第三章-平面問(wèn)題有限單元法-有限單元法與程序設(shè)計(jì)-教學(xué)課件

§5-2三角形常應(yīng)變單元分析一、彈性力學(xué)問(wèn)題的一般解法上次課主要內(nèi)容二、變分原理與里茲法三、有限單元的概念、特點(diǎn)及發(fā)展?fàn)顩r§5-2三角形常應(yīng)變單元分析一、彈性力學(xué)問(wèn)題的一般解法上次1§5-2三角形常應(yīng)變單元分析一、彈性力學(xué)問(wèn)題的一般解法上次課主要內(nèi)容彈性體中應(yīng)力、應(yīng)變和位移都是位置的函數(shù)，求解彈力問(wèn)題也就是要求解這些函數(shù)。由于平衡方程、幾何方程及定解條件（邊條）都是偏微分方程，求解彈性力學(xué)問(wèn)題也就是要求解偏微分方程組。所以彈力問(wèn)題在數(shù)學(xué)上稱為微分方程的邊值問(wèn)題。有三類解法：解析法、數(shù)值法和半解析法。彈力中的問(wèn)題通常是：已知物體幾何尺寸、彈性常數(shù)、所受體力、邊界上的約束或面力，需求解物體內(nèi)的應(yīng)力、應(yīng)變和位移?！?-2三角形常應(yīng)變單元分析一、彈性力學(xué)問(wèn)題的一般解法上次2§5-2三角形常應(yīng)變單元分析上次課主要內(nèi)容二、變分原理與里茲法

變分原理又稱變分法，它把彈性力學(xué)基本方程的定解問(wèn)題變?yōu)榍蠓汉臉O值（或駐值）問(wèn)題；在求近似解時(shí)，又轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠛瘮?shù)的極值（或駐值）問(wèn)題，并把問(wèn)題歸結(jié)為求線性代數(shù)方程組問(wèn)題。

里茲法是變分原理的一個(gè)具體應(yīng)用，而基于變分原理的有限元法實(shí)質(zhì)上是里茲法的另外一種形式?！?-2三角形常應(yīng)變單元分析上次課主要內(nèi)容二、變分原理與里3§5-2三角形常應(yīng)變單元分析上次課主要內(nèi)容二、變分原理與里茲法應(yīng)變能變分等于外力功變分—位移變分方程變分原理的三種表述：—虛功方程實(shí)際的位移使總勢(shì)能變分為零—最小勢(shì)能原理§5-2三角形常應(yīng)變單元分析上次課主要內(nèi)容二、變分原理與里4§5-2三角形常應(yīng)變單元分析上次課主要內(nèi)容二、變分原理與里茲法里茲法：一種求解泛函極值問(wèn)題的直接法，假設(shè)位移為滿足位移邊界條件的某種函數(shù)形式（試函數(shù)），用變分方程確定函數(shù)中的待定系數(shù)，得到位移的近似解由于里茲法的近似解對(duì)全域而言，即試函數(shù)對(duì)全域設(shè)定，因此在求解域比較復(fù)雜的情況下，選取滿足邊界條件的試探函數(shù)往往會(huì)產(chǎn)生難以克服的困難。建立于變分原理基礎(chǔ)上的有限元法，將整個(gè)求解域離散成若干單元的集合體，在單元內(nèi)定義近似函數(shù)，通過(guò)分片逼近來(lái)求得整個(gè)求解域上的近似解，因而適用范圍大大擴(kuò)展?！?-2三角形常應(yīng)變單元分析上次課主要內(nèi)容二、變分原理與里5§5-2三角形常應(yīng)變單元分析上次課主要內(nèi)容三、有限單元的概念單元內(nèi)的近似函數(shù)由單元結(jié)點(diǎn)的數(shù)值及其插值函數(shù)表示，建立平衡方程計(jì)算有限個(gè)單元結(jié)點(diǎn)值數(shù)；有限元法是把具有無(wú)限自由度的連續(xù)求解域離散為一組由有限個(gè)單元、按一定方式組合連接在一起的的組合體；用在每一個(gè)單元內(nèi)假設(shè)的近似函數(shù)來(lái)分片地表示全求解域上的待求未知函數(shù)；其理論基礎(chǔ)是變分原理或加權(quán)余量法§5-2三角形常應(yīng)變單元分析上次課主要內(nèi)容三、有限單元的概6§5-2三角形常應(yīng)變單元分析上次課主要內(nèi)容三、有限單元的概念由于在對(duì)連續(xù)體離散的過(guò)程中，可供選用的單元有多種形狀（一維、二維、三維等），單元之間又可有不同的連接組合方式，因此可以模型化幾何形狀復(fù)雜的求解區(qū)域。有限元法研究的主要內(nèi)容之一便是構(gòu)造各種類型的單元，一方面提高已有單元的精度；另一方面開(kāi)發(fā)新型單元，增強(qiáng)單元的模擬能力?！?-2三角形常應(yīng)變單元分析上次課主要內(nèi)容三、有限單元的概7§5-2三角形常應(yīng)變單元分析一、有限元分析的主要步驟(位移元)第三章平面問(wèn)題有限單元法二、平面問(wèn)題的常應(yīng)變單元三、總體方程的集成四、已知位移條件的引入五、有限元分析中的誤差及收斂性七、幾種常用的平面單元六、線性方程組的解法§5-2三角形常應(yīng)變單元分析一、有限元分析的主要步驟(位移8§5-2三角形常應(yīng)變單元分析一、有限元分析的主要步驟(位移元)第三章平面問(wèn)題有限單元法離散化是指將待分析的結(jié)構(gòu)用選定的單元型式劃分成有限個(gè)單元體，把單元的一些指定點(diǎn)設(shè)為連接相鄰單元的節(jié)點(diǎn)，以單元的集合體代替原結(jié)構(gòu)。1.連續(xù)介質(zhì)離散化根據(jù)基本未知量的不同，有限元法中的單元可分為位移元、應(yīng)力元和混合元。以結(jié)點(diǎn)位移為基本未知量的單元為位移單元。§5-2三角形常應(yīng)變單元分析一、有限元分析的主要步驟(位移9§5-2三角形常應(yīng)變單元分析一、有限元分析的主要步驟(位移元)第三章平面問(wèn)題有限單元法有限元法中的離散化過(guò)程有兩種：1.連續(xù)介質(zhì)離散化自然離散－桿系結(jié)構(gòu)：自然的桿件、節(jié)點(diǎn)逼近離散－連續(xù)體：剖分出單元、節(jié)點(diǎn)§5-2三角形常應(yīng)變單元分析一、有限元分析的主要步驟(位移10§5-2三角形常應(yīng)變單元分析一、有限元分析的主要步驟(位移元)第三章平面問(wèn)題有限單元法1.連續(xù)介質(zhì)離散化切割：二維——線（直線折線曲線）三維——面（平面折面曲面）由邊界和切割線（面）形成有限元網(wǎng)格,使得連續(xù)域成為離散域結(jié)點(diǎn)位移：位移元的基本未知量。每一小塊：?jiǎn)卧╡lement）結(jié)點(diǎn)：場(chǎng)變量在該點(diǎn)的值為未知量?！?-2三角形常應(yīng)變單元分析一、有限元分析的主要步驟(位移11§5-2三角形常應(yīng)變單元分析一、有限元分析的主要步驟(位移元)第三章平面問(wèn)題有限單元法1.連續(xù)介質(zhì)離散化切割單元：1）形狀規(guī)則、簡(jiǎn)單（便于分析、試函數(shù)可以重復(fù)使用）2）尺寸大小決定了計(jì)算結(jié)果的精度.3）界面為相鄰單元共有，界面上共有結(jié)點(diǎn).§5-2三角形常應(yīng)變單元分析一、有限元分析的主要步驟(位移12§5-2三角形常應(yīng)變單元分析一、有限元分析的主要步驟(位移元)第三章平面問(wèn)題有限單元法1.連續(xù)介質(zhì)離散化切割單元結(jié)點(diǎn)：1)結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)（定位）2)結(jié)點(diǎn)兩種編號(hào)3)結(jié)點(diǎn)位移為位移元的基本未知量。整體編號(hào)單元內(nèi)編號(hào)§5-2三角形常應(yīng)變單元分析一、有限元分析的主要步驟(位移13§5-2三角形常應(yīng)變單元分析一、有限元分析的主要步驟(位移元)第三章平面問(wèn)題有限單元法1.連續(xù)介質(zhì)離散化切割單元結(jié)點(diǎn)1)合理的疏密，變化劇烈的地方可密，變化不劇烈的地方可疏。2)合理的過(guò)渡網(wǎng)格：§5-2三角形常應(yīng)變單元分析一、有限元分析的主要步驟(位移14§5-2三角形常應(yīng)變單元分析一、有限元分析的主要步驟(位移元)第三章平面問(wèn)題有限單元法1.連續(xù)介質(zhì)離散化2.確定單元的近似位移模式假定單元中任一點(diǎn)的位移可用結(jié)點(diǎn)待定位移的坐標(biāo)函數(shù)來(lái)表示，這一坐標(biāo)函數(shù)稱作位移模式或位移函數(shù)。位移函數(shù)常用多項(xiàng)式形式表達(dá)。原因有二：一是多項(xiàng)式的微積分運(yùn)算較簡(jiǎn)單；二是從泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)的意義上說(shuō)，任意光滑函數(shù)的局部均可用多項(xiàng)式逼近?！?-2三角形常應(yīng)變單元分析一、有限元分析的主要步驟(位移15§5-2三角形常應(yīng)變單元分析一、有限元分析的主要步驟(位移元)第三章平面問(wèn)題有限單元法1.連續(xù)介質(zhì)離散化2.確定單元的近似位移模式3.單元特性分析－建立單剛和等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣位移場(chǎng)幾何關(guān)系應(yīng)變(結(jié)點(diǎn)位移)本構(gòu)關(guān)系應(yīng)力首先，將單元內(nèi)的應(yīng)力場(chǎng)-應(yīng)變場(chǎng)用節(jié)點(diǎn)位移表示：其次，利用變分原理建立剛度方程：§5-2三角形常應(yīng)變單元分析一、有限元分析的主要步驟(位移16§5-2三角形常應(yīng)變單元分析一、有限元分析的主要步驟(位移元)第三章平面問(wèn)題有限單元法1.連續(xù)介質(zhì)離散化2.確定單元的近似位移模式3.單元特性分析－建立單剛和等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣4.集成所有單元的特性，建立整個(gè)結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)平衡方程對(duì)于靜力線性問(wèn)題，形成線性代數(shù)方程組單元方程集成總體方程(直接剛度法、對(duì)號(hào)入座）§5-2三角形常應(yīng)變單元分析一、有限元分析的主要步驟(位移17§5-2三角形常應(yīng)變單元分析一、有限元分析的主要步驟(位移元)第三章平面問(wèn)題有限單元法1.連續(xù)介質(zhì)離散化5.引入位移強(qiáng)制邊界條件(消除系數(shù)矩陣的奇異性)6.解線性代數(shù)方程組7.計(jì)算應(yīng)力、應(yīng)變由結(jié)點(diǎn)位移計(jì)算單元的應(yīng)力、應(yīng)變8.其它要求(進(jìn)行其他工程上的要求計(jì)算)得到結(jié)點(diǎn)位移解2.確定單元的近似位移模式3.單元特性分析－建立單剛和等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣4.集成所有單元的特性，建立整個(gè)結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)平衡方程§5-2三角形常應(yīng)變單元分析一、有限元分析的主要步驟(位移18§5-2三角形常應(yīng)變單元分析第三章平面問(wèn)題有限單元法二、平面問(wèn)題的常應(yīng)變單元—三結(jié)點(diǎn)三角形單元兩類平面問(wèn)題：區(qū)別僅在于彈性矩陣平面應(yīng)力：如膜、薄板等平面應(yīng)變：如水壩、擋土墻等§5-2三角形常應(yīng)變單元分析第三章平面問(wèn)題有限單元法19§5-2三角形常應(yīng)變單元分析第三章平面問(wèn)題有限單元法二、平面問(wèn)題的常應(yīng)變單元—三結(jié)點(diǎn)三角形單元單元結(jié)點(diǎn)編號(hào)：1，2，3，整體結(jié)點(diǎn)編號(hào)：1，2，3，…，i,j,…m,n,…,編號(hào)順序：逆時(shí)針?lè)较颍瑢?duì)應(yīng)于右手坐標(biāo)系，次序不能任意。三角形單元§5-2三角形常應(yīng)變單元分析第三章平面問(wèn)題有限單元法20第三章平面問(wèn)題有限單元法二、平面問(wèn)題的常應(yīng)變單元—三結(jié)點(diǎn)三角形單元單元結(jié)點(diǎn)位移:結(jié)點(diǎn)位移: 第三章平面問(wèn)題有限單元法二、平面問(wèn)題的常應(yīng)變單元—三結(jié)211.單元位移插值函數(shù)：第三章平面問(wèn)題有限單元法二、平面問(wèn)題的常應(yīng)變單元—三結(jié)點(diǎn)三角形單元xyi(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)uivivjujumvm(x

,y

)v(x

,y

)u(x

,y

)單元內(nèi)任一點(diǎn)沿坐標(biāo)軸的線位移可寫成：（a）設(shè)u,v是坐標(biāo)x、y的線性函數(shù):待定參數(shù),稱之為廣義坐標(biāo)1.單元位移插值函數(shù)：第三章平面問(wèn)題有限單元法二、平面22將結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)代入(a)，得結(jié)點(diǎn)位移:（b）（六個(gè)方程、六個(gè)未知量，可確定6個(gè)待定參數(shù)）第三章平面問(wèn)題有限單元法二、平面問(wèn)題的常應(yīng)變單元—三結(jié)點(diǎn)三角形單元1.單元位移插值函數(shù)：將結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)代入(a)，得結(jié)點(diǎn)位移:（b）（六個(gè)方程、六個(gè)未知23解(b)前三個(gè)式：?jiǎn)卧幋ai,j,m應(yīng)逆時(shí)針轉(zhuǎn)向,可使A(三角形面積)>0。解(b)前三個(gè)式：?jiǎn)卧幋ai,j,m應(yīng)逆時(shí)針轉(zhuǎn)向,24如果令：（i,j,m)如果令：（i,j,m)25則:（d）（e）同理:則:（d）（e）同理:26將(d)(e)代入(a):令:形函數(shù)將(d)(e)代入(a):令:形函數(shù)27則單元位移模式可寫成：（由結(jié)點(diǎn)位移表示的單元內(nèi)位移）或：形函數(shù)矩陣則單元位移模式可寫成：（由結(jié)點(diǎn)位移表示的單元內(nèi)位移）或：形函28形函數(shù)性質(zhì)1ijmNiijm1Nj1ijmNm(1)形函數(shù)Ni在i點(diǎn)值為1，在j、m點(diǎn)數(shù)值為0。Ni:在i點(diǎn)發(fā)生單位位移對(duì)單元內(nèi)部位移的影響。第三章平面問(wèn)題有限單元法二、平面問(wèn)題的常應(yīng)變單元—三結(jié)點(diǎn)三角形單元1.單元位移插值函數(shù)：形函數(shù)性質(zhì)1ijmNiijm1Nj1ijmNm(1)形函數(shù)N29(3)三角形單元i,j,m在i,j邊的形函數(shù)與第三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)無(wú)關(guān)。(2)單元任一點(diǎn)三個(gè)形函數(shù)之和為1。反映單元的剛體位移利用這一性質(zhì)，可以證明相鄰單元在公共邊上位移是連續(xù)的。xyi(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)(3)三角形單元i,j,m在i,j邊的形函數(shù)與第30②mxyij①n單元①②在公共邊i,j上:則公共邊i,j上的位移：公共邊i,j上的位移只由公共邊兩個(gè)結(jié)點(diǎn)i,j的位移確定，所以相鄰單元在公共邊上位移是連續(xù)的。②mxyij①n單元①②在公共邊i,j上:則公共邊312.幾何方程，由結(jié)點(diǎn)位移求單元內(nèi)應(yīng)變：將位移表達(dá)式代入，得：?jiǎn)卧獞?yīng)變矩陣其中：二、平面問(wèn)題的常應(yīng)變單元—三結(jié)點(diǎn)三角形單元第三章平面問(wèn)題有限單元法2.幾何方程，由結(jié)點(diǎn)位移求單元內(nèi)應(yīng)變：將位移表達(dá)式代入，得：32又可寫成：[B]中各元素為常數(shù)，則{}也為常量。

—常應(yīng)變單元又可寫成：[B]中各元素為常數(shù)，則{}也為常量。33二、平面問(wèn)題的常應(yīng)變單元—三結(jié)點(diǎn)三角形單元3.物理方程，由結(jié)點(diǎn)位移求單元應(yīng)力：—平面應(yīng)力問(wèn)題物理方程的矩陣表達(dá)式—應(yīng)力矩陣令:第三章平面問(wèn)題有限單元法二、平面問(wèn)題的常應(yīng)變單元—三結(jié)點(diǎn)三角形單元3.物理方程，由34有限元單元物理量單元結(jié)點(diǎn)位移：?jiǎn)卧灰颇Ｊ剑簡(jiǎn)卧獞?yīng)變應(yīng)力：4.變分原理與有限元基本方程：二、平面問(wèn)題的常應(yīng)變單元—三結(jié)點(diǎn)三角形單元第三章平面問(wèn)題有限單元法有限元單元物理量單元結(jié)點(diǎn)位移：?jiǎn)卧灰颇Ｊ剑簡(jiǎn)卧獞?yīng)變應(yīng)力：435平面單元體總勢(shì)能其中：—單元?jiǎng)偠染仃噾?yīng)變能：4.變分原理與有限元基本方程：二、平面問(wèn)題的常應(yīng)變單元—三結(jié)點(diǎn)三角形單元第三章平面問(wèn)題有限單元法平面單元體總勢(shì)能其中：—單元?jiǎng)偠染仃噾?yīng)變能：4.變分原36外力勢(shì)能：其中：而：5.變分原理與有限元基本方程：二、平面問(wèn)題的常應(yīng)變單元—三結(jié)點(diǎn)三角形單元第三章平面問(wèn)題有限單元法外力勢(shì)能：其中：而：5.變分原理與有限元基本方程：二、平面37—單元體力的等效結(jié)點(diǎn)力—單元面力的等效結(jié)點(diǎn)力—單元內(nèi)集中力的等效結(jié)點(diǎn)力總勢(shì)能是位移的泛函單元體總勢(shì)能：(a)—單元體力的等效結(jié)點(diǎn)力—單元面力的等效結(jié)點(diǎn)力—單38最小勢(shì)能原理:(a)代入上式，得：由的任意性可知：—單元平衡方程最小勢(shì)能原理:(a)代入上式，得：由39在中常應(yīng)變單元[B]為常數(shù)，單元?jiǎng)偠染仃嘯k]e簡(jiǎn)化為：經(jīng)計(jì)算可得：在中常應(yīng)變單元[B]為常數(shù)，單元?jiǎng)偠染仃嘯k]e簡(jiǎn)化為：經(jīng)計(jì)40其中：其中：41是奇異矩陣:（加約束前）單元?jiǎng)傟嚨男再|(zhì):具有對(duì)稱性：是奇異矩陣:（加約束前）單元?jiǎng)傟嚨男再|(zhì):具有對(duì)稱性：42非結(jié)點(diǎn)荷載的討論:以靜力等效的原則將單元所受的荷載移置到結(jié)點(diǎn)上，使得由于移置而引起的誤差是局部的（圣維南原理）。靜力等效原則：原荷載與結(jié)點(diǎn)荷載在任何虛位移上的虛功都相等。也就是在虛功方程中：使等效結(jié)點(diǎn)荷載形成的勢(shì)能與原荷載的勢(shì)能相等。非結(jié)點(diǎn)荷載的討論:以靜力等效的原則將單元所受43單元內(nèi)集中力、體積力、面力引起的等效結(jié)點(diǎn)力：—集中力虛功—體積力虛功—面力虛功其中：—單元內(nèi)點(diǎn)位移結(jié)點(diǎn)力虛功單元內(nèi)集中力、體積力、面力44單元分析小結(jié)：?jiǎn)卧治鲂〗Y(jié)：45§5-2三角形常應(yīng)變單元分析第三章平面問(wèn)題有限單元法三、總體方程的集成包括兩方面內(nèi)容：（1）由各個(gè)單元的剛度矩陣集合成整個(gè)結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣（2）將作用于各個(gè)單元的等效節(jié)點(diǎn)力列陣集合成總的荷載列陣總體方程集成方法：直接剛度法(利用單元結(jié)點(diǎn)局部編碼和整體編碼之間的關(guān)系，直接對(duì)號(hào)入座）§5-2三角形常應(yīng)變單元分析第三章平面問(wèn)題有限單元法46§5-2三角形常應(yīng)變單元分析第三章平面問(wèn)題有限單元法三、總體方程的集成局部編碼i,j,m整體編碼1,2,3,41.結(jié)點(diǎn)位移P/2P/2yx1m2mm1mIIIji43ij2以右圖問(wèn)題為例，說(shuō)明集成過(guò)程§5-2三角形常應(yīng)變單元分析第三章平面問(wèn)題有限單元法472.結(jié)點(diǎn)力以結(jié)點(diǎn)2平衡為例：2III這里：{F2}—單元Ⅰ(Ⅱ)作用在結(jié)點(diǎn)2上的等效力{R2}—圍繞結(jié)點(diǎn)2各單元作用在結(jié)點(diǎn)2上的等效力之和對(duì)于一般情況：S結(jié)點(diǎn)(整體編碼)其中：2.結(jié)點(diǎn)力以結(jié)點(diǎn)2平衡為例：2III這里：{F2}—483.結(jié)點(diǎn)位移和結(jié)點(diǎn)力的關(guān)系（平衡）單元平衡：結(jié)點(diǎn)i(單元編碼)的平衡：3.結(jié)點(diǎn)位移和結(jié)點(diǎn)力的關(guān)系（平衡）單元平衡：結(jié)點(diǎn)i(單49整體平衡：由結(jié)點(diǎn)s(整體編碼)的平衡得：（e個(gè)單元在s點(diǎn)平衡供獻(xiàn)之和）把所有結(jié)點(diǎn)按整體結(jié)點(diǎn)編碼排列：—整體結(jié)構(gòu)平衡方程[K]—總剛（整體剛度矩陣）{}—結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移（按整體編碼為順序）{R}—結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)荷載（按整體編碼為順序）整體平衡：由結(jié)點(diǎn)s(整體編碼)的平衡得：（e個(gè)單元在50（3）將換碼后的子塊放入總剛中對(duì)應(yīng)的位置，若不同單元的元素在同一位置則進(jìn)行疊加。總剛度集成方法：（1）計(jì)算每個(gè)單元的[k]e；（2）根據(jù)單元結(jié)點(diǎn)局部和整體編號(hào)之間的關(guān)系將[k]e中每個(gè)子塊[kij]的ij換成對(duì)應(yīng)的整體碼；（3）將換碼后的子塊放入總剛中對(duì)應(yīng)的位置，若不同單元的元素在51m1mIIIji43ij2P/2P/2yx1m2m例如：m1mIIIji43ij2P/2P/2yx1m2m例如：52m1mIIIji43ij2P/2P/2yx1m2m單元號(hào)：ⅠⅡ局部碼：i,j,mi,j,m整體碼：2,4,14,2,3單剛換碼：?jiǎn)卧駟卧騧1mIIIji43ij2P/2P/2yx1m2m單元號(hào)：53形成總剛：(對(duì)號(hào)入座)Ik11

[K]:14321432單元Ⅰ單元Ⅱm1mIIIji43ij2P/2P/2yx1m2m+IIIkk2222IIk33+IIIkk4444+IIIkk4242+IIIkk2424IIIIIIIIIIIIkkkkkkkk434134322321141200

形成總剛：(對(duì)號(hào)入座)Ik11[K]:14321432單54整體荷載列陣m1mIIIji43ij2P/2P/2yx1m2m整體荷載列陣m1mIIIji43ij2P/2P/2yx1m2551）對(duì)稱性 2）奇異性，需引入合適的位移約束。 3）稀疏，（存在許多零元素） 4）非零元素呈帶狀分布 5)主元恒正總剛的性質(zhì)1）對(duì)稱性總剛的性質(zhì)56§5-2三角形常應(yīng)變單元分析第三章平面問(wèn)題有限單元法四、已知位移條件的引入1、先處理法消除總綱的奇異性在計(jì)算結(jié)構(gòu)自由度時(shí)，將零位移邊條所對(duì)應(yīng)的自由度舍去不計(jì)，這樣在組集總方程時(shí)與這些這些自由度對(duì)應(yīng)的所以項(xiàng)均不計(jì)入。2、后處理法（1）劃行劃列法－直接劃去剛度矩陣中已知零位移自由度所對(duì)應(yīng)的行和列（2）主對(duì)角元置1法－將[K]中位移為零的主對(duì)角元素kii置1，與kii在同一行同一列的其他元素置0，與kii在同一行的荷載分量也置零?！?-2三角形常應(yīng)變單元分析第三章平面問(wèn)題有限單元法57§5-2三角形常應(yīng)變單元分析第三章平面問(wèn)題有限單元法四、已知位移條件的引入1、先處理法2、后處理法（1）劃行劃列法－直接劃去剛度矩陣中已知零位移自由度所對(duì)應(yīng)的行和列（2）主對(duì)角元置1法－將[K]中位移為零的主對(duì)角元素kii置1，與kii在同一行同一列的其他元素置0，與kii在同一行的荷載分量也置零。（3）乘大數(shù)法－已知非零位移a，將[K]中對(duì)應(yīng)的主對(duì)角元素kii乘上一大數(shù)(如1020），同時(shí)將與kii在同一行的荷載分量置為kii×1020×a?！?-2三角形常應(yīng)變單元分析第三章平面問(wèn)題有限單元法58§5-2三角形常應(yīng)變單元分析第三章平面問(wèn)題有限單元法五、有限元分析中的誤差及收斂性1、產(chǎn)生誤差的原因計(jì)算機(jī)帶來(lái)的誤差：包括截?cái)嗾`差，舍入誤差算法本身的誤差：有限元離散化模型與實(shí)際物體的差異；對(duì)邊界荷載進(jìn)行離散帶來(lái)的誤差；插值函數(shù)近似性帶來(lái)的誤差。2、提高精度的辦法對(duì)前者：(1)增長(zhǎng)字長(zhǎng)(雙精度) (2)選取有效的計(jì)算方法和合理的程序結(jié)構(gòu)。對(duì)后者：(1)單元尺寸變小 (2)插值函數(shù)，完備的多項(xiàng)式次數(shù)提高?！?-2三角形常應(yīng)變單元分析第三章平面問(wèn)題有限單元法59§5-2三角形常應(yīng)變單元分析第三章平面問(wèn)題有限單元法五、有限元分析中的誤差及收斂性3、收斂準(zhǔn)則在單元形狀、結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)確定之后，單元的位移模式的選取是影響解答的關(guān)鍵。當(dāng)位移模式滿足下述準(zhǔn)則時(shí)，解答一定是收斂的，即隨著單元尺寸的縮小，解答趨于精確解。準(zhǔn)則1：完備性要求。單元的位移模式包含剛體位移，且能反映單元的常應(yīng)變狀態(tài)。否則在單元結(jié)點(diǎn)位移為剛體位移時(shí)，單元會(huì)產(chǎn)生非零應(yīng)變，單元尺寸趨于零時(shí)，單元的應(yīng)變不趨于常數(shù)。當(dāng)用完全多項(xiàng)式表示單元中的場(chǎng)函數(shù)時(shí)，如能量泛函中該變量導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)為p，則該多項(xiàng)式的階至少為p，即為p次完全多項(xiàng)式?！?-2三角形常應(yīng)變單元分析第三章平面問(wèn)題有限單元法60§5-2三角形常應(yīng)變單元分析第三章平面問(wèn)題有限單元法五、有限元分析中的誤差及收斂性3、收斂準(zhǔn)則準(zhǔn)則1：完備性求。單元的位移模式包含剛體位移，且能反映單元的常應(yīng)變狀態(tài)。準(zhǔn)則2：協(xié)調(diào)性要求。單元內(nèi)部及相鄰單元的邊界上位移連續(xù)。即單元之間既不能存在裂縫也不能相互重疊，以免連續(xù)體用離散模型代替后由于變形而產(chǎn)生不連續(xù)。如能量泛函中場(chǎng)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)為p，則要求場(chǎng)函數(shù)在相鄰單元的交界面上有直至p-1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。當(dāng)p=1時(shí)稱C0級(jí)連續(xù)，p=2時(shí)稱C1級(jí)連續(xù)等§5-2三角形常應(yīng)變單元分析第三章平面問(wèn)題有限單元法61§5-2三角形常應(yīng)變單元分析第三章平面問(wèn)題有限單元法五、有限元分析中的誤差及收斂性3、收斂準(zhǔn)則例：考察平面問(wèn)題常應(yīng)變?nèi)切螁卧氖諗啃詥卧灰坪瘮?shù):平面問(wèn)題中勢(shì)能泛函關(guān)于位移的導(dǎo)數(shù)最高是1階，因此是C0連續(xù)問(wèn)題。滿足完備性和協(xié)調(diào)性要求，故收斂§5-2三角形常應(yīng)變單元分析第三章平面問(wèn)題有限單元法62§5-2三角形常應(yīng)變單元分析第三章平面問(wèn)題有限單元法五、有限元分析中的誤差及收斂性4、協(xié)調(diào)元和非協(xié)調(diào)元滿足收斂準(zhǔn)則的單元稱為協(xié)調(diào)單元不滿足協(xié)調(diào)性要求，但能通過(guò)分片試驗(yàn)，解也可收斂，這類單元稱為非協(xié)調(diào)單元廣義協(xié)調(diào)元§5-2三角形常應(yīng)變單元分析第三章平面問(wèn)題有限單元法63§5-2三角形常應(yīng)變單元分析第三章平面問(wèn)題有限單元法五、有限元分析中的誤差及收斂性5、協(xié)調(diào)位移元解的下限性采用位移元離散原結(jié)構(gòu)時(shí)，將無(wú)限自由度限制為只有以結(jié)點(diǎn)位移表示的有限自由度，既位移函數(shù)對(duì)單元的變形進(jìn)行了約束和限制，使模型剛度較原結(jié)構(gòu)增大，因此求得的位移總體上小于精確解。單元的細(xì)分相當(dāng)于逐步解除約束，因而剛度減小，位移增大，從小于精確解一側(cè)趨于精確解?！?-2三角形常應(yīng)變單元分析第三章平面問(wèn)題有限單元法64§5-2三角形常應(yīng)變單元分析第三章平面問(wèn)題有限單元法根據(jù)剛度矩陣在計(jì)算機(jī)中的存儲(chǔ)方式的不同，每類解法又可派生出不同的求解方法：如等帶寬存儲(chǔ)的高斯消去法、一維變帶寬存儲(chǔ)的LDLT分解法、分塊解法、波前法等六、線性方程組的解法線性方程組的兩類解法：直接法：以高斯消去法為基礎(chǔ)，求解效率高，但當(dāng)方程組階數(shù)過(guò)高時(shí)，計(jì)算舍入誤差影響較大。迭代法：雅克比迭代可利用剛度矩陣具有的大型、對(duì)稱、稀疏、帶狀分布以及正定的特點(diǎn)提高求解效率。要求掌握基于一維變帶寬存儲(chǔ)的LDLT分解法§5-2三角形常應(yīng)變單元分析第三章平面問(wèn)題有限單元法65§5-2三角形常應(yīng)變單元分析第三章平面問(wèn)題有限單元法六、線性方程組的解法LDLT分解法過(guò)程[L]為單位下三角矩陣，[D]為對(duì)角線矩陣令：將[K]分解成：則：則：求解步驟為：先分解[K]，求得[L][D]，然后求出{Y}，最后回帶求[△]。在分解[K]時(shí)，不需同時(shí)處理荷載向量{R}，所以適用于多工況計(jì)算?！?-2三角形常應(yīng)變單元分析第三章平面問(wèn)題有限單元法66作業(yè)：1、圖示3節(jié)點(diǎn)三角形單元，厚度為t，彈性模量E，泊松比v=0。試求：形函數(shù)矩陣N，應(yīng)變矩陣B，應(yīng)力矩陣S，單元?jiǎng)偠染仃嘖e2、證明常應(yīng)變?nèi)切螁卧峭陚鋮f(xié)調(diào)元。3、試說(shuō)明有限元分析產(chǎn)生誤差的原因，為什么協(xié)調(diào)的位移有限元有下限性。作業(yè)：1、圖示3節(jié)點(diǎn)三角形單元，厚度為t，彈性模量E，泊松比67作業(yè)：4、利用第1題的計(jì)算結(jié)果，計(jì)算下圖所示結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣并求總荷載列陣。作業(yè)：4、利用第1題的計(jì)算結(jié)果，計(jì)算下圖所示結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣68§5-2三角形常應(yīng)變單元分析一、彈性力學(xué)問(wèn)題的一般解法上次課主要內(nèi)容二、變分原理與里茲法三、有限單元的概念、特點(diǎn)及發(fā)展?fàn)顩r§5-2三角形常應(yīng)變單元分析一、彈性力學(xué)問(wèn)題的一般解法上次69§5-2三角形常應(yīng)變單元分析一、彈性力學(xué)問(wèn)題的一般解法上次課主要內(nèi)容彈性體中應(yīng)力、應(yīng)變和位移都是位置的函數(shù)，求解彈力問(wèn)題也就是要求解這些函數(shù)。由于平衡方程、幾何方程及定解條件（邊條）都是偏微分方程，求解彈性力學(xué)問(wèn)題也就是要求解偏微分方程組。所以彈力問(wèn)題在數(shù)學(xué)上稱為微分方程的邊值問(wèn)題。有三類解法：解析法、數(shù)值法和半解析法。彈力中的問(wèn)題通常是：已知物體幾何尺寸、彈性常數(shù)、所受體力、邊界上的約束或面力，需求解物體內(nèi)的應(yīng)力、應(yīng)變和位移?！?-2三角形常應(yīng)變單元分析一、彈性力學(xué)問(wèn)題的一般解法上次70§5-2三角形常應(yīng)變單元分析上次課主要內(nèi)容二、變分原理與里茲法

變分原理又稱變分法，它把彈性力學(xué)基本方程的定解問(wèn)題變?yōu)榍蠓汉臉O值（或駐值）問(wèn)題；在求近似解時(shí)，又轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠛瘮?shù)的極值（或駐值）問(wèn)題，并把問(wèn)題歸結(jié)為求線性代數(shù)方程組問(wèn)題。

里茲法是變分原理的一個(gè)具體應(yīng)用，而基于變分原理的有限元法實(shí)質(zhì)上是里茲法的另外一種形式?！?-2三角形常應(yīng)變單元分析上次課主要內(nèi)容二、變分原理與里71§5-2三角形常應(yīng)變單元分析上次課主要內(nèi)容二、變分原理與里茲法應(yīng)變能變分等于外力功變分—位移變分方程變分原理的三種表述：—虛功方程實(shí)際的位移使總勢(shì)能變分為零—最小勢(shì)能原理§5-2三角形常應(yīng)變單元分析上次課主要內(nèi)容二、變分原理與里72§5-2三角形常應(yīng)變單元分析上次課主要內(nèi)容二、變分原理與里茲法里茲法：一種求解泛函極值問(wèn)題的直接法，假設(shè)位移為滿足位移邊界條件的某種函數(shù)形式（試函數(shù)），用變分方程確定函數(shù)中的待定系數(shù)，得到位移的近似解由于里茲法的近似解對(duì)全域而言，即試函數(shù)對(duì)全域設(shè)定，因此在求解域比較復(fù)雜的情況下，選取滿足邊界條件的試探函數(shù)往往會(huì)產(chǎn)生難以克服的困難。建立于變分原理基礎(chǔ)上的有限元法，將整個(gè)求解域離散成若干單元的集合體，在單元內(nèi)定義近似函數(shù)，通過(guò)分片逼近來(lái)求得整個(gè)求解域上的近似解，因而適用范圍大大擴(kuò)展?！?-2三角形常應(yīng)變單元分析上次課主要內(nèi)容二、變分原理與里73§5-2三角形常應(yīng)變單元分析上次課主要內(nèi)容三、有限單元的概念單元內(nèi)的近似函數(shù)由單元結(jié)點(diǎn)的數(shù)值及其插值函數(shù)表示，建立平衡方程計(jì)算有限個(gè)單元結(jié)點(diǎn)值數(shù)；有限元法是把具有無(wú)限自由度的連續(xù)求解域離散為一組由有限個(gè)單元、按一定方式組合連接在一起的的組合體；用在每一個(gè)單元內(nèi)假設(shè)的近似函數(shù)來(lái)分片地表示全求解域上的待求未知函數(shù)；其理論基礎(chǔ)是變分原理或加權(quán)余量法§5-2三角形常應(yīng)變單元分析上次課主要內(nèi)容三、有限單元的概74§5-2三角形常應(yīng)變單元分析上次課主要內(nèi)容三、有限單元的概念由于在對(duì)連續(xù)體離散的過(guò)程中，可供選用的單元有多種形狀（一維、二維、三維等），單元之間又可有不同的連接組合方式，因此可以模型化幾何形狀復(fù)雜的求解區(qū)域。有限元法研究的主要內(nèi)容之一便是構(gòu)造各種類型的單元，一方面提高已有單元的精度；另一方面開(kāi)發(fā)新型單元，增強(qiáng)單元的模擬能力。§5-2三角形常應(yīng)變單元分析上次課主要內(nèi)容三、有限單元的概75§5-2三角形常應(yīng)變單元分析一、有限元分析的主要步驟(位移元)第三章平面問(wèn)題有限單元法二、平面問(wèn)題的常應(yīng)變單元三、總體方程的集成四、已知位移條件的引入五、有限元分析中的誤差及收斂性七、幾種常用的平面單元六、線性方程組的解法§5-2三角形常應(yīng)變單元分析一、有限元分析的主要步驟(位移76§5-2三角形常應(yīng)變單元分析一、有限元分析的主要步驟(位移元)第三章平面問(wèn)題有限單元法離散化是指將待分析的結(jié)構(gòu)用選定的單元型式劃分成有限個(gè)單元體，把單元的一些指定點(diǎn)設(shè)為連接相鄰單元的節(jié)點(diǎn)，以單元的集合體代替原結(jié)構(gòu)。1.連續(xù)介質(zhì)離散化根據(jù)基本未知量的不同，有限元法中的單元可分為位移元、應(yīng)力元和混合元。以結(jié)點(diǎn)位移為基本未知量的單元為位移單元?！?-2三角形常應(yīng)變單元分析一、有限元分析的主要步驟(位移77§5-2三角形常應(yīng)變單元分析一、有限元分析的主要步驟(位移元)第三章平面問(wèn)題有限單元法有限元法中的離散化過(guò)程有兩種：1.連續(xù)介質(zhì)離散化自然離散－桿系結(jié)構(gòu)：自然的桿件、節(jié)點(diǎn)逼近離散－連續(xù)體：剖分出單元、節(jié)點(diǎn)§5-2三角形常應(yīng)變單元分析一、有限元分析的主要步驟(位移78§5-2三角形常應(yīng)變單元分析一、有限元分析的主要步驟(位移元)第三章平面問(wèn)題有限單元法1.連續(xù)介質(zhì)離散化切割：二維——線（直線折線曲線）三維——面（平面折面曲面）由邊界和切割線（面）形成有限元網(wǎng)格,使得連續(xù)域成為離散域結(jié)點(diǎn)位移：位移元的基本未知量。每一小塊：?jiǎn)卧╡lement）結(jié)點(diǎn)：場(chǎng)變量在該點(diǎn)的值為未知量?！?-2三角形常應(yīng)變單元分析一、有限元分析的主要步驟(位移79§5-2三角形常應(yīng)變單元分析一、有限元分析的主要步驟(位移元)第三章平面問(wèn)題有限單元法1.連續(xù)介質(zhì)離散化切割單元：1）形狀規(guī)則、簡(jiǎn)單（便于分析、試函數(shù)可以重復(fù)使用）2）尺寸大小決定了計(jì)算結(jié)果的精度.3）界面為相鄰單元共有，界面上共有結(jié)點(diǎn).§5-2三角形常應(yīng)變單元分析一、有限元分析的主要步驟(位移80§5-2三角形常應(yīng)變單元分析一、有限元分析的主要步驟(位移元)第三章平面問(wèn)題有限單元法1.連續(xù)介質(zhì)離散化切割單元結(jié)點(diǎn)：1)結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)（定位）2)結(jié)點(diǎn)兩種編號(hào)3)結(jié)點(diǎn)位移為位移元的基本未知量。整體編號(hào)單元內(nèi)編號(hào)§5-2三角形常應(yīng)變單元分析一、有限元分析的主要步驟(位移81§5-2三角形常應(yīng)變單元分析一、有限元分析的主要步驟(位移元)第三章平面問(wèn)題有限單元法1.連續(xù)介質(zhì)離散化切割單元結(jié)點(diǎn)1)合理的疏密，變化劇烈的地方可密，變化不劇烈的地方可疏。2)合理的過(guò)渡網(wǎng)格：§5-2三角形常應(yīng)變單元分析一、有限元分析的主要步驟(位移82§5-2三角形常應(yīng)變單元分析一、有限元分析的主要步驟(位移元)第三章平面問(wèn)題有限單元法1.連續(xù)介質(zhì)離散化2.確定單元的近似位移模式假定單元中任一點(diǎn)的位移可用結(jié)點(diǎn)待定位移的坐標(biāo)函數(shù)來(lái)表示，這一坐標(biāo)函數(shù)稱作位移模式或位移函數(shù)。位移函數(shù)常用多項(xiàng)式形式表達(dá)。原因有二：一是多項(xiàng)式的微積分運(yùn)算較簡(jiǎn)單；二是從泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)的意義上說(shuō)，任意光滑函數(shù)的局部均可用多項(xiàng)式逼近。§5-2三角形常應(yīng)變單元分析一、有限元分析的主要步驟(位移83§5-2三角形常應(yīng)變單元分析一、有限元分析的主要步驟(位移元)第三章平面問(wèn)題有限單元法1.連續(xù)介質(zhì)離散化2.確定單元的近似位移模式3.單元特性分析－建立單剛和等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣位移場(chǎng)幾何關(guān)系應(yīng)變(結(jié)點(diǎn)位移)本構(gòu)關(guān)系應(yīng)力首先，將單元內(nèi)的應(yīng)力場(chǎng)-應(yīng)變場(chǎng)用節(jié)點(diǎn)位移表示：其次，利用變分原理建立剛度方程：§5-2三角形常應(yīng)變單元分析一、有限元分析的主要步驟(位移84§5-2三角形常應(yīng)變單元分析一、有限元分析的主要步驟(位移元)第三章平面問(wèn)題有限單元法1.連續(xù)介質(zhì)離散化2.確定單元的近似位移模式3.單元特性分析－建立單剛和等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣4.集成所有單元的特性，建立整個(gè)結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)平衡方程對(duì)于靜力線性問(wèn)題，形成線性代數(shù)方程組單元方程集成總體方程(直接剛度法、對(duì)號(hào)入座）§5-2三角形常應(yīng)變單元分析一、有限元分析的主要步驟(位移85§5-2三角形常應(yīng)變單元分析一、有限元分析的主要步驟(位移元)第三章平面問(wèn)題有限單元法1.連續(xù)介質(zhì)離散化5.引入位移強(qiáng)制邊界條件(消除系數(shù)矩陣的奇異性)6.解線性代數(shù)方程組7.計(jì)算應(yīng)力、應(yīng)變由結(jié)點(diǎn)位移計(jì)算單元的應(yīng)力、應(yīng)變8.其它要求(進(jìn)行其他工程上的要求計(jì)算)得到結(jié)點(diǎn)位移解2.確定單元的近似位移模式3.單元特性分析－建立單剛和等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣4.集成所有單元的特性，建立整個(gè)結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)平衡方程§5-2三角形常應(yīng)變單元分析一、有限元分析的主要步驟(位移86§5-2三角形常應(yīng)變單元分析第三章平面問(wèn)題有限單元法二、平面問(wèn)題的常應(yīng)變單元—三結(jié)點(diǎn)三角形單元兩類平面問(wèn)題：區(qū)別僅在于彈性矩陣平面應(yīng)力：如膜、薄板等平面應(yīng)變：如水壩、擋土墻等§5-2三角形常應(yīng)變單元分析第三章平面問(wèn)題有限單元法87§5-2三角形常應(yīng)變單元分析第三章平面問(wèn)題有限單元法二、平面問(wèn)題的常應(yīng)變單元—三結(jié)點(diǎn)三角形單元單元結(jié)點(diǎn)編號(hào)：1，2，3，整體結(jié)點(diǎn)編號(hào)：1，2，3，…，i,j,…m,n,…,編號(hào)順序：逆時(shí)針?lè)较?，?duì)應(yīng)于右手坐標(biāo)系，次序不能任意。三角形單元§5-2三角形常應(yīng)變單元分析第三章平面問(wèn)題有限單元法88第三章平面問(wèn)題有限單元法二、平面問(wèn)題的常應(yīng)變單元—三結(jié)點(diǎn)三角形單元單元結(jié)點(diǎn)位移:結(jié)點(diǎn)位移: 第三章平面問(wèn)題有限單元法二、平面問(wèn)題的常應(yīng)變單元—三結(jié)891.單元位移插值函數(shù)：第三章平面問(wèn)題有限單元法二、平面問(wèn)題的常應(yīng)變單元—三結(jié)點(diǎn)三角形單元xyi(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)uivivjujumvm(x

,y

)v(x

,y

)u(x

,y

)單元內(nèi)任一點(diǎn)沿坐標(biāo)軸的線位移可寫成：（a）設(shè)u,v是坐標(biāo)x、y的線性函數(shù):待定參數(shù),稱之為廣義坐標(biāo)1.單元位移插值函數(shù)：第三章平面問(wèn)題有限單元法二、平面90將結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)代入(a)，得結(jié)點(diǎn)位移:（b）（六個(gè)方程、六個(gè)未知量，可確定6個(gè)待定參數(shù)）第三章平面問(wèn)題有限單元法二、平面問(wèn)題的常應(yīng)變單元—三結(jié)點(diǎn)三角形單元1.單元位移插值函數(shù)：將結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)代入(a)，得結(jié)點(diǎn)位移:（b）（六個(gè)方程、六個(gè)未知91解(b)前三個(gè)式：?jiǎn)卧幋ai,j,m應(yīng)逆時(shí)針轉(zhuǎn)向,可使A(三角形面積)>0。解(b)前三個(gè)式：?jiǎn)卧幋ai,j,m應(yīng)逆時(shí)針轉(zhuǎn)向,92如果令：（i,j,m)如果令：（i,j,m)93則:（d）（e）同理:則:（d）（e）同理:94將(d)(e)代入(a):令:形函數(shù)將(d)(e)代入(a):令:形函數(shù)95則單元位移模式可寫成：（由結(jié)點(diǎn)位移表示的單元內(nèi)位移）或：形函數(shù)矩陣則單元位移模式可寫成：（由結(jié)點(diǎn)位移表示的單元內(nèi)位移）或：形函96形函數(shù)性質(zhì)1ijmNiijm1Nj1ijmNm(1)形函數(shù)Ni在i點(diǎn)值為1，在j、m點(diǎn)數(shù)值為0。Ni:在i點(diǎn)發(fā)生單位位移對(duì)單元內(nèi)部位移的影響。第三章平面問(wèn)題有限單元法二、平面問(wèn)題的常應(yīng)變單元—三結(jié)點(diǎn)三角形單元1.單元位移插值函數(shù)：形函數(shù)性質(zhì)1ijmNiijm1Nj1ijmNm(1)形函數(shù)N97(3)三角形單元i,j,m在i,j邊的形函數(shù)與第三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)無(wú)關(guān)。(2)單元任一點(diǎn)三個(gè)形函數(shù)之和為1。反映單元的剛體位移利用這一性質(zhì)，可以證明相鄰單元在公共邊上位移是連續(xù)的。xyi(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)(3)三角形單元i,j,m在i,j邊的形函數(shù)與第98②mxyij①n單元①②在公共邊i,j上:則公共邊i,j上的位移：公共邊i,j上的位移只由公共邊兩個(gè)結(jié)點(diǎn)i,j的位移確定，所以相鄰單元在公共邊上位移是連續(xù)的。②mxyij①n單元①②在公共邊i,j上:則公共邊992.幾何方程，由結(jié)點(diǎn)位移求單元內(nèi)應(yīng)變：將位移表達(dá)式代入，得：?jiǎn)卧獞?yīng)變矩陣其中：二、平面問(wèn)題的常應(yīng)變單元—三結(jié)點(diǎn)三角形單元第三章平面問(wèn)題有限單元法2.幾何方程，由結(jié)點(diǎn)位移求單元內(nèi)應(yīng)變：將位移表達(dá)式代入，得：100又可寫成：[B]中各元素為常數(shù)，則{}也為常量。

—常應(yīng)變單元又可寫成：[B]中各元素為常數(shù)，則{}也為常量。101二、平面問(wèn)題的常應(yīng)變單元—三結(jié)點(diǎn)三角形單元3.物理方程，由結(jié)點(diǎn)位移求單元應(yīng)力：—平面應(yīng)力問(wèn)題物理方程的矩陣表達(dá)式—應(yīng)力矩陣令:第三章平面問(wèn)題有限單元法二、平面問(wèn)題的常應(yīng)變單元—三結(jié)點(diǎn)三角形單元3.物理方程，由102有限元單元物理量單元結(jié)點(diǎn)位移：?jiǎn)卧灰颇Ｊ剑簡(jiǎn)卧獞?yīng)變應(yīng)力：4.變分原理與有限元基本方程：二、平面問(wèn)題的常應(yīng)變單元—三結(jié)點(diǎn)三角形單元第三章平面問(wèn)題有限單元法有限元單元物理量單元結(jié)點(diǎn)位移：?jiǎn)卧灰颇Ｊ剑簡(jiǎn)卧獞?yīng)變應(yīng)力：4103平面單元體總勢(shì)能其中：—單元?jiǎng)偠染仃噾?yīng)變能：4.變分原理與有限元基本方程：二、平面問(wèn)題的常應(yīng)變單元—三結(jié)點(diǎn)三角形單元第三章平面問(wèn)題有限單元法平面單元體總勢(shì)能其中：—單元?jiǎng)偠染仃噾?yīng)變能：4.變分原104外力勢(shì)能：其中：而：5.變分原理與有限元基本方程：二、平面問(wèn)題的常應(yīng)變單元—三結(jié)點(diǎn)三角形單元第三章平面問(wèn)題有限單元法外力勢(shì)能：其中：而：5.變分原理與有限元基本方程：二、平面105—單元體力的等效結(jié)點(diǎn)力—單元面力的等效結(jié)點(diǎn)力—單元內(nèi)集中力的等效結(jié)點(diǎn)力總勢(shì)能是位移的泛函單元體總勢(shì)能：(a)—單元體力的等效結(jié)點(diǎn)力—單元面力的等效結(jié)點(diǎn)力—單106最小勢(shì)能原理:(a)代入上式，得：由的任意性可知：—單元平衡方程最小勢(shì)能原理:(a)代入上式，得：由107在中常應(yīng)變單元[B]為常數(shù)，單元?jiǎng)偠染仃嘯k]e簡(jiǎn)化為：經(jīng)計(jì)算可得：在中常應(yīng)變單元[B]為常數(shù)，單元?jiǎng)偠染仃嘯k]e簡(jiǎn)化為：經(jīng)計(jì)108其中：其中：109是奇異矩陣:（加約束前）單元?jiǎng)傟嚨男再|(zhì):具有對(duì)稱性：是奇異矩陣:（加約束前）單元?jiǎng)傟嚨男再|(zhì):具有對(duì)稱性：110非結(jié)點(diǎn)荷載的討論:以靜力等效的原則將單元所受的荷載移置到結(jié)點(diǎn)上，使得由于移置而引起的誤差是局部的（圣維南原理）。靜力等效原則：原荷載與結(jié)點(diǎn)荷載在任何虛位移上的虛功都相等。也就是在虛功方程中：使等效結(jié)點(diǎn)荷載形成的勢(shì)能與原荷載的勢(shì)能相等。非結(jié)點(diǎn)荷載的討論:以靜力等效的原則將單元所受111單元內(nèi)集中力、體積力、面力引起的等效結(jié)點(diǎn)力：—集中力虛功—體積力虛功—面力虛功其中：—單元內(nèi)點(diǎn)位移結(jié)點(diǎn)力虛功單元內(nèi)集中力、體積力、面力112單元分析小結(jié)：?jiǎn)卧治鲂〗Y(jié)：113§5-2三角形常應(yīng)變單元分析第三章平面問(wèn)題有限單元法三、總體方程的集成包括兩方面內(nèi)容：（1）由各個(gè)單元的剛度矩陣集合成整個(gè)結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣（2）將作用于各個(gè)單元的等效節(jié)點(diǎn)力列陣集合成總的荷載列陣總體方程集成方法：直接剛度法(利用單元結(jié)點(diǎn)局部編碼和整體編碼之間的關(guān)系，直接對(duì)號(hào)入座）§5-2三角形常應(yīng)變單元分析第三章平面問(wèn)題有限單元法114§5-2三角形常應(yīng)變單元分析第三章平面問(wèn)題有限單元法三、總體方程的集成局部編碼i,j,m整體編碼1,2,3,41.結(jié)點(diǎn)位移P/2P/2yx1m2mm1mIIIji43ij2以右圖問(wèn)題為例，說(shuō)明集成過(guò)程§5-2三角形常應(yīng)變單元分析第三章平面問(wèn)題有限單元法1152.結(jié)點(diǎn)力以結(jié)點(diǎn)2平衡為例：2III這里：{F2}—單元Ⅰ(Ⅱ)作用在結(jié)點(diǎn)2上的等效力{R2}—圍繞結(jié)點(diǎn)2各單元作用在結(jié)點(diǎn)2上的等效力之和對(duì)于一般情況：S結(jié)點(diǎn)(整體編碼)其中：2.結(jié)點(diǎn)力以結(jié)點(diǎn)2平衡為例：2III這里：{F2}—1163.結(jié)點(diǎn)位移和結(jié)點(diǎn)力的關(guān)系（平衡）單元平衡：結(jié)點(diǎn)i(單元編碼)的平衡：3.結(jié)點(diǎn)位移和結(jié)點(diǎn)力的關(guān)系（平衡）單元平衡：結(jié)點(diǎn)i(單117整體平衡：由結(jié)點(diǎn)s(整體編碼)的平衡得：（e個(gè)單元在s點(diǎn)平衡供獻(xiàn)之和）把所有結(jié)點(diǎn)按整體結(jié)點(diǎn)編碼排列：—整體結(jié)構(gòu)平衡方程[K]—總剛（整體剛度矩陣）{}—結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移（按整體編碼為順序）{R}—結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)荷載（按整體編碼為順序）整體平衡：由結(jié)點(diǎn)s(整體編碼)的平衡得：（e個(gè)單元在118（3）將換碼后的子塊放入總剛中對(duì)應(yīng)的位置，若不同單元的元素在同一位置則進(jìn)行疊加?？倓偠燃煞椒ǎ海?）計(jì)算每個(gè)單元的[k]e；（2）根據(jù)單元結(jié)點(diǎn)局部和整體編號(hào)之間的關(guān)系將[k]e中每個(gè)子塊[kij]的ij換成對(duì)應(yīng)的整體碼；（3）將換碼后的子塊放入總剛中對(duì)應(yīng)的位置，若不同單元的元素在119m1mIIIji43ij2P/2P/2yx1m2m例如：m1mIIIji43ij2P/2P/2yx1m2m例如：120m1mIIIji43ij2P/2P/2yx1m2m單元號(hào)：ⅠⅡ局部碼：i,j,mi,j,m整體碼：2,4,14,2,3單剛換碼：?jiǎn)卧駟卧騧1mIIIji43ij2P/2P/2yx1m2m單元號(hào)：121形成總剛：(對(duì)號(hào)入座)Ik11

[K]:14321432單元Ⅰ單元Ⅱm1mIIIji43ij2P/2P/2yx1m2m+IIIkk2222IIk33+IIIkk4444+IIIkk4242+IIIkk2424IIIIIIIIIIIIkkkkkkkk434134322321141200

形成總剛：(對(duì)號(hào)入座)Ik11[K]:14321432單122整體荷載列陣m1mIIIji43ij2P/2P/2yx1m2m整體荷載列陣m1mIIIji43ij2P/2P/2yx1m21231）對(duì)稱性 2）奇異性，需引入合適的位移約束。 3）稀疏，（存在許多零元素） 4）非零元素呈帶狀分布 5)主元恒正總剛的性質(zhì)1）對(duì)稱性總剛的性質(zhì)124§5-2三角形常應(yīng)變單元分析第三章平面問(wèn)題有限單元法四、已知位移條件的引入1、先處理法消除總綱的奇異性在計(jì)算結(jié)構(gòu)自由度時(shí)，將零位移邊條所對(duì)應(yīng)的自由度舍去不計(jì)，這樣在組集總方程時(shí)與這些這些自由度對(duì)應(yīng)的所以項(xiàng)均不計(jì)入。2、后處理法（1）劃行劃列法－直接劃去剛度矩陣中已知零位移自由度所對(duì)應(yīng)的行和列（2）主對(duì)角元置1法－將[K]中位移為零的主對(duì)角元素kii置1，與kii在同一行同一列的其他元素置0，與kii在同一行的荷載分量也置零?！?-2三角形常應(yīng)變單元分析第三章平面問(wèn)題有限單元法125§5-2三角形常應(yīng)變單元分析第三章平面問(wèn)題有限單元法四、已知位移條件的引入1、先處理法2、后處理法（1）劃行劃列法－直接劃去剛度矩陣中已知零位移自由度所對(duì)應(yīng)的行和列（2）主對(duì)角元置1法－將[K]中位移為零的主對(duì)角元素kii置1，與kii在同一行同一列的其他元素置0，與kii在同一行的荷載分量也置零。（3）乘大數(shù)法－已知非零位移a，將[K]中對(duì)應(yīng)的主對(duì)角元素kii乘上一大數(shù)(如1020），同