2020高中數(shù)學(xué) 第章 不等式 .1 不等關(guān)系與不等式學(xué)案 5

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE15-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3。1不等關(guān)系與不等式學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解不等式的性質(zhì)（重點)。2.能用不等式(組）表示實際問題中的不等關(guān)系(難點)．通過學(xué)習(xí)用不等式表示不等關(guān)系、比較兩數(shù)（式)的大小及不等式的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).1．不等符號與不等關(guān)系的表示（1）不等符號有＜，≤，＞，≥，≠；（2)不等關(guān)系用不等式來表示．2．不等式中的文字語言與符號語言之間的轉(zhuǎn)換大于大于等于小于小于等于至多至少不少于不多于＞≥＜≤≤≥≥≤思考:不等式a≥b和a≤b有怎樣的含義?［提示]①不等式a≥b應(yīng)讀作:“a大于或等于b”，其含義是a〉b或a＝b,等價于“a不小于b",即若a>b或a＝b中有一個正確，則a≥b正確．②不等式a≤b應(yīng)讀作：“a小于或等于b"，其含義是a〈b或a＝b，等價于“a不大于b"，即若a〈b或a＝b中有一個正確,則a≤b正確．3．比較兩實數(shù)a，b大小的依據(jù)思考:x2＋1與2x兩式都隨x的變化而變化，其大小關(guān)系并不顯而易見．你能想個辦法，比較x2＋1與2x的大小，而且具有說服力嗎?[提示］作差：x2＋1－2x＝(x－1）2≥0，所以x2＋1≥2x.4．不等式的性質(zhì)名稱式子表達性質(zhì)1（對稱性)a>b?b<a性質(zhì)2(傳遞性）a>b,b>c?a〉c性質(zhì)3（可加性)a〉b?a＋c〉b＋c推論a＋b>c?a>c－b性質(zhì)4(可乘性)a〉b，c〉0?ac>bca〉b，c<0?ac<bc性質(zhì)5（不等式同向可加性)a>b,c>d?a＋c〉b＋d性質(zhì)6（不等式同向正數(shù)可乘性)a>b〉0，c〉d>0?ac〉bd性質(zhì)7（乘方性)a〉b〉0?an>bn(n∈N，n≥1）性質(zhì)8(開方性）a>b>0?eq\r（n,a）>eq\r（n,b）（n∈N,n≥2）思考:關(guān)于不等式的性質(zhì)，下列結(jié)論中正確的有哪些?(1)a〉b且c〉d，則a－c>b－d.（2）a>b，則ac〉bc。(3)a>b〉0，且c>d>0則eq\f（a,c)〉eq\f(b,d）。(4)a〉b>0，則an>bn。（5）a〉b,則eq\f(a,c2）〉eq\f（b，c2）.［提示]對于不等式的性質(zhì)，有可加性但沒有作差與作商的性質(zhì)，(1）中例如5>3且4>1時，則5－4>3－1是錯的，故（1）錯．（2）中當(dāng)c≤0時，不成立．（3)中例如5>3且4〉1，則eq\f（5，4）〉eq\f(3，1)是錯的，故(3）錯．(4）中對n≤0均不成立，例如a＝3，b＝2，n＝－1，則3－1>2－1顯然錯，故(4)錯．(5）因為eq\f（1,c2）〉0，所以a·eq\f(1,c2）〉b·eq\f（1，c2)，故(5)正確．因此正確的結(jié)論有(5)．1．大橋頭豎立的“限重40噸”的警示牌，是指示司機要安全通過該橋,應(yīng)使車貨總重量T不超過40噸,用不等式表示為()A．T<40 B．T〉40C．T≤40 D．T≥40C[限重就是不超過，可以直接建立不等式T≤40.]2．已知a〉b，c>d，且cd≠0，則（）A．a(chǎn)d>bc B．a(chǎn)c〉bcC．a(chǎn)－c>b－d D．a(chǎn)＋c〉b＋dD[a，b，c，d的符號未確定，排除A、B兩項；同向不等式相減，結(jié)果未必是同向不等式,排除C項，故選D項．]3．設(shè)m＝2a2＋2a＋1，n＝(a＋1)2，則m，n的大小關(guān)系是________．m≥n[m－n＝2a2＋2a＋1－（a＋1)2＝a2≥0.］4．若eq\f(1，a)〈eq\f（1，b）〈0，則下列不等式：①a＋b〈ab；②｜a｜>｜b|;③a〈b中，正確的不等式有________個．1［由eq\f(1,a）〈eq\f（1，b）<0，得a<0，b〈0，故a＋b〈0且ab>0，所以a＋b<ab,即①正確；由eq\f（1,a）〈eq\f(1,b)〈0,得eq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1（\f(1,a))）〉eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1（\f(1，b）)），兩邊同乘｜ab|，得|b｜〉|a｜，故②錯誤；由①②知|b|〉|a|，a<0,b<0,那么a〉b，故③錯誤．]用不等式表示不等關(guān)系【例1】用一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18m，要求菜園的面積不小于110m2,靠墻的一邊長為xm．試用不等式表示其中的不等關(guān)系．[解］由于矩形菜園靠墻的一邊長為xm，而墻長為18m，所以0<x≤18，這時菜園的另一條邊長為eq\f(30－x,2）＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(15－\f(x，2））)（m）．因此菜園面積S＝x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f（x，2））)，依題意有S≥110,即xeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(15－\f(x，2))）≥110,故該題中的不等關(guān)系可用不等式表示為eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(0<x≤18,,x\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2)))≥110.))1．此類問題的難點是如何正確地找出題中的顯性不等關(guān)系和隱性不等關(guān)系．2．當(dāng)問題中同時滿足幾個不等關(guān)系，則應(yīng)用不等式組來表示它們之間的不等關(guān)系，另外若問題有幾個變量，選用幾個字母分別表示這些變量即可．3．用不等式（組)表示不等關(guān)系的步驟：（1)審清題意,明確表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞語:至多、至少、不多于、不少于等．（2）適當(dāng)?shù)脑O(shè)未知數(shù)表示變量．（3)用不等號表示關(guān)鍵詞語，并連接變量得不等式．1．某礦山車隊有4輛載重為10t的甲型卡車和7輛載重為6t的乙型卡車，有9名駕駛員．此車隊每天至少要運360t礦石至冶煉廠．已知甲型卡車每輛每天可往返6次，乙型卡車每輛每天可往返8次，寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式．[解］設(shè)每天派出甲型卡車x輛，乙型卡車y輛,則eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（x＋y≤9，，10×6x＋6×8y≥360，,0≤x≤4，x∈N，,0≤y≤7,y∈N，）)即eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x＋y≤9,，5x＋4y≥30，，0≤x≤4,x∈N，，0≤y≤7，y∈N.）)比較兩數(shù)（式）的大小【例2】已知a,b為正實數(shù)，試比較eq\f（a,\r(b）)＋eq\f（b，\r(a)）與eq\r（a)＋eq\r（b)的大?。悸诽骄浚鹤⒁饨Y(jié)構(gòu)特征，嘗試用作差法或者作商法比較大?。甗解]法一：(作差法)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(a,\r（b））＋\f（b,\r（a）)））－(eq\r(a）＋eq\r(b））＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（a，\r(b））－\r（b）））＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（b，\r（a)）－\r(a)））＝eq\f（a－b，\r(b))＋eq\f(b－a，\r（a））＝eq\f(（a－b）(\r(a)－\r（b)），\r（ab））＝eq\f（（\r(a)－\r（b)）2（\r(a)＋\r（b)）,\r(ab)）.∵a,b為正實數(shù)，∴eq\r（a）＋eq\r(b)〉0,eq\r（ab）〉0,(eq\r（a)－eq\r（b）)2≥0，∴eq\f（（\r（a）－\r（b））2（\r(a）＋\r(b)）,\r（ab)）≥0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立．∴eq\f(a,\r(b)）＋eq\f（b，\r(a））≥eq\r(a)＋eq\r（b）(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號)．法二：（作商法）eq\f（\f(b，\r(a))＋\f（a，\r（b））,\r（a）＋\r（b）)＝eq\f（（\r（b)）3＋(\r（a)）3,\r(ab)(\r（a）＋\r(b）))＝eq\f((\r(a)＋\r(b））（a＋b－\r(ab）),\r(ab）（\r（a)＋\r（b)）)＝eq\f(a＋b－\r（ab),\r（ab））＝eq\f（（\r(a）－\r(b））2＋\r（ab),\r(ab））＝1＋eq\f（（\r（a)－\r（b））2,\r(ab）)≥1,當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號．∵eq\f(b,\r(a））＋eq\f（a，\r(b）)〉0，eq\r(a）＋eq\r（b）>0,∴eq\f(b,\r(a))＋eq\f(a,\r(b)）≥eq\r（a）＋eq\r（b）（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號）．法三：（平方后作差)∵eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（a,\r(b)）＋\f(b,\r（a)）））eq\s\up20（2)＝eq\f（a2，b）＋eq\f(b2,a)＋2eq\r（ab),（eq\r(a)＋eq\r(b））2＝a＋b＋2eq\r（ab），∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a，\r（b）)＋\f(b,\r(a））))eq\s\up20（2)－（eq\r（a）＋eq\r(b）)2＝eq\f（(a＋b）（a－b)2,ab）?！遖>0，b〉0，∴eq\f（（a＋b)（a－b）2,ab)≥0，又eq\f（a，\r(b)）＋eq\f（b，\r（a））>0，eq\r（a)＋eq\r(b)〉0，故eq\f（a，\r(b)）＋eq\f（b，\r(a）)≥eq\r（a)＋eq\r（b)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號）．1．作差法比較兩個數(shù)大小的步驟及變形方法(1）作差法比較的步驟：作差→變形→定號→結(jié)論．（2)變形的方法：①因式分解；②配方；③通分;④對數(shù)與指數(shù)的運算性質(zhì);⑤分母或分子有理化；⑥分類討論．2．如果兩實數(shù)同號，亦可采用作商法來比較大小，即作商后看商是大于1，等于1，還是小于1。2．已知x<1，比較x3－1與2x2－2x的大?。甗解］（x3－1）－(2x2－2x）＝（x－1)(x2＋x＋1）－2x(x－1)＝(x－1）(x2－x＋1）＝（x－1)eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(x－\f(1，2）))\s\up20（2)＋\f(3，4）)).因為x<1,所以x－1<0。又eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（x－\f(1,2））)eq\s\up20(2)＋eq\f(3,4)〉0，所以(x－1）eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))\s\up20（2）＋\f（3，4）))<0。所以x3－1〈2x2－2x。不等式性質(zhì)的應(yīng)用［探究問題]1．小明同學(xué)做題時進行如下變形：∵2〈b<3，∴eq\f(1，3）〈eq\f（1,b）〈eq\f（1,2），又∵－6〈a<8，∴－2<eq\f（a,b)<4。你認為正確嗎？為什么？[提示］不正確．因為不等式兩邊同乘以一個正數(shù)，不等號的方向不變，但同乘以一個負數(shù),不等號方向改變,在本題中只知道－6〈a〈8.不明確a值的正負．故不能將eq\f(1，3)〈eq\f(1,b)〈eq\f(1,2）與－6〈a<8兩邊分別相乘，只有兩邊都是正數(shù)的同向不等式才能分別相乘．2．由－6〈a<8，－4〈b<2，兩邊分別相減得－2<a－b<6,你認為正確嗎？［提示]不正確．因為同向不等式具有可加性與可乘性．但不能相減或相除，解題時要充分利用條件，運用不等式的性質(zhì)進行等價變形，而不可隨意“創(chuàng)造”性質(zhì)．3．你知道下面的推理、變形錯在哪兒嗎？∵2<a－b<4，∴－4〈b－a〈－2。又∵－2〈a＋b<2，∴0<a〈3，－3<b〈0，∴－3〈a＋b〈3.這怎么與－2<a＋b<2矛盾了呢?［提示］利用幾個不等式的范圍來確定某不等式的范圍要注意:同向不等式兩邊可以相加(相乘），這種轉(zhuǎn)化不是等價變形．本題中將2〈a－b<4與－2<a＋b〈2兩邊相加得0〈a<3，又將－4〈b－a<－2與－2〈a＋b〈2兩邊相加得出－3<b〈0，又將該式與0〈a〈3兩邊相加得出－3<a＋b〈3，多次使用了這種轉(zhuǎn)化，導(dǎo)致了a＋b范圍的擴大．【例3】已知c>a〉b〉0，求證：eq\f（a,c－a)〉eq\f(b,c－b).思路探究：①如何證明eq\f(c，a）<eq\f（c，b)?②由eq\f（c，a)<eq\f(c,b)怎樣得到eq\f（c－a,a）<eq\f(c－b,b)?［證明］∵c>a〉b>0，∴c－a>0，c－b〉0.由eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1（a>b>0?\f(1，a）<\f（1,b),c>0）)?eq\f（c，a)〈eq\f（c,b),eq\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1(?\f（c－a,a)〈\f（c－b,b)，c－a〉0,c－b>0，a>0，b〉0))?eq\f（a，c－a)〉eq\f（b,c－b)。1．（變條件，變結(jié)論）將例題中的條件“c〉a>b〉0”變?yōu)椤癮〉b>0，c〈0"證明:eq\f(c,a）〉eq\f（c，b).［證明］因為a〉b〉0，所以ab〉0，eq\f(1，ab)〉0.于是a×eq\f（1，ab）>b×eq\f（1，ab），即eq\f(1，b）>eq\f(1，a）.由c<0，得eq\f（c，a）>eq\f（c，b)。2．（變條件，變結(jié)論)將例題中的條件“c〉a〉b〉0"變?yōu)椤耙阎?<a〈8,2〈b〈3"如何求出2a＋b，a－b及eq\f（a，b)的取值范圍．［解]因為－6<a<8，2〈b〈3,所以－12<2a〈16，所以－10<2a＋b<19。又因為－3〈－b<－2，所以－9<a－b〈6。又eq\f(1,3)<eq\f（1,b)〈eq\f（1,2)，(1）當(dāng)0≤a〈8時,0≤eq\f(a，b)<4；(2）當(dāng)－6<a〈0時，－3<eq\f（a,b)〈0。由（1）(2)得－3<eq\f（a，b)<4.1．利用不等式的性質(zhì)證明不等式注意事項（1）利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式．解決此類問題一定要在理解的基礎(chǔ)上，記準、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準確地加以應(yīng)用．（2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進行推導(dǎo)時，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則．2．利用不等式性質(zhì)求代數(shù)式的范圍要注意的問題(1)恰當(dāng)設(shè)計解題步驟，合理利用不等式的性質(zhì)．（2)運用不等式的性質(zhì)時要切實注意不等式性質(zhì)的前提條件，切不可用似乎是很顯然的理由，代替不等式的性質(zhì),如由a>b及c>d，推不出ac>bd；由a>b，推不出a2>b2等．(3)準確使用不等式的性質(zhì)，不能出現(xiàn)同向不等式相減、相除的錯誤．1．比較兩個實數(shù)的大小，只要求出它們的差就可以了．a(chǎn)－b＞0?a＞b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a＜b。2．作差法比較大小的一般步驟第一步：作差；第二步：變形，常采用配方、因式分解等恒等變形手段，將“差”化成“和”或“積"；第三步：定號，就是確定是大于0,等于0，還是小于0（不確定的要分情況討論);最后得結(jié)論．概括為“三步一結(jié)論”，這里的“定號”是目的，“變形”是關(guān)鍵．3．不等式的性質(zhì)是不等式變形的依據(jù)，每一步變形都要嚴格依照性質(zhì)進行，并注意不等式推導(dǎo)所需條件是否具備．1．判斷正誤（1）不等式x≥2的含義是指x不小于2.(）（2)若a〈b或a＝b之中有一個正確，則a≤b