方差分析幾個(gè)案例

方差分析方法方差分析是統(tǒng)計(jì)分析方法中，最重要、最常用的方法之一。本文應(yīng)用多個(gè)實(shí)例來(lái)闡明方差分析的應(yīng)用。在實(shí)際操作中，可采用相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)分析軟件來(lái)進(jìn)行計(jì)算。1.方差分析的意義、用途及適用條件1.1方差分析的意義方差分析又稱為變異數(shù)分析或 F檢驗(yàn)，其基本思想是把全部觀察值之間的變異（總變異），按設(shè)計(jì)和需要分為二個(gè)或多個(gè)組成部分，再作分析。即把全部資料的總的離均差平方和（SS）分為二個(gè)或多個(gè)組成部分，其自由度也分為相應(yīng)的部分，每部分表示一定的意義，其中至少有一個(gè)部分表示各組均數(shù)之間的變異情況，稱為組間變異（ MS組間）；另一部分表示同一組內(nèi)個(gè)體之間的變異，稱為組內(nèi)變異（ MS組內(nèi)），也叫誤差。SS除以相應(yīng)的自由度（υ），得均方（MS）。如MS組間>MS組內(nèi)若干倍（此倍數(shù)即 F值）以上，則表示各組的均數(shù)之間有顯著性差異。方差分析在環(huán)境科學(xué)研究中， 常用于分析試驗(yàn)數(shù)據(jù)和監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)。 在環(huán)境科學(xué)研究中， 各種因素的改變都可能對(duì)試驗(yàn)和監(jiān)測(cè)結(jié)果產(chǎn)生不同程度的影響， 因此，可以通過(guò)方差分析來(lái)弄清與研究對(duì)象有關(guān)的各個(gè)因素對(duì)該對(duì)象是否存在影響及影響的程度和性質(zhì)。1.2方差分析的用途兩個(gè)或多個(gè)樣本均數(shù)的比較。分離各有關(guān)因素，分別估計(jì)其對(duì)變異的影響。分析兩因素或多因素的交叉作用。方差齊性檢驗(yàn)。1.3方差分析的適用條件1.3.1各組數(shù)據(jù)均應(yīng)服從正態(tài)分布，即均為來(lái)自正態(tài)總體的隨機(jī)樣本（小樣本）。1.3.2各抽樣總體的方差齊。1.3.3影響數(shù)據(jù)的各個(gè)因素的效應(yīng)是可以相加的。1.3.4對(duì)不符合上述條件的資料，可用秩和檢驗(yàn)法、近似F值檢驗(yàn)法，也可以經(jīng)過(guò)變量變換，使之基本符合后再按其變換值進(jìn)行方差分析。一般屬Poisson分布的計(jì)數(shù)資料常用平方根變換法；屬于二項(xiàng)分布的百分?jǐn)?shù)可用反正弦函數(shù)變換法；當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差與均數(shù)之間呈正比關(guān)系，用平方根變換法又不易校正時(shí)，也可用對(duì)數(shù)變換法。2.單因素方差分析（單因素多個(gè)樣本均數(shù)的比較）根據(jù)某一試驗(yàn)因素， 將試驗(yàn)對(duì)象按完全隨機(jī)設(shè)計(jì)分為若干個(gè)處理組 （各組的樣本含量可相等或不等），分別求出各組試驗(yàn)結(jié)果的均數(shù)，即為單因素多個(gè)樣本均數(shù)。用方差分析比較多個(gè)樣本均數(shù)的目的是推斷各種處理的效果有無(wú)顯著性差異，如各組方差齊，則用 F檢驗(yàn)；如方差不齊，用近似 F值檢驗(yàn)，或經(jīng)變量變換后達(dá)到方差齊，再用變換值作 F檢驗(yàn)。如經(jīng) F檢驗(yàn)或近似 F值檢驗(yàn)，結(jié)論為各總體均數(shù)不等，則只能認(rèn)為各總體均數(shù)之間總的來(lái)說(shuō)有差異， 但不能認(rèn)為任何兩總體均數(shù)之間都有差異， 或某兩總體均數(shù)之間有差異。必要時(shí)應(yīng)作均數(shù)之間的兩兩比較， 以判斷究竟是哪幾對(duì)總體均數(shù)之間存在差異。在環(huán)境科學(xué)研究中， 常常要分析比較不同季節(jié)對(duì)江、 河、湖水中某種污染物的含量有無(wú)顯著性影響；各種氣象條件如風(fēng)向、風(fēng)速、溫度對(duì)大氣中某種污染物含量的影響等問(wèn)題。我們把季節(jié)、風(fēng)向、風(fēng)速、溫度等稱為因素。僅按不同季節(jié)，或不同的風(fēng)向，或不同的溫度來(lái)分組，稱為單因素。例1某年度某湖不同季節(jié)湖水中氯化物含量（mg/L）測(cè)定結(jié)果如表—6.1所示。試比較不同季節(jié)湖水中氯化物含量有無(wú)顯著性差異。從表—1的測(cè)定結(jié)果可見(jiàn)有三種變異：組內(nèi)變異：每個(gè)季節(jié)內(nèi)部的各次測(cè)定結(jié)果不盡相同，但顯然不是季節(jié)的影響，而只是由于誤差（如個(gè)體差異、隨機(jī)測(cè)量誤差等）所致。組間變異：各個(gè)季節(jié)的均數(shù)也不相同，說(shuō)明季節(jié)對(duì)湖水中氯化物的含量可能有一定的影響，也包括誤差的作用。3.總變異：32次測(cè)定結(jié)果都不盡相同，既可能受季節(jié)的影響，也包括誤差的作用。不同季節(jié)湖水中氯化物含量的均數(shù)之間的變異究竟是由于誤差所致， 還是由于不同季節(jié)的影響，可以用方差分析來(lái)解決此問(wèn)題。方差分析可表示：⑴從總變異中分出組間變異和組內(nèi)變異，并用數(shù)量表示變異的程度。⑵將組間變異和組內(nèi)變異進(jìn)行比較，如二者相差甚微，說(shuō)明季節(jié)影響不大；如二者相差較大，組間變異比組內(nèi)變異大得多，說(shuō)明季節(jié)影響不容忽視。以下是三種變異的計(jì)算方法：3.1多個(gè)方差的齊性檢驗(yàn)已知多個(gè)樣本（理論上均來(lái)自正態(tài)總體）方差，可以據(jù)此推斷它們所分別代表的總體方差是否相等，即多個(gè)方差的齊性檢驗(yàn)。其常用于：⑴說(shuō)明多組變量值的變異度有無(wú)差異。⑵方差齊性檢驗(yàn)。以例1為例（各組樣本含量相等） ，如表—4所示。3.確定P值：根據(jù) υ=4—1=3，查附表—12得P<0.005。4.判斷結(jié)果：由于 P<0.005，因此，四組方差不齊。3.2近似F值檢驗(yàn)（F'檢驗(yàn)）以例2為例，如表—6所示。公式26最常用，公式27適用于原數(shù)據(jù)中有小值和零時(shí)。 K為常數(shù)，可以根據(jù)需要選用合適的數(shù)值。⑵對(duì)數(shù)變換的用途：①當(dāng)幾個(gè)樣本均數(shù)作比較時(shí)， 如樣本方差不齊， 尤其是當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差與均數(shù)之比的比值接近時(shí)，必須經(jīng)對(duì)數(shù)變換以縮小各方差之間的差別，達(dá)到方差齊后才能進(jìn)行 t檢驗(yàn)或方差分析。②適用于呈對(duì)數(shù)正態(tài)分布的資料。③在曲線擬合中，對(duì)數(shù)變換常常是直線化的重要手段，如指數(shù)曲線、雙曲線、 logistic曲線的直線化等。例3 欲用t檢驗(yàn)比較某河豐水期和枯水期的河水 BOD5（mg/L）含量均數(shù)，資料如表—7所示。此數(shù)據(jù)能否直接用 t檢驗(yàn)方法？如不能，試作變量變換。二者比較接近，可以試用對(duì)數(shù)變換。⑶將X作“l(fā)gX+1變”換后，再作方差齊性檢驗(yàn)，得 F=1.72，P>0.05，兩組方差齊，可以用變換值作兩樣本均數(shù)比較的 t檢驗(yàn)。2.平方根變換以原數(shù)據(jù)的平方根作為統(tǒng)計(jì)分析的變量值，稱為平方根變換。⑴平方根變換的形式：⑶百分?jǐn)?shù)的概率單位變換：主要用于S形或反S形曲線的直線化、正態(tài)性檢驗(yàn)，尤其適用于劑量反應(yīng)曲線的直線化。⑷百分?jǐn)?shù)的logit變換：主要用于S形或反S形曲線的直線化。⑸反雙曲正切變換：用于兩直線相關(guān)系數(shù)的比較與合并。兩因素方差分析（雙因素多個(gè)樣本均數(shù)的比較）將試驗(yàn)對(duì)象按性質(zhì)相同或相近者組成配伍組，每個(gè)配伍組有三個(gè)或三個(gè)以上試驗(yàn)對(duì)象，然后隨機(jī)分配到各個(gè)處理組。這樣，分析數(shù)據(jù)時(shí)將同時(shí)考慮兩個(gè)因素的影響，試驗(yàn)效率較高。例5 某市為了研究一日中不同時(shí)點(diǎn)以及不同區(qū)域大氣中氮氧化物含量的變化情況， 該市環(huán)保所于某年 1月15～19日，在市區(qū)選擇了 7個(gè)采樣點(diǎn)，對(duì)大氣中氮氧化物的含量進(jìn)行測(cè)定。表—9為各個(gè)采樣點(diǎn)每個(gè)時(shí)點(diǎn)五天的平均含量，試分析不同時(shí)點(diǎn)、不同區(qū)域氮氧化物含量之間有無(wú)顯著性差異。多因素方差分析（多因素多個(gè)樣本均數(shù)的比較）在環(huán)境科學(xué)研究中，所研究的事物或現(xiàn)象往往是比較復(fù)雜的多因素問(wèn)題，而各種因素本身尚有程度的差別，其間往往又存在交互作用。當(dāng)研究的因素在三個(gè)或三個(gè)以上時(shí)，可以用正交試驗(yàn)法。正交試驗(yàn)是一種高效、快速的多因素試驗(yàn)方法。正交試驗(yàn)的設(shè)計(jì)與分析見(jiàn)另外章節(jié)?！岸嘁蛩囟鄠€(gè)樣本均數(shù)的比較”不僅可以用于正交試驗(yàn)，也可以用于拉丁方試驗(yàn)分析與析因試驗(yàn)分析等。6．多個(gè)樣本均數(shù)間的兩兩比較（多重比較）經(jīng)方差分析后，如果各總體均數(shù)有顯著性差異時(shí)，常需進(jìn)一步確定哪兩個(gè)總體均數(shù)間有顯著性差異，哪兩個(gè)之間無(wú)顯著性差異。因此，可以利用方差分析提供的信息作樣本均數(shù)間的兩兩比較。以例5為例：