2020高中數(shù)學(xué) 模塊復(fù)習(xí)課學(xué)案 2-2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE11-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精模塊復(fù)習(xí)課一、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1．導(dǎo)數(shù)的概念（1）定義：函數(shù)y＝f（x）在x＝x0處的瞬時(shí)變化率Δx→0時(shí)，eq\f(fx0＋Δx－fx0，Δx)稱為函數(shù)y＝f(x）在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)．(2）幾何意義:函數(shù)y＝f（x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)圖象在點(diǎn)(x0，f（x0))處的切線斜率．2．幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）若y＝f（x）＝c,則f′（x)＝0。（2)若y＝f(x)＝x,則f′（x)＝1。（3)若y＝f（x）＝x2，則f′（x)＝2x。（4)若y＝f（x）＝eq\f(1,x），則f′(x)＝－eq\f(1,x2）。（5）若y＝f(x)＝eq\r(x)，則f′(x)＝eq\f(1，2\r(x））。3．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（1)若f（x）＝C(C為常數(shù))，則f′(x）＝0。（2)若f（x）＝xα（α為常數(shù)），則f′(x）＝αxα－1。(3）若f(x）＝sinx,則f′(x）＝cos_x。(4)若f(x)＝cosx,則f′（x)＝－sin_x。（5）若f（x）＝ax，則f′(x）＝axln_a。(6)若f（x)＝ex，則f′（x）＝ex.(7)若f（x）＝logax，則f′（x)＝eq\f(1，xlna）。(8)若f（x)＝lnx,則f′(x）＝eq\f（1，x）。4．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(1)［f(x)±g(x)］′＝f′（x）±g′(x）．(2）［f（x)·g（x）］′＝f′（x）g(x）＋f(x）g′(x）．(3）eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（\f(fx,gx）））′＝eq\f（f′xgx－fxg′x,g2x）。5．復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（1）復(fù)合函數(shù)記法:y＝f(g（x))．(2)中間變量代換：y＝f（u)，u＝g(x）．(3）逐層求導(dǎo)法則：y′x＝y(tǒng)′u·u′x.6．函數(shù)的單調(diào)性、極值與導(dǎo)數(shù)(1）函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)在某個(gè)區(qū)間（a，b）內(nèi)，如果f′（x)＞0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f′（x)＜0，那么函數(shù)y＝f（x）在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．（2）函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)①極大值：在點(diǎn)x＝a附近，滿足f(a)≥f（x），當(dāng)x＜a時(shí),f′(x)＞0，當(dāng)x＞a時(shí),f′(x）＜0，則點(diǎn)a叫做函數(shù)的極大值點(diǎn)，f(a）叫做函數(shù)的極大值；②極小值：在點(diǎn)x＝a附近,滿足f（a）≤f(x)，當(dāng)x＜a時(shí),f′(x)＜0，當(dāng)x＞a時(shí),f′（x)＞0，則點(diǎn)a叫做函數(shù)的極小值點(diǎn)，f（a）叫做函數(shù)的極小值．7．求函數(shù)y＝f（x）在［a，b]上的最大值與最小值的步驟(1）求函數(shù)y＝f（x）在(a，b）內(nèi)的極值．（2)將函數(shù)y＝f（x）的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)為最小值．二、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入1．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及分類(lèi)（1）代數(shù)形式為z＝a＋bi(a，b∈R），其中實(shí)部為a，虛部為b；（2）共軛復(fù)數(shù)為z＝a－bi(a，b∈R)．（3)復(fù)數(shù)的分類(lèi)eq\a\vs4\al(復(fù)數(shù)a＋bi,a,b∈R）eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（實(shí)數(shù)b＝0\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(有理數(shù)\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（整數(shù)，分?jǐn)?shù))），無(wú)理數(shù)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)))，虛數(shù)b≠0\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（純虛數(shù)a＝0,非純虛數(shù)a≠0）))）①若z＝a＋bi（a，b∈R)是實(shí)數(shù)，則z與eq\x\to(z）的關(guān)系為z＝eq\x\to(z）。②若z＝a＋bi(a,b∈R)是純虛數(shù)，則z與eq\x\to(z）的關(guān)系為z＋eq\x\to（z)＝0（z≠0）．2．與復(fù)數(shù)運(yùn)算有關(guān)的問(wèn)題（1)復(fù)數(shù)相等的充要條件a＋bi＝c＋di?eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝c，,b＝d））(a，b，c，d∈R)．(2）復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模｜z｜＝eq\r（a2＋b2),且z·eq\x\to（z）＝｜z｜2＝a2＋b2。（3）復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，若兩個(gè)復(fù)數(shù)z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i（a1,b1，a2，b2∈R）①加法：z1＋z2＝（a1＋a2）＋（b1＋b2)i；②減法:z1－z2＝(a1－a2）＋(b1－b2)i；③乘法：z1·z2＝(a1a2－b1b2）＋(a1b2＋a2b1)i；④除法:eq\f（z1，z2）＝eq\f（a1a2＋b1b2＋a2b1－a1b2i,a\o\al(2,2)＋b\o\al(2，2）)＝eq\f（a1a2＋b1b2，a\o\al(2，2)＋b\o\al（2，2））＋eq\f（a2b1－a1b2，a\o\al(2,2）＋b\o\al（2，2）)i（z2≠0）．3．復(fù)數(shù)的幾何意義（1）任何一個(gè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi一一對(duì)應(yīng)著復(fù)平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)Z（a,b），也一一對(duì)應(yīng)著一個(gè)從原點(diǎn)出發(fā)的向量eq\o(OZ，\s\up8(→））.(2)復(fù)數(shù)加法的幾何意義若復(fù)數(shù)z1，z2對(duì)應(yīng)的向量eq\o(OZ，\s\up8(→)）1，eq\o(OZ，\s\up8（→))2不共線,則復(fù)數(shù)z1＋z2是以eq\o（OZ,\s\up8（→））1，eq\o（OZ,\s\up8（→)）2為兩鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線eq\o（OZ，\s\up8(→))所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．（3）復(fù)數(shù)減法的幾何意義復(fù)數(shù)z1－z2是連接向量eq\o(OZ，\s\up8（→）)1，eq\o（OZ，\s\up8(→））2的終點(diǎn)，并指向Z1的向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．1．函數(shù)f（x)在定義域上都有f′（x)>0，則f（x）在定義域上單調(diào)遞增．（×）2．函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)越大，函數(shù)在該點(diǎn)處的切線越“陡峭”．（×)3．函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上變化越快，函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值越大．(√)4．若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間［a,b]上單調(diào)遞增,則在區(qū)間[a，b］上恒有f′(x）>0。(×)5．“函數(shù)f（x)在區(qū)間[a,b］上的導(dǎo)數(shù)f′（x）>0”是“函數(shù)f（x）在區(qū)間[a,b］上單調(diào)遞增”的充分不必要條件．（√)6．曲線的切線與曲線的交點(diǎn)有且只有一個(gè)．(×）7．函數(shù)的極大值一定大于極小值．（×)8．可導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)x0處，一定有f′（x0）＝0,但f′(x0)＝0時(shí),x0不一定是函數(shù)的極值點(diǎn)．(√)9．在可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)處，切線與x軸平行或重合．(√）10．函數(shù)的最大值一定是函數(shù)的極大值．(×）11．函數(shù)在閉區(qū)間上的最值一定在端點(diǎn)處或極值點(diǎn)處取得．(√)12．若a，b為實(shí)數(shù),則z＝a＋bi為虛數(shù)．(×)13．復(fù)平面內(nèi),y軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)一定為純虛數(shù)．(×）14．復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a,b∈R）為純虛數(shù)的充要條件是a＝0且b≠0。（√)15．復(fù)平面內(nèi)，互為共軛復(fù)數(shù)的兩個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．(×）16．若z1＝2i，z2＝－i，則z1〉z(mì)2。（×）17．復(fù)平面內(nèi),一個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)點(diǎn)，同時(shí)也對(duì)應(yīng)一個(gè)向量，三者之間滿足一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．（√)18．復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)相加減后結(jié)果只能是實(shí)數(shù)．(×)19．虛數(shù)不能比較大小,所以虛數(shù)的模也不能比較大?。ā粒?0．兩個(gè)復(fù)數(shù)的積一定是虛數(shù)．(×）1．(2018·全國(guó)卷Ⅰ）設(shè)z＝eq\f(1－i，1＋i）＋2i，則|z｜＝（）A．0 B．eq\f（1,2）C．1 D．eq\r(2）C［因?yàn)閦＝eq\f（1－i,1＋i)＋2i＝eq\f（1－i2,1＋i1－i）＋2i＝－i＋2i＝i,所以|z|＝1，故選C。]2．(2018·全國(guó)卷Ⅱ）i（2＋3i）＝（）A．3－2i B．3＋2iC．－3－2i D．－3＋2iD［i（2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i，故選D.]3．（2018·全國(guó)卷Ⅲ)（1＋i)(2－i)＝(）A．－3－i B．－3＋iC．3－i D．3＋iD[(1＋i)（2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i.故選D.］4．(2017·全國(guó)卷Ⅰ)下列各式的運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是()A．i（1＋i）2 B．i2(1－i)C．(1＋i)2 D．i（1＋i)C[A項(xiàng)，i（1＋i）2＝i（1＋2i＋i2）＝i×2i＝－2，不是純虛數(shù)．B項(xiàng),i2(1－i）＝－(1－i)＝－1＋i，不是純虛數(shù)．C項(xiàng),（1＋i）2＝1＋2i＋i2＝2i，是純虛數(shù)．D項(xiàng),i(1＋i）＝i＋i2＝－1＋i，不是純虛數(shù)．故選C。］5．(2017·全國(guó)卷Ⅱ)（1＋i)(2＋i）＝(）A．1－i B．1＋3iC．3＋i D．3＋3iB[（1＋i)(2＋i)＝2＋i＋2i－1＝1＋3i.故選B。]6．(2017·全國(guó)卷Ⅲ）復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z＝i（－2＋i)的點(diǎn)位于(）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限C［∵z＝i（－2＋i）＝－1－2i，∴復(fù)數(shù)z＝－1－2i所對(duì)應(yīng)的復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)為Z（－1，－2），位于第三象限．故選C。]7．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)f（x）＝x3＋(a－1）x2＋ax。若f(x）為奇函數(shù),則曲線y＝f（x)在點(diǎn)(0,0）處的切線方程為（)A．y＝－2x B．y＝－xC．y＝2x D．y＝xD［因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝x3＋(a－1）x2＋ax為奇函數(shù)，所以f(－1)＋f(1)＝0，所以－1＋a－1－a＋(1＋a－1＋a）＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′（x）＝3x2＋1，所以f′（0）＝1，所以曲線y＝f(x）在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y＝x。故選D。］8．（2017·江蘇高考)已知復(fù)數(shù)z＝(1＋i)（1＋2i），其中i是虛數(shù)單位，則z的模是________．eq\r（10）[法一:∵z＝（1＋i)（1＋2i）＝1＋2i＋i－2＝－1＋3i,∴｜z｜＝eq\r(－12＋32)＝eq\r(10)。法二：|z｜＝|1＋i||1＋2i|＝eq\r（2)×eq\r(5）＝eq\r(10).]9．（2018·江蘇高考)若復(fù)數(shù)z滿足i·z＝1＋2i，其中i是虛數(shù)單位，則z的實(shí)部為_(kāi)_______．2[復(fù)數(shù)z＝eq\f（1＋2i,i）＝(1＋2i）(－i)＝2－i,實(shí)部是2.］10．(2018·全國(guó)卷Ⅱ）曲線y＝2lnx在點(diǎn)（1,0)處的切線方程為_(kāi)_______．y＝2x－2[由題意知，y′＝eq\f(2,x)，所以曲線在點(diǎn)(1，0）處的切線斜率k＝y(tǒng)′|x＝1＝2，故所求切線方程為y－0＝2(x－1)，即y＝2x－2.]11．(2017·全國(guó)卷Ⅰ）曲線y＝x2＋eq\f(1，x）在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為_(kāi)_______．x－y＋1＝0[∵y′＝2x－eq\f(1，x2)，∴y′|x＝1＝1，即曲線在點(diǎn)（1,2）處的切線的斜率k＝1，∴切線方程為y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.］12．（2018·全國(guó)卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝aex－lnx－1。(1）設(shè)x＝2是f（x)的極值點(diǎn),求a,并求f(x)的單調(diào)區(qū)間;（2)證明：當(dāng)a≥eq\f（1,e)時(shí)，f(x）≥0.［解](1）f(x)的定義域?yàn)椋?，＋∞），f′（x)＝aex－eq\f（1,x）.由題設(shè)知，f′（2）＝0，所以a＝eq\f(1，2e2)。從而f（x）＝eq\f(1，2e2）ex－lnx－1,f′(x）＝eq\f(1,2e2）ex－eq\f(1，x）。