《二次曲面的理論及分類研究（論文）5400字》

PAGEPAGEI二次曲面的理論及分類研究目錄TOC\o"1-3"\h\u15679摘要 I1166ABSTRACT II17132目錄 III233971前言 -1-97091.1二次曲面的發(fā)展及研究現(xiàn)狀 -1-77861.2微分幾何學(xué) -1-125211.3研究目的及意義 -2-145851.4論文結(jié)構(gòu) -2-20012二次曲面一般理論 -3-136042.1二次曲面標(biāo)準(zhǔn)形式 -3-130002.2不變量與半不變量 -4-285292.3二次曲面的判別 -5-13883二次曲面的分類 -6-229203.1線性方程組方式 -6-279613.2矩陣方式 -8-19339結(jié)論 -11-12-1前言1.1二次曲面的發(fā)展及研究現(xiàn)狀（1）發(fā)展：解析幾何被分為平面解析幾何和空間解析幾何。空間解析幾何是在平面解析幾何的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的。它主要研究圓柱面，錐面和旋轉(zhuǎn)面。在十八世紀(jì)初，法國(guó)數(shù)學(xué)家孟日首先將微積分應(yīng)用于曲線和曲面的研究，并出版了他的書(shū)“幾何分析的應(yīng)用”。這是最早的微分幾何。這本書(shū)。1973年，高斯出版了“表面的一般研究”一書(shū)。這在微分幾何的歷史中具有重要意義。它的理論奠定了現(xiàn)代形式表面理論的基礎(chǔ)。當(dāng)克萊恩在德國(guó)埃爾蘭根大學(xué)就職演講時(shí)，他描述了埃朗根計(jì)劃并將現(xiàn)有的幾何體與轉(zhuǎn)化組分類開(kāi)來(lái)。研究狀況：鑒于二次曲面不變量的重要性，許多學(xué)者進(jìn)行了與二次曲面不變量密切相關(guān)的研究。例如：呂林根，徐子道]研究了二次曲面的一般理論，并提出了直角坐標(biāo)下的二次曲面。變換下不變量的概念給出了應(yīng)用不變二次曲面方程的方法。孟道對(duì)解析幾何與高等代數(shù)之間的深層內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行了系統(tǒng)的闡述。高振輝等對(duì)于二次曲線不變量深入討論，找到了計(jì)算二次曲線不變量的方法。詳細(xì)討論了二次曲線方程與參數(shù)的問(wèn)題，使用二次曲線的恒定量化來(lái)簡(jiǎn)化相關(guān)問(wèn)題。邵嘉余，吳群分別給出了矩陣的廣義逆和二次多項(xiàng)式的元素的簡(jiǎn)化特征多項(xiàng)式所表示的坐標(biāo)變換不變量，所涉及的矩陣的廣義逆可以用原始矩陣。多項(xiàng)式并直接找到。使用這兩個(gè)新的不變量，作者給出了二次曲面所有標(biāo)準(zhǔn)方程系數(shù)的統(tǒng)一公式。WangSanitary，TaoChenghai通過(guò)二次曲線通過(guò)表面方程系數(shù)形成的不變量（二次曲線no）的幾何性質(zhì)的研究產(chǎn)生了橢球面大小與其不變量之間的關(guān)系，并給出不變量的幾何意義。戴軍，張衛(wèi)榮，甘泉在無(wú)限維Hilbert空間中給出了二次曲面的概念。利用廣義逆，給出了Hilbert空間中二次曲面的一個(gè)不變量，推廣了二維曲面在有限維空間的對(duì)應(yīng)性。不變。張海芳研究了四維歐幾里得空間中二次曲面的不變量，討論了四維曲面在四維空間的不變量。謝高文對(duì)二次曲面方程的形式進(jìn)行了變形。根據(jù)直線與二次曲面交點(diǎn)參數(shù)的幾何意義以及仿射變換的性質(zhì)，得到了二次曲面方程分類與簡(jiǎn)化的新方法，從而解決了使用平移，旋轉(zhuǎn)和坐標(biāo)系統(tǒng)的不變性。分類二次曲面方程，簡(jiǎn)化計(jì)算或不準(zhǔn)確地確定圖形的確切位置的問(wèn)題。1.2微分幾何學(xué)微分幾何使用平滑的曲線和曲面作為研究對(duì)象，因此整個(gè)微分幾何是圍繞曲線的弧長(zhǎng)，曲線上的點(diǎn)的切線等的概念展開(kāi)。有兩個(gè)重要的概念分別是距離和角度。在微分幾何中，由于使用數(shù)學(xué)分析理論，它可以在無(wú)限小的范圍內(nèi)被省略。高階無(wú)窮大，一些復(fù)雜的依賴關(guān)系可能會(huì)變成線性的，并且非統(tǒng)一的過(guò)程也會(huì)變成現(xiàn)實(shí)統(tǒng)一的，這些是微分幾何的獨(dú)特研究方法。在現(xiàn)代，由于研究了高維空間的微分幾何和曲線和曲面的整體性質(zhì)的研究，幾何與黎曼幾何，拓?fù)鋵W(xué)，變分微積分，李代數(shù)等有著密切的關(guān)系。學(xué)科和微分幾何的相互滲透已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的核心問(wèn)題之一。微分幾何的生成和發(fā)展與數(shù)學(xué)分析密切相關(guān)。首先在這方面提出的是瑞士數(shù)學(xué)家歐拉1973年，他首先介紹了平面曲線的固有坐標(biāo)。這個(gè)想法是使用曲線弧的幾何長(zhǎng)度作為曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)，從而開(kāi)始內(nèi)在曲線的數(shù)量。1.3研究目的及意義二次曲面是幾何學(xué)的一個(gè)基本研究對(duì)象,通過(guò)空間直角坐標(biāo)表示來(lái)確定要表示的與要研究的二次曲面的幾何性質(zhì),發(fā)現(xiàn)二次曲面之間的坐標(biāo)變換會(huì)保持圖形的某些性質(zhì)不變,不變量代表這些保持不變的幾何性質(zhì).利用不變量可以對(duì)二次曲面進(jìn)行化簡(jiǎn),進(jìn)而對(duì)二次曲面進(jìn)行分類.另外,在幾何背景下,二次曲面的不變量蘊(yùn)含著二次曲線的幾何性質(zhì).分析二次曲面的不變量,能夠反映出空間曲線的幾何性質(zhì).研究二次曲面不變量的幾何意義,有助于認(rèn)識(shí)二次曲面不變量的幾何特性.1.4論文結(jié)構(gòu)本文將從三維歐氏空間中的二次曲面出發(fā)，對(duì)二次曲面的分類進(jìn)行深入探究.第一章介紹本文的研究背景及意義.第二章介紹二次曲面的一般理論，包括不變量、半不變量定義.第三章對(duì)三維歐氏空間中二次曲面的分類依據(jù)給出總結(jié)并證明，最后一章對(duì)本文的工作進(jìn)行總結(jié)與展望.

2二次曲面一般理論一般二次曲面的有這樣一些相關(guān)概念：漸近方向、中心、切線、切平面、徑面奇向、主徑面與主方向等。二次曲面:歐幾里德三維空間中的坐標(biāo)x，y，z之間由二次方程（系數(shù)為實(shí)數(shù)，二次系數(shù)不全為零）表示的曲面。一般而言，一條直線在兩點(diǎn)處與二次曲面相交;如果它相交三點(diǎn)以上，則線條全部在表面上。此時(shí)，這條直線被稱為水面巴士。如果二次曲面被平行平面截?cái)?，則其截?cái)嗑€是二次曲線。在空間,由三元二次方程（1）所表示的曲面.虛元素:空間中，有序三復(fù)數(shù)組叫做空間復(fù)點(diǎn)的坐標(biāo)，如果三坐標(biāo)全是實(shí)數(shù)，那么它對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是實(shí)點(diǎn)，否則叫做虛點(diǎn).2.1二次曲面標(biāo)準(zhǔn)形式二次曲面的所有可能情況共可以寫(xiě)成十七個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式.(1)橢球面(2)單葉雙曲面(3)雙葉雙曲面(4)二次錐面(5)橢球拋物面(6)雙曲拋物面(7)橢球柱面(8)雙曲柱面(9)拋物柱面(10)一對(duì)相交平面(11)一對(duì)重合平面(12)一對(duì)平行平面(13)一對(duì)平行共軛虛平面(14)虛橢球面(15)虛二次錐面(16)虛橢球柱面(17)一對(duì)共軛虛平面2.2不變量與半不變量(1)定義:由(1)式的左端的系數(shù)組成的一個(gè)非常數(shù)函數(shù)f,如果經(jīng)過(guò)直角坐標(biāo)變換（6.6-8），變?yōu)闀r(shí)，有，那么這個(gè)函數(shù)f就叫做二次曲面在直角坐標(biāo)變換下的不變量。如果這個(gè)函數(shù)f只是經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)軸變換不變，那么這個(gè)函數(shù)叫做二次曲面在直角坐標(biāo)變換下的半不變量。定理6.7.1二次曲面在空間直角坐標(biāo)變換下，有四個(gè)不變量與兩個(gè)半不變量，即推論在直角坐標(biāo)變換下，二次曲面的特征方程不變，從而特征根也不變。定理6.7.2是第V類二次曲面在直角坐標(biāo)變換下的不變量，而是第III，第Ⅳ與第Ⅴ二次曲面在直角坐標(biāo)變換下的不變量。2.3二次曲面的判別對(duì)于二次曲面的一般式：Ax2+By2+Cz2+2Dyz+2Exz+2Fxy+2Gx+2Hy+2Iz+J=0，稱為二次曲面的不變量。又設(shè)δ>0Δ=0點(diǎn)...Δ≠0ΔS>0虛橢球面ΔS<0橢球面δ<0Δ>0單葉雙曲面...Δ=0二次錐面...Δ<0雙葉雙曲面δ=0Δ<0橢圓拋物面...Δ>0雙曲拋物面...Δ=0δ0>0Δ0=0線Δ0≠0Δ1*S1+Δ2*S2+Δ3*S3>0虛橢圓柱面Δ1*S1+Δ2*S2+Δ3*S3<0橢圓柱面δ0<0Δ0=0相交平面Δ0≠0雙曲柱面δ0=0Δ0≠0拋物柱面Δ0=0G2+H2+I2-JS>0平行平面G2+H2+I2-JS=0重合平面G2+H2+I2-JS<0平行虛平面

3二次曲面的分類本章研究了二次曲面的幾何性質(zhì),并通過(guò)坐標(biāo)變換和不變量、半不變量?jī)煞N形式,化二次曲面的一般方程為規(guī)范方程,對(duì)二次曲面進(jìn)行了分類和分類判定,是二次曲面理論的推廣和擴(kuò)充.3.1線性方程組方式定理:如果給出了二次曲面（1），那么用不變量來(lái)判別曲面（1）為何種類型的充要條件是：第I類曲面：；第II類曲面：第III類曲面：第IV類曲面：第V類曲面：步驟1.應(yīng)用不變量化簡(jiǎn)二次曲面的方程應(yīng)用二次曲面中的不變量與兩個(gè)半不變量來(lái)化簡(jiǎn)最初二次曲面的方程。10.這時(shí)曲面（1）是第I類曲面，它的簡(jiǎn)化方程為所以二次曲面的特征方程用式來(lái)表達(dá)，所以根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知二次曲面的三個(gè)特征根分別為為。又因?yàn)?所以，因此第I類曲面的簡(jiǎn)化方程可以寫(xiě)成。這里為二次曲面（1）的三個(gè)特征根。20.這時(shí)曲面（1）是第II類曲面，它的簡(jiǎn)化方程為第II類曲面的簡(jiǎn)化方程同時(shí)還可以寫(xiě)成這里為二次曲面（1）的兩個(gè)不為零的特征根。30這時(shí)曲面（1）是第III類曲面，其簡(jiǎn)化的方程為第III類曲面簡(jiǎn)化方程另一種表達(dá)方式為這里為二次曲面（1）的兩個(gè)不為零的特征根。40這時(shí)曲面（1）是第IV類曲面，它的簡(jiǎn)化方程為第IV類曲面的簡(jiǎn)化方程也可以寫(xiě)成50這時(shí)曲面（1）是第V類曲面，它的簡(jiǎn)化方程為第IV類曲面的簡(jiǎn)化方程另一種表達(dá)方式為定理6.7.5如果給出了二次曲面（1），那么用它的不變量來(lái)判斷一直曲面的條件是：[1]橢球面：[2]虛橢球面：[3]點(diǎn)（或虛母線二次錐面）：[4]二次錐面：[5]橢圓拋物面：[6]雙曲拋物面：[7]橢圓柱面：[8]虛橢圓柱面：[9]單葉雙曲面：[10]雙葉雙曲面：[11]交于一條實(shí)直線的一對(duì)共軛虛平面：[12]雙曲柱面：[13]拋物柱面：[14]一對(duì)相交平面：[15]一對(duì)平行平面：[16]一對(duì)平行的共軛虛平面：[17]一對(duì)重合平面：3.2矩陣方式在數(shù)學(xué)中，矩陣是一組復(fù)數(shù)或?qū)崝?shù)，它們排列成矩形陣列，最初來(lái)自方程組的系數(shù)矩陣和常數(shù)。這個(gè)概念最早是由英國(guó)數(shù)學(xué)家凱利在19世紀(jì)提出的。矩陣是上一代數(shù)學(xué)的常用工具，在統(tǒng)計(jì)分析等應(yīng)用數(shù)學(xué)中也很常見(jiàn)。在物理學(xué)中，矩陣可應(yīng)用于電路科學(xué)，力學(xué)，光學(xué)和量子物理學(xué);在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，3D動(dòng)畫(huà)也需要使用矩陣。矩陣運(yùn)算是數(shù)值分析領(lǐng)域的一個(gè)重要問(wèn)題。將矩陣分解為簡(jiǎn)單矩陣組合可以簡(jiǎn)化理論和實(shí)際應(yīng)用中的矩陣運(yùn)算。對(duì)于一些廣泛使用和特殊形式的矩陣，如稀疏矩陣和準(zhǔn)對(duì)角矩陣，有特定的快速算術(shù)算法。在天體物理學(xué)，量子力學(xué)等領(lǐng)域，還會(huì)有一個(gè)無(wú)限矩陣，這是矩陣的一個(gè)泛化。數(shù)值分析的主要部分致力于開(kāi)發(fā)矩陣計(jì)算的高效算法。這是一個(gè)已經(jīng)使用了幾個(gè)世紀(jì)的話題，并且是一個(gè)不斷擴(kuò)大的研究領(lǐng)域。矩陣分解方法簡(jiǎn)化了理論和實(shí)際計(jì)算。針對(duì)特定矩陣結(jié)構(gòu)（例如稀疏矩陣和近角矩陣）的算法加速了有限元方法和其他計(jì)算中的計(jì)算。無(wú)限矩陣出現(xiàn)在行星理論和原子理論中。無(wú)限矩陣的一個(gè)簡(jiǎn)單例子是表示函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)的導(dǎo)數(shù)算子的矩陣。對(duì)于諸如二次曲線a11x2+a22y2+2a12xy+c1=0（1）和諸如二次曲面b11x2+b22y2+b33z2+2b12xy+2b13xz+2b23yz+c2=0（2）的形狀，由于其特殊性即沒(méi)有一個(gè)項(xiàng)目，因此從其特殊性出發(fā)，獲得了用于從實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和方程中的常數(shù)項(xiàng)推導(dǎo)形狀的方法，其體現(xiàn)了特征值的幾何應(yīng)用。將一個(gè)二次曲線形狀的推論（如a11x2+a22y2+2a12xy+c1=0）引入到一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣中：A=a11a12a12a（）22λ1，λ2是A的特征值，得到下面的定理：定理1：形狀為二次曲線曲線a11x2+a22y2+2a12xy+c1=0（1）的形狀由λ1，λ2和c1的值唯一確定。證明：引言向量：X=（）xy，Y=x1y（）1（1）等價(jià)于XTAX+c1=0，因?yàn)锳=a11a12a12a（）22是一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣，必定有一個(gè)正交矩陣P：PTAP=λ100λ（）2其中λ1，λ2是A的特征值。矩陣的數(shù)乘滿足以下運(yùn)算律：矩陣的加減法和矩陣的數(shù)乘合稱矩陣的線性運(yùn)算。矩陣的轉(zhuǎn)置滿足以下運(yùn)算律：矩陣的共軛轉(zhuǎn)置定義為：，也可以寫(xiě)為：3.3兩種分類方式的差異求解線性方程組的過(guò)程中才慢慢產(chǎn)生矩陣等等抽象的東西。比如線性方程組Ax=b

把A表示成(a1,a2,...an)等列向量。x表示成(x1,x2,...,xn)的轉(zhuǎn)置那么線性方程組就表示成x1*a1+x2*a2+...xn*an=b可以看到左邊是一個(gè)向量組的線性表示。

而求解x則是尋找b在(a1,a2,...an)下的一個(gè)線性表示。假設(shè)α代表其中的一個(gè)線性表示，β代表另外一個(gè)線性表示。（也就是說(shuō)他們都是方程的解）

那么有Aα=Aβ=b,既a1*α1+a2*α2+...an*αn=a1*β1+a2*β2+...an*βn

變成a1(α1-β1)+a2*(α2-β2)+...an*(αn-βn)=0

也就是說(shuō)α與β的差是Ax=0的一個(gè)解。α與β則構(gòu)成了一個(gè)關(guān)于Ax=0的一個(gè)等價(jià)關(guān)系求解Ax=b的過(guò)程就變成了Ax=0的過(guò)程和一個(gè)特解的過(guò)程。

關(guān)于Ax=0

表示成x1*a1+x2*a2+...xn*an=0

這又構(gòu)成了向量空間的線性相關(guān)或者無(wú)關(guān)的知識(shí)。以及尋找一組基等等。矩陣是數(shù)有序排列，有橫向和縱向，線性方程組是方程組，之后各種關(guān)系才有意義。在實(shí)際中應(yīng)用的領(lǐng)域不一樣，本質(zhì)基本是一回事，可以看作是不同處理思路或者角度。但是兩者之間具體形態(tài)是不同的。不同形態(tài)或者思路下的性質(zhì)，不同形態(tài)不同性質(zhì)命題的等價(jià)關(guān)系。特征、二次型部分內(nèi)容有新的，也有可用于前面的，所以可以把這些內(nèi)容看做更廣泛的適用的內(nèi)容?？吹絺€(gè)矩陣時(shí)不光要考慮到對(duì)應(yīng)向量組和方程組的性質(zhì)，也要盡量分析特征方程，特征值?；谝陨戏治霾浑y發(fā)現(xiàn)，線性方程組是矩陣方法的基礎(chǔ)，矩陣方法是對(duì)線性方程求解的一種改進(jìn)方法，可以更快速的解出正確答案并驗(yàn)證其正確性。

結(jié)論解析幾何本身與高等代數(shù)有著深刻的內(nèi)在聯(lián)系,對(duì)二次曲面的不變量進(jìn)行系統(tǒng)的研究,分析二次曲面的方程系數(shù)構(gòu)成的不變量,了解二次曲面不變量的代數(shù)性質(zhì),給出不變量相應(yīng)的幾何意義,能夠?qū)ξ覀冋J(rèn)識(shí)二次曲面不變量的幾何特性有所幫助,以此加深對(duì)高等代數(shù)和的解析幾何理解.因此,作者認(rèn)為,通過(guò)系統(tǒng)深入地研究二次曲面的不變量,能幫助我們更深刻地認(rèn)識(shí)二次曲面的基本理論乃至空間幾何學(xué),也能初步掌握一些幾何學(xué)的研究手段和方法,初步培養(yǎng)從代數(shù)學(xué)的視角看待幾何對(duì)象的觀點(diǎn).,加深對(duì)高等代數(shù)和的解析幾何理解.空間中二次曲面的分類是基于正交變換和平移變換的。正是由于這些結(jié)論，我們才將空間中的二次曲面分類。只有到那時(shí)，我們才能徹底了解空間中的二次曲面。這也是因?yàn)榭臻g中的二次曲面被分類，當(dāng)我們研究二次曲面的特性時(shí)，我們正在瞄準(zhǔn)某一類曲面而不是單一表面，這減少了我們?cè)诒砻嫜芯恐械膹?fù)雜性和可重復(fù)性。另一方面，這對(duì)于研究曲面的常見(jiàn)問(wèn)題也非常重要。

參考文獻(xiàn)[1]呂林根,許子道.解析幾何[M].北京:高等教育出版社,1988:175-182[2]孟道驥.高等代數(shù)與解析幾何:上下冊(cè)[M].北京:科學(xué)出版社,2007[3]姜國(guó)英,黃宣國(guó).微分幾何一百例[M].北京:高等教育出版社,2004:21-22.[4]陳維桓.微分幾何[M].北京:北京大學(xué)出版社,2006:8-11[5]梅向明,黃敬之.微分幾何[M],第3版.北京:高等教育出版社,2003:116-120[6]孫國(guó)漢,趙培標(biāo),劉以鈞.曲面可展的條件[J].阜陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào),1996,27(