2018-2019學年北京市海淀區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷

2018-2019學年北京市海淀區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷一、選擇題（本題共16分，每小題2分）下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的．請將正確選項前的字母填在表格中相應的位置．1．（2分）拋物線y＝（x﹣1）2+3的頂點坐標是（）A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（3，﹣1）2．（2分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點P（4，3），OP與x軸正半軸的夾角為α，則tanα的值為（）A． B． C． D．3．（2分）方程x2﹣x+3＝0的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．無實數(shù)根 D．只有一個實數(shù)根4．（2分）如圖，一塊含30°角的直角三角板ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)到△A'B'C，當B，C，A'在一條直線上時，三角板ABC的旋轉(zhuǎn)角度為（）A．150° B．120° C．60° D．30°5．（2分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，B是反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上的一點，則矩形OABC的面積為（）A．1 B．2 C．3 D．46．（2分）如圖，在△ABC中，DE∥BC，且DE分別交AB，AC于點D，E，若AD：AB＝2：3，則△ADE和△ABC的面積之比等于（）A．2：3 B．4：9 C．4：5 D．7．（2分）圖1是一個地鐵站入口的雙翼閘機．如圖2，它的雙翼展開時，雙翼邊緣的端點A與B之間的距離為10cm，雙翼的邊緣AC＝BD＝54cm，且與閘機側(cè)立面夾角∠PCA＝∠BDQ＝30°．當雙翼收起時，可以通過閘機的物體的最大寬度為（）A．cm B．cm C．64cm D．54cm8．（2分）在平面直角坐標系xOy中，四條拋物線如圖所示，其解析式中的二次項系數(shù)一定小于1的是（）A．y1 B．y2 C．y3 D．y4二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．（2分）方程x2﹣3x＝0的根為．10．（2分）半徑為2且圓心角為90°的扇形面積為．11．（2分）已知拋物線的對稱軸是x＝n，若該拋物線與x軸交于（1，0），（3，0）兩點，則n的值為．12．（2分）在同一平面直角坐標系xOy中，若函數(shù)y＝x與y＝（k≠0）的圖象有兩個交點，則k的取值范圍是．13．（2分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，有兩點A（2，4），B（4，0），以原點O為位似中心，把△OAB縮小得到△OA'B'．若B'的坐標為（2，0），則點A'的坐標為．14．（2分）已知（﹣1，y1），（2，y2）是反比例函數(shù)圖象上兩個點的坐標，且y1＞y2，請寫出一個符合條件的反比例函數(shù)的解析式．15．（2分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（3，0），判斷在M，N，P，Q四點中，滿足到點O和點A的距離都小于2的點是．16．（2分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，P是直線y＝2上的一個動點，⊙P的半徑為1，直線OQ切⊙P于點Q，則線段OQ的最小值為．三、解答題（本題共68分，第17～22題，每小題5分；第23～26題，每小題5分；第27～28題，每小題5分）17．（5分）計算：cos45°﹣2sin30°+（﹣2）0．18．（5分）如圖，AD與BC交于O點，∠A＝∠C，AO＝4，CO＝2，CD＝3，求AB的長．19．（5分）已知x＝n是關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0的一個根，若mn2﹣4n+m＝6，求m的值．20．（5分）近視鏡鏡片的焦距y（單位：米）是鏡片的度數(shù)x（單位：度）的函數(shù)，下表記錄了一組數(shù)據(jù)：x（單位：度）…100250400500…y（單位：米）…1.000.400.250.20…（1）在下列函數(shù)中，符合上述表格中所給數(shù)據(jù)的是；A．y＝x；B．y＝；C．y＝﹣；D．y＝（2）利用（1）中的結(jié)論計算：當鏡片的度數(shù)為200度時，鏡片的焦距約為米．21．（5分）下面是小元設計的“過圓上一點作圓的切線”的尺規(guī)作圖過程．已知：如圖1，⊙O及⊙O上一點P．求作：過點P的⊙O的切線．作法：如圖2，①作射線OP；②在直線OP外任取一點A，以點A為圓心，AP為半徑作⊙A，與射線OP交于另一點B；③連接并延長BA與⊙A交于點C；④作直線PC；則直線PC即為所求．根據(jù)小元設計的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明：證明：∵BC是⊙A的直徑，∴∠BPC＝90°（）（填推理的依據(jù)）．∴OP⊥PC．又∵OP是⊙O的半徑，∴PC是⊙O的切線（）（填推理的依據(jù)）．22．（5分）2018年10月23日，港珠澳大橋正式開通，成為橫亙在伶仃洋上的一道靚麗的風景．大橋主體工程隧道的東、西兩端各設置了一個海中人工島，來銜接橋梁和海底隧道，西人工島上的A點和東人工島上的B點間的距離約為5.6千米，點C是與西人工島相連的大橋上的一點，A，B，C在一條直線上．如圖，一艘觀光船沿與大橋AC段垂直的方向航行，到達P點時觀測兩個人工島，分別測得PA，PB與觀光船航向PD的夾角∠DPA＝18°，∠DPB＝53°，求此時觀光船到大橋AC段的距離PD的長．參考數(shù)據(jù)：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.33，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．23．（6分）在平面直角坐標系xOy中，已知直線y＝x與雙曲線y＝的一個交點是A（2，a）．（1）求k的值；（2）設點P（m，n）是雙曲線y＝上不同于A的一點，直線PA與x軸交于點B（b，0）．①若m＝1，求b的值；②若PB＝2AB，結(jié)合圖象，直接寫出b的值．24．（6分）如圖，A，B，C為⊙O上的定點．連接AB，AC，M為AB上的一個動點，連接CM，將射線MC繞點M順時針旋轉(zhuǎn)90°，交⊙O于點D，連接BD．若AB＝6cm，AC＝2cm，記A，M兩點間距離為xcm，B，D兩點間的距離為ycm．小東根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進行了探究．下面是小東探究的過程，請補充完整：（1）通過取點、畫圖、測量，得到了x與y的幾組值，如下表，補全表格：x/cm00.250.47123456y/cm1.430.6601.312.592.761.660（2）在平面直角坐標系xOy中，描出補全后的表中各對對應值為坐標的點，畫出該函數(shù)的圖象；（3）結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：當BD＝AC時，AM的長度約為cm．25．（6分）如圖，AB是⊙O的弦，半徑OE⊥AB，P為AB的延長線上一點，PC與⊙O相切于點C，CE與AB交于點F．（1）求證：PC＝PF；（2）連接OB，BC，若OB∥PC，BC＝3，tanP＝，求FB的長．26．（6分）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線G：y＝4x2﹣8ax+4a2﹣4，A（﹣1，0），N（n，0）．（1）當a＝1時，①求拋物線G與x軸的交點坐標；②若拋物線G與線段AN只有一個交點，求n的取值范圍；（2）若存在實數(shù)a，使得拋物線G與線段AN有兩個交點，結(jié)合圖象，直接寫出n的取值范圍．27．（7分）已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，直線l經(jīng)過點A（不經(jīng)過點B或點C），點C關(guān)于直線l的對稱點為點D，連接BD，CD．（1）如圖1，①求證：點B，C，D在以點A為圓心，AB為半徑的圓上．②直接寫出∠BDC的度數(shù)（用含α的式子表示）為．（2）如圖2，當α＝60°時，過點D作BD的垂線與直線l交于點E，求證：AE＝BD；（3）如圖3，當α＝90°時，記直線l與CD的交點為F，連接BF．將直線l繞點A旋轉(zhuǎn)，當線段BF的長取得最大值時，直接寫出tan∠FBC的值．28．（7分）在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0，a）和點B（b，0），給出如下定義：以AB為邊，按照逆時針方向排列A，B，C，D四個頂點，作正方形ABCD，則稱正方形ABCD為點A，B的逆序正方形．例如，當a＝﹣4，b＝3時，點A，B的逆序正方形如圖1所示．（1）圖1中點C的坐標為；（2）改變圖1中的點A的位置，其余條件不變，則點C的坐標不變（填“橫”或“縱”），它的值為；（3）已知正方形ABCD為點A，B的逆序正方形．①判斷：結(jié)論“點C落在x軸上，則點D落在第一象限內(nèi)．”（填“正確”或“錯誤”），若結(jié)論正確，請說明理由；若結(jié)論錯誤，請在圖2中畫出一個反例；②⊙T的圓心為T（t，0），半徑為1．若a＝4，b＞0，且點C恰好落在⊙T上，直接寫出t的取值范圍

2018-2019學年北京市海淀區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共16分，每小題2分）下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的．請將正確選項前的字母填在表格中相應的位置．1．（2分）拋物線y＝（x﹣1）2+3的頂點坐標是（）A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（3，﹣1）【分析】根據(jù)頂點式解析式寫出頂點坐標即可．【解答】解：拋物線y＝（x﹣1）2+3的頂點坐標是（1，3）．故選：A．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要是利用頂點式解析式寫頂點的方法，需熟記．2．（2分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點P（4，3），OP與x軸正半軸的夾角為α，則tanα的值為（）A． B． C． D．【分析】過P作PN⊥x軸于N，PM⊥y軸于M，根據(jù)點P的坐標求出PN和ON，解直角三角形求出即可．【解答】解：過P作PN⊥x軸于N，PM⊥y軸于M，則∠PMO＝∠PNO＝90°，∵x軸⊥y軸，∴∠MON＝∠PMO＝∠PNO＝90°，∴四邊形MONP是矩形，∴PM＝ON，PN＝OM，∵P（4，3），∴ON＝PM＝4，PN＝3，∴tanα＝＝，故選：C．【點評】本題考查了點的坐標和解直角三角形，能求出PN和ON的長是解此題的關(guān)鍵．3．（2分）方程x2﹣x+3＝0的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．無實數(shù)根 D．只有一個實數(shù)根【分析】把a＝1，b＝﹣1，c＝3代入△＝b2﹣4ac進行計算，然后根據(jù)計算結(jié)果判斷方程根的情況．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝3，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×3＝﹣11＜0，所以方程沒有實數(shù)根．故選：C．【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的根的判別式△＝b2﹣4ac．當△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0時，方程沒有實數(shù)根．4．（2分）如圖，一塊含30°角的直角三角板ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)到△A'B'C，當B，C，A'在一條直線上時，三角板ABC的旋轉(zhuǎn)角度為（）A．150° B．120° C．60° D．30°【分析】直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對應邊，再根據(jù)三角板的內(nèi)角的度數(shù)得出答案．【解答】解：∵將一塊含30°角的直角三角板ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)到△A'B'C，∴BC與B'C是對應邊，∴旋轉(zhuǎn)角∠BCB'＝180°﹣30°＝150°．故選：A．【點評】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，正確得出對應邊是解題關(guān)鍵．5．（2分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，B是反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上的一點，則矩形OABC的面積為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】因為過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積S是個定值，即S＝|k|．【解答】解：∵點B在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，∴矩形OABC的面積S＝|k|＝2，故選：B．【點評】本題主要考查了反比例函數(shù)y＝中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|．6．（2分）如圖，在△ABC中，DE∥BC，且DE分別交AB，AC于點D，E，若AD：AB＝2：3，則△ADE和△ABC的面積之比等于（）A．2：3 B．4：9 C．4：5 D．【分析】由DE∥BC，利用“兩直線平行，同位角相等”可得出∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，進而可得出△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求出結(jié)論．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝．故選：B．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，牢記相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．7．（2分）圖1是一個地鐵站入口的雙翼閘機．如圖2，它的雙翼展開時，雙翼邊緣的端點A與B之間的距離為10cm，雙翼的邊緣AC＝BD＝54cm，且與閘機側(cè)立面夾角∠PCA＝∠BDQ＝30°．當雙翼收起時，可以通過閘機的物體的最大寬度為（）A．cm B．cm C．64cm D．54cm【分析】過A作AE⊥CP于E，過B作BF⊥DQ于F，則可得AE和BF的長，依據(jù)端點A與B之間的距離為10cm，即可得到可以通過閘機的物體的最大寬度．【解答】解：如圖所示，過A作AE⊥CP于E，過B作BF⊥DQ于F，則Rt△ACE中，AE＝AC＝×54＝27（cm），同理可得，BF＝27cm，又∵點A與B之間的距離為10cm，∴通過閘機的物體的最大寬度為27+10+27＝64（cm），故選：C．【點評】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，特殊角的三角函數(shù)值應用廣泛，一是它可以當作數(shù)進行運算，二是具有三角函數(shù)的特點，在解直角三角形中應用較多．8．（2分）在平面直角坐標系xOy中，四條拋物線如圖所示，其解析式中的二次項系數(shù)一定小于1的是（）A．y1 B．y2 C．y3 D．y4【分析】由圖象的點的坐標，根據(jù)待定系數(shù)法求得解析式即可判定．【解答】解：由圖象可知：拋物線y1的頂點為（﹣2，﹣2），與y軸的交點為（0，1），根據(jù)待定系數(shù)法求得y1＝（x+2）2﹣2；拋物線y2的頂點為（0，﹣1），與x軸的一個交點為（1，0），根據(jù)待定系數(shù)法求得y2＝x2﹣1；拋物線y3的頂點為（1，1），與y軸的交點為（0，2），根據(jù)待定系數(shù)法求得y3＝（x﹣1）2+1；拋物線y4的頂點為（1，﹣3），與y軸的交點為（0，﹣1），根據(jù)待定系數(shù)法求得y4＝2（x﹣1）2﹣3；綜上，解析式中的二次項系數(shù)一定小于1的是y1故選：A．【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，根據(jù)點的坐標求得解析式是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．（2分）方程x2﹣3x＝0的根為x1＝0，x2＝3．【分析】根據(jù)所給方程的系數(shù)特點，可以對左邊的多項式提取公因式，進行因式分解，然后解得原方程的解．【解答】解：因式分解得，x（x﹣3）＝0，解得，x1＝0，x2＝3．故答案為：x1＝0，x2＝3．【點評】本題考查了解一元二次方程的方法，當方程的左邊能因式分解時，一般情況下是把左邊的式子因式分解，再利用積為0的特點解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一種簡便方法，要會靈活運用．10．（2分）半徑為2且圓心角為90°的扇形面積為π．【分析】根據(jù)扇形面積公式求出即可．【解答】解：扇形的面積是＝π，故答案為π．【點評】本題考查了扇形的面積計算，能熟記扇形的面積公式是解此題的關(guān)鍵．11．（2分）已知拋物線的對稱軸是x＝n，若該拋物線與x軸交于（1，0），（3，0）兩點，則n的值為2．【分析】利用拋物線與x軸的交點為對稱軸，從而得到拋物線的對稱軸方程．【解答】解：∵拋物線與x軸交于（1，0），（3，0）兩點，∴拋物線的對稱軸為直線＝2．即n的值為2．故答案為2．【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．12．（2分）在同一平面直角坐標系xOy中，若函數(shù)y＝x與y＝（k≠0）的圖象有兩個交點，則k的取值范圍是k＞0．【分析】聯(lián)立兩函數(shù)解析式，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，由兩函數(shù)在同一直角坐標系中的圖象有兩個交點得到根的判別式大于0，列出關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范圍．【解答】解：聯(lián)立兩解析式得：，消去y得：x2﹣k＝0，∵兩個函數(shù)在同一直角坐標系中的圖象有兩個交點，∴△＝b2﹣4ac＝4k＞0，即k＞0．故k的取值范圍是k＞0．故答案為：k＞0．【點評】此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，以及反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．13．（2分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，有兩點A（2，4），B（4，0），以原點O為位似中心，把△OAB縮小得到△OA'B'．若B'的坐標為（2，0），則點A'的坐標為（1，2）．【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)計算．【解答】解：點B的坐標為（4，0），以原點O為位似中心，把△OAB縮小得到△OA'B'，B'的坐標為（2，0），∴以原點O為位似中心，把△OAB縮小，得到△OA'B'，∵點A的坐標為（2，4），∴點A'的坐標為（2×，4×），即（1，2），故答案為：（1，2）．【點評】本題考查的是位似變換，坐標與圖形性質(zhì)，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或﹣k．14．（2分）已知（﹣1，y1），（2，y2）是反比例函數(shù)圖象上兩個點的坐標，且y1＞y2，請寫出一個符合條件的反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)＝﹣，答案不唯一．【分析】先根據(jù)題意判斷出k的符號，再寫出符合條件的解析式即可．【解答】解：∵（﹣1，y1），（2，y2）是反比例函數(shù)圖象上兩個點的坐標，且y1＞y2，∴函數(shù)圖象的分支在二四象限，則k＜0．故答案為：y＝﹣，答案不唯一．【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征以及反比例函數(shù)的性質(zhì)，解決此題的關(guān)鍵是確定k的符號．15．（2分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（3，0），判斷在M，N，P，Q四點中，滿足到點O和點A的距離都小于2的點是點M與點N．【分析】分別以點O和點A為圓心，2為半徑畫圓，即可得到滿足到點O和點A的距離都小于2的點．【解答】解：如圖，分別以點O和點A為圓心，2為半徑畫圓，可得滿足到點O和點A的距離都小于2的點是點M與點N，故答案為：點M與點N．【點評】本題主要考查了點與圓的位置關(guān)系以及點的坐標，解題時注意：當點在圓內(nèi)時，點到圓心的距離小于圓的半徑．16．（2分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，P是直線y＝2上的一個動點，⊙P的半徑為1，直線OQ切⊙P于點Q，則線段OQ的最小值為．【分析】連接PQ、OP，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得PQ⊥OQ，再利用勾股定理得到OQ＝，利用垂線段最短，當OP最小時，OQ最小，然后求出OP的最小值，從而得到OQ的最小值．【解答】解：連接PQ、OP，如圖，∵直線OQ切⊙P于點Q，∴PQ⊥OQ，在Rt△OPQ中，OQ＝＝，當OP最小時，OQ最小，當OP⊥直線y＝2時，OP有最小值2，∴OQ的最小值為＝．故答案為．【點評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了勾股定理．三、解答題（本題共68分，第17～22題，每小題5分；第23～26題，每小題5分；第27～28題，每小題5分）17．（5分）計算：cos45°﹣2sin30°+（﹣2）0．【分析】原式利用特殊角的三角函數(shù)值，以及零指數(shù)冪法則計算即可求出值．【解答】解：原式＝﹣2×+1＝﹣1+1＝．【點評】此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．18．（5分）如圖，AD與BC交于O點，∠A＝∠C，AO＝4，CO＝2，CD＝3，求AB的長．【分析】由∠A＝∠C，∠AOB＝∠COD可得出△AOB∽△COD，利用相似三角形的性質(zhì)可得出＝，代入AO＝4，CO＝2，CD＝3即可求出AB的長．【解答】解：∵∠A＝∠C，∠AOB＝∠COD，∴△AOB∽△COD，∴＝，即＝，∴AB＝6．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，牢記相似三角形對應邊的比相等是解題的關(guān)鍵．19．（5分）已知x＝n是關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0的一個根，若mn2﹣4n+m＝6，求m的值．【分析】把x＝n代入方程求出mn2﹣4n的值，代入已知等式求出m的值即可．【解答】解：把x＝n代入方程得：mn2﹣4n﹣5＝0，即mn2﹣4n＝5，代入已知等式得：5+m＝6，解得：m＝1．【點評】此題考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定義，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．20．（5分）近視鏡鏡片的焦距y（單位：米）是鏡片的度數(shù)x（單位：度）的函數(shù)，下表記錄了一組數(shù)據(jù)：x（單位：度）…100250400500…y（單位：米）…1.000.400.250.20…（1）在下列函數(shù)中，符合上述表格中所給數(shù)據(jù)的是B；A．y＝x；B．y＝；C．y＝﹣；D．y＝（2）利用（1）中的結(jié)論計算：當鏡片的度數(shù)為200度時，鏡片的焦距約為米．【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可得近視鏡鏡片的焦距y（單位：米）與度數(shù)x（單位：度）成反比例，依此即可求解；（2）將x＝200代入（1）中的解析式，求出y即可．【解答】解：（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可得，100×1＝250×0.4＝400×0.25＝500×0.2＝100，所以近視鏡鏡片的焦距y（單位：米）與度數(shù)x（單位：度）成反比例，所以y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y＝．故選：B．（2）將x＝200代入y＝，得y＝＝．故答案為．【點評】本題考查了反比例函數(shù)的應用，求函數(shù)值，正確求出函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．21．（5分）下面是小元設計的“過圓上一點作圓的切線”的尺規(guī)作圖過程．已知：如圖1，⊙O及⊙O上一點P．求作：過點P的⊙O的切線．作法：如圖2，①作射線OP；②在直線OP外任取一點A，以點A為圓心，AP為半徑作⊙A，與射線OP交于另一點B；③連接并延長BA與⊙A交于點C；④作直線PC；則直線PC即為所求．根據(jù)小元設計的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明：證明：∵BC是⊙A的直徑，∴∠BPC＝90°（圓周角定理）（填推理的依據(jù)）．∴OP⊥PC．又∵OP是⊙O的半徑，∴PC是⊙O的切線（切線的判定）（填推理的依據(jù)）．【分析】（1）根據(jù)題意作出圖形即可；（2）根據(jù)圓周角定理得到∠BPC＝90°，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）補全圖形如圖所示，則直線PC即為所求；（2）證明：∵BC是⊙A的直徑，∴∠BPC＝90°（圓周角定理），∴OP⊥PC．又∵OP是⊙O的半徑，∴PC是⊙O的切線（切線的判定）．故答案為：圓周角定理，切線的判定．【點評】本題考查了切線的判定，圓周角定理，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．22．（5分）2018年10月23日，港珠澳大橋正式開通，成為橫亙在伶仃洋上的一道靚麗的風景．大橋主體工程隧道的東、西兩端各設置了一個海中人工島，來銜接橋梁和海底隧道，西人工島上的A點和東人工島上的B點間的距離約為5.6千米，點C是與西人工島相連的大橋上的一點，A，B，C在一條直線上．如圖，一艘觀光船沿與大橋AC段垂直的方向航行，到達P點時觀測兩個人工島，分別測得PA，PB與觀光船航向PD的夾角∠DPA＝18°，∠DPB＝53°，求此時觀光船到大橋AC段的距離PD的長．參考數(shù)據(jù)：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.33，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．【分析】設PD的長為x千米，DA的長為y千米，在Rt△PAD中利用正切的定義得到tan18°＝，即y＝0.33x，同樣在Rt△PDB中得到y(tǒng)+5.6＝1.33x，所以0.33x+5.6＝1.33x，然后解方程求出x即可．【解答】解：設PD的長為x千米，DA的長為y千米，在Rt△PAD中，tan∠DPA＝，即tan18°＝，∴y＝0.33x，在Rt△PDB中，tan∠DPB＝，即tan53°＝，∴y+5.6＝1.33x，∴0.33x+5.6＝1.33x，解得x＝5.6，答：此時觀光船到大橋AC段的距離PD的長為5.6千米．【點評】本題考查了解直角三角形的應用：根據(jù)題目已知特點選用適當銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學問題的答案，再轉(zhuǎn)化得到實際問題的答案．23．（6分）在平面直角坐標系xOy中，已知直線y＝x與雙曲線y＝的一個交點是A（2，a）．（1）求k的值；（2）設點P（m，n）是雙曲線y＝上不同于A的一點，直線PA與x軸交于點B（b，0）．①若m＝1，求b的值；②若PB＝2AB，結(jié)合圖象，直接寫出b的值．【分析】（1）由直線解析式求得A（2，1），然后代入雙曲線y＝中，即可求得k的值；（2）①根據(jù)系數(shù)k的幾何意義即可求得n的值，得到P的坐標，繼而求得直線PA的解析式，代入B（b，0）即可求得b的值；②分兩種情況討論求得即可．【解答】解：（1）∵直線y＝x與雙曲線y＝的一個交點是A（2，a），∴a＝×2＝1，∴A（2，1），∴k＝2×1＝2；（2）①若m＝1，則P（1，n），∵點P（1，n）是雙曲線y＝上不同于A的一點，∴n＝k＝2，∴P（1，2），∵A（2，1），則直線PA的解析式為y＝﹣x+3，∵直線PA與x軸交于點B（b，0），∴0＝﹣b+3，∴b＝3；②如圖1，當P在第一象限時，∵PB＝2AB，A（2，1），∴P點的縱坐標時2，代入y＝求得x＝1，∴P（1，2），由①可知，此時b＝3；如圖2，當P在第，三象限時，∵PB＝2AB，A（2，1），∴P點的縱坐標時﹣2，代入y＝求得x＝﹣1，∴P（﹣1，﹣2），∵A（2，1）則直線PA的解析式為y＝x﹣1，∴b＝1，綜上，b的值為3或1．【點評】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點問題，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．24．（6分）如圖，A，B，C為⊙O上的定點．連接AB，AC，M為AB上的一個動點，連接CM，將射線MC繞點M順時針旋轉(zhuǎn)90°，交⊙O于點D，連接BD．若AB＝6cm，AC＝2cm，記A，M兩點間距離為xcm，B，D兩點間的距離為ycm．小東根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進行了探究．下面是小東探究的過程，請補充完整：（1）通過取點、畫圖、測量，得到了x與y的幾組值，如下表，補全表格：x/cm00.250.47123456y/cm1.430.6601.312.592.762.411.660（2）在平面直角坐標系xOy中，描出補全后的表中各對對應值為坐標的點，畫出該函數(shù)的圖象；（3）結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：當BD＝AC時，AM的長度約為1.38或4.62cm．【分析】（1）描出圖象后，測量x＝4時，y的值，即可求解；（2）描點即可；（3）當BD＝AC時，即：y＝2，即圖中點A、B的位置，即可求解．【解答】解：（1）描出后圖象后，x＝4時，測得y＝2.41（答案不唯一），故答案是2.41；（2）圖象如下圖所示：當x＝4時，測量得：y＝2.41；（3）當BD＝AC時，y＝2，即圖中點A、B的位置，從圖中測量可得：xA＝1.38，xB＝4.62，故：答案為：1.38或4.62（本題答案不唯一）．【點評】本題考查的函數(shù)的作圖，主要通過描點的方法作圖，再根據(jù)題意測量出相應的長度．25．（6分）如圖，AB是⊙O的弦，半徑OE⊥AB，P為AB的延長線上一點，PC與⊙O相切于點C，CE與AB交于點F．（1）求證：PC＝PF；（2）連接OB，BC，若OB∥PC，BC＝3，tanP＝，求FB的長．【分析】（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)以及OE⊥AB，可知∠E+∠EFA＝∠OCE+∠FCP＝90°，從而可知∠EFA＝∠FCP，由對頂角的性質(zhì)可知∠CFP＝∠FCP，所以PC＝PF；（2）過點B作BG⊥PC于點G，由于OB∥PC，且OB＝OC，BC＝3，從而可知OB＝3，易證四邊形OBGC是正方形，所以OB＝CG＝BG＝3，所以，所以PG＝4，由勾股定理可知：PB＝5，所以FB＝PF﹣PB＝7﹣5＝2．【解答】解：（1）連接OC，∵PC是⊙O的切線，∴∠OCP＝90°，∵OE＝OC，∴∠E＝∠OCE，∵OE⊥AB，∴∠E+∠EFA＝∠OCE+∠FCP＝90°，∴∠EFA＝∠FCP，∵∠EFA＝∠CFP，∴∠CFP＝∠FCP，∴PC＝PF；（2）過點B作BG⊥PC于點G，∵OB∥PC，∴∠COB＝90°，∵OB＝OC，BC＝3，∴OB＝3，∵BG⊥PC，∴四邊形OBGC是正方形，∴OB＝CG＝BG＝3，∵tanP＝，∴，∴PG＝4，∴由勾股定理可知：PB＝5，∵PF＝PC＝7，∴FB＝PF﹣PB＝7﹣5＝2．【點評】本題考查圓的綜合問題，涉及勾股定理，等腰三角形的判定，正方形的判定，銳角三角函數(shù)的定義等知識，需要學生靈活運用所學知識．26．（6分）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線G：y＝4x2﹣8ax+4a2﹣4，A（﹣1，0），N（n，0）．（1）當a＝1時，①求拋物線G與x軸的交點坐標；②若拋物線G與線段AN只有一個交點，求n的取值范圍；（2）若存在實數(shù)a，使得拋物線G與線段AN有兩個交點，結(jié)合圖象，直接寫出n的取值范圍．【分析】（1）①把a＝1代入二次函數(shù)表達式得：y＝4x2﹣8x，令y＝0，即可求解；②拋物線G與線段AN只有一個交點，則x＝﹣1時，y≥0（已經(jīng)成立），x＝n時，y＜0，且n＞﹣1，即可求解；（2）由②知，拋物線G與線段AN有兩個交點，則x＝﹣1時，y≥0，x＝n時，y≥0，即可求解．【解答】解：（1）①把a＝1代入二次函數(shù)表達式得：y＝4x2﹣8x，令y＝0，即4x2﹣8x＝0，解得：x＝0或2，即拋物線G與x軸的交點坐標為：（2，0）、（0，0）；②拋物線G與線段AN只有一個交點，則x＝﹣1時，y≥0（已經(jīng)成立），x＝n時，y＜0，且n＞﹣1，4n2﹣8n＜0，解得：0＜n＜2，故：0≤n＜2；（2）由②知，拋物線G與線段AN有兩個交點，則x＝﹣1時，y≥0，x＝n時，y≥0，即：，解得：，即：n的取值范圍為：n≤﹣3或n≥1．【點評】本題考查的是二次函數(shù)的綜合運用，其核心是利用二次函數(shù)解不等式，本題難度較大．27．（7分）已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，直線l經(jīng)過點A（不經(jīng)過點B或點C），點C關(guān)于直線l的對稱點為點D，連接BD，CD．（1）如圖1，①求證：點B，C，D在以點A為圓心，AB為半徑的圓上．②直接寫出∠BDC的度數(shù)（用含α的式子表示）為α．（2）如圖2，當α＝60°時，過點D作BD的垂線與直線l交于點E，求證：AE＝BD；（3）如圖3，當α＝90°時，記直線l與CD的交點為F，連接BF．將直線l繞點A旋轉(zhuǎn)，當線段BF的長取得最大值時，直接寫出tan∠FBC的值．【分析】（1）①由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AD＝AC＝AB，即可證點B，C，D在以點A為圓心，AB為半徑的圓上；②由等腰三角形的性質(zhì)可得∠BAC＝2∠BDC，可求∠BDC的度數(shù)；（2）連接CE，由題意可證△ABC，△DCE是等邊三角形，可得AC＝BC，∠DCE＝60°＝∠ACB，CD＝CE，根據(jù)“SAS”可證△BCD≌△ACE，可得AE＝BD；（3）取AC的中點O，連接OB，OF，BF，由三角形的三邊關(guān)系可得，當點O，點B，點F三點共線時，BF最長，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可求，OH＝HC，BH＝3HC，即可求tan∠FBC的值．【解答】證明：（1）①如圖1，連接DA，并延長DA交BC于點M，∵點C關(guān)于直線l的對稱點為點D，∴AD＝AC，且AB＝AC，∴AD＝AB＝AC，∴點B，C，D在以點A為圓心，AB為半徑的圓上②∵AD＝AB＝AC∴∠ADB＝∠ABD，∠ADC＝∠ACD，∵∠BAM＝∠ADB+∠ABD，∠MAC＝∠ADC+∠ACD，∴∠BAM＝2∠ADB，∠MAC＝2∠ADC，∴∠BAC＝∠BAM+∠MAC＝2∠ADB+2∠ADC＝2∠BDC＝α∴∠BDC＝故答案為：α（2）如圖2，連接CE，∵∠BA