復(fù)變函數(shù)期末考試試卷及答案詳解

復(fù)變函數(shù)期末考試試卷及答案詳解《復(fù)變函數(shù)》考試試題(一)三.計(jì)算題(40分):dz1,1、.(為自然數(shù))nn,f(z),|z,z|,10(zz),0D,{z:0,|z|,l}(z,l)(z,2)f(z)，求在1.設(shè)22sinz,cosz,2..內(nèi)的羅朗展式.1sinz3.函數(shù)的周期為.dz.,|z|,lcosz2.12f(z),,,,,3712,f(z)fzd,()z,lC,{z:|z|,3}f'(l,i).,C4.設(shè)，則的孤立奇點(diǎn)有.,z,3.設(shè)，其中，試求,z,lnw,nz5.冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為.,z，14.求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部.n0,6?若函數(shù)f(z)在整個(gè)平面上處處解析，則稱它是.四?證明題.(20分)zzz,,...,1.函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析.證明：如果在D內(nèi)為常數(shù)，f(z)|f(z)|12n,limlimz,,n,,nnn,,7.若，貝V.D那么它在內(nèi)為常數(shù).zesRe(,0),n0Rel,,z2.試證：在割去線段的平面內(nèi)能分出兩zfzzz()(l),,z8.，其中n為自然數(shù).z,,10Rel,,z個(gè)單值解析分支，并求出支割線上岸取正值的那支在sinz的值.9.的孤立奇點(diǎn)為.《復(fù)變函數(shù)》考試試題(二)z填空題.(20分)limf(z),zf(z)z,z0010.若是的極點(diǎn)，貝V.13sin(2z)1.設(shè)，則z,,i|z|,—,argz,—,z,―的冪級(jí)數(shù)展開式.1.求函數(shù)2222.設(shè)，則f(z),(x,2xy),i(l,sin(x,y),,z,x,iy,C2.在復(fù)平面上取上半虛軸作割線.試在所得的區(qū)域內(nèi)取定函數(shù)在正z實(shí)軸取正實(shí)值的一個(gè)解析分支,并求它在上半虛軸左沿的點(diǎn)及右沿的點(diǎn).limf(z),z,1,i處的值.z,idz,3..(為自然數(shù))inn,|z,z|,10(zz),0I,|z|dz3.計(jì)算積分：，積分路徑為(1)單位圓()|z|,l,,i,nnz4.冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為.的右半圓.,n0,sinzdz,z,25.若z是f(z)的m階零點(diǎn)且m>0,則z是的零點(diǎn).，f'(z)002(,)z24.求.z6.函數(shù)e的周期為.四.證明題.(20分)537.方程在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.2z,z,3z,8,0f(z)1.設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，試證:f(z)在D內(nèi)為常數(shù)的充要條件是1f(z),8.設(shè)，則的孤立奇點(diǎn)有.f(z)2在D內(nèi)解析.1，z2.試用儒歇定理證明代數(shù)基本定理.9.函數(shù)的不解析點(diǎn)之集為.f(z),|z|《復(fù)變函數(shù)》考試試題(三)填空題.(20分)z,1110..Res(,1),f(z),1.設(shè)，則f(z)的定義域?yàn)?42z，1zz三.計(jì)算題.(40分)2.函數(shù)e的周期為.2n，21n，,z,，i(1，)3.若，則.limz,nnn!n,,l,nnn的收斂半徑.2.試求冪級(jí)數(shù)z,n22n4..sinz，cosz,n,dzzedz,5..(為自然數(shù))nn,|z,z|,13.算下列積分:，其中是.C|z|,10(zz),22,0Cz(z,9),nnx6.冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為.,962n,0z,2z，z,8z,2,04.求在|z|<1內(nèi)根的個(gè)數(shù).四.證明題.(20分)1f(z),7.設(shè)，則f(z)的孤立奇點(diǎn)有.21.函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析?證明：如果在D內(nèi)為常f(z)|f(z)|z,lz數(shù)，那么它在D內(nèi)為常數(shù).8.設(shè)，貝V.z,___e,,l2.設(shè)是一整函數(shù)，并且假定存在著一個(gè)正整數(shù)n,以及兩個(gè)正數(shù)f(z)z9.若是的極點(diǎn)，則.f(z)limf(z),___0z,z0R及M,使得當(dāng)時(shí)|z|,Rzen10.Res(,0),.n|f(z)|,M|z|，z計(jì)算題.(40分)證明是一個(gè)至多n次的多項(xiàng)式或一常數(shù)。f(z)12zl.將函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)展為Laurent級(jí)數(shù).0,,,zfzze(),《復(fù)變函數(shù)》考試試題(四)3二.填空題.(20分)zlef(z),，求2.設(shè)Res(f(z),,).l.設(shè)，貝U.z,Rez,__,Imz,2z,ll,izzz，，...，12nz,lim2.若，則.limz,,n,,nn,,dz.n3..2,|z|,2z,，(9z)(zi)3.函數(shù)e的周期為.111f(z),4.函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式為2,1，zzze,14.函數(shù)有哪些奇點(diǎn)，各屬何類型(若是極點(diǎn)，指明它fz(),5.若函數(shù)f(z)在復(fù)平面上處處解析，則稱它是.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除去有限個(gè)極點(diǎn)之外處處解析，則稱它是D內(nèi)的階數(shù)).的.四.證明題.(20分)f(z)l.證明：若函數(shù)在上半平面解析，則函數(shù)在下半平面解f(z)7.設(shè)，則.C:|z|,l(z,l)dz,,C析.4sinz2.證明方程在內(nèi)僅有3個(gè)根.l,|z|,2z,6z,3,08.的孤立奇點(diǎn)為zz9.若是的極點(diǎn)，則.f(z)limf(z),___0z,z0《復(fù)變函數(shù)》考試試題(五)zeRes(,0),10..nz二.填空題.(20分)三.計(jì)算題.(40分)z,l,3il.設(shè)，貝U.|z|,—,argz,—,z,—3z，1,01.解方程.4z2.當(dāng)時(shí)，為實(shí)數(shù).z,___ez,1的實(shí)部與虛部.1.求復(fù)數(shù)z3.設(shè)，貝U.z,e,,1z，12.計(jì)算積分：z4.的周期為.e，I,Rezdz,L5.設(shè)，貝V.C:|z|,1(z,1)dz,___,C1，i在這里L(fēng)表示連接原點(diǎn)到的直線段.z2,,de,1I,3.求積分：，其中0<a<1.6.Res(,0),.2,01,2acos,，az若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除去有限個(gè)極點(diǎn)之外處處解析，則稱它是D內(nèi)4.應(yīng)用儒歇定理求方程，在|z|<1內(nèi)根的個(gè)數(shù)，在這里z,,(z)的。1f(z),8.函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式為.在上解析，并且.,(z)|z|,1|,(z)|,121，z證明題.(20分)sinz9.的孤立奇點(diǎn)為.2f(z),|z|1.證明函數(shù)除去在z,0外，處處不可微.z2.設(shè)是一整函數(shù)，并且假定存在著一個(gè)正整數(shù)n，以及兩個(gè)數(shù)Rf(z)16666dz,10.設(shè)C是以為a心，r為半徑的圓周，貝U.n,C(z,a)及M,使得當(dāng)時(shí)|z|,R(為自然數(shù))nn|f(z)|,M|z|,三.計(jì)算題.(40分)5ix證明:是一個(gè)至多n次的多項(xiàng)式或一常數(shù).f(z)稱為10.公式exix,，cossin二、計(jì)算題(30分)n2,i,,《復(fù)變函數(shù)》考試試題(六)1、.lim,,,,n6,,l.一、填空題(20分)2371,,,,n，21,Czz,,:32、設(shè)，其中，試求.fzdfi(1)，(),,n,,,zi,，，(1)limz,C1.若，貝.nnz,,1,nn1zfz(),2.設(shè)，則的定義域?yàn)閒z()e23、設(shè)，求.()Re((),)sfzifz,z，121z，sinz3.函數(shù)的周期為.3sinz4、求函數(shù)在內(nèi)的羅朗展式.0,,,z2264..sincoszz，,zz,1，,w,5、求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部.nnz5.冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為.z，1,n0,,,i3e6、求的值.，m,1zz6.若是的階零點(diǎn)且，則是的零fz()mfz()00三、證明題(20分)點(diǎn).7631、方程在單位圓內(nèi)的根的個(gè)數(shù)為6.zzz，，,,96107.若函數(shù)在整個(gè)復(fù)平面處處解析，則稱它是.fz()D2、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，等于常數(shù)，fzuxyivxy()(,)(,),，vxy(,)函數(shù)的不解析點(diǎn)之集為.fzz(),D則在恒等于常數(shù).fz()539.方程在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.2380zzz,，，,試卷一至十四參考答案13、若z是的階零點(diǎn)，則z是的階極點(diǎn).fz()mm00fz()《復(fù)變函數(shù)》考試試題(一)參考答案二(填空題21,in,,2k,;2.1;3.，;4.zi,,;5.1.()kz,,01n,,,(計(jì)算下列積分((,分)12z,2sinzdz(1);(2)(dz2,,1z,4z,2,zz(3),26.整函數(shù)；7.;8.;9.0;,()z,(1)!n,2d,10..計(jì)算積分((,分),0三(計(jì)算題.53cos,,,(求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑((,分)1.解因?yàn)樗?1,,,z01,,z2,,(!)nnnnz(1),iz(1);(2)(,,n,,1z111nnnn,11n,,,z().fz(),,,,,z22(1)(2)1zzz,,,00nn,,2(1),3232lfzmynxyixlxy()(),,,,,(設(shè)為復(fù)平面上的解析函數(shù)，試確定，2,的值((,分)2.解因?yàn)閙n三、證明題(，z,12DDfz(),(設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，在區(qū)域內(nèi)也解析，證明必fz()fz()Re()limlim1sfz,,,,,,,,cossinzz,zz,,z,222為常數(shù)((,分)bazazb,,,0,(試證明的軌跡是一直線，其中為復(fù)常數(shù)，為實(shí)常a數(shù)((,分)72222,令fzuivfzuvc(),(),,,,，則z,12.Re()limlim1sfz,,,,,,uuvv,,0(1)cossinzz,,zz,,,,z,,xx222xy,兩邊分別對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，得,uuvv,,0(2)yy,1所以.dzisfzsfz,,,,2(Re()Re()0,,,z,2Duvuv,,,,因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)解析，所以.代入(2)則上述方程組變zcoszz,,,xyyx22為2,,,,()371,,,3.解令，則它在平面解析，由柯西公式有在zz,3uuvv,,0,xx22()0uvv,,u.消去得，.內(nèi)，，xxvuuv,,0xx,,,()fzdziz,,()2().,,,c,z,221)若，則為常數(shù).fz()0,uv,,0,,所以.fiiziii(1)2()2(136)2(613),,,,,,,,,,,zi,,lu,0CR..,v,0u,0,2)若，由方程(1)(2)及方程有，yxxzabi,，4.解令，則v,0.yzabiab,，,，122(1)2(1)2.w,,,,,,,,111222222ucvc,,,cc,所以.(為常數(shù)).zzababab,,,,,,,,11(1)(1)(1)1212za,,12(1)zb,12fzcic(),,所以為常數(shù).12故，.Re()1,,Im(),2222zab,,,1(1)zab,,,1(1)0Re1,,z2.證明的支點(diǎn)為.于是割去線段的z,0,1fzzz()(1),,四.證明題.z平面內(nèi)變點(diǎn)就不可能單繞0或1轉(zhuǎn)一周，故能分出兩個(gè)單值解析分支.D1.證明設(shè)在內(nèi).fzC(),由于當(dāng)從支割線上岸一點(diǎn)出發(fā)，連續(xù)變動(dòng)到時(shí)，只有的幅角z,0,1zz8,,,2k增加.所以，i2.則fzzrek(),(0,1),,,,的幅角共增加.由已知所取分支在支割線上岸取正值，fzzz()(1),,k,0又因?yàn)樵谡龑?shí)軸去正實(shí)值，所以.2,,iz,,1于是可認(rèn)為該分支在上岸之幅角為0,因而此分支在的幅角為，4所以.fie(),2,,,i,i,,,3.單位圓的右半圓周為，?，ze,2故.fei(1)22,,,22,,iii,,22zdzdeei,,,2所以.，，，，，i,,22《復(fù)變函數(shù)》考試試題（二）參考答案4.解sinzdz二.填空題,,,2(sin)2cos,iz,iz,,,z,2,2z,z,(,)z2221,in,,,2=0.,1.1，，i;2.;3.;4.1;3(lsin2),,i,四.證明題.201n,,fzcic(),，cc,1.證明(必要性)令,則.(為實(shí)常數(shù)).fzcic(),,121212m,15..uvuv,,,,0uxycvxyc(,),(,),,,令.則.xyyx12R2ki,,i6.，.7.0;8.;9.;()kz,Duvuv,,,CR..,fz()uv,即滿足,且連續(xù),故在內(nèi)解析.xyyx10.0.fzuiv(),,(充分性)令，則，fzuiv(),,三.計(jì)算題Dfz()因?yàn)榕c在內(nèi)解析，所以fz()nnnnn3212163，，，,,(1)(2)(1)2,,zz3uvuv,,,,uvvuvv,,,,,,,,,(),(),且.xyyxxyyyxxsin(2)z,,l.解.，，(21)!(21)!nn,,nn,,00Duvuv,,,,0uv,比較等式兩邊得?從而在內(nèi)均為常數(shù)，故xyyxD在內(nèi)為常數(shù).fz()i,2.解令.zre,nn,lazazazaa,,,,,,,,,0(0)2.即要證“任一次方程n0110nn,9n,1有且只有個(gè)根”.ncnnn!(l)ll,,nnnnn,1.2.解limlimlim()lim(1),,,,，,efzazazaza()0,，，,,,，，,n證明令,取nnnn,,,,,,,,011nn,cnnnn(1)!，n，1,,aa，,,,，所以收斂半徑為.e,,1n,當(dāng)在上時(shí),有max,1R,zCzR:,,,zzaee1,,0,,()fz,3.解令,則.,,,Re()sfz222nnn,,11,0z(9)zz,,z99.,()()zaRaRaaaRaR,，,,,，，,，,,,，,,0z1110nnn,2i,.,fz(),,,2Re()isfz故原式.，z,09nn,1azazaza,,,,,,,,0由儒歇定理知在圓內(nèi),方程與zR,962011nn,fzzzz()22,,，,4.解令，.，()8zz,,naz,0有相0C:則在上均解析，且，故fzz()()與，z,lfzz()6()&,,,naz,0z,0同個(gè)數(shù)的根.而在內(nèi)有一個(gè)重根?因此nnzR,0由儒歇定理有次方程在內(nèi)有個(gè)根.nzR,.即在內(nèi),方程只有一個(gè)根.NfCNfC(,)(,)1，,，,,,z,1證明題.D1.證明證明設(shè)在內(nèi).fzC(),《復(fù)變函數(shù)》考試試題(三)參考答案2222二.填空題.fzuivfzuvc(),(),,,,,則令.,,leizzizC,,,，且1.;2.;3.;4.1;5.2()kikz,,,,uuvv，,0(1),xx21,in,,xy,兩邊分別對(duì)求偏導(dǎo)數(shù),得,;uuvv，,0(2),yy,01n,,,i6.1;7.;8.;9.;zki,,(21),,Duvuv,,,，因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)解析，所以.代入(2)則上述方程組變xyyxllO..為(1)!n,計(jì)算題.uuvv，,0,xx221,，n2()0uvv，,,u.消去得,.,xx11z22zvuuv,,0,，，，,,,,zez(1)1.解.xx,,2zzn2!!n,010122.1),則為常數(shù).fz()0,uv，,0(1)!n，三.計(jì)算題.u,0CR..,v,0u,0,2)若,由方程(1)(2)及方程有,yxx1.,,,,2k,2k,3v,0.解：z,,1,z,cos,isink,0,1,2y33,,13ucvc,,,cc,所以.(為常數(shù)).1212z,cos,isin,,i13322,,z,cos,isin,,12fzcic(),,所以為常數(shù).12,,5513z,cos，isin,,i33322rR,kn,2.證明取,則對(duì)一切正整數(shù)時(shí),zz,1neeeekfzkMr!()!()k2.解,.Re(),,Re(),,sfzsfz,,fdz(0).，lkk,,l,zrzz,,l,12,,12zz,2zr,lzz,,l()k,lkn,f(0)0,于是由的任意性知對(duì)一切均有.r故原式.,，,,2(Re()Re())(),,isfzsfzieezz,,,11nz,fzcz(),故，即是一個(gè)至多次多項(xiàng)式或常數(shù).fz()n,nn3.解原式，，，2Re()2.isfzi,,2,0kzi,,95,zzi,,zz,e,1《復(fù)變函數(shù)》考試試題(四)參考答案11,zzzz(e,1)z,0,z,2k,i.z(e,1),0ze,14.解=，令，得，二.填空題.k,,1,,2,？11zz1.,;2.;3.2()kikz,,;4.,11z,e,ll,e22lim(,),lim,limzzzz,0,0,0zzzze,l(e,l)ze,l,ze,而nn2(l)(l),,zz;5.整函數(shù);,ze1,n0,lim,,,zzzz,0z,06.亞純函數(shù);7.0;8.;9.,;10.？z,02eeze,,為可去奇點(diǎn)11z一.判斷題.(k,0),z,e,1,0z,2k,i當(dāng)時(shí)，1(?,(?,(X,(?,(X6(X,(X,(?,(?10(?.,zzz二.填空題.，，(e,l)z,e,l,ze,0,,z,2kiz,2ki,?z,2k,i而為，，;2.;1.2,13,iakikza,,2(,),為任意實(shí)數(shù)3—階極點(diǎn).,;4.;5.0;(21)ki,,()kz,2,()kikz,,四.證明題.6.0;Fzfz()(),z1.證明設(shè)，在下半平面內(nèi)任取一點(diǎn)，是下半平面內(nèi)異z0,nn2z于的點(diǎn)，考慮(1)(1),,zz7.亞純函數(shù)；8.;9.0;10.0,n0,FzFzfzfzfzfz()()()()()(),,,00021,in,,.limlimlim,,.zzzzzz,,,,000zzzzzz,,,00001n,,z而，在上半平面內(nèi)，已知在上半平面解析，因此zfz()三.計(jì)算題.0zabi,,1.解令，則,,Fzfz()(),,從而在下半平面內(nèi)解析.Fzfz()(),00()zz,2.證明令,,則與在全平面解析,fzz()63,,,fz(),()zzabiab,,,,122(1)2(1)2且在上，,Cz:2,fzz()15()16,,,,lw,,,,,,,.111222222zzababab,,,,,,,,11(1)(1)(1)NfCNC(,)(,)4,,,,,故在內(nèi).z,211za,,12(1)zb,12在上，,Cz:1,fzz()3()1,,,,故,.2Re()1,,Im(),2222zab,,,1(1)zab,,,1(1)NfCNfC(,)(,)1,,,,故在內(nèi).z,1221,i2.解連接原點(diǎn)及的直線段的參數(shù)方程為zitt,,,,(1)01,所以在內(nèi)僅有三個(gè)零點(diǎn)，即原方程在內(nèi)僅有三f,,12,,z12,,z111,iReRe[(1)](1)(1)zdzitidtitdt,,,,,,故.,,,,,個(gè)根.c002dzi,d,,a,03.令，貝V.當(dāng)時(shí)ze,iz《復(fù)變函數(shù)》考試試題(五)參考答案12()(1)zaaz,,212,,12cos1(),,,,,,,aaazza,z《復(fù)變函數(shù)》考試試題(六)參考答案1dz1故,，且在圓內(nèi)只以fz(),Iz,1,z,,1,,1ei2,二、填空題:1.2.3.4.15.z,1,,()(1)zaaz,,izaaz()(1)1為一級(jí)極點(diǎn)，在上無奇點(diǎn)，故za,z,1m,16.階7.整函數(shù)8.9.01110.歐拉公式，由殘數(shù)定理有sfza,,,,Re(),(01)2za,,,aza11za，三、計(jì)算題：12,Iisfza,,,,2Re(),(01).,22115,iza,ia,1,,,,1,1.解：因?yàn)?9366C:4.解令則在內(nèi)解析，且在上，fzz(),,,fzz(),(),z,1z,12,i,n,()1()zfz,,lim()0,故.n,,6所以在內(nèi)，，即原方程在內(nèi)只有NfCNfC(,)(,)1,,,,z,1z,1解：123,,,,i—個(gè)根.證明題.1()f,22uxyxyvxy(,),(,)0,，,1.證明因?yàn)?故？，fzd(),,C,2iz,,uxuyvv,,,,2,2,0.xyxy2371,,,,z,OCR..,這四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在平面上處處連續(xù),但只在處滿足條件,zd,.,,Cz,0故只在除了外處處不可微.fz()z,,rR,kn,2.證明取,則對(duì)一切正整數(shù)時(shí),2nfi()2(371),,,,,,,因此kfzkMr!()!()k,,fdz(0).,1kk,,zr,2zr2fzizz()2(371),,,,故()kkn,f(0)0,于是由r的任意性知對(duì)一切均有.nfzcz(),,故,即是一個(gè)至多次多項(xiàng)式或常數(shù).fz()nfiiziii(1)2(67)2(136)2(613),,,,,,,,,,,.,nn1,i,0k13zz與在單位圓內(nèi)有相同個(gè)數(shù)的零點(diǎn)，根據(jù)儒歇定理，fz()fzz()(),,eell,,,()23.解：zzizi，，,12763而的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6，故在單位圓內(nèi)的根的個(gè)數(shù)fz()zzz，，,,9610為6.ieRe((),).?,sfziDvv,,02.證明：設(shè)，貝山由于在內(nèi)vxyabi(,),，fzuiv(),，xy2nn321，,uv,,0uv,,,0解析，因此有，?，，(，)xyD(l)(),zxyyx3sin,z,4.解：,(21)!n，n,0D于是故，即在內(nèi)恒為常uxycdi(,),，fzacbdi()()(),，，，fz()3n,sin(1)z,63n,？,z.數(shù).,6zn(21)!，n,0z3.證明：由于是的階零點(diǎn)，從而可設(shè)fz()m022zxiyxyyi,,，，,，ll(l)2w,,,5(解：設(shè)，貝V.zxiy,，m22fzzzgz()()(),,，zziyxy，，，，，11(1)022zgz()0,其中在的某鄰域內(nèi)解析且，gz()xyy,,1200?,,Re,Im.ww2222(1)(1)xyxy，，，，111,,于是m,,ifzzzgz,()()(),,1036(解：eii,,,,,,cos()sin()(13).332lgz()O,zDD由可知存在的某鄰域，在內(nèi)恒有，因此gz()0,6730011四、1?證明：設(shè)fzzzzz()9,()61,,,，,,gz()則在上，即有.fzz()9,()1618,,,,,,,z,1fzz()(),,1Dz在內(nèi)解析，故為的階極點(diǎn).m10fz()1410、若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)的解析，且在D內(nèi)某個(gè)圓內(nèi)恒為常數(shù)，《復(fù)變函數(shù)》模擬考試試題則在區(qū)域D內(nèi)恒等于常數(shù)。()《復(fù)變函數(shù)》考試試題,一,二、填空題(4x5=20分)一、判斷題(4x10=40分)：1C、若是單位圓周，n是自然數(shù)，則。1dz,n,1、若函數(shù)f(z)在乙解析Uf(z)在乙的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)。()C00(z,z)02、有界整函數(shù)必在整個(gè)復(fù)平面為常數(shù)。()2222、設(shè)，則f(z),(x,2xy),i(1,sin(x,y),,z,x,iy,C3、若函數(shù)在D內(nèi)連續(xù)，則u(x,y)與v(x,y)都f(z),u(x,y),iv(x,y)。limf(z),z,1,i在D內(nèi)連續(xù)。()1f(z),3、設(shè)，則f(z)的定義域?yàn)椤?4、cosz與sinz在復(fù)平面內(nèi)有界。()z，1,,5、若z是的m階零點(diǎn)，則z是1/的m階極點(diǎn)。()f(z)f(z)00nnz4、的收斂半徑為。,n,06、若f(z)在z處滿足柯西-黎曼條件，則f(z)在z解析。()00ze7、若存在且有限，則z是函數(shù)的可去奇點(diǎn)。()limf(z)0Res(,0),5、。z,zn0z8、若f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，則對(duì)D內(nèi)任一簡單閉曲線C三、計(jì)算題(8x5=40分)：1都有。()f(z)dz,0,f(z),CD,{z:0,|z|,l}f(z)(z,l)(z,2)l、設(shè)，求在內(nèi)的羅朗展9、若函數(shù)f(z)是單連通區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，則它在D內(nèi)有任意式。階導(dǎo)數(shù)。()151dzz，1esinzdz，,,|z|,1|z|,32,i(z,1)(z,4)2、求。3sin(2z)3、求函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式。1f(z),2,|z|,，,4、求在內(nèi)的羅朗展式。(z,1)(z,2)45、求，在|z|<1內(nèi)根的個(gè)數(shù)。z,5z，1,0《復(fù)變函數(shù)》考試試題,二,一、判斷題(4x10=40分)：1、若函數(shù)f(z)在乙解析，則f(z)在乙連續(xù)。()002、有界整函數(shù)必為常數(shù)。(){Rez}{Imz}{z}3、若收斂，則與都收斂。()nnnf(z),C4、若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，且，貝V(常數(shù))。()f'(z),0165、若函數(shù)f(z)在乙處解析，則它在該點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)可以展開為三、計(jì)算題(8x5=40分)：0冪級(jí)數(shù)。()1dz.1、，|z|,1cosz6、若f(z)在乙解析，則f(z)在z處滿足柯西-黎曼條件。()00iz7、若函數(shù)f(z)在乙可導(dǎo)，則f(z)在乙解析。()00e2、求Res(,i).2,1z8、若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，貝U|f(z)|也在D內(nèi)解析。()n9、若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑大于零，則其和函數(shù)必在收斂圓內(nèi)解析。2,i,,3、lim.,,,,n6(),,12k,10、cosz與sinz的周期均為。()f(z),4、求在內(nèi)的羅朗展式。2,|z|,,,(z,l)(z,2)二、填空題(4x5=20分)TOC\o"1-5"\h\z962z,2z,z,8z,2,05、求在|z|<1內(nèi)根的個(gè)數(shù)。dz,l、。n,|z,z|,10(zz),01f(z),2、設(shè)，則f(z)的孤立奇點(diǎn)有。2z,13、若函數(shù)f(z)在復(fù)平面上處處解析，則稱它是。22sinz，cosz,4、。5、若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除去有限個(gè)極點(diǎn)之外處處解析，則稱它是D內(nèi)的。17《復(fù)變函數(shù)》考試試題,三,一、判斷題(3x10=30分)：1、若函數(shù)f(z)在z處滿足Cauchy-Riemann條件，則f(z)在z解析。00()2、若函數(shù)f(z)在z解析，貝Jf(z)在z的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)。()003、如z是函數(shù)f(z)的本性奇點(diǎn)，則limf(z)—定不存在。()0z,z04、若函數(shù)f(z)在z可導(dǎo)，則f(z)在乙解析。()005、若函數(shù)f(z)二u(x,y)+iv(x,y)在D內(nèi)連續(xù)，貝匸元函數(shù)u(x,y)與(x,y)。()sinz6、函數(shù)與在整個(gè)復(fù)平面內(nèi)有界。()cosz7、若函數(shù)f(z)在2處解析，則它在該點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)可以展開為0冪級(jí)數(shù)。()8、若z是的m階零點(diǎn)，則z是1/的m階極點(diǎn)。()f(z)f(z)009、存在整函數(shù)f(z)將復(fù)平面映照為單位圓內(nèi)部。()18ix10、若函數(shù)f(z)是區(qū)域D內(nèi)解析且在D內(nèi)的某個(gè)圓內(nèi)恒為常數(shù)，稱為.10、公式e,cosx，isinx則數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)為常數(shù)。()三、計(jì)算題(8x5=40分)：二、填空題(2x10=20分)2,,，，371n，21,1、設(shè)，其中，試求fzd,()C,{z:|z|,3}f'(1，i).n,z,，i(1，)C1、若，則。limz,n,zn,n,,1,nn11dzz，1C2、若是單位圓周，n是自然數(shù)，則。dz,esinzdz，2、求。n,,,C|z|,1|z|,3(z,z)2,i(z,1)(z,4)0zsinz3、函數(shù)的周期為。ef(z),3、設(shè)，求Res(f(z),,).21z,1f(z),4、設(shè)，則的孤立奇點(diǎn)有。f(z)2z，11z,e4、求函數(shù)在內(nèi)的羅朗展式。0,|z|,，,nnx5、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為,z,1n,0w,5、求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部。z，16、若z是f(z)的m階零點(diǎn)且m>0，則z是的零點(diǎn)。f'(z)00221，i1,i,,,,6、求.，，，，，227、若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除去有限個(gè)極點(diǎn)之外處處解析，則稱它,,,,是D內(nèi)。、四、證明題(6+7+7=20分)：1、設(shè)是函數(shù)f(z)的可去奇點(diǎn)且，試證：，limf(z),A,C8、函數(shù)的不解析點(diǎn)之集為。f(z),|z|z,,20202020z。Res(f(z),,),,limz(f(z),A)ez,,9、，其中n為自然數(shù)。Res(,0),nz2、若整函數(shù)f(z)將復(fù)平面映照為單位圓內(nèi)部且f(0),0,則19lim()fz。f(z),0(,z,C)是f(z)的本性奇點(diǎn)，則一定不存在。()2、如果z0zz,043、若存在且有限，則z是f(z)的可去奇點(diǎn)。()limf(z)03、證明方程在內(nèi)僅有3個(gè)根。1,|z|,2z,6z,3,0z,z04、若函數(shù)f(z)在乙可導(dǎo)，則它在該點(diǎn)解析。()0{z}{Rez}{Imz}5、若數(shù)列收斂，則與都收斂。()nnn6、若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，貝U|f(z)|也在D內(nèi)解析。()7、若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑大于0，則其和函數(shù)必在收斂圓內(nèi)解析。()8、存在整函數(shù)f(z)將復(fù)平面映照為單位圓內(nèi)部。()9、若函數(shù)f(z)是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，且在D內(nèi)的某個(gè)圓內(nèi)恒等于常數(shù)，則f(z)在區(qū)域D內(nèi)恒等于常數(shù)。()10、。()|sinz|,1(,z,C)二、填空題(2x10=20分)zl、函數(shù)e的周期為。《復(fù)變函數(shù)》考試試題，四，，，nnz2、冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)為。,一、判斷題(3x10=30分)：n,0zl、若函數(shù)f(z)在z解析，貝Uf(z)在z的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)。()003、函數(shù)e的周期為。lnf(z),4、設(shè)，則的孤立奇點(diǎn)有。f(z)2,i,,21,zlim.3、，，，，n6,,的收斂半徑為。zne4、求函數(shù)在內(nèi)的羅朗展式。0,|z|,，,nx5、冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)為。，n,08525、求方程在單位圓內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。z,4z，z,16、若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除去有限個(gè)極點(diǎn)之外處處解析，則稱它是D內(nèi)的。n1，i,,zzz，，...，lim6、求。，，12n,lim7、若，則。limz,,,,n2n,,,,nn,,n四、證明題(6+7+7=20分)zel、設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，試證:f(z)在。內(nèi)為常數(shù)的充要s8、，其中n為自然數(shù)。Re(,0),nzf(z)條件是在D內(nèi)解析。539、方程在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為。2z,z，3z，8,02、如果函數(shù)在上解析，且，f(z)D,{z:|z|,1}|f(z)|,1(|z|,1)1f(z),10、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式為。21，z則。|f(z)|,1(|z|,1)三、計(jì)算題(5x6=30分)：852z3、設(shè)方程證明：在開單位圓內(nèi)根的個(gè)數(shù)為5。z,4z，z,1,01、dz.2,|z|,2,，(9z)(zi)ize2、求Res(,i).2，1z216、若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則對(duì)D內(nèi)任一簡單閉曲線C都有。()f(z)dz,0,C7、若，則函數(shù)f(z)在是D內(nèi)的單葉函數(shù)。()f'(z),0(,z,D)8、若z是f(z)的m階零點(diǎn)，則z是1/f(z)的山階極點(diǎn)。()009、如果函數(shù)f(z)在上解析，且，D,{z:|z|,1}|f(z)|,1(|z|,1)則。()|f(z)|,1(|z|,1)《復(fù)變函數(shù)》考試試題,五,10、。()|sinz|,l(,z,C)—、判斷題(3x10=30分)：二、填空題(2x10=20分)1、若函數(shù)f(z)在乙解析，則f(z)在z連續(xù)。()00n,21nz,，i(1，)1、若，則。limz,nn2、若函數(shù)f(z)在z處滿足Cauchy-Riemann條件，則f(z)在z解析。00z,，,1,nn1()f(z),2、設(shè)，則的定義域?yàn)?。f(z)2z，13、若函數(shù)f(z)在乙解析，則f(z)在乙處滿足Cauchy-Riemann條件。003、函數(shù)sinz的周期為。()224、。sinz，cosz,4、若函數(shù)f(z)在是區(qū)域D內(nèi)的單葉函數(shù)，則。()f'(z),0(,z,D)，,nnz5、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為。，5、若f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，則對(duì)D內(nèi)任一簡單閉曲線Cn,0都有f(z)dz,0。(),C6、若z是f(z)的m階零點(diǎn)且m>1，則z是f'(z)的零點(diǎn)。00227637、若函數(shù)f(z)在整個(gè)復(fù)平面處處解析，則稱它是。在單位圓內(nèi)的根的個(gè)數(shù)為6。1、方程z,9z，6z,1,08、函數(shù)f(z)=|z|的不解析點(diǎn)之集為。f(z),u(x,y)，iv(x,y)2、若函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析，等于常v(x,y)539、方程在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為。2z,z，3z，&0數(shù)，則在D內(nèi)恒等于常數(shù)。fx()ix10、公式稱為。e,cosx，isinx3、若z是的m階零點(diǎn)，則z是1/的m階極點(diǎn)。f(z)f(z)00三、計(jì)算題(5x6=30分)：n2,i,,1、lim.,,,,n6,,2,,，，371,2、設(shè)，其中，試求fzd,()C,{z：|z|,3}f'(1，i).,C,z,ze3、設(shè)，求()fz,Re((),).sfzi21z,3sinz4、求函數(shù)在內(nèi)的羅朗展式。0,|z|,,6zz,1w,5、求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部。z，1,,i3e6、求的值?！稄?fù)變函數(shù)》考試試題,六,四、證明題(6+7+7=20分)2322—、判斷題(3x8=24分)。4、sinz,cosz,1、若函數(shù)f(z)在z解析，貝Uf(z)在z的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)。()00,,22nnz5、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為。，2、若函數(shù)f(z)在z處解析，則f(z)在乙滿足Cauchy-Riemann條件。OOnO,()6、若z是f(z)的m階零點(diǎn)且m>1,貝Uz是的零點(diǎn)。f'(z)003、如果z是f(z)的可去奇點(diǎn)，則一定存在且等于零。()limf(z)0z,z07、若函數(shù)f(z)在整個(gè)復(fù)平面處處解析，則稱它是。4、若函數(shù)f(z)是區(qū)域D內(nèi)的單葉函數(shù)，則。()f'(z),0(,z,D)8、函數(shù)f(z)=|z|的不解析點(diǎn)之集為。835、若函數(shù)f(z)是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，則它在D內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)。9、方程在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為。3380zzz,，，,()zeRes(,0),10、。6、若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)的解析，且在D內(nèi)某個(gè)圓內(nèi)恒為常數(shù)，nz則在區(qū)域D內(nèi)恒等于常數(shù)。()三、計(jì)算題(5x6=30分)7、若z是f(z)的山階零點(diǎn)，則z是1/f(z)的m階極點(diǎn)。()00221,i1,i,,,,1、求.，，，，，8、。()|sinz|,1(,z,C)22,,,,26262二、填空題(2x10=20分)，，，，371,2、設(shè)fzd,，其中，試求()C,{z:|z|,3}f'(l,i).,C11n,z,zi,，，sin(1)1、若，貝U。limz,nn,，,n,nn1zzefz(),2、設(shè)，則的定義域?yàn)椤(z)3、設(shè)()，求fz,Re((),0).sfz22z，1zz3、函數(shù)的周期為。e24z4、求函數(shù)在內(nèi)的羅朗展式。1||2,,z(1)(2)zz,,z,1w,5、求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部。z，12,dx,(1).a,6、利用留數(shù)定理計(jì)算積分:,0ax，cos四、證明題(6+7+7=20分)76331、方程在單位圓內(nèi)的根的個(gè)數(shù)為7。249610zzzz，，，，,《復(fù)變函數(shù)》考試試題，七，2、若函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析，等于f(z),u(x,y),iv(x,y)|()|fz一、判斷題(2x10=20分)常數(shù)，則在D內(nèi)恒等于常數(shù)。fz()1、若函數(shù)f(z)在z可導(dǎo)，則f(z)在z解析。()002、若函數(shù)f(z)在z處滿足Cauchy-Riemann條件，則f(z)在z解析。003、若z是的m階零點(diǎn)，則z是1/的m階極點(diǎn)。f(z)f(z)00()五、計(jì)算題(10分)3、如果z是f(z)的極點(diǎn)，則一定存在且等于無窮大。()limf(z)0z,z0求一個(gè)單葉函數(shù)，去將z平面上的上半單位圓盤{:||1,Im0}zzz,,4、若f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，則對(duì)D內(nèi)任一簡單閉曲線C保形映射為w平面的單位圓盤。{:||1}ww,都有。()f(z)dz,0,C5、若函數(shù)f(z)在2處解析，則它在該點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)可以展開為0冪級(jí)數(shù)。()256、若f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，則對(duì)D內(nèi)任一簡單閉曲線C7、若函數(shù)f(z)在整個(gè)復(fù)平面除去有限個(gè)極點(diǎn)外，處處解析，則稱它是。都有。()f(z)dz,0,Cfzz(),的不解析點(diǎn)之集為。8、函數(shù)7、若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)的解析，且在D內(nèi)某一條曲線上恒為常83數(shù)，則f(z)在區(qū)域D內(nèi)恒等于常數(shù)。()9、方程在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2011350zzz,，，,8、若z是f(z)的m階零點(diǎn)，則z是1/f(z)的m階極點(diǎn)。()00。9、如果函數(shù)f(z)在上解析，且，則D,{z:|z|,1}|f(z)|,1(|z|,1)ze10、。Res(,1),21z,。()|f(z)|,1(|z|,1)三、計(jì)算題(5x6=30分)z10、。()lime,,n,,z2,i,,1、lim.,,,,二、填空題(2x10=20分)n6,,n2nzi,，,sin(1)1、若，貝U。limz,nn2z,，,,,，，1，nn371,2、設(shè)fzd,，其中，試求()C,{z:|z|,3}f'(1，i).,C1,z,fz(),2、設(shè)，則的定義域?yàn)椤(z)sinzz3、函數(shù)sinz的周期為。e3、設(shè)()，求fz,Re((),).sfzi,21z，224、。sinz，cosz,z，,4、求函數(shù)在內(nèi)的羅朗展式。1||2,,znnz5、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為。(1)(2)zz,,,n,0z,1w,5、求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部。6、若z是f(z)的m階零點(diǎn)且m>1，則z是f'(z)的零點(diǎn)。z，1002，,xx,，26、利用留數(shù)定理計(jì)算積分。dx,42,,xx，，109《復(fù)變函數(shù)》考試試題,八,四、證明題(6+7+7=20分)763二、判斷題(4x10=40分)：1、方程在單位圓內(nèi)的根的個(gè)數(shù)為6。z,9z,6z,1,01、若函數(shù)f(z)在乙解析，則f(z)在乙的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)。()002、若函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析，等于f(z),u(x,y)，iv(x,y)u(x,y)limf(z)2、如果z是f(z)的本性奇點(diǎn)，則一定不存在。()0z,z0常數(shù)，則在D內(nèi)恒等于常數(shù)。fz()3、若函數(shù)在D內(nèi)連續(xù)，則u(x,y)與v(x,y)都f(z),u(x,y)，iv(x,y)3、若z是的m階零點(diǎn)，則z是1/的m階極點(diǎn)。f(z)f(z)00在D內(nèi)連續(xù)。()五、計(jì)算題(10分)4、cosz與sinz在復(fù)平面內(nèi)有界。(),{:Im}zz,,求一個(gè)單葉函數(shù)，去將z平面上的帶形區(qū)域保形,5、若z是的m階零點(diǎn)，則z是1/的m階極點(diǎn)。()f(z)f(z)200映射為w平面的單位圓盤。{：||1}ww,6、若f(z)在z處滿足柯西-黎曼條件，貝Uf(z)在乙解析。()00limf(z)7、若存在且有限，則z是函數(shù)的可去奇點(diǎn)。()0z,z08、若f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，則對(duì)D內(nèi)任一簡單閉曲線Cf(z)dz,0都有。(),C9、若函數(shù)f(z)是單連通區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，則它在D內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)。()2710、若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)的解析，且在D內(nèi)某個(gè)圓內(nèi)恒為常數(shù)，22uxyxy(,)ln(),，。求，使得4設(shè)v(x,y)f(z),u(x,y)，iv(x,y)則在區(qū)域D內(nèi)恒等于常數(shù)。()二、填空題(4x5=20分)z,D為解析函數(shù)，且滿足。其中(D為復(fù)平面fi(l)ln2,,zl、函數(shù)e的周期為。，,內(nèi)的區(qū)域)。n2、冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)為。nz,n,014f(z),3、設(shè)，則f(z)的定義域?yàn)?。z,5z，1,05、求，在|z|<l內(nèi)根的個(gè)數(shù)2z，1，,n4、nz的收斂半徑為。,n,0ze5、。Res(,0),nz三、計(jì)算題(8x5=40分)：zdz.1、2,|z|,2,，(9z)(zi)izeRes(,,i).22、求1，znn1，i1,i,,,,，,,,,3、nn1，i1,i,,,,，,,,,3、22,,,,28也是的根。則P(z)z0()M3(如果函數(shù)為整函數(shù)，且存在實(shí)數(shù)，使得，f(z)Ref(z),M則為f(z)一常數(shù)。()4(設(shè)函數(shù)與在區(qū)域D內(nèi)解析，且在D內(nèi)的一小段f(z)f(z)12弧上相等，z,D則對(duì)任意的，有。f(z)f(z),125(若是函數(shù)的可去奇點(diǎn)，貝V。z,,f(z)Resf(z),Oz,,《復(fù)變函數(shù)》考試試題，九,()一、判斷題。(正確者在括號(hào)內(nèi)打？，錯(cuò)誤者在括號(hào)內(nèi)打X,2,5=10二、填空題(每題2分)分)23456i,i,i,i,i,1(。z,01(當(dāng)復(fù)數(shù)時(shí)，其模為零，輻角也為零。(),y,lnn,,,,argz,,,,arctan,P(z),az，az，,,,，aza,02(若是多項(xiàng)式()的根，2(設(shè)，且，，當(dāng)z,x，iy,010nn,0n22x29y,argz,arctan，時(shí)，。x,0,y,0，貝U,(a),O,,(a),O,,(a),Ox122。Resf(z),w,(x,1)，y,13(函數(shù)將平面上的曲線變成平面上的曲zwz,az線。10(設(shè)為函數(shù)的m階極點(diǎn)，則f(z)a44,fz()z，a,0(a,0)4(方程的不同的根為sRe,。z,afz()三、計(jì)算題。(50分)i1(1，i)5(。22u(x,y),ln(x，y)1(設(shè)。求，使得v(x,y)2,1nn[2，(,1)]z6(級(jí)數(shù)的收斂半徑為f(1，i),ln2為解析函數(shù)，且滿足。f(z),u(x,y)，iv(x,y),20n,z,D其中(D為復(fù)平面內(nèi)的區(qū)域)。(15分)。2(求下列函數(shù)的奇點(diǎn)，并確定其類型(對(duì)于極點(diǎn)要指出它們的階)。7(在(n為正整數(shù))內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為|z|,ncosnz(10分)1。z,1e2(1);(5分)(2)。(5分)tanz336zz,0f(z),6sinz，z(z,6)8(函數(shù)的零點(diǎn)的階數(shù)為。e,13(計(jì)算下列積分。(15分)，(z)f(z),9(設(shè)為函數(shù)的一階極點(diǎn)，且a,(z)3019z,,ddz(1)(8分)，(2)2443,,2|z|,40(，1)(，2)zz1，cos,(7分)。7424(敘述儒歇定理并討論方程在內(nèi)根的個(gè)|z|,lz,5z,z,2,0《復(fù)變函數(shù)》試卷(十)數(shù)。(10分)四(證明題。(20分)一、填空題。(每題2分)1(設(shè)是上半復(fù)平面內(nèi)的解析函數(shù),證明f(z),u(x,y),iv(x,y)1,1、設(shè),則。z,r(