集合與函數(shù)講義

第1講集合概念與運算學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）了解集合的含義，元素與集合的屬于關(guān)系；能用列舉法或描述法表示集合．（2）理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；了解全集與空集的含義．（3）理解并會求并集、交集、補集；能用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系與運算.二．重點難點重點：（1）理解集合、子集，空集的概念（2）了解屬于、包含、相等關(guān)系的意義（3）掌握集合的有關(guān)術(shù)語和符號（4）理解集合的交、并、補運算的概念及性質(zhì)（5）會用Venn圖及數(shù)軸解有關(guān)集合問題難點：子集與真子集、屬于與包含關(guān)系、交集與并集之間的區(qū)別與聯(lián)系．三．知識梳理 1．集合的基本概念:(1)集合的概念：具有某種公共屬性的一類事物的全體形成一個集合。；(2)集合中元素的三個特性：確定性，互異性，無序性。；(3)集合的三種表示方法：描述法，列舉法，圖示法。2．集合的運算(1)子集：若集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，則A?B；真子集：若A?B，且B中至少有一個元素不在A中，則AB；?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(2)交集：A∩B＝{}；(3)并集：A∪B＝{}．（4）補集：若U為全集，A?U，則＝{}，3．集合的常用運算性質(zhì)(1)A∩＝；A∩A＝A；(2)A∪＝A；A∪A＝A；(3)A∩()＝；A∪()＝U；()＝A；(4)A?B?A∩B＝A,A∪B＝B；(5)＝；＝；(6)card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－四．典例剖析題型一集合的基本概念例1考查下列每組對象能否構(gòu)成一個集合：(1)著名的數(shù)學(xué)家；(2)某校2013年在校的所有高個子同學(xué)；(3)不超過20的非負(fù)數(shù)；(4)2012年度諾貝爾文學(xué)獎獲得者．思路探索：緊扣集合的概念，根據(jù)集合元素的確定性逐一分析，作出判斷．解(1)“著名的數(shù)學(xué)家”無明確的標(biāo)準(zhǔn)，對于某個人是否“著名”無法客觀地判斷，因此“著名的數(shù)學(xué)家”不能構(gòu)成一個集合；類似地，(2)也不能構(gòu)成集合；(3)任給一個實數(shù)x，可以明確地判斷是不是“不超過20的非負(fù)數(shù)”，即“0≤x≤20”與“x>20或x<0”，兩者必居其一，且僅居其一，故“不超過20的非負(fù)數(shù)”能構(gòu)成集合．(4)2012年度諾貝爾文學(xué)獎獲得者是中國作家莫言，是確定的，能構(gòu)成集合．綜上：(1)，(2)不能構(gòu)成集合；(3)，(4)能構(gòu)成集合．教師點評：1.判斷元素能否構(gòu)成集合，關(guān)鍵在于是否有一個明確的客觀標(biāo)準(zhǔn)來衡量這些對象，即看這些元素是否具有確定性，如果條件滿足就可以斷定這些元素可以組成集合，否則就不能構(gòu)成集合．2．注意集合元素的互異性，相同的元素在集合中只能出現(xiàn)一次．例2(1)若所有形如3a＋eq\r(2)b(a∈Z，b∈Z)的數(shù)組成集合A，判斷6-2eq\r(2)是不是集合A中的元素．解：根據(jù)元素與集合的關(guān)系判斷，可令a＝2，b＝－2.所以6-2eq\r(2)eq\r()是集合A中的元素．（2）已知A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，且1∈A，求實數(shù)2013思路探索：(1)1∈A，則a＋2，(a＋1)2，a2＋3a解：(1)當(dāng)a＋2＝1，即a＝－1時，(a＋1)2＝0，a2＋3a＋3＝1與a＋2相同，∴不符合題意．當(dāng)(a＋1)2＝1，即a＝0或a＝－2時，①a＝0符合要求．②a＝－2時，a2＋3a＋3＝1與(a＋1)2相同，不符合題意．當(dāng)a2＋3a＋3＝1，即a＝－2或a＝－1.①當(dāng)a＝－2時，a2＋3a＋3＝(a＋1)2＝1，不符合題意．②當(dāng)a＝－1時，a2＋3a＋3＝a教師點評：1.(1)判斷一個元素是不是某個集合的元素關(guān)鍵是判斷這個元素是否具有這個集合中元素的共同特征．(2)要熟練掌握R、Q、Z、N、N*表示什么數(shù)集．(2)加強對集合中元素的特征的理解，互異性常常容易忽略，求解問題時要特別注意．(3)分類討論的思想方法常用于解決集合問題．例3用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?(1)A＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N*，y∈N*}； (2)平面直角坐標(biāo)系中所有第二象限的點． 解(1)∵x∈N*，y∈N*，∴x＝1，y＝3或x＝2，y＝2或x＝3，y＝1， ∴A＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)}． (2){(x，y)|x＜0，y＞0}．教師點評：表示集合的要求：(1)根據(jù)要表示的集合元素的特點，選擇適當(dāng)方法表示集合，一般要符合最簡原則． (2)一般情況下，元素個數(shù)無限的集合不宜用列舉法表示，描述法既可以表示元素個數(shù)無限的集合，也可以表示元素個數(shù)有限的集合．課堂練習(xí)1：(1)下列各組對象可以組成集合的是() A．?dāng)?shù)學(xué)必修1課本中所有的難題.B．方程x2－9＝0在實數(shù)范圍內(nèi)的解 C．直角坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限的一些點.D.eq\r(3)的近似值的全體解析A中“難題”的標(biāo)準(zhǔn)不確定，不能構(gòu)成集合；B中只有兩個元素3與－3，是確定的，B能構(gòu)成集合；C中“一些點”無明確的標(biāo)準(zhǔn)，對于某個點是否在“一些點”中無法確定，因此“直角坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限的一些點”不能構(gòu)成集合；D中“eq\r(3)的近似值”不明確精確到什么程度，因此很難判斷一個數(shù)如“2”是不是它的近似值，所以不能構(gòu)成集合．答案B(2)下列所給關(guān)系正確的個數(shù)是()①π∈R；②eq\r(3)?Q；③0∈N*；④|－4|?N*.A．1B．2C解析∵π是實數(shù)，eq\r(3)是無理數(shù)，0不是正整數(shù)，|－4|＝4是正整數(shù)，∴①②正確，③④不正確，正確的個數(shù)為2..答案B(3)（2013年高考江西卷（文））若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}其中只有一個元素,則a= A．4 B．2 C．0 D．0或4【答案】A題型二集合間的基本關(guān)系例4（1）（2012年高考大綱文）已知集合,,,,則 （）A． B． C． D．解析：B（2）、(2011·新課標(biāo)全國)已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，則P的子集共有()A．2個B．4個C．6個D．8個解析P＝M∩N＝{1,3}，故P的子集有22＝4個．*（3）(2011年高考安徽)設(shè)集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7}，則滿足S?A且S∩B≠?的集合S的個數(shù)為() （A）57 （B）56 （C）49 （D）8【答案】B教師點評：1.寫有限集合的所有子集，首先要注意兩個特殊的子集：?和自身；其次按含一個元素的子集，含兩個元素的子集…依次寫出，以免重復(fù)或遺漏．2．若集合A含n個元素，那么它子集個數(shù)為2n；真子集個數(shù)為2n－1，非空真子集個數(shù)為2n－2.例5已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，且B?A.求實數(shù)m [思路探索]借助數(shù)軸分析，注意B是否為空集．解∵B?A，(1)當(dāng)B＝?時，m＋1≤2m－1，解得m(2)當(dāng)B≠?時，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3≤2m－1，,m＋1≤4，,2m－1＜m＋1，))解得－1≤m＜2，綜上得m≥－1.課堂練習(xí)2：(2011·北京高考改編)已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{x|－a＋2≤x≤2a－7}，若P∪M＝P，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】由P∪M＝P，知M?P，(1)若－a＋2＞2a－7，即a＜3時，M＝?，滿足P∪M＝P.(2)當(dāng)a≥3時，M≠?，由M?P，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＋2≥－1，,2a－7≤1.))解之得a≤3，∴a＝3.綜合(1)、(2)可知，若P∪M＝P，實數(shù)a的取值范圍是a≤3.,教師點評：在解決兩個數(shù)集關(guān)系問題時，避免出錯的一個有效手段是合理運用數(shù)軸幫助分析與求解，另外，在解含有參數(shù)的不等式(或方程)時，要對參數(shù)進(jìn)行分類討論．分類時要遵循“不重不漏”的分類原則，然后對每一類情況都要給出問題的解答．分類討論的一般步驟：①確定標(biāo)準(zhǔn)；②恰當(dāng)分類；③逐類討論；④歸納結(jié)論．題型三集合的基本運算例6（1）（2013年高考課標(biāo)Ⅰ卷（文））已知集合,,則A．{1,4}B．{2,3}C．{9,16}D．{1,2}【答案】A（2）設(shè)集合A＝{x|x>3}，B＝{x|x2－5x＋4<0}，則A∪B＝()A．? B．{x|3<x<4}C．{x|－2<x<1} D．{x|x>1}【答案】D（3）（2013年高考陜西卷（理））設(shè)全集為R,函數(shù)的定義域為M,則為

(A)[-1,1](B)(-1,1)(C) (D)【答案】D（4）（2013年高考安徽（文））已知,則A． B． C． D．【答案】A例7設(shè)A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}．若A∩B＝B，求a的取值范圍． [思路探索]由A∩B＝B，得BA，由子集的定義建立關(guān)于a的方程或不等式求解．解由已知得A＝{－4,0}，且A∩B＝B，∴BA，則B＝，{－4}，{0}，{－4,0}．①若B＝，則Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝8(a＋1)＜0，得a＜－1.②若B＝{－4}，則方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有兩個相等的實根x1＝x2＝－4.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－42＋2a＋1·－4＋a2－1＝0，,Δ＝8a＋1＝0，))方程組無解．③若B＝{0}，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1＝0，,Δ＝8a＋1＝0，))∴a＝－1.④若B＝{－4,0}，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2a＋1＝－4，,a2－1＝0，,Δ＝8a＋1＞0.))解得a＝1.綜上可知，a＝1或a≤－1.教師點評：1.在利用集合的交集、并集性質(zhì)解題時，常常會遇到A∩B＝A，A∪B＝B等這類問題，解答時常借助于交、并集的定義及上節(jié)學(xué)習(xí)的集合間的關(guān)系去分析，如A∩B＝A?AB，A∪B＝B?AB等，解答時應(yīng)靈活處理．2．當(dāng)集合BA時，如果集合A是一個確定的集合，而集合B不確定，運算時要考慮B＝?的情況，切不可漏掉．課堂練習(xí)3：（1）已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∪B＝A，求實數(shù)a解∵A∪B＝A，∴B?A.，若B＝?時，2a>a＋3，即a若B≠?時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a≥－2，,a＋3≤5，,2a≤a＋3，))解得：－1≤a≤2，綜上所述，a的取值范圍是{a|－1≤a≤2或a>3}．*（2）（2013年上海高考數(shù)學(xué)試題（文科））設(shè)常數(shù),集合,.若,則的取值范圍為A． B． C． D．【答案】B題型四用韋恩圖解題例8(1)已知全集U＝R，則正確表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}關(guān)系的韋恩(Venn)圖是()答：B．(2)（2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷）設(shè)全集,下列集合運算結(jié)果為的是()(A)(B)(C)(D) 【答案】A(3)設(shè)全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A∩B＝{2}，(?UA)∩B＝{4}，(?UA)∩(?UB)＝{1,5}，求集合A和B.解：由Venn圖，可知A＝{2,3}，B＝{2,4}．教師點評：Venn圖直觀形象地反映了元素、集合之間的關(guān)系.在解題中將隱性的關(guān)系顯性化，利用韋恩圖易于找到元素與元素、元素與集合、集合與集合之間的聯(lián)系.例9．向50名學(xué)生調(diào)查對A、B兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果贊成A的人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊成，贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成；另外，對A、B都不贊成的學(xué)生數(shù)比對A、B都贊成的學(xué)生數(shù)的三分之一多1人。問對A、B都贊成的學(xué)生和都不贊成的學(xué)生各有多少人？解：贊成A的人數(shù)為50×=30，贊成B的人數(shù)為30+3=33，如上圖，記50名學(xué)生組成的集合為U，贊成事件A的學(xué)生全體為集合A；贊成事件B的學(xué)生全體為集合B。設(shè)對事件A、B都贊成的學(xué)生人數(shù)為x,則對A、B都不贊成的學(xué)生人數(shù)為+1,贊成A而不贊成B的人數(shù)為30－x，贊成B而不贊成A的人數(shù)為33－x。依題意(30－x)+(33－x)+x+(+1)=50,解得x=21。所以對A、B都贊成的同學(xué)有21人，都不贊成的有8人。教師點評：在集合問題中，有一些常用的方法如數(shù)軸法取交并集，韋恩圖法等，需要考生切實掌握。本題主要強化學(xué)生的這種能力。解答本題的閃光點是考生能由題目中的條件，想到用韋恩圖直觀地表示出來。本題難點在于所給的數(shù)量關(guān)系比較錯綜復(fù)雜，一時理不清頭緒，不好找線索。畫出韋恩圖，形象地表示出各數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系。課堂練習(xí)4：(1)設(shè)A、B、U均為非空集合，且滿足A?B?U，則下列各式中錯誤的是()A．(?UA)∪B＝UB．(?UA)∪(?UB)＝UC．A∩(?UB)＝D．(?UA)∩(?UB)＝?UB答：B(2)設(shè)U為全集，集合M，N，P都是它的子集，則圖中陰影部分表示的集合是()A．M∩(?UN∩P)B．M∩(N∪P)C．[(?UM)∩(?UN)]∩PD．(M∩N)∪(N∩P)【解析】陰影部分在集合N的外部，集合P的內(nèi)部，則(?UN)∩P.又在集合M的內(nèi)部，∴M∩(?UN∩P)．*(3)求1到200這200個數(shù)中既不是2的倍數(shù)，又不是3的倍數(shù)，也不是5的倍數(shù)的自然數(shù)共有多少個？解：如圖先畫出Venn圖，不難看出不符合條件的數(shù)共有[200÷2]＋[200÷3]＋[200÷5]－[200÷10]－[200÷6]－[200÷15]＋[200÷30]＝146 （[x]表示不大于x的最大整數(shù)。）所以，符合條件的數(shù)共有200－146＝54（個）教師點評：分析200個數(shù)分為兩類，即滿足題設(shè)條件的和不滿足題設(shè)條件的兩大類，而不滿足條件的這一類標(biāo)準(zhǔn)明確而簡單，可考慮用扣除法。題型五集合中的新定義問題例10(2012·課標(biāo)全國)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，則B中所含元素的個數(shù)為 ()A．3B．6C．8D．10易錯分析本題屬于創(chuàng)新型的概念理解題，準(zhǔn)確地理解集合B是解決本題的關(guān)鍵，該題解題過程易出錯的原因有兩個，一是誤以為集合B中的元素(x，y)不是有序數(shù)對，而是無序的兩個數(shù)值；二是對于集合B的元素的性質(zhì)中的“x∈A，y∈A，x－y∈A”，只關(guān)注“x∈A，y∈A”，而忽視“x－y∈A”的限制條件導(dǎo)致錯解．解析∵B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，A＝{1,2,3,4,5}，∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1,2；x＝4，y＝1,2,3；x＝5，y＝1,2,3,4.∴B＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，∴B中所含元素的個數(shù)為10.答案D教師點評：判斷集合中元素的性質(zhì)時要注意兩個方面：一是要注意集合中代表元素的字母符號，區(qū)分x、y、(x，y)；二是準(zhǔn)確把握元素所具有的性質(zhì)特征，如集合{x|y＝f(x)}表示函數(shù)y＝f(x)的定義域，{y|y＝f(x)}表示函數(shù)y＝f(x)的值域，{(x，y)|y＝f(x)}表示函數(shù)y＝f(x)圖象上的點．五．易錯探究例11若A＝{x|x2－2x－3＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且A∩B＝B，求由實數(shù)a組成的集合C.[錯解]由A＝{x|x2－2x－3＝0}，得A＝{－1,3}．∵A∩B＝B，∴B?A，從而B＝{－1}或B＝{3}．當(dāng)B＝{－1}時，由a×(－1)－2＝0，得a＝－2；當(dāng)B＝{3}時，由a×3－2＝0，得a＝eq\f(2,3).故由實數(shù)a組成的集合C＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，\f(2,3))).[錯因分析]由交集定義容易知道，對于任何一個集合A，都有A∩?＝?，所以錯解忽略了B＝?時的情況．[正解]①當(dāng)B≠?時，同上解法，得a＝－2或a＝eq\f(2,3)；②當(dāng)B＝?時，由ax－2＝0無實數(shù)根，得a＝0.綜上可知，實數(shù)a組成的集合C＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，0，\f(2,3)))第2講函數(shù)一、平面直角坐標(biāo)系在平面內(nèi)畫兩條互相垂直且有公共原點的數(shù)軸，就組成了平面直角坐標(biāo)系。其中，水平的數(shù)軸叫做x軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方向；兩軸的交點O（即公共的原點）叫做直角坐標(biāo)系的原點；建立了直角坐標(biāo)系的平面，叫做坐標(biāo)平面。為了便于描述坐標(biāo)平面內(nèi)點的位置，把坐標(biāo)平面被x軸和y軸分割而成的四個部分，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x軸和y軸上的點，不屬于任何象限。2、點的坐標(biāo)的概念點的坐標(biāo)用（a，b）表示，其順序是橫坐標(biāo)在前，縱坐標(biāo)在后，中間有“，”分開，橫、縱坐標(biāo)的位置不能顛倒。平面內(nèi)點的坐標(biāo)是有序?qū)崝?shù)對，當(dāng)時，（a，b）和（b，a）是兩個不同點的坐標(biāo)。3、不同位置的點的坐標(biāo)的特征①各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的特征ⅠⅡ點P(x,y)在第一象限ⅠⅡ點P(x,y)在第二象限ⅣⅢ點P(x,y)在第三象限ⅣⅢ點P(x,y)在第四象限②坐標(biāo)軸上的點的特征點P(x,y)在x軸上，x為任意實數(shù)點P(x,y)在y軸上，y為任意實數(shù)點P(x,y)既在x軸上，又在y軸上x，y同時為零，即點P坐標(biāo)為（0，0）③兩條坐標(biāo)軸夾角平分線上點的坐標(biāo)的特征點P(x,y)在第一、三象限夾角平分線上x與y相等點P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上x與y互為相反數(shù)④和坐標(biāo)軸平行的直線上點的坐標(biāo)的特征位于平行于x軸的直線上的各點的縱坐標(biāo)相同。位于平行于y軸的直線上的各點的橫坐標(biāo)相同。⑤關(guān)于x軸、y軸或原點對稱的點的坐標(biāo)的特征點P與點p’關(guān)于x軸對稱橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)點P與點p’關(guān)于y軸對稱縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)點P與點p’關(guān)于原點對稱橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)⑥點到坐標(biāo)軸及原點的距離點P(x,y)到坐標(biāo)軸及原點的距離：（1）點P(x,y)到x軸的距離等于（2）點P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于（3）點P(x,y)到原點的距離等于⑦對稱性：若直角坐標(biāo)系內(nèi)一點P（a，b），則P關(guān)于x軸對稱的點為P1（a，－b），P關(guān)于y軸對稱的點為P2（－a，b），關(guān)于原點對稱的點為P3（－a，－b）.⑧坐標(biāo)平移：若直角坐標(biāo)系內(nèi)一點P（a，b）向左平移h個單位，坐標(biāo)變?yōu)镻（a－h(huán)，b），向右平移h個單位，坐標(biāo)變?yōu)镻（a＋h，b）；向上平移h個單位，坐標(biāo)變?yōu)镻（a，b＋h），向下平移h個單位，坐標(biāo)變?yōu)镻（a，b－h(huán)）.如：點A（2，－1）向上平移2個單位，再向右平移5個單位，則坐標(biāo)變?yōu)锳（7，1） 4、函數(shù)平移規(guī)律：左加右減、上加下減二、基本初等函數(shù)及其相關(guān)概念1、變量與常量在某一變化過程中，可以取不同數(shù)值的量叫做變量，數(shù)值保持不變的量叫做常量。一般地，在某一變化過程中有兩個變量x與y，如果對于x的每一個值，y都有唯一確定的值與它對應(yīng)，那么就說x是自變量，y是x的函數(shù)。2、函數(shù)解析式用來表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式。使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。3、函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點（1）解析法兩個變量間的函數(shù)關(guān)系，有時可以用一個含有這兩個變量及數(shù)字運算符號的等式表示，這種表示法叫做解析法。（2）列表法把自變量x的一系列值和函數(shù)y的對應(yīng)值列成一個表來表示函數(shù)關(guān)系，這種表示法叫做列表法。（3）圖像法用圖像表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖像法。4、由函數(shù)解析式畫其圖像的一般步驟（1）列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對應(yīng)值（2）描點：以表中每對對應(yīng)值為坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的點（3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來。一次函數(shù)和正比例函數(shù)1、一次函數(shù)的概念：一般地，如果（k，b是常數(shù)，k0），那么y叫做x的一次函數(shù)。特別地，當(dāng)一次函數(shù)中的b為0時，（k為常數(shù)，k0）。這時，y叫做x的正比例函數(shù)。2、一次函數(shù)、正比例函數(shù)的圖像所有一次函數(shù)的圖像都是一條直線P(x0y0)bxyy=kx+bA(x1,y1)P(x0y0)bxyy=kx+bA(x1,y1)B(x2,y2)0da3、斜率：①直線的斜截式方程，簡稱斜截式:y＝kx＋b(k≠0)②由直線上兩點確定的直線的兩點式方程，簡稱兩點式:③由直線在軸和軸上的截距確定的直線的截距式方程，簡稱截距式：Y④設(shè)兩條直線分別為，：：若YA若，則有且。A⑤點P（x0，y0）到直線y=kx+b(即：kx-y+b=0)的距離:XB4、兩點間距離公式（當(dāng)遇到?jīng)]有思路的題時，可用此方法拓展思路，以尋求解題方法）XB如圖：點A坐標(biāo)為（x1，y1）點B坐標(biāo)為（x2，y2）則AB間的距離，即線段AB的長度為5、正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定確定一個正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式（k0）中的常數(shù)k。確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式（k0）中的常數(shù)k和b。解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法。6、（1）一次函數(shù)圖象是過兩點的一條直線，|k|的值越大，圖象越靠近于y軸。

（2）當(dāng)k>0時，圖象過一、三象限，y隨x的增大而增大；從左至右圖象是上升的（左低右高）；

（3）當(dāng)k<0時，圖象過二、四象限，y隨x的增大而減小。從左至右圖象是下降的（左高右低）；

（4）當(dāng)b>0時，與y軸的交點（0，b）在正半軸；當(dāng)b<0時，與y軸的交點(0,b)在負(fù)半軸。當(dāng)b＝0時，一次函數(shù)就是正比例函數(shù)，圖象是過原點的一條直線

（5）幾條直線互相平行時，k值相等而b不相等。反比例函數(shù)1、反比例函數(shù)的概念一般地，函數(shù)（k是常數(shù)，k0）叫做反比例函數(shù)。反比例函數(shù)的解析式也可以寫成的形式。自變量x的取值范圍是x0的一切實數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實數(shù)，也可寫成xy=k(k是常數(shù)，k≠0)反比例函數(shù)中，兩個變量成反比例關(guān)系：由xy=k，因為k為常數(shù)，k≠0，兩個變量的積是定值，所以y與x成反比變化，而正比例函數(shù)y=kx(k≠0)是正比例關(guān)系：由=k(k≠0)，因為k為不等于零的常數(shù)，兩個變量的商是定值。2、反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象的畫法畫圖方法：描點法。

由于雙曲線的圖象有關(guān)于原點對稱的性質(zhì)，所以只要描出它在一個象限內(nèi)的分支，再對稱地畫出另一分支。一定要注意：k>0，雙曲線兩分支分別在第一、三象限。k<0，雙曲線兩分支分別在第二、四象限。(在每一象限內(nèi)，從左向右上升)．因此，它的增減性與一次函數(shù)相反．反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的交點關(guān)于原點對稱。

特點：y==kx-1(k≠0)中，∵x≠0，∴y≠0，則有雙曲線不過原點且與兩坐標(biāo)軸永不相交。但無限靠近x軸、y軸。畫圖時圖象要體現(xiàn)這種性質(zhì)，千萬注意不要將兩個分支連起來。3、反比例函數(shù)的性質(zhì)和圖像反比例函數(shù)K的符號k>0k<0圖像yOxyOx性質(zhì)①x的取值范圍是x0，y的取值范圍是y0；②當(dāng)k>0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別在第一、三象限。在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小。①x的取值范圍是x0，y的取值范圍是y0；②當(dāng)k<0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別在第二、四象限。在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大。4、反比例函數(shù)解析式的確定確定的方法仍是待定系數(shù)法。由于在反比例函數(shù)中，只有一個待定系數(shù)，因此只需要一對對應(yīng)值或圖像上的一個點的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析式。5、反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何的意義如下圖，過反比例函數(shù)圖像上任一點P作x軸、y軸的垂線PM，PN，則所得的矩形PMON的面積S=PMPN=二次函數(shù)1、二次函數(shù)的概念：一般地，如果，那么y叫做x的二次函數(shù)。叫做二次函數(shù)的一般式。2、二次函數(shù)的圖像：二次函數(shù)的圖像是一條關(guān)于對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。3、二次函數(shù)圖像的畫法五點法：（1）先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出頂點M，并用虛線畫出對稱軸（2）求拋物線與坐標(biāo)軸的交點：當(dāng)拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點A,B及拋物線與y軸的交點C，再找到點C的對稱點D。將這五個點按從左到右的順序連接起來，并向上或向下延伸，就得到二次函數(shù)的圖像。當(dāng)拋物線與x軸只有一個或無交點時，描出拋物線與y軸的交點C及對稱點D。由C、M、D三點可粗略地畫出二次函數(shù)的草圖。如果需要畫出比較精確的圖像，可再描出一對對稱點A、B，然后順次連接五點，畫出二次函數(shù)的圖像4.求拋物線的頂點、對稱軸的方法（1）公式法：，∴頂點是，對稱軸是直線（2）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點為(,)，對稱軸是直線.（3）運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，對稱軸與拋物線的交點是頂點。若已知拋物線上兩點（及y值相同），則對稱軸方程可以表示為：5.拋物線中，的作用（1）決定開口方向及開口大小①當(dāng)時，拋物線開口向上，頂點為其最低點；當(dāng)時，拋物線開口向下；頂點為其最高點。相等，拋物線的開口大小、形狀相同.越大，圖像開口越小，越小，圖像開口越大。②平行于軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線.（2）和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線，故：①時，對稱軸為軸；②（即、同號）時，對稱軸在軸左側(cè)；③（即、異號）時，對稱軸在軸右側(cè).（3）的大小決定拋物線與軸交點的位置.當(dāng)時，，∴拋物線與軸有且只有一個交點（0，）：①，拋物線經(jīng)過原點;②,與軸交于正半軸；③,與軸交于負(fù)半軸.以上三點中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側(cè)，則.6、二次函數(shù)的解析式有三種形式：（1）一般式：（2）頂點式：（3）交點式：當(dāng)拋物線與x軸有交點時，即對應(yīng)二次好方程有實根和存在時，根據(jù)二次三項式的分解因式，二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩根式。如果沒有交點，則不能這樣表示。幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo)當(dāng)時開口向上當(dāng)時開口向下（軸）（0,0）（軸）(0,)(,0)(,)()7、二次函數(shù)的最值如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當(dāng)時，。如果自變量的取值范圍是，那么，首先要看是否在自變量取值范圍內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)x=時，；若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)時，，當(dāng)時，；如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)時，，當(dāng)時，。8、二次函數(shù)的圖象函數(shù)二次函數(shù)圖像a>0a<0y0xyx性質(zhì)（1）拋物線開口向上，并向上無限延伸；（2）對稱軸是x=，頂點坐標(biāo)是（，）；（3）在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<時，y隨x的增大而減?。辉趯ΨQ軸的右側(cè)，即當(dāng)x>時，y隨x的增大而增大，簡記左減右增；（4）拋物線有最低點，當(dāng)x=時，y有最小值，（1）拋物線開口向下，并向下無限延伸；（2）對稱軸是x=，頂點坐標(biāo)是（，）；（3）在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x>時，y隨x的增大而減小，簡記左增右減；（4）拋物線有最高點，當(dāng)x=時，y有最大值，9.拋物線的交點（1）軸與拋物線得交點為(0,).（2）拋物線與軸的交點：二次函數(shù)的圖像與軸的兩個交點的橫坐標(biāo)、，是對應(yīng)一元二次方程的兩個實數(shù)根.拋物線與軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：①有兩個交點()拋物線與軸相交；②有一個交點（頂點在軸上）()拋物線與軸相切；③沒有交點()拋物線與軸相離.（3）平行于軸的直線與拋物線的交點同（2）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當(dāng)有2個交點時，兩交點的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為，則橫坐標(biāo)是的兩個實數(shù)根.（4）一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點，由方程組的解的數(shù)目來確定：①方程組有兩組不同的解時與有兩個交點;②方程組只有一組解時與只有一個交點；③方程組無解時與沒有交點.反比例函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點，由方程組的解來確定。（5）拋物線與軸兩交點之間的距離：若拋物線與軸兩交點為，由于、是方程的兩個根，故基10、牛刀小試1、函數(shù)和函數(shù)的圖象有個交點；2、反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過（－，5）點、（）及（）點，則＝，＝，＝；3、已知-2與成反比例，當(dāng)=3時，=1，則與間的函數(shù)關(guān)系式為；4、已知正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象都過A（，1），則＝，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式分別是、；6、是關(guān)于的反比例函數(shù)，且圖象在第二、四象限，則的值為；7、若與－3成反比例，與成正比例，則是的（）A、正比例函數(shù)B、反比例函數(shù)C、一次函數(shù)D、不能確定8、若反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，則的值是（）A、－1或1B、小于的任意實數(shù)C、－1Ｄ、不能確定10、在同一直角坐標(biāo)平面內(nèi)，如果直線與雙曲線沒有交點，那么和的關(guān)系一定是（）A、<0，>0 B、>0，<0 C、、同號D、、異號11、已知反比例函數(shù)的圖象上有兩點A(，)，B(，)，且，則的值是（）A、正數(shù)B、負(fù)數(shù)C、非正數(shù)D、不能確定12、在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)和的圖象大致是（）ABCD13、已知直線與反比例函數(shù)的圖象交于AB兩點,且點A的縱坐標(biāo)為-1,點B的橫坐標(biāo)為2,求這兩個函數(shù)的解析式.14、已知函數(shù)，其中成正比例,成反比例,且當(dāng)15、已知,正比例函數(shù)圖象上的點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù),反比例函數(shù)在每一象限內(nèi)的增大而減小,一次函數(shù)過點.（1）求的值.（2）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式.16．填表指出下列函數(shù)的各個特征。函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo)最大或最小值與軸的交點坐標(biāo)與軸有無交點和交點坐標(biāo)三、函數(shù)及其相關(guān)概念1、初中學(xué)習(xí)了哪些函數(shù)?、、、2、在初中，函數(shù)的概念是如何理解的？設(shè)在一個變化過程中有兩個變量x與y，如果對于x的每一個值，都有唯一的y值與它對應(yīng)，則稱x是自變量，y是x的函數(shù)；自變量x的取值的集合叫函數(shù)的定義域，和自變量x值對應(yīng)的y的值組成的集合叫做函數(shù)的值域。3、下面先看幾個實例：（1）一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過26s落到地面擊中目標(biāo)，炮彈的射高為845m，且炮彈距地面的高度h(單位：m)隨時間t(單位:s)變化的規(guī)律是：h=130t-5t2(*)tth26s845這里，炮彈飛行時間t的變化范圍是數(shù)集A={t|0≤t≤26},炮彈距地面的高度h的變化范圍是數(shù)集B={h|0≤h≤845}.從問題的實際意義可知，對于數(shù)集A中的任意一個時間t，按照對應(yīng)關(guān)