為﹣；④函數(shù)y=sin（x+）在[﹣]上是增函數(shù)，其中正確命題的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】計算題；函數(shù)思想；數(shù)學(xué)模型法；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】求出函數(shù)的對稱軸方程判斷①；由周期公式求出a值判斷②；利用倍角公式化簡，進(jìn)一步求出函數(shù)的最小值判斷③；由函數(shù)的單調(diào)性判斷④．【解答】解：①由，得x=，k∈Z，∴f（x）=sin（2x﹣）的對稱軸為x=，k∈Z，①正確；②若函數(shù)y=2cos（ax﹣）（a＞0）的最小正周期是π，則，即a=2，②正確；③函數(shù)f（x）=sinxcosx﹣1=，最小值為﹣，③正確；④當(dāng)x∈[﹣]時，x[﹣]，∴函數(shù)y=sin（x+）在[﹣]上不是單調(diào)函數(shù)，④錯誤．∴正確命題的個數(shù)是3個．故選：C．【點評】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．11．設(shè)點P是雙曲線=1（a＞0，b＞0）與圓x2+y2=a2+b2在第一象限的交點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，且|PF1|=2|PF2|，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【專題】計算題．【分析】由P是雙曲線與圓x2+y2=a2+b2在第一象限的交點，推導(dǎo)出∠F1PF2=90°．再由|PF1|=2|PF2|，知|PF1|=4a，|PF2|=2a，由此求出c=a，從而得到雙曲線的離心率．【解答】解：∵P是雙曲線與圓x2+y2=a2+b2在第一象限的交點，∴點P到原點的距離|PO|=，∴∠F1PF2=90°，∵|PF1|=2|PF2|，∴|PF1|﹣|PF2|=|PF2|=2a，∴|PF1|=4a，|PF2|=2a，∴16a2+4a2=4c2，∴c=a，∴．故選A．【點評】本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要注意公式的靈活運用．12．設(shè)函數(shù)f′（x）是奇函數(shù)f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)，f（﹣1）=0，當(dāng)x＞0時，xf′（x）﹣f（x）＜0，則使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）【考點】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．【專題】創(chuàng)新題型；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】由已知當(dāng)x＞0時總有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判斷函數(shù)g（x）=為減函數(shù)，由已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，可證明g（x）為（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)，根據(jù)函數(shù)g（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性和奇偶性，模擬g（x）的圖象，而不等式f（x）＞0等價于x?g（x）＞0，數(shù)形結(jié)合解不等式組即可．【解答】解：設(shè)g（x）=，則g（x）的導(dǎo)數(shù)為：g′（x）=，∵當(dāng)x＞0時總有xf′（x）＜f（x）成立，即當(dāng)x＞0時，g′（x）恒小于0，∴當(dāng)x＞0時，函數(shù)g（x）=為減函數(shù)，又∵g（﹣x）====g（x），∴函數(shù)g（x）為定義域上的偶函數(shù)又∵g（﹣1）==0，∴函數(shù)g（x）的圖象性質(zhì)類似如圖：數(shù)形結(jié)合可得，不等式f（x）＞0?x?g（x）＞0?或，?0＜x＜1或x＜﹣1．故選：A．【點評】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式，屬于綜合題．二、填空題（每小題5分）13．已知實數(shù)x，y滿足條件，則z=x﹣2y的最大值為﹣2．【考點】簡單線性規(guī)劃．【專題】作圖題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)學(xué)模型法；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得A（2，2），化目標(biāo)函數(shù)z=x﹣2y為，由圖可知，當(dāng)直線過A時，直線在y軸上的截距最小，z有最大值為2﹣2×2=﹣2．故答案為：﹣2．【點評】題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．14．已知等差數(shù)列{an}中，a3=，則cos（a1+a2+a6）=﹣1．【考點】等差數(shù)列的通項公式．【專題】計算題；函數(shù)思想；數(shù)學(xué)模型法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項公式求得a1+a2+a6，則cos（a1+a2+a6）可求．【解答】解：∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a3=，∴a1+a2+a6=，∴cos（a1+a2+a6）=cosπ=﹣1．故答案為：﹣1．【點評】本題考查等差數(shù)列的通項公式，考查了三角函數(shù)的求值，是基礎(chǔ)的計算題．15．已知點A（2，4）在拋物線y2=2px上，且拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線=1（a＞0，b＞0）的一個焦點，若雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的方程為．【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【專題】計算題；對應(yīng)思想；數(shù)學(xué)模型法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】由題意求出p，得到拋物線的準(zhǔn)線方程，進(jìn)一步求出雙曲線的半焦距，結(jié)合離心率求得a，再由隱含條件求出b，則雙曲線方程可求．【解答】解：∵點A（2，4）在拋物線y2=2px上，∴16=4p，即p=4．∴拋物線的準(zhǔn)線方程為x=﹣2．又拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線=1（a＞0，b＞0）的一個焦點，則c=2，而，∴a=1，則b2=c2﹣a2=4﹣1=3．∴雙曲線方程為．故答案為：．【點評】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查了雙曲線方程的求法，是基礎(chǔ)題．16．當(dāng)x∈[﹣2，1]時，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是[﹣6，﹣2]．【考點】函數(shù)恒成立問題．【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】分x=0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0三種情況進(jìn)行討論，分離出參數(shù)a后轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值即可，利用導(dǎo)數(shù)即可求得函數(shù)最值，注意最后要對a取交集．【解答】解：當(dāng)x=0時，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0對任意a∈R恒成立；當(dāng)0＜x≤1時，ax3﹣x2+4x+3≥0可化為a≥，令f（x）=，則f′（x）=﹣++=﹣（*），當(dāng)0＜x≤1時，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，f（x）max=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6；當(dāng)﹣2≤x＜0時，ax3﹣x2+4x+3≥0可化為a≤﹣﹣，由（*）式可知，當(dāng)﹣2≤x＜﹣1時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)﹣1＜x＜0時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是﹣6≤a≤﹣2，即實數(shù)a的取值范圍是[﹣6，﹣2]．故答案為：[﹣6，﹣2]．【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想，按照自變量討論，最后要對參數(shù)范圍取交集．若按照參數(shù)討論則取并集，是中檔題．三、解答題17．（12分）（2015秋?廈門校級期中）已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S1，S3，S2成等差數(shù)列，且a1﹣a3=3，（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）求Sn，并求滿足Sn≤2的n的值．【考點】等比數(shù)列的前n項和．【專題】綜合題；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（I）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由S1，S3，S2成等差數(shù)列，且a1﹣a3=3，可得2S3=S1+S2即=a1（2+q），=3，解出即可得出．（II）利用等比數(shù)列的前n項和公式，并對n分類討論即可得出．【解答】解：（I）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵S1，S3，S2成等差數(shù)列，且a1﹣a3=3，∴2S3=S1+S2即=a1（2+q），=3，解得a1=4，q=﹣．∴．（II）Sn==．，當(dāng)n為奇數(shù)時不滿足，當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn==≤2，解得n=2．【點評】本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項公式及其的前n項和公式、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．18．（12分）（2015秋?廈門校級期中）已知函數(shù)f（x）=﹣3，=（2sinx，4），=（2cosx，cos2x）．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值及此時x的值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊，若f（A）為f（x）的最大值，且a=2，sinC=sinB，求△ABC的面積．【考點】余弦定理；正弦定理．【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；解三角形；平面向量及應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）利用平面向量數(shù)量積的運算及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得函數(shù)解析式f（x）=4sin（2x+）﹣1，由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可解得最大值及此時x的值．（Ⅱ）由已知及（Ⅰ）可得：A=．利用正弦定理及sinC=sinB，可得c=，由余弦定理可得b，c，利用三角形面積公式即可得解．【解答】（本題滿分為12分）解：（Ⅰ）f（x）=﹣3=4sinxcosx+4cos2x﹣3=2sin2x+4×﹣3=2sin2x+2cos2x﹣1=4sin（2x+）﹣1…4分所以，當(dāng)2x+=2kπ，k∈Z時，f（x）取得最大值3，此時，x=k，k∈Z…6分（Ⅱ）∵f（A）為f（x）的最大值及A∈（0，π），由（Ⅰ）可得：A=…7分∵sinC=sinB，∴c=，由余弦定理可得：，把A=，a=2代入解得：b=2，可得c=2．∴△ABC的面積s=bcsinA==…12分【點評】本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運算及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．19．（12分）（2014?重慶）已知函數(shù)f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于直線y=x．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）由曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于直線y=x可得f′（1）=﹣2，可求出a的值；（Ⅱ）根據(jù)（I）可得函數(shù)的解析式和導(dǎo)函數(shù)的解析式，分析導(dǎo)函數(shù)的符號，進(jìn)而可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=+﹣lnx﹣，∴f′（x）=﹣﹣，∵曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于直線y=x．∴f′（1）=﹣a﹣1=﹣2，解得：a=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=+﹣lnx﹣，f′（x）=﹣﹣=（x＞0），令f′（x）=0，解得x=5，或x=﹣1（舍），∵當(dāng)x∈（0，5）時，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（5，+∞）時，f′（x）＞0，故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（5，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（0，5）；當(dāng)x=5時，函數(shù)取極小值﹣ln5．【點評】本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，是導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔．20．（12分）（2014?黑龍江）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦點，M是C上一點且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個交點為N．（1）若直線MN的斜率為，求C的離心率；（2）若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．【考點】橢圓的應(yīng)用．【專題】圓錐曲線中的最值與范圍問題．【分析】（1）根據(jù)條件求出M的坐標(biāo)，利用直線MN的斜率為，建立關(guān)于a，c的方程即可求C的離心率；（2）根據(jù)直線MN在y軸上的截距為2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程組關(guān)系，求出N的坐標(biāo)，代入橢圓方程即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵M(jìn)是C上一點且MF2與x軸垂直，∴M的橫坐標(biāo)為c，當(dāng)x=c時，y=，即M（c，），若直線MN的斜率為，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2+﹣a2=0，則，即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由題意，原點O是F1F2的中點，則直線MF1與y軸的交點D（0，2）是線段MF1的中點，設(shè)M（c，y），（y＞0），則，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位線，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，則|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即設(shè)N（x1，y1），由題意知y1＜0，則（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．即，即代入橢圓方程得，將b2=4a代入得，解得a=7，b=．【點評】本題主要考查橢圓的性質(zhì)，利用條件建立方程組，利用待定系數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強，運算量較大，有一定的難度．21．（12分）（2013?天津）設(shè)a∈[﹣2，0]，已知函數(shù)（Ⅰ）證明f（x）在區(qū)間（﹣1，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；（Ⅱ）設(shè)曲線y=f（x）在點Pi（xi，f（xi））（i=1，2，3）處的切線相互平行，且x1x2x3≠0，證明．【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)的幾何意義；導(dǎo)數(shù)的運算；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）令，．分別求導(dǎo)即可得到其單調(diào)性；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：f′（x）在區(qū)間（﹣∞，0）內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．已知曲線y=f（x）在點Pi（xi，f（xi））（i=1，2，3）處的切線相互平行，可知x1，x2，x3互不相等，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得．不妨x1＜0＜x2＜x3，根據(jù)以上等式可得，從而．設(shè)g（x）=3x2﹣（a+3）x+a，利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得．由，解得，于是可得，通過換元設(shè)t=，已知a∈[﹣2，0]，可得，故，即可證明．【解答】解：（Ⅰ）令，．①，由于a∈[﹣2，0]，從而當(dāng)﹣1＜x＜0時，，所以函數(shù)f1（x）在區(qū)間（﹣1，0）內(nèi)單調(diào)遞減，②=（3x﹣a）（x﹣1），由于a∈[﹣2，0]，所以0＜x＜1時，；當(dāng)x＞1時，，即函數(shù)f2（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增．綜合①②及f1（0）=f2（0），可知：f（x）在區(qū)間（﹣1，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知：f′（x）在區(qū)間（﹣∞，0）內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．因為曲線y=f（x）在點Pi（xi，f（xi））（i=1，2，3）處的切線相互平行，從而x1，x2，x3互不相等，且．不妨x1＜0＜x2＜x3，由+a=．可得，解得，從而．設(shè)g（x）=3x2﹣（a+3）x+a，則．由，解得，所以，設(shè)t=，則，∵a∈[﹣2，0]，∴，故，故．【點評】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運算與幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論的思想、化歸思想、函