人教版《垂線》課件

第五章5.1.2垂線人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)第五章5.1.2垂線人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)1如圖所示是北京天安門廣場(chǎng)莊嚴(yán)隆重的升國(guó)旗儀式，是億萬(wàn)中國(guó)人民特別關(guān)注的活動(dòng).眾所周知，1949年10月1日，毛澤東主席在天安門城樓上用洪亮的聲音向全世界宣告中華人民共和國(guó)誕生，親手升起了第一面五星紅旗.導(dǎo)入新知如圖所示是北京天安門導(dǎo)入新知2天安門廣場(chǎng)的升國(guó)旗儀式一招一式欣賞性極強(qiáng)，人們概括有“五絕”.一絕：升旗；二絕：護(hù)旗；三絕：敬禮；四絕：禮畢；五絕：收旗.其中的每招每式都有極其嚴(yán)格的要求.每一次，當(dāng)擎旗手以優(yōu)美的動(dòng)作，在國(guó)歌奏響第一個(gè)音符時(shí)，將國(guó)旗展開(kāi)拋出，到國(guó)歌的最后一個(gè)音符終止，都是2分07秒，國(guó)旗也準(zhǔn)時(shí)到達(dá)30米高的旗桿頂端，做到了分秒不差.可是，你看著旗桿與地面，會(huì)想到旗桿與地面有怎樣的位置關(guān)系呢？天安門廣場(chǎng)的升國(guó)旗儀式一招一式欣賞性極強(qiáng)，31.認(rèn)識(shí)生活中的垂直現(xiàn)象,理解垂直定義,并能用符號(hào)表示.掌握垂線的性質(zhì),會(huì)過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線.2.經(jīng)歷垂線畫法,垂線的性質(zhì)以及點(diǎn)到直線的距離的探索過(guò)程,嘗試從不同角度尋求垂線的畫法,用不同方法得到垂線的性質(zhì).學(xué)習(xí)目標(biāo)1.認(rèn)識(shí)生活中的垂直現(xiàn)象,理解垂直定義,并能用符號(hào)表示.掌握41知識(shí)點(diǎn)垂直的定義觀察思考

當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)一木條的位置時(shí)，什么也隨著發(fā)生了變化？合作探究1知識(shí)點(diǎn)垂直的定義觀察思考當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)一木條的位置5ab在同一平面內(nèi)，如果兩條直線相交成直角，就說(shuō)這兩條直線互相垂直.垂足垂線垂線ab在同一平面內(nèi)，如果兩條直線相交成直角，就6定義：在兩條直線AB和CD相交所成的4個(gè)角中，如果有一個(gè)角是直角，就說(shuō)這兩條直線互相垂直；記作“AB⊥CD”，讀作“AB垂直于CD”；其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)O叫做垂足．如圖.定義：在兩條直線AB和CD相交所成的4個(gè)角中，7導(dǎo)引：

要判斷OE，OF是什么位置關(guān)

系，其實(shí)質(zhì)是說(shuō)明OE，OF是

否垂直，即要看∠EOF是否為90°；要讓∠EOF＝90°，需說(shuō)明∠EOF＝

∠AOC或∠EOF＝∠BOC都可，這樣就把問(wèn)題

轉(zhuǎn)化為說(shuō)明∠AOE＝∠COF(已知)了．例1如圖，CO⊥AB于點(diǎn)O，∠AOE＝∠COF，則射

線OE，OF是什么位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．導(dǎo)引：要判斷OE，OF是什么位置關(guān)例1如8解：射線OE，OF互相垂直．理由如下：因?yàn)镃O⊥AB，所以∠AOC＝90°.又因?yàn)椤螦OE＝∠COF，所以∠AOE＋∠COE＝∠COF＋∠COE，

即∠AOC＝∠EOF＝90°.

所以O(shè)E與OF互相垂直(垂直定義)．解：射線OE，OF互相垂直．理由如下：9

判斷兩直線(線段、射線所在直線)互相垂直，主要依據(jù)是垂直定義，只要說(shuō)明兩條相交直線所構(gòu)成的四個(gè)角中有一個(gè)角是直角即可．新知小結(jié)判斷兩直線(線段、射線所在直線)互相垂直，主要10導(dǎo)引：根據(jù)∠AOC與∠BOD是對(duì)頂角，

且∠BOD與∠BOE互余，即可

求出∠AOC的度數(shù)；根據(jù)OD平

分∠BOF，∠EOF＝∠BOE＋∠BOF即可求出

∠EOF的度數(shù)；根據(jù)∠AOF與∠BOF互補(bǔ)可求得

∠AOF的度數(shù)．

例2如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，過(guò)O點(diǎn)畫射線OE，OF，使OE⊥CD，OD平分∠BOF.如果∠BOE＝50°，求∠AOC，∠EOF和∠AOF的度數(shù)．合作探究導(dǎo)引：根據(jù)∠AOC與∠BOD是對(duì)頂角，例211解：因?yàn)镺E⊥CD，所以∠DOE＝90°(垂直定義)．因?yàn)椤螧OE＝50°，所以∠AOC＝∠BOD＝∠DOE－∠BOE＝90°－50°＝40°.因?yàn)镺D平分∠BOF，所以∠BOF＝2∠BOD＝80°.所以∠EOF＝∠BOF＋∠BOE＝80°＋50°＝130°，∠AOF＝∠AOB－∠BOF＝180°－80°＝100°.解：因?yàn)镺E⊥CD，所以∠DOE＝90°(垂直定義)．121當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角都相等時(shí)，這兩條直線有什么位置關(guān)系？為什么？當(dāng)兩條直線相交，所成的四個(gè)角都相等時(shí)，這兩條直線互相垂直．理由：設(shè)所成的四個(gè)角中有一個(gè)角的度數(shù)為m°，則其余三個(gè)角的度數(shù)分別為180°－m°，m°，180°－m°，由題意知，m°＝180°－m°，得m°＝90°，所以180°－m°＝90°，所以這兩條直線互相垂直．解：鞏固新知1當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角都相等時(shí)，這兩條直線有什么位置關(guān)13如圖，已知點(diǎn)O在直線AB上，CO⊥DO于點(diǎn)O，若∠1＝145°，則∠3的度數(shù)為(

)A．35°B．45°C．55°D．65°2C如圖，已知點(diǎn)O在直線AB上，CO⊥DO于點(diǎn)O，若∠1＝14514【中考·德宏州】如圖，三條直線相交于點(diǎn)O，若CO⊥AB，∠1＝56°，則∠2等于(

)A．30°B．34°C．45°D．56°3B【中考·德宏州】如圖，三條直線相交于點(diǎn)O，3B15如圖，點(diǎn)O在直線AB上，且OC⊥OD，若∠COA＝36°，則∠DOB的大小為(

)A．36°B．54°C．55°D．44°4B如圖，點(diǎn)O在直線AB上，且OC⊥OD，若∠COA＝36°，則16如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，射線OM平分∠AOC，ON⊥OM.若∠AOM＝35°，則∠CON的度數(shù)為(

)A．35°B．45°C．55°D．65°5C如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，射線OM平分∠AOC，ON⊥17已知在同一平面內(nèi)：①兩條直線相交成直角；②兩條直線互相垂直；③一條直線是另一條直線的垂線．那么下列因果關(guān)系：①→②③；②→①③；③→①②中，正確的有(

)A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)6D已知在同一平面內(nèi)：6D18因?yàn)镃O⊥AB，所以∠AOC＝90°.經(jīng)過(guò)一點(diǎn)(已知直線上或直線外)，能畫出已知直③ 過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線的方法.利用直線的性質(zhì)解答題目，要注意直線性質(zhì)滿足的條件：題意的圖形可以是()分．在垂線的畫法中，有時(shí)需延長(zhǎng)線段，垂足在延長(zhǎng)解：因?yàn)镺E⊥CD，所以∠DOE＝90°(垂直定義)．經(jīng)歷垂線畫法,垂線的性質(zhì)以及點(diǎn)到直線的距離的探索過(guò)程,嘗試從不同角度尋求垂線的畫法,用不同方法得到垂線的性質(zhì).A．過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線與已知直線垂直如圖，如果直線ON⊥直線a，直線OM⊥直線a，那么OM與ON重合(即O，M，N三點(diǎn)共線)，其理由是()其中，一點(diǎn)可以是直線上一點(diǎn)也可以是直線外一點(diǎn)；轉(zhuǎn)化為說(shuō)明∠AOE＝∠COF(已知)了．系，其實(shí)質(zhì)是說(shuō)明OE，OF是直線的垂線，所以按照“一靠、二過(guò)、三畫”系，其實(shí)質(zhì)是說(shuō)明OE，OF是所在的直線的垂線，因?yàn)樯渚€和線段都是直線的一部B．和一條直線垂直的直線有兩條解：因?yàn)镺E⊥CD，所以∠DOE＝90°(垂直定義)．導(dǎo)引：根據(jù)∠AOC與∠BOD是對(duì)頂角，例1如圖，CO⊥AB于點(diǎn)O，∠AOE＝∠COF，則射∠AOC＝∠BOC＝∠BOD＝∠AOD＝90°解：射線OE，OF互相垂直．理由如下：2知識(shí)點(diǎn)垂線的畫法用三角尺畫垂線的方法：一貼，用三角尺的一條直角邊貼住已知直線；二靠，用三角尺的另一條直角邊靠住已知點(diǎn)；三畫，畫出垂線．如果作線段互相垂直或作射線的垂線，實(shí)際上是作線段所在的直線互相垂直，或作射線所在的直線的垂線，因?yàn)樯渚€和線段都是直線的一部分．在垂線的畫法中，有時(shí)需延長(zhǎng)線段，垂足在延長(zhǎng)線上，并記上直角符號(hào)“﹁”．

合作探究因?yàn)镃O⊥AB，所以∠AOC＝90°.2知識(shí)點(diǎn)垂線的畫法用三19注意：畫垂線也可用以下兩種方法：(1)利用量角器畫；(2)用折疊法畫．注意：畫垂線也可用以下兩種方法：20

例3如圖，M是三角形ABC中BC邊上的任意一點(diǎn)，請(qǐng)

你按照下列要求畫圖：(1)過(guò)M點(diǎn)畫直線AB的垂線m；(2)過(guò)M點(diǎn)畫直線BC的垂線n；(3)過(guò)M點(diǎn)畫直線AC的垂線p.例3如圖，M是三角形ABC中BC邊上的任意一21導(dǎo)引：觀察圖形不難看出，(1)(3)屬于過(guò)直線外一點(diǎn)畫

已知直線的垂線，(2)屬于過(guò)直線上一點(diǎn)畫已知

直線的垂線，所以按照“一靠、二過(guò)、三畫”

的方法畫圖即可．解：畫出的直線m，n，p如上頁(yè)圖.導(dǎo)引：觀察圖形不難看出，(1)(3)屬于過(guò)直線外一點(diǎn)畫22過(guò)已知點(diǎn)畫已知直線的垂線，實(shí)際上就是過(guò)已知點(diǎn)畫一條直線，使所畫直線與已知直線相交所成的角是90°.新知小結(jié)過(guò)已知點(diǎn)畫已知直線的垂線，實(shí)際上就是過(guò)已知新23過(guò)一條線段外一點(diǎn)，作這條線段的垂線，垂足在(

)A．這條線段上B．這條線段的端點(diǎn)處C．這條線段的延長(zhǎng)線上D．以上都有可能1D鞏固新知過(guò)一條線段外一點(diǎn)，作這條線段的垂線，垂足1D鞏固新知243知識(shí)點(diǎn)垂線的性質(zhì)探究如圖.(1)用三角尺或量角器畫已知直線l的垂線，這樣的垂線能畫出幾條?(2)經(jīng)過(guò)直線l上一點(diǎn)A畫l的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？(3)經(jīng)過(guò)直線l外一點(diǎn)B畫l的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？合作探究3知識(shí)點(diǎn)垂線的性質(zhì)探究合作探究25經(jīng)過(guò)一點(diǎn)(已知直線上或直線外)，能畫出已知直線的一條垂線，并且只能畫出一條垂線.即在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.新知小結(jié)經(jīng)過(guò)一點(diǎn)(已知直線上或直線外)，能畫出已知直26A．過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線與已知直線垂直解：射線OE，OF互相垂直．理由如下：一貼，用三角尺的一條直角邊貼住已知直線；利用直線的性質(zhì)解答題目，要注意直線性質(zhì)滿足的條件：所以O(shè)E與OF互相垂直(垂直定義)．∠AOC＝∠BOC＝∠BOD＝∠AOD＝90°(2)在圖②中，過(guò)點(diǎn)A，B分別作OB，OA的垂線．與地面，會(huì)想到旗桿與地面有怎樣的位置關(guān)系呢？過(guò)已知點(diǎn)畫已知直線的垂線，實(shí)際上就是過(guò)已知解：因?yàn)镺E⊥CD，所以∠DOE＝90°(垂直定義)．依據(jù)是垂直定義，只要說(shuō)明兩條相交直線所構(gòu)成的四判斷兩直線(線段、射線所在直線)互相垂直，主要如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，射線OM平分∠AOC，ON⊥OM.國(guó)歌奏響第一個(gè)音符時(shí)，將國(guó)旗展開(kāi)拋出，到國(guó)歌的三畫，畫出垂線．如果作線段互相垂直或作射線的垂∠AOC＝∠BOC＝∠BOD＝∠AOD＝90°如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，射線OM平分∠AOC，ON⊥OM.所在的直線的垂線，因?yàn)樯渚€和線段都是直線的一部由垂線的性質(zhì)可知，在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且使已知點(diǎn)落在另一條直角邊上(2)在圖②中，過(guò)點(diǎn)A，B分別作OB，OA的垂線．若∠AOM＝35°，則∠CON的度數(shù)為()過(guò)已知點(diǎn)畫已知直線的垂線，實(shí)際上就是過(guò)已知∠AOC＝∠BOC＝∠BOD＝∠AOD＝90°系，其實(shí)質(zhì)是說(shuō)明OE，OF是與地面，會(huì)想到旗桿與地面有怎樣的位置關(guān)系呢？解：射線OE，OF互相垂直．理由如下：的方法畫圖即可．當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角都相等時(shí)，這兩條直線有什么位置關(guān)系？為什么？解：射線OE，OF互相垂直．理由如下：如圖，已知點(diǎn)O在直線AB上，CO⊥DO于點(diǎn)O，若∠1＝145°，則∠3的度數(shù)為()【中考·德宏州】如圖，三條直線相交于點(diǎn)O，線OE，OF是什么位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．世界宣告中華人民共和國(guó)誕解：因?yàn)镺E⊥CD，所以∠DOE＝90°(垂直定義)．認(rèn)識(shí)生活中的垂直現(xiàn)象,理解垂直定義,并能用符號(hào)表示.如圖，已知點(diǎn)O在直線AB上，CO⊥DO于點(diǎn)O，若∠1＝145°，則∠3的度數(shù)為()過(guò)一點(diǎn)，點(diǎn)的位置可以在直線上也可以在直線外；所以∠AOE＋∠COE＝∠COF＋∠COE，因?yàn)镺D平分∠BOF，C．在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已點(diǎn)在一條直線上．轉(zhuǎn)化為說(shuō)明∠AOE＝∠COF(已知)了．直線的垂線，所以按照“一靠、二過(guò)、三畫”在平面內(nèi)，不是在空間內(nèi)，這是需要注意的條件:其中，一點(diǎn)可以是直線上一點(diǎn)也可以是直線外一點(diǎn)；“有且只有”中的“有”是指能畫出一條已知直線的垂線，即存在性，“只有”是指只能畫一條，即唯一性．A．過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線與已知直線垂直過(guò)已知點(diǎn)畫已知直線的垂線27例4〈廈門〉如圖，已知直線AB，CB，l在同一平面內(nèi)，

若AB⊥l，垂足為B，CB⊥l，垂足也為B，則符合

題意的圖形可以是(

)C合作探究例4〈廈門〉如圖，已知直線AB，CB，l在同一平面內(nèi)，C合作28C．在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已點(diǎn)在一條直線上．解：射線OE，OF互相垂直．理由如下：與地面，會(huì)想到旗桿與地面有怎樣的位置關(guān)系呢？所以∠AOE＋∠COE＝∠COF＋∠COE，用三角尺的一條直角邊靠在已知直線上例3如圖，M是三角形ABC中BC邊上的任意一點(diǎn)，請(qǐng)(2)經(jīng)過(guò)直線l上一點(diǎn)A畫l的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？①兩條直線相交成直角；用三角尺的一條直角邊靠在已知直線上線OE，OF是什么位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．以下幾個(gè)方面由學(xué)生自己總結(jié):用三角尺的一條直角邊靠在已知直線上三畫，畫出垂線．如果作線段互相垂直或作射線的垂50°，求∠AOC，∠EOF和∠AOF的度數(shù)．①兩條直線相交成直角；線的一條垂線，并且只能畫出一條垂線.C．這條線段的延長(zhǎng)線上如圖，如果直線ON⊥直線a，直線OM⊥直線a，那么OM與ON重合(即O，M，N三點(diǎn)共線)，其理由是()B．在同一平面內(nèi)，過(guò)兩點(diǎn)有且只解：因?yàn)镺E⊥CD，所以∠DOE＝90°(垂直定義)．例1如圖，CO⊥AB于點(diǎn)O，∠AOE＝∠COF，則射導(dǎo)引：根據(jù)題意可知，過(guò)點(diǎn)B有AB，CB都與直線l垂直，

由垂線的性質(zhì)可知，在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且

只有一條直線與已知直線垂直，所以A、B、C三

點(diǎn)在一條直線上．C．在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已導(dǎo)引：根據(jù)題意可29利用直線的性質(zhì)解答題目，要注意直線性質(zhì)滿足的條件：1.在平面內(nèi)；2.過(guò)一點(diǎn)，點(diǎn)的位置可以在直線上也可以在直線外；3.相交所成的角必須是直角，以上三條缺一不可.新知小結(jié)利用直線的性質(zhì)解答題目，要注意直線性質(zhì)滿足的條件：30在同一平面內(nèi)，下列語(yǔ)句正確的是(

)A．過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線與已知直線垂直B．和一條直線垂直的直線有兩條C．過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直D．若兩直線相交，則它們一定垂直1C鞏固新知在同一平面內(nèi)，下列語(yǔ)句正確的是()1C鞏固新知31如圖，如果直線ON⊥直線a，直線OM⊥直線a，那么OM與ON重合(即O，M，N三點(diǎn)共線)，其理由是(

)

A．兩點(diǎn)確定一條直線B．在同一平面內(nèi)，過(guò)兩點(diǎn)有且只

有一條直線與已知直線垂直C．在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已

知直線垂直D．兩點(diǎn)之間，線段最短2C如圖，如果直線ON⊥直線a，直線OM⊥直線a，那么OM與ON32

以下幾個(gè)方面由學(xué)生自己總結(jié):① 垂線的定義及垂直的符號(hào)表示;② 垂線的有關(guān)性質(zhì);③ 過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線的方法.1知識(shí)小結(jié)歸納新知以下幾個(gè)方面由學(xué)生自己總結(jié):1知識(shí)小結(jié)歸納新知33(1)在圖①中，過(guò)AB外一點(diǎn)M作AB的垂線；(2)在圖②中，過(guò)點(diǎn)A，B分別作OB，OA的垂線．2易錯(cuò)小結(jié)(1)在圖①中，過(guò)AB外一點(diǎn)M作AB的垂線；2易錯(cuò)小結(jié)34解：(1)如圖①所示．(2)如圖②所示．解：(1)如圖①所示．35本題易錯(cuò)之處在于誤認(rèn)為垂足一定落在線段或射線上．易錯(cuò)點(diǎn)：誤認(rèn)為垂足一定要在線段或射線上而導(dǎo)致

錯(cuò)誤.本題易錯(cuò)之處在于誤認(rèn)為垂足一定落在線段或射線上．易錯(cuò)點(diǎn)：誤認(rèn)36互相垂直AB⊥CD∠AOC＝∠BOC＝∠BOD＝∠AOD＝90°課后練習(xí)互相垂直AB⊥CD∠AOC＝∠BOC＝∠BOD＝∠AOD＝9BBCCBBDD用三角尺的一條直角邊靠在已知直線上使已知點(diǎn)落在另一條直角邊上過(guò)已知點(diǎn)畫出與已知直線垂直的直線用三角尺的一條直角邊靠在已知直線上使已知點(diǎn)落在另一條直角邊上CC有且只有上存在唯一有且只有上存在唯一

DDBB人教版《垂線》課件人教版《垂線》課件人教版《垂線》課件人教版《垂線》課件人教版《垂線》課件【答案】A【答案】A再見(jiàn)再見(jiàn)第五章5.1.2垂線人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)第五章5.1.2垂線人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)54如圖所示是北京天安門廣場(chǎng)莊嚴(yán)隆重的升國(guó)旗儀式，是億萬(wàn)中國(guó)人民特別關(guān)注的活動(dòng).眾所周知，1949年10月1日，毛澤東主席在天安門城樓上用洪亮的聲音向全世界宣告中華人民共和國(guó)誕生，親手升起了第一面五星紅旗.導(dǎo)入新知如圖所示是北京天安門導(dǎo)入新知55天安門廣場(chǎng)的升國(guó)旗儀式一招一式欣賞性極強(qiáng)，人們概括有“五絕”.一絕：升旗；二絕：護(hù)旗；三絕：敬禮；四絕：禮畢；五絕：收旗.其中的每招每式都有極其嚴(yán)格的要求.每一次，當(dāng)擎旗手以優(yōu)美的動(dòng)作，在國(guó)歌奏響第一個(gè)音符時(shí)，將國(guó)旗展開(kāi)拋出，到國(guó)歌的最后一個(gè)音符終止，都是2分07秒，國(guó)旗也準(zhǔn)時(shí)到達(dá)30米高的旗桿頂端，做到了分秒不差.可是，你看著旗桿與地面，會(huì)想到旗桿與地面有怎樣的位置關(guān)系呢？天安門廣場(chǎng)的升國(guó)旗儀式一招一式欣賞性極強(qiáng)，561.認(rèn)識(shí)生活中的垂直現(xiàn)象,理解垂直定義,并能用符號(hào)表示.掌握垂線的性質(zhì),會(huì)過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線.2.經(jīng)歷垂線畫法,垂線的性質(zhì)以及點(diǎn)到直線的距離的探索過(guò)程,嘗試從不同角度尋求垂線的畫法,用不同方法得到垂線的性質(zhì).學(xué)習(xí)目標(biāo)1.認(rèn)識(shí)生活中的垂直現(xiàn)象,理解垂直定義,并能用符號(hào)表示.掌握571知識(shí)點(diǎn)垂直的定義觀察思考

當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)一木條的位置時(shí)，什么也隨著發(fā)生了變化？合作探究1知識(shí)點(diǎn)垂直的定義觀察思考當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)一木條的位置58ab在同一平面內(nèi)，如果兩條直線相交成直角，就說(shuō)這兩條直線互相垂直.垂足垂線垂線ab在同一平面內(nèi)，如果兩條直線相交成直角，就59定義：在兩條直線AB和CD相交所成的4個(gè)角中，如果有一個(gè)角是直角，就說(shuō)這兩條直線互相垂直；記作“AB⊥CD”，讀作“AB垂直于CD”；其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)O叫做垂足．如圖.定義：在兩條直線AB和CD相交所成的4個(gè)角中，60導(dǎo)引：

要判斷OE，OF是什么位置關(guān)

系，其實(shí)質(zhì)是說(shuō)明OE，OF是

否垂直，即要看∠EOF是否為90°；要讓∠EOF＝90°，需說(shuō)明∠EOF＝

∠AOC或∠EOF＝∠BOC都可，這樣就把問(wèn)題

轉(zhuǎn)化為說(shuō)明∠AOE＝∠COF(已知)了．例1如圖，CO⊥AB于點(diǎn)O，∠AOE＝∠COF，則射

線OE，OF是什么位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．導(dǎo)引：要判斷OE，OF是什么位置關(guān)例1如61解：射線OE，OF互相垂直．理由如下：因?yàn)镃O⊥AB，所以∠AOC＝90°.又因?yàn)椤螦OE＝∠COF，所以∠AOE＋∠COE＝∠COF＋∠COE，

即∠AOC＝∠EOF＝90°.

所以O(shè)E與OF互相垂直(垂直定義)．解：射線OE，OF互相垂直．理由如下：62

判斷兩直線(線段、射線所在直線)互相垂直，主要依據(jù)是垂直定義，只要說(shuō)明兩條相交直線所構(gòu)成的四個(gè)角中有一個(gè)角是直角即可．新知小結(jié)判斷兩直線(線段、射線所在直線)互相垂直，主要63導(dǎo)引：根據(jù)∠AOC與∠BOD是對(duì)頂角，

且∠BOD與∠BOE互余，即可

求出∠AOC的度數(shù)；根據(jù)OD平

分∠BOF，∠EOF＝∠BOE＋∠BOF即可求出

∠EOF的度數(shù)；根據(jù)∠AOF與∠BOF互補(bǔ)可求得

∠AOF的度數(shù)．

例2如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，過(guò)O點(diǎn)畫射線OE，OF，使OE⊥CD，OD平分∠BOF.如果∠BOE＝50°，求∠AOC，∠EOF和∠AOF的度數(shù)．合作探究導(dǎo)引：根據(jù)∠AOC與∠BOD是對(duì)頂角，例264解：因?yàn)镺E⊥CD，所以∠DOE＝90°(垂直定義)．因?yàn)椤螧OE＝50°，所以∠AOC＝∠BOD＝∠DOE－∠BOE＝90°－50°＝40°.因?yàn)镺D平分∠BOF，所以∠BOF＝2∠BOD＝80°.所以∠EOF＝∠BOF＋∠BOE＝80°＋50°＝130°，∠AOF＝∠AOB－∠BOF＝180°－80°＝100°.解：因?yàn)镺E⊥CD，所以∠DOE＝90°(垂直定義)．651當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角都相等時(shí)，這兩條直線有什么位置關(guān)系？為什么？當(dāng)兩條直線相交，所成的四個(gè)角都相等時(shí)，這兩條直線互相垂直．理由：設(shè)所成的四個(gè)角中有一個(gè)角的度數(shù)為m°，則其余三個(gè)角的度數(shù)分別為180°－m°，m°，180°－m°，由題意知，m°＝180°－m°，得m°＝90°，所以180°－m°＝90°，所以這兩條直線互相垂直．解：鞏固新知1當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角都相等時(shí)，這兩條直線有什么位置關(guān)66如圖，已知點(diǎn)O在直線AB上，CO⊥DO于點(diǎn)O，若∠1＝145°，則∠3的度數(shù)為(

)A．35°B．45°C．55°D．65°2C如圖，已知點(diǎn)O在直線AB上，CO⊥DO于點(diǎn)O，若∠1＝14567【中考·德宏州】如圖，三條直線相交于點(diǎn)O，若CO⊥AB，∠1＝56°，則∠2等于(

)A．30°B．34°C．45°D．56°3B【中考·德宏州】如圖，三條直線相交于點(diǎn)O，3B68如圖，點(diǎn)O在直線AB上，且OC⊥OD，若∠COA＝36°，則∠DOB的大小為(

)A．36°B．54°C．55°D．44°4B如圖，點(diǎn)O在直線AB上，且OC⊥OD，若∠COA＝36°，則69如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，射線OM平分∠AOC，ON⊥OM.若∠AOM＝35°，則∠CON的度數(shù)為(

)A．35°B．45°C．55°D．65°5C如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，射線OM平分∠AOC，ON⊥70已知在同一平面內(nèi)：①兩條直線相交成直角；②兩條直線互相垂直；③一條直線是另一條直線的垂線．那么下列因果關(guān)系：①→②③；②→①③；③→①②中，正確的有(

)A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)6D已知在同一平面內(nèi)：6D71因?yàn)镃O⊥AB，所以∠AOC＝90°.經(jīng)過(guò)一點(diǎn)(已知直線上或直線外)，能畫出已知直③ 過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線的方法.利用直線的性質(zhì)解答題目，要注意直線性質(zhì)滿足的條件：題意的圖形可以是()分．在垂線的畫法中，有時(shí)需延長(zhǎng)線段，垂足在延長(zhǎng)解：因?yàn)镺E⊥CD，所以∠DOE＝90°(垂直定義)．經(jīng)歷垂線畫法,垂線的性質(zhì)以及點(diǎn)到直線的距離的探索過(guò)程,嘗試從不同角度尋求垂線的畫法,用不同方法得到垂線的性質(zhì).A．過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線與已知直線垂直如圖，如果直線ON⊥直線a，直線OM⊥直線a，那么OM與ON重合(即O，M，N三點(diǎn)共線)，其理由是()其中，一點(diǎn)可以是直線上一點(diǎn)也可以是直線外一點(diǎn)；轉(zhuǎn)化為說(shuō)明∠AOE＝∠COF(已知)了．系，其實(shí)質(zhì)是說(shuō)明OE，OF是直線的垂線，所以按照“一靠、二過(guò)、三畫”系，其實(shí)質(zhì)是說(shuō)明OE，OF是所在的直線的垂線，因?yàn)樯渚€和線段都是直線的一部B．和一條直線垂直的直線有兩條解：因?yàn)镺E⊥CD，所以∠DOE＝90°(垂直定義)．導(dǎo)引：根據(jù)∠AOC與∠BOD是對(duì)頂角，例1如圖，CO⊥AB于點(diǎn)O，∠AOE＝∠COF，則射∠AOC＝∠BOC＝∠BOD＝∠AOD＝90°解：射線OE，OF互相垂直．理由如下：2知識(shí)點(diǎn)垂線的畫法用三角尺畫垂線的方法：一貼，用三角尺的一條直角邊貼住已知直線；二靠，用三角尺的另一條直角邊靠住已知點(diǎn)；三畫，畫出垂線．如果作線段互相垂直或作射線的垂線，實(shí)際上是作線段所在的直線互相垂直，或作射線所在的直線的垂線，因?yàn)樯渚€和線段都是直線的一部分．在垂線的畫法中，有時(shí)需延長(zhǎng)線段，垂足在延長(zhǎng)線上，并記上直角符號(hào)“﹁”．

合作探究因?yàn)镃O⊥AB，所以∠AOC＝90°.2知識(shí)點(diǎn)垂線的畫法用三72注意：畫垂線也可用以下兩種方法：(1)利用量角器畫；(2)用折疊法畫．注意：畫垂線也可用以下兩種方法：73

例3如圖，M是三角形ABC中BC邊上的任意一點(diǎn)，請(qǐng)

你按照下列要求畫圖：(1)過(guò)M點(diǎn)畫直線AB的垂線m；(2)過(guò)M點(diǎn)畫直線BC的垂線n；(3)過(guò)M點(diǎn)畫直線AC的垂線p.例3如圖，M是三角形ABC中BC邊上的任意一74導(dǎo)引：觀察圖形不難看出，(1)(3)屬于過(guò)直線外一點(diǎn)畫

已知直線的垂線，(2)屬于過(guò)直線上一點(diǎn)畫已知

直線的垂線，所以按照“一靠、二過(guò)、三畫”

的方法畫圖即可．解：畫出的直線m，n，p如上頁(yè)圖.導(dǎo)引：觀察圖形不難看出，(1)(3)屬于過(guò)直線外一點(diǎn)畫75過(guò)已知點(diǎn)畫已知直線的垂線，實(shí)際上就是過(guò)已知點(diǎn)畫一條直線，使所畫直線與已知直線相交所成的角是90°.新知小結(jié)過(guò)已知點(diǎn)畫已知直線的垂線，實(shí)際上就是過(guò)已知新76過(guò)一條線段外一點(diǎn)，作這條線段的垂線，垂足在(

)A．這條線段上B．這條線段的端點(diǎn)處C．這條線段的延長(zhǎng)線上D．以上都有可能1D鞏固新知過(guò)一條線段外一點(diǎn)，作這條線段的垂線，垂足1D鞏固新知773知識(shí)點(diǎn)垂線的性質(zhì)探究如圖.(1)用三角尺或量角器畫已知直線l的垂線，這樣的垂線能畫出幾條?(2)經(jīng)過(guò)直線l上一點(diǎn)A畫l的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？(3)經(jīng)過(guò)直線l外一點(diǎn)B畫l的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？合作探究3知識(shí)點(diǎn)垂線的性質(zhì)探究合作探究78經(jīng)過(guò)一點(diǎn)(已知直線上或直線外)，能畫出已知直線的一條垂線，并且只能畫出一條垂線.即在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.新知小結(jié)經(jīng)過(guò)一點(diǎn)(已知直線上或直線外)，能畫出已知直79A．過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線與已知直線垂直解：射線OE，OF互相垂直．理由如下：一貼，用三角尺的一條直角邊貼住已知直線；利用直線的性質(zhì)解答題目，要注意直線性質(zhì)滿足的條件：所以O(shè)E與OF互相垂直(垂直定義)．∠AOC＝∠BOC＝∠BOD＝∠AOD＝90°(2)在圖②中，過(guò)點(diǎn)A，B分別作OB，OA的垂線．與地面，會(huì)想到旗桿與地面有怎樣的位置關(guān)系呢？過(guò)已知點(diǎn)畫已知直線的垂線，實(shí)際上就是過(guò)已知解：因?yàn)镺E⊥CD，所以∠DOE＝90°(垂直定義)．依據(jù)是垂直定義，只要說(shuō)明兩條相交直線所構(gòu)成的四判斷兩直線(線段、射線所在直線)互相垂直，主要如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，射線OM平分∠AOC，ON⊥OM.國(guó)歌奏響第一個(gè)音符時(shí)，將國(guó)旗展開(kāi)拋出，到國(guó)歌的三畫，畫出垂線．如果作線段互相垂直或作射線的垂∠AOC＝∠BOC＝∠BOD＝∠AOD＝90°如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，射線OM平分∠AOC，ON⊥OM.所在的直線的垂線，因?yàn)樯渚€和線段都是直線的一部由垂線的性質(zhì)可知，在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且使已知點(diǎn)落在另一條直角邊上(2)在圖②中，過(guò)點(diǎn)A，B分別作OB，OA的垂線．若∠AOM＝35°，則∠CON的度數(shù)為()過(guò)已知點(diǎn)畫已知直線的垂線，實(shí)際上就是過(guò)已知∠AOC＝∠BOC＝∠BOD＝∠AOD＝90°系，其實(shí)質(zhì)是說(shuō)明OE，OF是與地面，會(huì)想到旗桿與地面有怎樣的位置關(guān)系呢？解：射線OE，OF互相垂直．理由如下：的方法畫圖即可．當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角都相等時(shí)，這兩條直線有什么位置關(guān)系？為什么？解：射線OE，OF互相垂直．理由如下：如圖，已知點(diǎn)O在直線AB上，CO⊥DO于點(diǎn)O，若∠1＝145°，則∠3的度數(shù)為()【中考·德宏州】如圖，三條直線相交于點(diǎn)O，線OE，OF是什么位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．世界宣告中華人民共和國(guó)誕解：因?yàn)镺E⊥CD，所以∠DOE＝90°(垂直定義)．認(rèn)識(shí)生活中的垂直現(xiàn)象,理解垂直定義,并能用符號(hào)表示.如圖，已知點(diǎn)O在直線AB上，CO⊥DO于點(diǎn)O，若∠1＝145°，則∠3的度數(shù)為()過(guò)一點(diǎn)，點(diǎn)的位置可以在直線上也可以在直線外；所以∠AOE＋∠COE＝∠COF＋∠COE，因?yàn)镺D平分∠BOF，C．在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已點(diǎn)在一條直線上．轉(zhuǎn)化為說(shuō)明∠AOE＝∠COF(已知)了．直線的垂線，所以按照“一靠、二過(guò)、三畫”在平面內(nèi)，不是在空間內(nèi)，這是需要注意的條件:其中，一點(diǎn)可以是直線上一點(diǎn)也可以是直線外一點(diǎn)；“有且只有”中的“有”是指能畫出一條已知直線的垂線，即存在性，“只有”是指只能畫一條，即唯一性．A．過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線與已知直線垂直過(guò)已知點(diǎn)畫已知直線的垂線80例4〈廈門〉如圖，已知直線AB，CB，l在同一平面內(nèi)，

若AB⊥l，垂足為B，CB⊥l，垂足也為B，則符合

題意的圖形可以是(

)C合作探究例4〈廈門〉如圖，已知直線AB，CB，l在同一平面內(nèi)，C合作81C．在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已點(diǎn)在一條直線上．解：射線OE，OF互相垂直．理由如下：與地面，會(huì)想到旗桿與地面有怎樣的位置關(guān)系呢？所以∠AOE＋∠COE＝∠COF＋∠COE，用三角尺的一條直角邊靠在已知直線上例3如圖，M是三角形ABC中BC邊上的任意一點(diǎn)，請(qǐng)(2)經(jīng)過(guò)直線l上一點(diǎn)A畫l的垂線，這樣的垂線能畫出