2020高中數(shù)學 第一章 立體幾何初步 1.1 簡單旋轉(zhuǎn)體學案 2

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE12學必求其心得，業(yè)必貴于專精1.1簡單旋轉(zhuǎn)體[學習目標］1。通過實物操作,增強直觀感知．2.能根據(jù)幾何結(jié)構(gòu)特征對空間物體進行分類．3。會用語言概述球、圓柱、圓錐、圓臺的結(jié)構(gòu)特征．4。會表示有關(guān)幾何體以及柱、錐、臺的分類.【主干自填】幾種簡單旋轉(zhuǎn)體【即時小測】1．思考下列問題(1）鉛球和乒乓球都是球嗎？提示：鉛球是球,乒乓球不是球，鉛球是實心球，符合球的定義,乒乓球是空心球，不符合球的定義．(2)圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓嗎？提示：它們的底面都不是圓,而是圓面．2．用一個平面截一個幾何體，各個截面都是圓面，則這個幾何體一定是(）A．圓柱 B．圓錐C．球 D．圓臺提示:C由球的性質(zhì)可知，用平面截球所得截面都是圓面．3．給出下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；②圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線是圓錐的母線；③在圓臺的上、下兩底面圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線；④圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的．其中正確的是（)A．①② B．②③C．①③ D．②④提示：D依據(jù)圓柱、圓錐和圓臺的定義及母線的性質(zhì)可知，②④正確，①③錯誤．例1有下列說法：①球是以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體；②球的直徑是球面上任意兩點間的連線;③用一個平面截一個球，得到的是一個圓；④空間中到一定點距離等于定長的點的集合是球．其中正確的序號是________．[解析］球可看作是半圓面繞其直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)形成的，因此①正確；如果球面上的兩點連線經(jīng)過球心，則這條線段就是球的直徑，因此②錯誤；球是一個幾何體,平面截它應(yīng)得到一個面而不是一條曲線,所以③錯誤；空間中到一定點距離等于定長的點的集合是一個球面，而不是一個球體，所以④錯誤．[答案］①類題通法透析球的概念(1)球是旋轉(zhuǎn)體,球的表面是旋轉(zhuǎn)形成的曲面,球是球面及其內(nèi)部空間組成的幾何體，球體與球面是兩個不同的概念，用一個平面截球得到的是圓面而不是圓．(2)根據(jù)球的定義，籃球、排球等雖然它們的名字中都有一個“球”字，但它們都是空心的,不符合球的定義．eq\a\vs4\al（[變式訓(xùn)練1])下列命題:①球面上四個不同的點一定不在同一平面內(nèi)；②球面上任意三點可能在一條直線上；③空間中到定點的距離等于定長的點的集合構(gòu)成球面．其中正確的命題序號為________．答案③解析①中作球的截面，在截面圓周上任取四點，則這四點在同一平面內(nèi)，所以①錯；②球面上任意三點一定不能共線,所以②錯；③由球的定義可知③正確.例2下列命題：①用一個平面去截圓錐得到一個圓錐和一個圓臺；②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺;③圓柱的任意兩條母線平行;④以等腰三角形的底邊上的高所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體叫圓錐．其中正確命題的個數(shù)為(）A．0B．1C．2D．3［解析］本題主要考查圓柱、圓錐、圓臺的概念，關(guān)鍵理解它們的形成過程．①用平行于圓錐底面的平面去截圓錐才能得到一個圓錐和一個圓臺;②以直角梯形垂直于底邊的腰為軸旋轉(zhuǎn)一周可得到圓臺；③、④顯然都正確．[答案]C類題通法透析幾種旋轉(zhuǎn)體的概念解決此類問題一般是利用有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的定義，所以必須對各種旋轉(zhuǎn)體的概念在理解的基礎(chǔ)上熟記．圓柱、圓錐、圓臺它們都是由平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的，圓柱和圓臺有兩個底面,圓柱的兩個底面是半徑相等的圓面，圓臺的兩個底面是半徑不等的圓面，圓錐只有一個底面．eq\a\vs4\al（［變式訓(xùn)練2］)下列命題中：①圓臺的母線有無數(shù)條，且它們長度相同；②圓臺的母線延長后一定相交于一點；③圓臺可以看作直角梯形以其垂直于底邊的腰所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何體；④圓繞其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)半周形成的曲面圍成的幾何體是球．正確命題的序號是________．答案①②③④解析由圓臺與球的定義可知①②③④都對。例3如下圖，用一個平行于圓錐底面的平面截這個圓錐，截得圓臺上下底面半徑的比是1∶4，截去的圓錐的母線長是3cm,求圓臺的母線長．[解]如圖,設(shè)圓臺的母線長為ycm，截得的圓錐底面與原圓錐底面半徑分別是xcm,4xcm，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得eq\f（3，3＋y）＝eq\f(x,4x)，解此方程得y＝9，因此，圓臺的母線長為9cm。類題通法處理旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)問題一般要作出其軸截面，在軸截面中去尋找各元素的關(guān)系,常利用相似三角形去尋找等量關(guān)系。eq\a\vs4\al(［變式訓(xùn)練3］)圓錐的軸截面是正三角形，它的面積是eq\r（3)，則圓錐的高與母線的長分別為________．答案eq\r（3），2解析設(shè)正三角形的邊長為a，則eq\f（\r（3)，4）a2＝eq\r（3），∴a＝2.由于圓錐的高即為圓錐的軸截面三角形的高，所以所求的高為eq\f(\r（3）,2）a＝eq\r(3)，圓錐的母線即為圓錐的軸截面正三角形的邊，所以母線長為2。易錯點?空間位置關(guān)系考慮不全導(dǎo)致漏解［典例］已知半徑為10的球的兩個平行截面的周長分別是12π和16π，試求這兩個截面間的距離．[錯解］如圖(1)，設(shè)球的球心為O，C，D分別為兩截面圓的圓心，AB為經(jīng)過C，O，D的球的直徑,由題意知兩截面圓的半徑分別為6和8.在Rt△COE中，OC＝eq\r（102－62)＝8.在Rt△DOF中，OD＝eq\r（102－82)＝6.所以CD＝OC－OD＝8－6＝2。故這兩個截面間的距離為2.[錯因分析]錯解中由于考慮問題不全面而導(dǎo)致錯誤．事實上,兩個截面既可以在球心的同側(cè),也可以在球心的兩側(cè)．[正解］如圖(1)（2)，設(shè)球的球心為O,C，D分別為兩截面圓的圓心，AB為經(jīng)過C，O，D的球的直徑，由題意知兩截面圓的半徑分別為6和8。當兩截面在球心同側(cè)時,CD＝OC－OD＝eq\r（102－62)－eq\r(102－82)＝2。當兩截面在球心兩側(cè)時，CD＝OC＋OD＝eq\r(102－62）＋eq\r(102－82）＝14.所以這兩個截面間的距離為2或14。課堂小結(jié)1.圓柱、圓錐、圓臺的關(guān)系如圖所示。2.處理臺體問題常采用還臺為錐的補體思想。3。重視圓柱、圓錐、圓臺的軸截面在解決幾何量中的特殊作用，切實體會空間幾何平面化的思想.1．圖1是由哪個平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的（）答案D解析圖中給出的組合體是一個圓臺上接一個圓錐,因此平面圖形應(yīng)由一個直角三角形和一個直角梯形構(gòu)成，并且上面應(yīng)是直角三角形，下面應(yīng)是直角梯形．2．將一個等腰梯形繞著它較長的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體由下面哪些簡單幾何體構(gòu)成（)A．一個圓臺和兩個圓錐B．兩個圓臺和一個圓錐C．兩個圓柱和一個圓錐D．一個圓柱和兩個圓錐答案D解析把等腰梯形分割成兩個直角三角形和一個矩形,由旋轉(zhuǎn)體的定義可知所得幾何體．3．給出下列四個命題:①夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是一個旋轉(zhuǎn)體；②圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺;③通過圓臺側(cè)面上一點，有無數(shù)條母線．其中正確命題的序號是________．答案②解析①錯誤，沒有說明這兩個平行截面的位置關(guān)系，當這兩個平行截面與底面平行時正確，其他情況則結(jié)論是錯誤的，如圖（1）;②正確，如圖（2)；③錯誤,通過圓臺側(cè)面上一點，只有一條母線，如圖(3)．4．圓臺上底面面積為π，下底面面積為16π，用一個平行于底面的平面去截圓臺，該平面自上而下分圓臺的高的比為2∶1，則這個截面的面積為________．答案9π解析如下圖,把圓臺還原成圓錐，設(shè)截面⊙O1的半徑為r，因為圓臺上底面面積為π，下底面面積為16