《生物統(tǒng)計(jì)學(xué)》方差分析課件

第八章方差分析生物統(tǒng)計(jì)學(xué)第八章方差分析生物統(tǒng)計(jì)學(xué)第八章方差分析第一節(jié)方差分析的基本問題第二節(jié)單因素方差分析第三節(jié)雙因素方差分析第八章方差分析第一節(jié)方差分析的基本問題學(xué)習(xí)目標(biāo)解釋方差分析的概念解釋方差分析的基本思想和原理掌握單因素方差分析的方法及應(yīng)用掌握雙因素方差分析的方法及應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)解釋方差分析的概念第一節(jié)方差分析的基本問題一.方差分析的內(nèi)容二.方差分析的原理三.F分布第一節(jié)方差分析的基本問題一.方差分析的內(nèi)容什么是方差分析？

(AnalysisofVariance,ANOVA)什么是方差分析？

(AnalysisofVarianc什么是方差分析?

(概念要點(diǎn))檢驗(yàn)多個(gè)總體均值是否相等通過對(duì)各觀察數(shù)據(jù)誤差來源的分析來判斷多個(gè)總體均值是否相等2. 變量1個(gè)定類尺度的自變量2個(gè)或多個(gè)(k個(gè))處理水平或分類1個(gè)定距或比例尺度的因變量3.

用于分析完全隨機(jī)化試驗(yàn)設(shè)計(jì)什么是方差分析?

(概念要點(diǎn))檢驗(yàn)多個(gè)總體均值是否相等什么是方差分析?

（一個(gè)例子）表8-1某草莓四個(gè)變種的株高（cm）調(diào)查結(jié)果株號(hào)變種A1變種A2變種A3變種A41234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.732.8【例8.1】某農(nóng)場(chǎng)培育出一種新型草莓品種。在該草莓新品種的培育過程中，由于遺傳變異產(chǎn)生了四個(gè)異化的變種，分別為變種A1、變種A2、變種A3

和變種A4。這四個(gè)變種的種植環(huán)境和管理措施等可能影響其生長的因素全部相同。現(xiàn)希望了解變異對(duì)株高的影響，調(diào)查數(shù)據(jù)見表8-1。試分析該品種草莓的變異是否對(duì)株高產(chǎn)生影響。什么是方差分析?

（一個(gè)例子）表8-1某草莓四個(gè)變種的株什么是方差分析?

（例子的進(jìn)一步分析）檢驗(yàn)變異對(duì)草莓株高是否有影響，也就是檢驗(yàn)四個(gè)變種的平均株高度是否相同設(shè)1為變種A1的平均株高，2為變種A2的平均株高，3為變種A3的平均株高，4為變種A4的平均株高，也就是檢驗(yàn)下面的假設(shè)H0:1234

H1:1,2,3,4

不全相等檢驗(yàn)上述假設(shè)所采用的方法就是方差分析什么是方差分析?

（例子的進(jìn)一步分析）檢驗(yàn)變異對(duì)草莓株高是方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理

（幾個(gè)基本概念）因素或因子所要檢驗(yàn)的對(duì)象稱為因素或因子要分析遺傳變異對(duì)草莓株高是否有影響，變異是要檢驗(yàn)的因素或因子水平因素的具體表現(xiàn)稱為水平A1、A2、A3、A4四種變異就是因素的水平觀察值在每個(gè)因素水平下得到的樣本值每種變異的株高就是觀察值方差分析的基本思想和原理

（幾個(gè)基本概念）因素或因子方差分析的基本思想和原理

（幾個(gè)基本概念）試驗(yàn)這里只涉及一個(gè)因素，因此，稱為單因素四水平的試驗(yàn)總體因素的每一個(gè)水平可以看作是一個(gè)總體比如，A1、A2、A3、A4四種變異，可以看作是四個(gè)總體樣本數(shù)據(jù)上面的數(shù)據(jù)可以看作是從這四個(gè)總體中抽取的樣本數(shù)據(jù)方差分析的基本思想和原理

（幾個(gè)基本概念）試驗(yàn)方差分析的基本思想和原理比較兩類誤差，以檢驗(yàn)均值是否相等比較的基礎(chǔ)是方差比如果系統(tǒng)(不同水平或處理)誤差顯著地不同于隨機(jī)誤差，則均值就是不相等的；反之，均值就是相等的誤差是由各部分(同一水平內(nèi)和各水平間)的誤差占總誤差的比例來測(cè)度的方差分析的基本思想和原理比較兩類誤差，以檢驗(yàn)均值是否相等方差分析的基本思想和原理

（兩類誤差）隨機(jī)誤差在因素的同一水平(同一個(gè)總體)下，樣本的各觀察值之間的差異比如，同一種變異的草莓不同抽樣個(gè)體的株高是不同的不同抽樣個(gè)體株高的差異可以看成是隨機(jī)因素的影響，或者說是由于抽樣的隨機(jī)性所造成的，稱為隨機(jī)誤差

系統(tǒng)誤差在因素的不同水平(不同總體)下，各觀察值之間的差異比如，同一抽樣編號(hào)，不同變異的草莓株高也是不同的這種差異可能是由于抽樣的隨機(jī)性所造成的，也可能是由于變異本身所造成的，后者所形成的誤差是由系統(tǒng)性因素造成的，稱為系統(tǒng)誤差方差分析的基本思想和原理

（兩類誤差）隨機(jī)誤差方差分析的基本思想和原理

（兩類方差）組內(nèi)方差因素的同一水平(同一個(gè)總體)下樣本數(shù)據(jù)的方差比如，變種A1的5個(gè)樣本株高的方差組內(nèi)方差只包含隨機(jī)誤差組間方差因素的不同水平(不同總體)下各樣本之間的方差比如，A1、A2、A3、A4四個(gè)變種株高之間的方差組間方差既包括隨機(jī)誤差，也包括系統(tǒng)誤差方差分析的基本思想和原理

（兩類方差）組內(nèi)方差方差分析的基本思想和原理

（方差的比較）如果不同變異(水平)對(duì)株高(結(jié)果)沒有影響，那么在組間方差中只包含有隨機(jī)誤差，而沒有系統(tǒng)誤差。這時(shí)，組間方差與組內(nèi)方差就應(yīng)該很接近，兩個(gè)方差的比值就會(huì)接近1如果不同的水平對(duì)結(jié)果有影響，在組間方差中除了包含隨機(jī)誤差外，還會(huì)包含有系統(tǒng)誤差，這時(shí)組間方差就會(huì)大于組內(nèi)方差，組間方差與組內(nèi)方差的比值就會(huì)大于1當(dāng)這個(gè)比值大到某種程度時(shí)，就可以說不同水平之間存在著顯著差異方差分析的基本思想和原理

（方差的比較）如果不同變異(水平)方差分析中的基本假定方差分析中的基本假定方差分析中的基本假定每個(gè)總體都應(yīng)服從正態(tài)分布對(duì)于因素的每一個(gè)水平，其觀察值是來自服從正態(tài)分布總體的簡單隨機(jī)樣本例如，每種變異的草莓株高必須服從正態(tài)分布各個(gè)總體的方差必須相同對(duì)于各組觀察數(shù)據(jù)，是從具有相同方差的總體中抽取例如，四種變異的草莓株高的總體方差都相同觀察值是獨(dú)立的每個(gè)編號(hào)樣本的株高都與其他編號(hào)樣本的株高獨(dú)立方差分析中的基本假定每個(gè)總體都應(yīng)服從正態(tài)分布方差分析中的基本假定在上述假定條件下，判斷變異對(duì)株高是否有顯著影響，實(shí)際上也就是檢驗(yàn)具有相同方差的四個(gè)正態(tài)總體的均值是否相等的問題。如果四個(gè)總體的均值相等，可以期望四個(gè)樣本的均值也會(huì)很接近。四個(gè)樣本的均值越接近，我們推斷四個(gè)總體均值相等的證據(jù)也就越充分樣本均值越不同，我們推斷總體均值不同的證據(jù)就越充分方差分析中的基本假定在上述假定條件下，判斷變異對(duì)株高是否有顯方差分析中基本假定

如果原假設(shè)成立，即H0:m1=m2=m3=m4四種變異草莓的株高的均值都相等沒有系統(tǒng)誤差這意味著每個(gè)樣本都來自均值為、方差為2的同一正態(tài)總體。Xf(X)1

2

3

4

方差分析中基本假定如果原假設(shè)成立，即H0:m1=方差分析中基本假定如果備擇假設(shè)成立，即H1:mi(i=1，2，3，4)不全相等至少有一個(gè)總體的均值是不同的有系統(tǒng)誤差這意味著四個(gè)樣本分別來自均值不同的四個(gè)正態(tài)總體

Xf(X)1

2

3

4

方差分析中基本假定如果備擇假設(shè)成立，即H1:mi(i=第二節(jié)單因素方差分析一.單因素方差分析的步驟二.方差分析中的多重比較三.單因素方差分析中的其他問題第二節(jié)單因素方差分析一.單因素方差分析的步驟單因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

觀察值(j)因素(A)i

水平A1水平A2

…

水平Ak12::n

x11x21…

xk1x12x22…

xk2::::::::x1n

x2n…

xkn單因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)觀察值(j)因素(A)i單因素方差分析的步驟提出假設(shè)構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)決策單因素方差分析的步驟提出假設(shè)提出假設(shè)一般提法H0:m1=m2=…=

mk(因素有k個(gè)水平）H1:m1

，m2

，…

，mk不全相等對(duì)前面的例子H0:m1=m2=m3=

m4變異對(duì)株高沒有影響H1:m1

，m2

，m3，m4不全相等變異對(duì)株高有影響提出假設(shè)一般提法構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為檢驗(yàn)H0是否成立，需確定檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量需要計(jì)算水平的均值全部觀察值的總均值離差平方和平均平方(MS,MeanSquare)

構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為檢驗(yàn)H0是否成立，需確定檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算水平的均值

)假定從第i個(gè)總體中抽取一個(gè)容量為ni的簡單隨機(jī)樣本，第i個(gè)總體的樣本均值為該樣本的全部觀察值總和除以觀察值的個(gè)數(shù)計(jì)算公式為式中：ni為第i個(gè)總體的樣本觀察值個(gè)數(shù)

xij為第i個(gè)總體的第j個(gè)觀察值

構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算水平的均值)假定從第i個(gè)總體中抽取構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算全部觀察值的總均值

)全部觀察值的總和除以觀察值的總個(gè)數(shù)計(jì)算公式為構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算全部觀察值的總均值)全部觀察值的總構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(前例計(jì)算結(jié)果

)表8-2四種變異草莓的株高及均值（cm）株號(hào)(j)水平A(i)變種A1變種A2變種A3變種A41234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.732.8合計(jì)136.6147.8132.2157.3573.9水平均值觀察值個(gè)數(shù)x1=27.32n1=5x2=29.56n2=5x3=26.44n3=5x4=31.46n4=5總均值x=28.695構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(前例計(jì)算結(jié)果)表8-2四種變異構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算總離差平方和

SST)全部觀察值與總平均值的離差平方和SST反映全部觀察值的離散狀況其計(jì)算公式為(SumofSquaresforTotal)

前例的計(jì)算結(jié)果：

SST=(26.5-28.695)2+(28.7-28.695)2+…+(32.8-28.695)2=115.9295構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算總離差平方和SST)全部觀察值構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算誤差項(xiàng)平方和

SSE)每個(gè)水平或組的各樣本數(shù)據(jù)與其組平均值的離差平方和SSE反映每個(gè)樣本各觀察值的離散狀況，又稱組內(nèi)離差平方和該平方和反映的是隨機(jī)誤差的大小計(jì)算公式為(SumofSquaresforError)

前例的計(jì)算結(jié)果：SSE=39.084構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算誤差項(xiàng)平方和SSE)每個(gè)水平或組的構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算水平項(xiàng)平方和

SSA)各組平均值與總平均值的離差平方和SSA反映各總體的樣本均值之間的差異程度，又稱組間平方和該平方和既包括隨機(jī)誤差，也包括系統(tǒng)誤差計(jì)算公式為(SumofSquaresforfactorA)

前例的計(jì)算結(jié)果：SSA=76.8455構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算水平項(xiàng)平方和SSA)各組平均值構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(三個(gè)平方和的關(guān)系)總離差平方和(SST)、誤差項(xiàng)離差平方和(SSE)、水平項(xiàng)離差平方和(SSA)之間的關(guān)系SST=SSE+SSA構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(三個(gè)平方和的關(guān)系)總離差平方和(SST構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(三個(gè)平方和的作用)SST反映了全部數(shù)據(jù)總的誤差程度SSE反映了隨機(jī)誤差的大小SSA反映了隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差的大小構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(三個(gè)平方和的作用)SST反映了全部數(shù)據(jù)總構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(三個(gè)平方和的作用)若原假設(shè)成立，即μ1＝μ2

＝…＝μk為真，則表明沒有系統(tǒng)誤差，組間平方和SSA除以自由度后的均方與組內(nèi)平方和SSE和除以自由度后的均方差異就不會(huì)太大如果組間均方顯著地大于組內(nèi)均方，說明各水平(總體)之間差異不僅有隨機(jī)誤差，還有系統(tǒng)誤差構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(三個(gè)平方和的作用)若原假設(shè)成立，即μ1＝構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(三個(gè)平方和的作用)判斷因素的水平是否對(duì)其觀察值有影響，實(shí)際上就是比較組間方差與組內(nèi)方差之間差異的大小為檢驗(yàn)這種差異，需要構(gòu)造一個(gè)用于檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(三個(gè)平方和的作用)判斷因素的水平是否對(duì)其構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算均方

MS)各離差平方和的大小與觀察值的多少有關(guān)，為了消除觀察值數(shù)目對(duì)離差平方和大小的影響，需要計(jì)算其平均值，這就是均方，也稱為方差計(jì)算方法是用離差平方和除以相應(yīng)的自由度三個(gè)平方和的自由度分別是SST的自由度為n-1，其中n為全部觀察值的個(gè)數(shù)SSA的自由度為k-1，其中k為因素水平(總體)個(gè)數(shù)SSE的自由度為n-k構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算均方MS)各離差平方和的大小與觀察構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算均方

MS)SSA的均方也稱為組間方差，記為MSA，計(jì)算公式為SSE的均方也稱為組內(nèi)方差，記為MSE，計(jì)算公式為構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算均方MS)SSA的均方也稱為組間方構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

F)將MSA和MSE進(jìn)行對(duì)比，即得到所需要的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F當(dāng)H0為真時(shí)，二者的比值服從第一自由度為k-1、第二自由度為n-k的F分布，即構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量F)將MSA和MSE構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(F分布與拒絕域)如果均值相等，1a

F分布F(k-1,n-k)0拒絕H0不能拒絕H0F構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(F分布與拒絕域)如果均值相等，統(tǒng)計(jì)決策

將統(tǒng)計(jì)量的值F與給定的顯著性水平的臨界值F進(jìn)行比較，作出接受或拒絕原假設(shè)H0的決策根據(jù)給定的顯著性水平，在F分布表中查找與第一自由度df1＝k-1、第二自由度df2=n-k相應(yīng)的臨界值F

若F>F

，則拒絕原假設(shè)H0

，表明均值之間的差異是顯著的，所檢驗(yàn)的因素(A)對(duì)觀察值有顯著影響若FF

，則不能拒絕原假設(shè)H0

，表明所檢驗(yàn)的因素(A)對(duì)觀察值沒有顯著影響統(tǒng)計(jì)決策將統(tǒng)計(jì)量的值F與給定的顯著性水平的臨界值F單因素方差分析表

(基本結(jié)構(gòu))方差來源平方和SS自由度df均方MSF值組間(因素影響)組內(nèi)(誤差)總和SSASSESSTk-1n-kn-1MSAMSEMSAMSE單因素方差分析表

(基本結(jié)構(gòu))方差來源平方和SS自由度均方F單因素方差分析

（Excel的輸出結(jié)果）單因素方差分析

（Excel的輸出結(jié)果）單因素方差分析

（一個(gè)例子）【例8.2】為了對(duì)幾個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)的蛋雞品質(zhì)進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)，經(jīng)濟(jì)動(dòng)物協(xié)會(huì)在阿狗雞場(chǎng)、阿蛇雞場(chǎng)、阿貓雞場(chǎng)、阿龍雞場(chǎng)分別抽取了不同的樣本，其中阿狗雞場(chǎng)抽取7只蛋雞，阿蛇雞場(chǎng)抽取了6只蛋雞，阿貓雞場(chǎng)抽取5只蛋雞、阿龍雞場(chǎng)抽取了5只蛋雞，然后，記錄三個(gè)月中蛋雞的產(chǎn)蛋個(gè)數(shù)，結(jié)果見表6.3。試分析這四個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)的蛋雞產(chǎn)蛋量是否有顯著差異？(＝0.05)單因素方差分析

（一個(gè)例子）【例8.2】為了對(duì)幾個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)的蛋單因素方差分析

（一個(gè)例子）表8.3四個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)蛋雞的產(chǎn)蛋數(shù)量(單位:個(gè))

觀察值(j)養(yǎng)雞場(chǎng)(A)阿狗雞場(chǎng)阿蛇雞場(chǎng)阿貓雞場(chǎng)阿龍雞場(chǎng)12345675755464554534762496054565551494855477068636960單因素方差分析

（一個(gè)例子）表8.3四個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)蛋雞的產(chǎn)蛋數(shù)單因素方差分析

（計(jì)算結(jié)果）

解：設(shè)四個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)的蛋雞產(chǎn)蛋個(gè)數(shù)的均值分別為m1、m2

、m3、m4

，則需要檢驗(yàn)如下假設(shè)H0:m1=m2=m3

=

m4(四個(gè)雞場(chǎng)的蛋雞產(chǎn)蛋量無顯著差異)H1:m1

，m2

，m3，m4不全相等(有顯著差異)Excel輸出的結(jié)果如下

結(jié)論：拒絕H0，四個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)的蛋雞產(chǎn)蛋量有顯著差異。單因素方差分析

（計(jì)算結(jié)果）解：設(shè)四個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)的蛋雞方差分析中的多重比較方差分析中的多重比較方差分析中的多重比較

（作用）多重比較是通過對(duì)總體均值之間的配對(duì)比較來進(jìn)一步檢驗(yàn)具體哪些均值之間存在差異多重比較方法有多種，這里介紹Fisher提出的最小顯著差異方法，簡寫為LSD，該方法可用于判斷到底哪些均值之間有差異LSD方法是對(duì)檢驗(yàn)兩個(gè)總體均值是否相等的

t檢驗(yàn)方法的總體方差估計(jì)加以修正(用MSE來代替)而得到的方差分析中的多重比較

（作用）多重比較是通過對(duì)總體均值之間的方差分析中的多重比較

（步驟）提出假設(shè)H0:mi=mj

(第i個(gè)總體的均值等于第j個(gè)總體的均值)H1:mi

mj

(第i個(gè)總體的均值不等于第j個(gè)總體的均值)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為若|t|t，拒絕H0；若|t|<t，不能拒絕H0方差分析中的多重比較

（步驟）提出假設(shè)若|t|t，拒方差分析中的多重比較

（基于統(tǒng)計(jì)量xi-xj的LSD方法）通過判斷樣本均值之差的大小來檢驗(yàn)H0檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為：xi–

xj檢驗(yàn)的步驟為

提出假設(shè)H0:mi=mj(第i個(gè)總體的均值等于第j個(gè)總體的均值)H1:mi

mj(第i個(gè)總體的均值不等于第j個(gè)總體的均值)計(jì)算LSD若|xi-xj|LSD，拒絕H0，若|xi-xj|<LSD

，不能拒絕H0方差分析中的多重比較

（基于統(tǒng)計(jì)量xi-xj的LSD方法方差分析中的多重比較

（實(shí)例）根據(jù)例8.1的計(jì)算結(jié)果:x1=27.3;x2=29.5;x3=26.4;x4=31.4提出假設(shè)H0:mi=mj

；H1:mi

mj計(jì)算LSD方差分析中的多重比較

（實(shí)例）根據(jù)例8.1的計(jì)算結(jié)果:方差分析中的多重比較

（實(shí)例）|x1-x2|=|27.3-29.5|=2.2>2.096

A1與A2的草莓株高有顯著差異|x1-x3|=|27.3-26.4|=0.9<2.096

A1與A3的草莓株高沒有顯著差異|x1-x4|=|27.3-31.4|=4.1>2.096

A1與A4的草莓株高有顯著差異|x2-x3|=|29.5-26.4|=3.1>2.096

A2與A3的草莓株高有顯著差異|x2-x4|=|29.5-31.4|=1.9<2.096

A2與A4的草莓株高沒有顯著差異|x3-x4|=|26.4-31.4|=5>2.096

A3與A4的草莓株高有顯著差異方差分析中的多重比較

（實(shí)例）|x1-x2|=|27第三節(jié)雙因素方差分析一.雙因素方差分析的基本問題二.雙因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)雙因素方差分析的步驟一個(gè)應(yīng)用實(shí)例第三節(jié)雙因素方差分析一.雙因素方差分析的基本問題雙因素方差分析的基本問題雙因素方差分析的基本問題雙因素方差分析

（概念要點(diǎn)）分析兩個(gè)因素(因素A和因素B)對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響

分別對(duì)兩個(gè)因素進(jìn)行檢驗(yàn)，分析是一個(gè)因素起作用，還是兩個(gè)因素都起作用，還是兩個(gè)因素都不起作用如果A和B對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響是相互獨(dú)立的，分別判斷因素A和因素B對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響，這時(shí)的雙因素方差分析稱為無交互作用的雙因素方差分析如果除了A和B對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的單獨(dú)影響外，因素A和因素B的搭配還會(huì)對(duì)試驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生一種新的影響，這時(shí)的雙因素方差分析稱為有交互作用的雙因素方差分析對(duì)于無交互作用的雙因素方差分析，其結(jié)果與對(duì)每個(gè)因素分別進(jìn)行單因素方差分析的結(jié)果相同雙因素方差分析

（概念要點(diǎn)）分析兩個(gè)因素(因素A和因素B)對(duì)雙因素方差分析的基本假定每個(gè)總體都服從正態(tài)分布對(duì)于因素的每一個(gè)水平，其觀察值是來自正態(tài)分布總體的簡單隨機(jī)樣本各個(gè)總體的方差必須相同對(duì)于各組觀察數(shù)據(jù)，是從具有相同方差的總體中抽取的觀察值是獨(dú)立的雙因素方差分析的基本假定每個(gè)總體都服從正態(tài)分布雙因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

因素A(i)因素(B)j平均值

B1B2…

BrA1A2::Ak

x11x12…

x1rx21x22…

x2r::::::::xk1

xk2…

xkr

::平均值

…雙因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)因素A因素(B)j平均值雙因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

是因素A的第i個(gè)水平下各觀察值的平均值

是因素B的第j個(gè)水平下的各觀察值的均值

是全部kr個(gè)樣本數(shù)據(jù)的總平均值雙因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是因素A的第i個(gè)水平雙因素方差分析的步驟雙因素方差分析的步驟提出假設(shè)對(duì)因素A提出的假設(shè)為H0:m1=m2

=

…=mi=…=

mk(mi為第i個(gè)水平的均值)H1:mi

(i=1,2,…,k)

不全相等對(duì)因素B提出的假設(shè)為H0:m1=m2

=

…=mj=…=

mr(mj為第j個(gè)水平的均值)H1:mj

(j=1,2,…,r)

不全相等提出假設(shè)對(duì)因素A提出的假設(shè)為構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為檢驗(yàn)H0是否成立，需確定檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量需要計(jì)算總離差平方和水平項(xiàng)平方和誤差項(xiàng)平方和均方

構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為檢驗(yàn)H0是否成立，需確定檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算總離差平方和

SST)全部觀察值與總平均值的離差平方和反映全部觀察值的離散狀況計(jì)算公式為構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算總離差平方和SST)全部觀察值構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算SSA、SSB和SSE)因素A的離差平方和SSA因素B的離差平方和SSB誤差項(xiàng)平方和SSE構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算SSA、SSB和SSE)因素A的離差構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(各平方和的關(guān)系)

總離差平方和(SST)、水平項(xiàng)離差平方和(SSA和SSB)、誤差項(xiàng)離差平方和(SSE)之間關(guān)系SST=SSA+SSB+SSE構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(各平方和的關(guān)系)總離差平方和(SST構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算均方

MS)各離差平方和的大小與觀察值的多少有關(guān)，為消除觀察值多少對(duì)離差平方和大小的影響，需要將其平均，這就是均方，也稱為方差計(jì)算方法是用離差平方和除以相應(yīng)的自由度三個(gè)平方和的自由度分別是總離差平方和SST的自由度為kr-1因素A的離差平方和SSA的自由度為k-1因素B的離差平方和SSB的自由度為r-1隨機(jī)誤差平方和SSE的自由度為(k-1)×(r-1)構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算均方MS)各離差平方和的大小與觀察構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算均方

MS)因素A的均方，記為MSA，計(jì)算公式為因素B的均方，記為MSB

，計(jì)算公式為隨機(jī)誤差項(xiàng)的均方，記為MSE

，計(jì)算公式為構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算均方MS)因素A的均方，記為MSA構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

F)為檢驗(yàn)因素A的影響是否顯著，采用下面的統(tǒng)計(jì)量為檢驗(yàn)因素B的影響是否顯著，采用下面的統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量F)為檢驗(yàn)因素A的影響統(tǒng)計(jì)決策

將統(tǒng)計(jì)量的值F與給定的顯著性水平的臨界值F進(jìn)行比較，作出接受或拒絕原假設(shè)H0的決策根據(jù)給定的顯著性水平在F分布表中查找相應(yīng)的臨界值F

若FAF

，則拒絕原假設(shè)H0

，表明均值之間的差異是顯著的，即所檢驗(yàn)的因素(A)對(duì)觀察值有顯著影響若FBF

，則拒絕原假設(shè)H0

，表明均值之間有顯著差異，即所檢驗(yàn)的因素(B)對(duì)觀察值有顯著影響統(tǒng)計(jì)決策將統(tǒng)計(jì)量的值F與給定的顯著性水平的臨界值F雙因素方差分析表

(基本結(jié)構(gòu))方差來源平方和SS自由度df均方MSF值

因素A

因素B誤差總和SSASSBSSESSTk-1r-1(k-1)(r-1)kr-1MSAMSBMSEFAFB雙因素方差分析表

(基本結(jié)構(gòu))方差來源平方和自由度均方F值雙因素方差分析

（一個(gè)例子）表8.4不同品種的水稻在五個(gè)鎮(zhèn)的銷售量數(shù)據(jù)(噸)品種(因素A)銷售地(因素B)B1B2B3B4B5A1A2A3A4365345358288350368323280343363353298340330343260323333308298【例8.3】有四個(gè)品種的水稻稻種在五個(gè)鎮(zhèn)銷售，為分析水稻稻種的品種(因素A)和銷售地(因素B)對(duì)銷售量是否有影響，對(duì)每個(gè)品種在各地的銷售量取得以下數(shù)據(jù)，見表8.4。試分析水稻品種和銷售地對(duì)水稻稻種的銷售量是否有顯著影響？雙因素方差分析

（一個(gè)例子）表8.4不同品種的水稻在五個(gè)雙因素方差分析

（提出假設(shè)）對(duì)因素A提出的假設(shè)為H0:m1=m2=m3=m4

(水稻品種對(duì)銷售量沒有影響)H1:mi

(i=1,2,…,4)

不全相等

(水稻品種對(duì)銷售量有影響)對(duì)因素B提出的假設(shè)為H0:m1=m2=m3=m4=m5

(地區(qū)對(duì)銷售量沒有影響)H1:mj

(j=1,2,…,5)

不全相等

(地區(qū)對(duì)銷售量有影響)雙因素方差分析

（提出假設(shè)）對(duì)因素A提出的假設(shè)為雙因素方差分析

（Excel輸出的結(jié)果）

結(jié)論：

FA＝18.10777>F＝3.4903，拒絕原假設(shè)H0，說明水稻的品種對(duì)銷售量有顯著影響

FB＝2.100846<F＝3.2592，接受原假設(shè)H0，說明銷售地對(duì)水稻稻種的銷售量沒有顯著影響雙因素方差分析

（Excel輸出的結(jié)果）結(jié)論：本章小結(jié)方差分析(ANOVA)的概念方差分析的思想和原理方差分析中的基本假設(shè)要求掌握利用Excel和SPSS進(jìn)行方差分析的基本技術(shù)本章小結(jié)方差分析(ANOVA)的概念為了調(diào)查三塊小麥田的出苗情況，在每塊麥田中按均勻分布原則設(shè)立了一些取樣點(diǎn)，每取樣點(diǎn)記錄30㎝垅長的基本苗數(shù)，所得結(jié)果列于下表。三塊田的出苗情況是否有差異？田

塊基

本苗數(shù)121292422253027262202525232931242620213242228252126小練習(xí)為了調(diào)查三塊小麥田的出苗情況，在每塊麥田中按均勻分布原則設(shè)立Thanks!Thanks!第八章方差分析生物統(tǒng)計(jì)學(xué)第八章方差分析生物統(tǒng)計(jì)學(xué)第八章方差分析第一節(jié)方差分析的基本問題第二節(jié)單因素方差分析第三節(jié)雙因素方差分析第八章方差分析第一節(jié)方差分析的基本問題學(xué)習(xí)目標(biāo)解釋方差分析的概念解釋方差分析的基本思想和原理掌握單因素方差分析的方法及應(yīng)用掌握雙因素方差分析的方法及應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)解釋方差分析的概念第一節(jié)方差分析的基本問題一.方差分析的內(nèi)容二.方差分析的原理三.F分布第一節(jié)方差分析的基本問題一.方差分析的內(nèi)容什么是方差分析？

(AnalysisofVariance,ANOVA)什么是方差分析？

(AnalysisofVarianc什么是方差分析?

(概念要點(diǎn))檢驗(yàn)多個(gè)總體均值是否相等通過對(duì)各觀察數(shù)據(jù)誤差來源的分析來判斷多個(gè)總體均值是否相等2. 變量1個(gè)定類尺度的自變量2個(gè)或多個(gè)(k個(gè))處理水平或分類1個(gè)定距或比例尺度的因變量3.

用于分析完全隨機(jī)化試驗(yàn)設(shè)計(jì)什么是方差分析?

(概念要點(diǎn))檢驗(yàn)多個(gè)總體均值是否相等什么是方差分析?

（一個(gè)例子）表8-1某草莓四個(gè)變種的株高（cm）調(diào)查結(jié)果株號(hào)變種A1變種A2變種A3變種A41234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.732.8【例8.1】某農(nóng)場(chǎng)培育出一種新型草莓品種。在該草莓新品種的培育過程中，由于遺傳變異產(chǎn)生了四個(gè)異化的變種，分別為變種A1、變種A2、變種A3

和變種A4。這四個(gè)變種的種植環(huán)境和管理措施等可能影響其生長的因素全部相同?，F(xiàn)希望了解變異對(duì)株高的影響，調(diào)查數(shù)據(jù)見表8-1。試分析該品種草莓的變異是否對(duì)株高產(chǎn)生影響。什么是方差分析?

（一個(gè)例子）表8-1某草莓四個(gè)變種的株什么是方差分析?

（例子的進(jìn)一步分析）檢驗(yàn)變異對(duì)草莓株高是否有影響，也就是檢驗(yàn)四個(gè)變種的平均株高度是否相同設(shè)1為變種A1的平均株高，2為變種A2的平均株高，3為變種A3的平均株高，4為變種A4的平均株高，也就是檢驗(yàn)下面的假設(shè)H0:1234

H1:1,2,3,4

不全相等檢驗(yàn)上述假設(shè)所采用的方法就是方差分析什么是方差分析?

（例子的進(jìn)一步分析）檢驗(yàn)變異對(duì)草莓株高是方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理

（幾個(gè)基本概念）因素或因子所要檢驗(yàn)的對(duì)象稱為因素或因子要分析遺傳變異對(duì)草莓株高是否有影響，變異是要檢驗(yàn)的因素或因子水平因素的具體表現(xiàn)稱為水平A1、A2、A3、A4四種變異就是因素的水平觀察值在每個(gè)因素水平下得到的樣本值每種變異的株高就是觀察值方差分析的基本思想和原理

（幾個(gè)基本概念）因素或因子方差分析的基本思想和原理

（幾個(gè)基本概念）試驗(yàn)這里只涉及一個(gè)因素，因此，稱為單因素四水平的試驗(yàn)總體因素的每一個(gè)水平可以看作是一個(gè)總體比如，A1、A2、A3、A4四種變異，可以看作是四個(gè)總體樣本數(shù)據(jù)上面的數(shù)據(jù)可以看作是從這四個(gè)總體中抽取的樣本數(shù)據(jù)方差分析的基本思想和原理

（幾個(gè)基本概念）試驗(yàn)方差分析的基本思想和原理比較兩類誤差，以檢驗(yàn)均值是否相等比較的基礎(chǔ)是方差比如果系統(tǒng)(不同水平或處理)誤差顯著地不同于隨機(jī)誤差，則均值就是不相等的；反之，均值就是相等的誤差是由各部分(同一水平內(nèi)和各水平間)的誤差占總誤差的比例來測(cè)度的方差分析的基本思想和原理比較兩類誤差，以檢驗(yàn)均值是否相等方差分析的基本思想和原理

（兩類誤差）隨機(jī)誤差在因素的同一水平(同一個(gè)總體)下，樣本的各觀察值之間的差異比如，同一種變異的草莓不同抽樣個(gè)體的株高是不同的不同抽樣個(gè)體株高的差異可以看成是隨機(jī)因素的影響，或者說是由于抽樣的隨機(jī)性所造成的，稱為隨機(jī)誤差

系統(tǒng)誤差在因素的不同水平(不同總體)下，各觀察值之間的差異比如，同一抽樣編號(hào)，不同變異的草莓株高也是不同的這種差異可能是由于抽樣的隨機(jī)性所造成的，也可能是由于變異本身所造成的，后者所形成的誤差是由系統(tǒng)性因素造成的，稱為系統(tǒng)誤差方差分析的基本思想和原理

（兩類誤差）隨機(jī)誤差方差分析的基本思想和原理

（兩類方差）組內(nèi)方差因素的同一水平(同一個(gè)總體)下樣本數(shù)據(jù)的方差比如，變種A1的5個(gè)樣本株高的方差組內(nèi)方差只包含隨機(jī)誤差組間方差因素的不同水平(不同總體)下各樣本之間的方差比如，A1、A2、A3、A4四個(gè)變種株高之間的方差組間方差既包括隨機(jī)誤差，也包括系統(tǒng)誤差方差分析的基本思想和原理

（兩類方差）組內(nèi)方差方差分析的基本思想和原理

（方差的比較）如果不同變異(水平)對(duì)株高(結(jié)果)沒有影響，那么在組間方差中只包含有隨機(jī)誤差，而沒有系統(tǒng)誤差。這時(shí)，組間方差與組內(nèi)方差就應(yīng)該很接近，兩個(gè)方差的比值就會(huì)接近1如果不同的水平對(duì)結(jié)果有影響，在組間方差中除了包含隨機(jī)誤差外，還會(huì)包含有系統(tǒng)誤差，這時(shí)組間方差就會(huì)大于組內(nèi)方差，組間方差與組內(nèi)方差的比值就會(huì)大于1當(dāng)這個(gè)比值大到某種程度時(shí)，就可以說不同水平之間存在著顯著差異方差分析的基本思想和原理

（方差的比較）如果不同變異(水平)方差分析中的基本假定方差分析中的基本假定方差分析中的基本假定每個(gè)總體都應(yīng)服從正態(tài)分布對(duì)于因素的每一個(gè)水平，其觀察值是來自服從正態(tài)分布總體的簡單隨機(jī)樣本例如，每種變異的草莓株高必須服從正態(tài)分布各個(gè)總體的方差必須相同對(duì)于各組觀察數(shù)據(jù)，是從具有相同方差的總體中抽取例如，四種變異的草莓株高的總體方差都相同觀察值是獨(dú)立的每個(gè)編號(hào)樣本的株高都與其他編號(hào)樣本的株高獨(dú)立方差分析中的基本假定每個(gè)總體都應(yīng)服從正態(tài)分布方差分析中的基本假定在上述假定條件下，判斷變異對(duì)株高是否有顯著影響，實(shí)際上也就是檢驗(yàn)具有相同方差的四個(gè)正態(tài)總體的均值是否相等的問題。如果四個(gè)總體的均值相等，可以期望四個(gè)樣本的均值也會(huì)很接近。四個(gè)樣本的均值越接近，我們推斷四個(gè)總體均值相等的證據(jù)也就越充分樣本均值越不同，我們推斷總體均值不同的證據(jù)就越充分方差分析中的基本假定在上述假定條件下，判斷變異對(duì)株高是否有顯方差分析中基本假定

如果原假設(shè)成立，即H0:m1=m2=m3=m4四種變異草莓的株高的均值都相等沒有系統(tǒng)誤差這意味著每個(gè)樣本都來自均值為、方差為2的同一正態(tài)總體。Xf(X)1

2

3

4

方差分析中基本假定如果原假設(shè)成立，即H0:m1=方差分析中基本假定如果備擇假設(shè)成立，即H1:mi(i=1，2，3，4)不全相等至少有一個(gè)總體的均值是不同的有系統(tǒng)誤差這意味著四個(gè)樣本分別來自均值不同的四個(gè)正態(tài)總體

Xf(X)1

2

3

4

方差分析中基本假定如果備擇假設(shè)成立，即H1:mi(i=第二節(jié)單因素方差分析一.單因素方差分析的步驟二.方差分析中的多重比較三.單因素方差分析中的其他問題第二節(jié)單因素方差分析一.單因素方差分析的步驟單因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

觀察值(j)因素(A)i

水平A1水平A2

…

水平Ak12::n

x11x21…

xk1x12x22…

xk2::::::::x1n

x2n…

xkn單因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)觀察值(j)因素(A)i單因素方差分析的步驟提出假設(shè)構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)決策單因素方差分析的步驟提出假設(shè)提出假設(shè)一般提法H0:m1=m2=…=

mk(因素有k個(gè)水平）H1:m1

，m2

，…

，mk不全相等對(duì)前面的例子H0:m1=m2=m3=

m4變異對(duì)株高沒有影響H1:m1

，m2

，m3，m4不全相等變異對(duì)株高有影響提出假設(shè)一般提法構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為檢驗(yàn)H0是否成立，需確定檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量需要計(jì)算水平的均值全部觀察值的總均值離差平方和平均平方(MS,MeanSquare)

構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為檢驗(yàn)H0是否成立，需確定檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算水平的均值

)假定從第i個(gè)總體中抽取一個(gè)容量為ni的簡單隨機(jī)樣本，第i個(gè)總體的樣本均值為該樣本的全部觀察值總和除以觀察值的個(gè)數(shù)計(jì)算公式為式中：ni為第i個(gè)總體的樣本觀察值個(gè)數(shù)

xij為第i個(gè)總體的第j個(gè)觀察值

構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算水平的均值)假定從第i個(gè)總體中抽取構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算全部觀察值的總均值

)全部觀察值的總和除以觀察值的總個(gè)數(shù)計(jì)算公式為構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算全部觀察值的總均值)全部觀察值的總構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(前例計(jì)算結(jié)果

)表8-2四種變異草莓的株高及均值（cm）株號(hào)(j)水平A(i)變種A1變種A2變種A3變種A41234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.732.8合計(jì)136.6147.8132.2157.3573.9水平均值觀察值個(gè)數(shù)x1=27.32n1=5x2=29.56n2=5x3=26.44n3=5x4=31.46n4=5總均值x=28.695構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(前例計(jì)算結(jié)果)表8-2四種變異構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算總離差平方和

SST)全部觀察值與總平均值的離差平方和SST反映全部觀察值的離散狀況其計(jì)算公式為(SumofSquaresforTotal)

前例的計(jì)算結(jié)果：

SST=(26.5-28.695)2+(28.7-28.695)2+…+(32.8-28.695)2=115.9295構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算總離差平方和SST)全部觀察值構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算誤差項(xiàng)平方和

SSE)每個(gè)水平或組的各樣本數(shù)據(jù)與其組平均值的離差平方和SSE反映每個(gè)樣本各觀察值的離散狀況，又稱組內(nèi)離差平方和該平方和反映的是隨機(jī)誤差的大小計(jì)算公式為(SumofSquaresforError)

前例的計(jì)算結(jié)果：SSE=39.084構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算誤差項(xiàng)平方和SSE)每個(gè)水平或組的構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算水平項(xiàng)平方和

SSA)各組平均值與總平均值的離差平方和SSA反映各總體的樣本均值之間的差異程度，又稱組間平方和該平方和既包括隨機(jī)誤差，也包括系統(tǒng)誤差計(jì)算公式為(SumofSquaresforfactorA)

前例的計(jì)算結(jié)果：SSA=76.8455構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算水平項(xiàng)平方和SSA)各組平均值構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(三個(gè)平方和的關(guān)系)總離差平方和(SST)、誤差項(xiàng)離差平方和(SSE)、水平項(xiàng)離差平方和(SSA)之間的關(guān)系SST=SSE+SSA構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(三個(gè)平方和的關(guān)系)總離差平方和(SST構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(三個(gè)平方和的作用)SST反映了全部數(shù)據(jù)總的誤差程度SSE反映了隨機(jī)誤差的大小SSA反映了隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差的大小構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(三個(gè)平方和的作用)SST反映了全部數(shù)據(jù)總構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(三個(gè)平方和的作用)若原假設(shè)成立，即μ1＝μ2

＝…＝μk為真，則表明沒有系統(tǒng)誤差，組間平方和SSA除以自由度后的均方與組內(nèi)平方和SSE和除以自由度后的均方差異就不會(huì)太大如果組間均方顯著地大于組內(nèi)均方，說明各水平(總體)之間差異不僅有隨機(jī)誤差，還有系統(tǒng)誤差構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(三個(gè)平方和的作用)若原假設(shè)成立，即μ1＝構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(三個(gè)平方和的作用)判斷因素的水平是否對(duì)其觀察值有影響，實(shí)際上就是比較組間方差與組內(nèi)方差之間差異的大小為檢驗(yàn)這種差異，需要構(gòu)造一個(gè)用于檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(三個(gè)平方和的作用)判斷因素的水平是否對(duì)其構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算均方

MS)各離差平方和的大小與觀察值的多少有關(guān)，為了消除觀察值數(shù)目對(duì)離差平方和大小的影響，需要計(jì)算其平均值，這就是均方，也稱為方差計(jì)算方法是用離差平方和除以相應(yīng)的自由度三個(gè)平方和的自由度分別是SST的自由度為n-1，其中n為全部觀察值的個(gè)數(shù)SSA的自由度為k-1，其中k為因素水平(總體)個(gè)數(shù)SSE的自由度為n-k構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算均方MS)各離差平方和的大小與觀察構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算均方

MS)SSA的均方也稱為組間方差，記為MSA，計(jì)算公式為SSE的均方也稱為組內(nèi)方差，記為MSE，計(jì)算公式為構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算均方MS)SSA的均方也稱為組間方構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

F)將MSA和MSE進(jìn)行對(duì)比，即得到所需要的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F當(dāng)H0為真時(shí)，二者的比值服從第一自由度為k-1、第二自由度為n-k的F分布，即構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量F)將MSA和MSE構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(F分布與拒絕域)如果均值相等，1a

F分布F(k-1,n-k)0拒絕H0不能拒絕H0F構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(F分布與拒絕域)如果均值相等，統(tǒng)計(jì)決策

將統(tǒng)計(jì)量的值F與給定的顯著性水平的臨界值F進(jìn)行比較，作出接受或拒絕原假設(shè)H0的決策根據(jù)給定的顯著性水平，在F分布表中查找與第一自由度df1＝k-1、第二自由度df2=n-k相應(yīng)的臨界值F

若F>F

，則拒絕原假設(shè)H0

，表明均值之間的差異是顯著的，所檢驗(yàn)的因素(A)對(duì)觀察值有顯著影響若FF

，則不能拒絕原假設(shè)H0

，表明所檢驗(yàn)的因素(A)對(duì)觀察值沒有顯著影響統(tǒng)計(jì)決策將統(tǒng)計(jì)量的值F與給定的顯著性水平的臨界值F單因素方差分析表

(基本結(jié)構(gòu))方差來源平方和SS自由度df均方MSF值組間(因素影響)組內(nèi)(誤差)總和SSASSESSTk-1n-kn-1MSAMSEMSAMSE單因素方差分析表

(基本結(jié)構(gòu))方差來源平方和SS自由度均方F單因素方差分析

（Excel的輸出結(jié)果）單因素方差分析

（Excel的輸出結(jié)果）單因素方差分析

（一個(gè)例子）【例8.2】為了對(duì)幾個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)的蛋雞品質(zhì)進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)，經(jīng)濟(jì)動(dòng)物協(xié)會(huì)在阿狗雞場(chǎng)、阿蛇雞場(chǎng)、阿貓雞場(chǎng)、阿龍雞場(chǎng)分別抽取了不同的樣本，其中阿狗雞場(chǎng)抽取7只蛋雞，阿蛇雞場(chǎng)抽取了6只蛋雞，阿貓雞場(chǎng)抽取5只蛋雞、阿龍雞場(chǎng)抽取了5只蛋雞，然后，記錄三個(gè)月中蛋雞的產(chǎn)蛋個(gè)數(shù)，結(jié)果見表6.3。試分析這四個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)的蛋雞產(chǎn)蛋量是否有顯著差異？(＝0.05)單因素方差分析

（一個(gè)例子）【例8.2】為了對(duì)幾個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)的蛋單因素方差分析

（一個(gè)例子）表8.3四個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)蛋雞的產(chǎn)蛋數(shù)量(單位:個(gè))

觀察值(j)養(yǎng)雞場(chǎng)(A)阿狗雞場(chǎng)阿蛇雞場(chǎng)阿貓雞場(chǎng)阿龍雞場(chǎng)12345675755464554534762496054565551494855477068636960單因素方差分析

（一個(gè)例子）表8.3四個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)蛋雞的產(chǎn)蛋數(shù)單因素方差分析

（計(jì)算結(jié)果）

解：設(shè)四個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)的蛋雞產(chǎn)蛋個(gè)數(shù)的均值分別為m1、m2

、m3、m4

，則需要檢驗(yàn)如下假設(shè)H0:m1=m2=m3

=

m4(四個(gè)雞場(chǎng)的蛋雞產(chǎn)蛋量無顯著差異)H1:m1

，m2

，m3，m4不全相等(有顯著差異)Excel輸出的結(jié)果如下

結(jié)論：拒絕H0，四個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)的蛋雞產(chǎn)蛋量有顯著差異。單因素方差分析

（計(jì)算結(jié)果）解：設(shè)四個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)的蛋雞方差分析中的多重比較方差分析中的多重比較方差分析中的多重比較

（作用）多重比較是通過對(duì)總體均值之間的配對(duì)比較來進(jìn)一步檢驗(yàn)具體哪些均值之間存在差異多重比較方法有多種，這里介紹Fisher提出的最小顯著差異方法，簡寫為LSD，該方法可用于判斷到底哪些均值之間有差異LSD方法是對(duì)檢驗(yàn)兩個(gè)總體均值是否相等的

t檢驗(yàn)方法的總體方差估計(jì)加以修正(用MSE來代替)而得到的方差分析中的多重比較

（作用）多重比較是通過對(duì)總體均值之間的方差分析中的多重比較

（步驟）提出假設(shè)H0:mi=mj

(第i個(gè)總體的均值等于第j個(gè)總體的均值)H1:mi

mj

(第i個(gè)總體的均值不等于第j個(gè)總體的均值)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為若|t|t，拒絕H0；若|t|<t，不能拒絕H0方差分析中的多重比較

（步驟）提出假設(shè)若|t|t，拒方差分析中的多重比較

（基于統(tǒng)計(jì)量xi-xj的LSD方法）通過判斷樣本均值之差的大小來檢驗(yàn)H0檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為：xi–

xj檢驗(yàn)的步驟為

提出假設(shè)H0:mi=mj(第i個(gè)總體的均值等于第j個(gè)總體的均值)H1:mi

mj(第i個(gè)總體的均值不等于第j個(gè)總體的均值)計(jì)算LSD若|xi-xj|LSD，拒絕H0，若|xi-xj|<LSD

，不能拒絕H0方差分析中的多重比較

（基于統(tǒng)計(jì)量xi-xj的LSD方法方差分析中的多重比較

（實(shí)例）根據(jù)例8.1的計(jì)算結(jié)果:x1=27.3;x2=29.5;x3=26.4;x4=31.4提出假設(shè)H0:mi=mj

；H1:mi

mj計(jì)算LSD方差分析中的多重比較

（實(shí)例）根據(jù)例8.1的計(jì)算結(jié)果:方差分析中的多重比較

（實(shí)例）|x1-x2|=|27.3-29.5|=2.2>2.096

A1與A2的草莓株高有顯著差異|x1-x3|=|27.3-26.4|=0.9<2.096

A1與A3的草莓株高沒有顯著差異|x1-x4|=|27.3-31.4|=4.1>2.096

A1與A4的草莓株高有顯著差異|x2-x3|=|29.5-26.4|=3.1>2.096

A2與A3的草莓株高有顯著差異|x2-x4|=|29.5-31.4|=1.9<2.096

A2與A4的草莓株高沒有顯著差異|x3-x4|=|26.4-31.4|=5>2.096

A3與A4的草莓株高有顯著差異方差分析中的多重比較

（實(shí)例）|x1-x2|=|27第三節(jié)雙因素方差分析一.雙因素方差分析的基本問題二.雙因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)雙因素方差分析的步驟一個(gè)應(yīng)用實(shí)例第三節(jié)雙因素方差分析一.雙因素方差分析的基本問題雙因素方差分析的基本問題雙因素方差分析的基本問題雙因素方差分析

（概念要點(diǎn)）分析兩個(gè)因素(因素A和因素B)對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響

分別對(duì)兩個(gè)因素進(jìn)行檢驗(yàn)，分析是一個(gè)因素起作用，還是兩個(gè)因素都起作用，還是兩個(gè)因素都不起作用如果A和B對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響是相互獨(dú)立的，分別判斷因素A和因素B對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響，這時(shí)的雙因素方差分析稱為無交互作用的雙因素方差分析如果除了A和B對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的單獨(dú)影響外，因素A和因素B的搭配還會(huì)對(duì)試驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生一種新的影響，這時(shí)的雙因素方差分析稱為有交互作用的雙因素方差分析對(duì)于無交互作用的雙因素方差分析，其結(jié)果與對(duì)每個(gè)因素分別進(jìn)行單因素方差分析的結(jié)果相同雙因素方差分析

（概念要點(diǎn)）分析兩個(gè)因素(因素A和因素B)對(duì)雙因素方差分析的基本假定每個(gè)總體都服從正態(tài)分布對(duì)于因素的每一個(gè)水平，其觀察值是來自正態(tài)分布總體的簡單隨機(jī)樣本各個(gè)總體的方差必須相同對(duì)于各組觀察數(shù)據(jù)，是從具有相同方差的總體中抽取的觀察值是獨(dú)立的雙因素方差分析的基本假定每個(gè)總體都服從正態(tài)分布雙因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

因素A(i)因素(B)j平均值

B1B2…

BrA1A2::Ak

x11x12…

x1rx21x22…

x2r::::::::xk1

xk2…

xkr

::平均值

…雙因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)因素A因素(B)j平均值雙因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

是因素A的第i個(gè)水平下各觀察值的平均值

是因素B的第j個(gè)水平下的各觀察值的均值

是全部kr個(gè)樣本數(shù)據(jù)的總平均值雙因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是因素A的第i個(gè)水平雙因素方差分析的步驟雙因素方差分析的步驟提出假設(shè)對(duì)因素A提出的假設(shè)為H0:m1=m2

=

…=mi=…=

mk(mi為第i個(gè)水平的均值)H1:mi

(i=1,2,…,k)

不全相等對(duì)因素B提出的假設(shè)為H0:m1=m2

=

…=mj=…=

mr(mj為第j個(gè)水平的均值)H1:mj

(j=1,2,…,r)