物理方法競賽課程-2015-大物熱學(xué)

熱學(xué)1內(nèi)容要輸運(yùn)過程-多方過程關(guān)于熱容的計（注意：只與分子平均平動動能有關(guān)

P3

nmv

1v3

123 2323P23P2n(1mv2)2

E

Mmol

iRT2

iRT22

mv2

32

CVRMmolRMmolmPVMMmolRTP0f(v)dvf(v)dNdNdNNfNf(v)dvNNf(v)dv0NNNNdNf1N1fvv10f04氣體分子平均

氣體分子與速率有關(guān)平均值的計v0

(v)dv

v2

v0

f(v)dvvNvfvNvf(v)dvv2vNf(v)dvv

f(v)dv v2vv2 vv2 vvf(v)dv2f(v)dv

f(v)dv2 mv0

f(v)dv5 公

vp

2kTm

2RTM

v

(v)dv

8kT

8RTMmol

3RT

f(

Mmol六.氣體分子平均自 平均碰撞頻

Z 2d2n 2d26m2RTMmolvm2RTMmol7動平均自由氣體溫度都會隨過程而變。則氣體PV PV RTMmol

2d2nT

2d2

1

答：2:1，758例:大容器、T、氣體分子質(zhì)量m.在薄壁開小孔面積測得1s流出的氣體質(zhì)量M。求容器內(nèi)的壓強(qiáng)。設(shè)容解：簡單近似1 n

1nvS 1 Mm

1mnvS 6p

v 嚴(yán)格推導(dǎo)嚴(yán)格推導(dǎo)n1nvSpS4p32

實(shí)際氣體問題1mol真實(shí)氣體的范德瓦耳斯方程(p

a

b)RTV式中的修正項a和b一般均由實(shí)驗測定a、b稱為范德瓦爾斯常量引入b,a的實(shí)質(zhì)是:b—無法忽略分子間斥a—無法忽略分子間引2(p2V

)(

b

)RT對不同氣體常量a、b取值不同在重力加速度可以認(rèn)為不變的范圍,取z=0為勢能零點(diǎn),z軸向上為正,則玻爾茲曼分布律n

kT可由分子數(shù)分布求得大氣壓強(qiáng)按高度為化關(guān)系p

kT

kT

RT此式稱為條件下 RTlnp0

高度計原答T1Δ(能量輸運(yùn)ΔT2xT<1T2ΔQdTdQdTdS━熱導(dǎo)率(導(dǎo)熱系數(shù))物理意義表示2.擴(kuò)散現(xiàn) 密度梯度

MDdD—擴(kuò)散

定性解

3D3

Mmolv

v D3

v 8RTMmol8RTMmol例1:1mm厚的一層空氣可保持20K的溫差,若改用玻璃仍要維相同的溫差,而且使單位時間單位面積通過的熱量相同,厚度應(yīng)為多少,并已知air=2.3810-2W/(m·K) ΔΔ

dTΔ Δ

Q1airΔ

ΔSΔ對玻璃傳熱

Q2

T1x2 1

T

x

例2：矩形保溫容器，兩端導(dǎo)熱系數(shù) d/d

QAQB

dTΔSΔdTΔSΔ

AB AB

T2T1

T2dd dd A dB

例3：蒸汽管內(nèi),外半徑 r2=18cm.管內(nèi)維持管外表面維持20°C求每米每小時損失的熱量Q

dTΔSΔS

t1Q

1dTT2

任意半徑的柱面Q dT

C

dT不是常量

dT

CrdT

Cr

TCln

r

T

r

TC

T1

dT1

ln

ln

Q

1Qr

21Qr2

1

tT2 Qr2

1

tT2 Qln

1

t(T2T1Q例4：在兩端絕熱封頂，半徑R2=7.5cm的長容器筒內(nèi),同軸Q5.510Wms) 熱導(dǎo)率為

46W/(m

kA

8.61103W/(m計算鈾 軸處溫度T0 計算筒內(nèi)R1處空氣密度1與R2處空氣密

2比值 （1）

Q

25.5103

R1熱平衡時，通過半徑r的單位長度空氣柱面向外輸R1熱量為Q dT2r

AT2

R2

dr

lnR2 2kA 2kA 得TT

ln

300

ln

A1 A1取rR1Q

r2

r得

1dT

Q

1rdr0

Q R14kuR1 T

R R

5.5103

u 4u

4

P

得n

(

2

Q(Q(E2E1)dQdE dQdE C CdQ,即dQ

Mmol

CV

E

Mmol

CV

CVCVi2Cpi22二.等溫過

熱T常量，E

Q(Q

Mmol

RTln

AE M

CV

Mmol

RTln

ln

絕熱過程方p=常

pV

Qp

Mmol

Cp

T1)

E

V

常量E M

CV

R(

V1

E

Mmol

CV

解題方一、選V這是一個放熱降壓過0這是一個吸熱升壓過程.V2(C)這是一個吸熱降壓程.V10

ba a pVRT

RTp

p1b2a0V問：兩個過程p1b2a0V

1過程為等體升壓過程Q12過程為等體升壓過程及等溫升壓Q2=ΔE所以

pb1a2 b1a2一定量某理想氣體pV2恒量的規(guī)律膨脹，(A)將升高

對)將降低 (C)不變 (D)能確定解二.填空

RT

p

恒RV第一類

不需要能量輸入而能繼續(xù)做功的機(jī)器 熱力學(xué)第 第二類 從單一熱源吸熱，在循環(huán)中不斷對外作功的熱 違背 三.計算例1T273k,

1.0102atm,

1.24102kg/m3)

Mmol解：分 PVPV RTMmol(2)

EK

n32

Mmol p例2求在相同的T,及P下,H2氣與He氣解：

~

~2103kg

5 內(nèi)能為2

1103kg

5 內(nèi)能為4He

~1mol~4103

~內(nèi)能為2He

~1103

~內(nèi)能為8答:為10單位體積H2氣的內(nèi)能

nH2

52單位體積He氣的內(nèi)能

3 因為的T,P相

nH

ppd4.01010m,5102m/

n3.01025

/m3NN求）Z （3）此分子經(jīng)多長時間與P點(diǎn)的距離為10解：分

（1）NN

vZ

Z2nZ

已知：R

N

t(秒10

N NNFC例5.已知：PV圖 FC

《競賽》

3p0

4:

G GpVpV

W~S曲線

pV~

對于ABCDA循Q1

TA

p

TB對于ABCDA循

3p0

B

CWpV

Q1Q11

R

2CP

對于AEFGA循 W

4R

2C

4:1 Q 1

已知：T3=

試求與的比值

分1分12~V1 V1必須先求T，T，T的關(guān)系及

的比值V V1由

pV

p

T2 pV

T3

得：T2=2T1， 又已知：T3=得：T2=2T1，已知：T34T15RCP

p p

T2 對于ABCA

ACCB

ln

(3

2

V放Q放11

2

ln

同理，2

2(2

2 4ln23030解題關(guān)鍵選合適的絕熱

1mol單原子理想氣體，可循環(huán)CP,已知：曲ca

P與V的關(guān)系為，P

2,點(diǎn) V 0其它條件如圖所示 求：）試以T0

過程系統(tǒng)吸收的熱量。解：分解：分

由圖看出

Tb

P0V

V 02 2

A pdV

p0

C

V 0

pV得 RT

c 49.9105VaVaRT

5 V(升V Vb

24.910

a

V Vb

01

V(升循環(huán)吸熱

ab

ln

103C(T

)6.23103循環(huán)放

循環(huán)效

1

0 V(升求(1)c狀態(tài)的體積；(2)等壓膨脹過程中氣體所吸收的熱量。(3)該循環(huán)過程中氣體所作的功(4)此循環(huán)制冷系數(shù)解：(1)設(shè)該氣體摩爾由理想氣體狀態(tài)方pV 得 PV

c

4

Q Cp

(

1)15

(3)該循環(huán)過程中氣體所作的功A RTln P(VV)PV

ln4

3V Vc

Pabcp(4)此循環(huán)制冷Pabcp1wQp

ln44

解解：分

1wQ(1

1

1w w第十七

5功5

2

[ln

(

分W~T0,分

T0T0熱源Q1熱源Q1W2W2

[ln

(

證明完 T0T0

工 Q

T

5

T

5

ln 0 0

熱源因為氮?dú)?，熱源和制冷機(jī)構(gòu)成封閉系統(tǒng)，由熵?zé)嵩碨

S制冷

5Rln5Rln2 ln 0關(guān)于容器中有兩種氣體隔成兩部分的問

第十四屆，書He的壓強(qiáng)為2atm,溫度為400K,N2的壓強(qiáng)為1atm,溫度為 設(shè)初始時He的壓強(qiáng)為p1,溫度為T1,而N2的壓強(qiáng)為p2,溫度為T2,最終達(dá)到平衡時He和N2共同的壓強(qiáng)為p強(qiáng),PV

2p

32

52

T2)解得

p 水平放置的絕熱氣缸內(nèi)有一不導(dǎo)熱的隔板，把氣缸都是Po體積Vo，溫度都是To。今通過A室的電熱絲L對氣分VA分

3

,

BBPV

,T

3

3

P、VA第十第十四屆，書

P、VB將熱力學(xué)第一定律用于整個系統(tǒng)，注意到系統(tǒng)的功QE

T

TTA

2

(Q3PVQAP、VAPQAP、VAP、VBB

(Q3PV 9P 注意理想氣體在溫度不同溫度范圍時等摩爾熱容量不同的情況下計算內(nèi)能時用相應(yīng)

ECV 計算內(nèi)能變化

Cv

不再

dECV

計算內(nèi)能變例:設(shè)某種雙原子分子量理想氣體，在溫度低于2T0時等體摩爾熱容量為5R/2，在溫度高于2T0時等體摩爾熱容量增加至7R/2.該氣體所經(jīng)熱程如圖是，試求效率解 由熱力學(xué)第一定律 吸熱

7R

5RT

0V

R

ln

放

(83ln3

ln V

CD

(8ln3 1QQ

1-8ln83ln

21屆關(guān)于熱容的計算Cc nVRnc

pV

常

結(jié)論需記 計算理想氣體經(jīng)歷多方過程pVnC=？（需從基本定律與定義做起，不得直接代入C與多Cd ddQ

dT

d對pVn

即：V

pnpdV 對狀態(tài)方程兩邊求微分得p

V

pdT

p

d n1

CVC

dTn1 C

dT n1 已知熱容求，理想氣體多方過程方解:演繹

dQ

pV

Vdp

消

)

VdpCn1C

npdVVdppVn常pV

n1C

n

CCp 等nn

C 等C 絕n

C 等例1：已知：理想氣體的定體摩爾熱容CV，且其過程曲線如圖所示，求其多方過程的摩爾熱容Cn=？ba分析：觀察曲線特點(diǎn)pkVbapkV

pV

常量R Rn

CV nVRn例2：計算單原子分子理想氣體經(jīng)歷多方過程pV3=常量時的摩爾熱容量C=？（需從基本定律與定義做起，不Cdd

2dQ

CVdT

dV對pV3V2

V3dp即：Vd

3pdV

1對狀態(tài)方程兩邊求微分得p

V

pdT

p

(R/2)dT

dT(R/2)dT

dT2以

C 關(guān)于熱容的計算

p與

CCccc dQ

dE

第第（1）試求此過程中該氣體的摩爾熱容分7分2

dQdQ

dE

3RdT2

7RdT根據(jù)題意：pT

V

RTpV

2

CpdVC（2）設(shè)過程中某一狀態(tài)的壓強(qiáng)為P0，體積為V0，試求dWpdV

？VRTVRT2V02

V2V0

RT

2

222T2

T

W

22

1)22例某理想氣體的摩爾熱容隨溫度按CT的規(guī)律變化例為一常量.求此理想氣體1mol的過程方程式解

TdQ

CVdT

RTp

CVdT

RTVT

RV

R

lnT

CVTRe

aa

C0a解 a

C0pVpV

CVdT

)T

AdTTa

RdVV

TC0CV

常量開爾文表述:不可能從單一個熱源吸取熱量,使之全部克勞修斯表述:熱量不可能自動地從低溫物體傳向

熵小的 熵大的

S=kln

S2

設(shè)

S

T

CvT

SS0

CP0

RlnSS lnTRln0VT0V0試以P、V為獨(dú)立變量，推導(dǎo)1mol理想氣體熵變的表達(dá)解；理想氣體狀態(tài)方

pPVPV

Vdp

dS

dE

dS

dTR dS

CV(V

p

)RV競賽第競賽第？dS

C(

dp)p

RVdSdS(V,P)VdppPVS(V,P) VppCPln0V0系統(tǒng)的初態(tài)（P0，V0）系統(tǒng)的末態(tài)：注意：二十一屆熱學(xué)計算題求熵變的公式是錯誤的dS(V,P)VdpCpPdS(V,P)VdpCpPVS(V,P) VppCPln0V0系統(tǒng)的初態(tài)（P0，V0）系統(tǒng)的末態(tài)分分析表達(dá)注注意：29屆熱學(xué)計算題求熵變競賽29屆12 1摩爾單原子分子理想氣體，從初態(tài)（p0 ），經(jīng)一個準(zhǔn)靜態(tài)壓縮過程，到達(dá)終態(tài)（8p,1V 假設(shè)全過程的每一無窮小過程中，氣體對外作功

dW為常量β，試求β

dQ

p

1

3RdT2dQ

3RdT2

ndVdp ，其中n5 積分后，可得pVnpV

將已知始末態(tài)代入可１１ 2n２

求：S

S

推導(dǎo)見書P59p-2

Rln

p8p0,4p dSdS(T,V)VdTRTVdS(T,V)VlnTRlnT0V0T已知：理T末態(tài)求：S

C 22

(

)可逆

( ) 可

CVln

QSTQ

VR

p

S2

VT0V0例：1摩爾氣體絕熱自由膨脹由V1到V2，求熵的變化

2dQP 3Pa

1 R2dVR14 1VV 3C

2C

2CPdTS

CPCp

lnT

ln V

Rln

Rln

R

RS

S注意：氣體絕熱SM(T) M(T總輻出（輻射出射度

0 TTm=M0(T)4M0(T)4

常量b=2.89710-3在加熱黑體的過程中，其最大單色輻出度的波長0.8m來的多少倍

，則其輻射出射度增大為已知

m

M(T)M(T)40Tm=若（看成黑體）的半徑由R增為2R，溫度由T為2T，則其總輻射功率為原來的多少倍

64M(T)M(T)40

)S競競 半徑Rs=6.96108m,地球到 離d=1.4961011m.)Tm=bT m

2.897103m490109

5.91030 T0

(5.91034

/m2s0M0 s0Ps

M

6.87107W

m

(6.96108m)24.21026W

4.21026W4(1.4961011m)2

/m2由于dRE,故地球可看作圓盤接受輻射PE

R2

/m2

(6.37106m)2EE例:接上題的結(jié)論,在地球表面光的強(qiáng)度為(保守一點(diǎn)I1.0103 m2 的涂黑面直 I

M0(T

T4T4

364K

91C A為逸出 A A2GV

mv2

h紅限頻率逸出功A

h反向電壓U，遏止電壓，（截止電壓）

mv2

競賽二十屆競賽二十屆解:分A解:分A

Ah

(2)

A

h11mv2h2某光電陰極對于1491nm2遏止電壓為升為1.43V,求=?21mv2h1mv2h21mv2