全國中考數學旋轉的綜合中考真題匯總附答案

一、旋轉真題與模擬題分類匯編(難題易錯題)1.在平面直角坐標系中，四邊形AOBC是矩形，點0(0,0),點A(5,0),點B(0,3).以點A為中心，順時針旋轉矩形AOBC,得到矩形ADEF,點0,B,C的對應點分別為D,E,F.如圖①，當點D落在BC邊上時，求點D的坐標；如圖②，當點D落在線段BE上時，AD與BC交于點H.求證△ADB^△AOB；求點H的坐標.記K為矩形AOBC對角線的交點，S為KDE的面積，求S的取值范圍(直接寫出結30-3辰<s<30+3何4<<4■【解析】【分析】如圖①，在RtAACD中求出CD即可解決問題；①根據HL證明即可；②，設AH=BH=m，則HC=BC-BH=5-m，在RtAAHC中，根據AH2=HC2+AC2，構建方程求出m即可解決問題；如圖③中，當點D在線段BK上時，△DEK的面積最小，當點D在BA的延長線上時，△DZEZK的面積最大，求出面積的最小值以及最大值即可解決問題；【詳解】如圖①中，圖①TA(5,0),B(0,3),

0A=5,OB=3,T四邊形AOBC是矩形，AC=OB=3,OA=BC=5,ZOBC=AC=90°,T矩形ADEF是由矩形AOBC旋轉得到，.AD=AO=5,在Rt^ADC中,CD=QAD2-AC2=4,.BD=BC-CD=1，.D(1,3)．(2)(2)①如圖②中,由四邊形ADEF是矩形，得到ZADE=90°,T由四邊形ADEF是矩形，得到ZADE=90°,T點D在線段BE上,.ZADB=90°,由(1)可知，AD=AO,又AB=AB,ZAOB=90°,RtHADB^RtHAOB(HL).②如圖②中，由△ADB^△AOB，得至l」ZBAD=ZBAO,又在矩形AOBC中，OAIIBC,.ZCBA=ZOAB,.ZBAD=ZCBA,.BH=AH,設AH=BH=m，貝HC=BC-BH=5-m,在Rt^AHC中，TAH2=HC2+AC2,.m2=32+(5-m)2,17.m=一,BH=1717.H(—,3).(3)如圖③中，當點D在線段BK上時3?、_30-3^345-)=一24△DEK的面積最小,11最小值=—?DE?DK=—x3xS圖③E11S圖③E當點D在BA的延長線上時，△DEK的面積最大，最大面積二2xDExKD=-x3x（5+亙）=沁34.24綜上所述，30仝4公30+婕4.44【點睛】本題考查四邊形綜合題、矩形的性質、勾股定理、全等三角形的判定和性質、旋轉變換等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，學會利用參數構建方程解決問題．2?請認真閱讀下面的數學小探究系列，完成所提出的問題:（1）探究（1）探究1：如圖1,在等腰直角三角形ABC中，ZACB=90，BC=a，將邊AB繞點B。1順時針旋轉90得到線段BD，連接CD?求證：BCD的面積為-a-.（提示：過點D作BC邊上的高DE，可證ABC匕BDE）（2）探究2：如圖2,在一般的RtABC中，ZACB=90，BC=a，將邊ab繞點B順時針旋轉90得到線段BD，連接CD.請用含a的式子表示。BCD的面積，并說明理由.（3）探究3：。如圖3，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=a，將邊AB繞點B順時針旋轉90得到線段BD，連接CD?試探究用含a的式子表示^BCD的面積，要有探究過程.?！?/p>

【答案】(1)詳見解析；(2)BCD的面積為2a2，理由詳見解析；(3)BCD的面1積為丁a2-4△△【解析】【分析】如圖1,過點D作BC的垂線，與BC的延長線交于點E,由垂直的性質就可以得出ABC、BDE，就有DE=BC=a.進而由三角形的面積公式得出結論；如圖2，過點D作BC的垂線，與BC的延長線交于點E，由垂直的性質就可以得出△ABC、aBDE，就有DE=BC=a.進而由三角形的面積公式得出結論；如圖3,過點A作AF丄BC與f,過點D作DE丄BC的延長線于點E,由等腰三角形的性質可以得出BF=2bC，由條件可以得出AFB、BED就可以得出BF二DE，由三角形的面積公式就可以得出結論．【詳解】(1)如圖1,過點D作DE丄CB交CB的延長線于E,/.ZBED=ZACB=90,由旋轉知，AB=AD,ZABD=90,/ZABC+ZDBE=90,。ZA+ZABC=90,o/.ZA=ZDBE,o在ABC和BDE中，”ZACB二ZBED<ZA=ZDBE,△A、AB二BD/ABC、BDE(AAS)/.BC=DE=a,屈=iBC.DE,BCD21/S——a2；?BCD2（2）BCD的面積為2a2,理由：如圖2理由：如圖2,過點D作BC的垂線，與BC的延長線交于點E,/.ZBED=ZACB=90,線段AB繞點B順時針旋轉90得到線段BE,/AB二BD，ZABD=90，o/.ZABC+ZDBE=90，oZA+ZABC=90，o:,ZA=ZDBE，o在ABC和BDE中，ZACB二ZBED<ZA=ZDBE，△AAB二BD:ABC也BDE（AAS）,.:BC=DE=a，鳥=1BC-DE,BCD2::S::S=_a2BCD（3）如圖BCD（3）如圖3，過點A作AF丄BC與F，過點D作DE丄BC的延長線于點E,乙AFB=ZE=90，BF=2BC=掃:.ZFAB+ZABF=90，ZABD=90，。:.ZABF+ZDBE=90,ZFAB二ZEBD,線段BD是由線段AB旋轉得到的，/.AB=BD,在AFB和BED中，'ZAFB=ZE<ZFAB二ZEBD,AA、AB=BD...AFB竺BED（AAS）,BF=DE=1a,2△△c1“2111S=—BC-DEa-a=a2,bcd2224.BCD的面積為才*2.【點睛】本題考查了旋轉的性質、直角三角形的性質、等腰三角形的性質、全等三角形的判定與性質、三角形的面積等，綜合性較強，有一定的難度，正確添加輔助線、熟練掌握和靈活運用相關的性質與定理是解題的關鍵.3.如圖I,在AABC中，ZACB=90°,點P為AABC內一點.⑴連接PB,PC，將ABCP沿射線CA方向平移，得到4DAE,點B,C,P的對應點分別為點D、A、E,連接CE.①依題意，請在圖2中補全圖形；②如果BP丄CE,BP=3,AB=6,求CE的長(2)如圖3,以點A為旋轉中心，將AABP順時針旋轉60°得到△AMN,連接PA、PB、PC,當AC=3，AB=6時，根據此圖求PA+PB+PC的最小值.【答案】(1)①補圖見解析；②、'-；；(2)【解析】①連接PB、PC,將厶BCP沿射線CA方向平移，得到△DAE，點B、C、P的對應點分別為點D、A、E,連接CE,據此畫圖即可；②連接BD、CD,構造矩形ACBD和RtACDE,根據矩形的對角線相等以及勾股定理進行計算，即可求得CE的長；以點A為旋轉中心，將△ABP順時針旋轉60°得到△AMN,連接BN,根據△PAM、

△ABN都是等邊三角形，可得PA+PB+PC=CP+PM+MN,最后根據當C、P、M、N四點共射線，PA+PB+PC的值最小，此時△CBN是直角三角形，利用勾股定理即可解決問題.解：（1）①補全圖形如圖所示；②如圖，連接BD、CDT△BCP沿射線CA方向平移，得到△DAE，BCIIAD且BC=AD，TZACB=90°,.四邊形BCAD是矩形，.CD=AB=6，TBP=3，.DE=BP=3，TBP丄CE，BPIDE，DE丄CE，.在RtADCE中?卜\'''：J\"："A?；（2）證明：如圖所示，當C、P、M、N四點共線時，PA+PB+PC最小由旋轉可得，△AMN竺△APB，.PB=MN易得△APM、△ABN都是等邊三角形，.PA=PM.PA+PB+PC=PM+MN+PC=CN，

BN=AB=6,ZBNA=60°,ZPAM=60°ZCAN=ZCAB+ZBAN=60°+60°=120°,.ZCBN=90°在RtAABC中，易得仇在RtABCN中，-\''''■/'二“點睛”本題屬于幾何變換綜合題,主要考查了旋轉和平移的性質、全等三角形的判定和性質、矩形的性質以及勾股定理的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造等邊三角形和全等三角形，依據圖形的性質進行計算求解.在平面直角坐標系中，O為原點，點A(0,4),點B(-2,0)，把△ABO繞點A逆時針旋轉，得△AB9,，點B、O旋轉后的對應點為BlO'.如圖①，若旋轉角為60°時，求BB'的長；如圖②，若AB'llx軸，求點O'的坐標；得最小值時，求點P'的坐標(直接寫出結果即可)OB圏①B0B0S0(2)點O'的坐標為(855,455+4)(3得最小值時，求點P'的坐標(直接寫出結果即可)OB圏①B0B0S0(2)點O'的坐標為(855,455+4)(3)點P'的坐標為(-【答案】(1)2J5；【解析】分析：(1)由點久B的坐標可得出AB的長度，連接BB',由旋轉可知：AB=AB',ZBAB=60°,進而可得出△ABB'為等邊三角形，根據等邊三角形的性質可求出BB'的長；過點0'作OP丄x軸，垂足為D,交AB'于點丘，則厶AO'E-△ABO,根據旋轉的性質結合相似三角形的性質可求出AE、0'E的長，進而可得出點0，的坐標；作點A關于x軸對稱的點A，連接AAO交x軸于點P,此時OP+AP'取最小值，過點0，作0乍丄y軸，垂足為點F,過點P作PM丄OF垂足為點M,根據旋轉的性質結合解直角三角形可求出點0,的坐標，由A、A'關于x軸對稱可得出點A的坐標，利用待定系數法即可求出直線AO'的解析式，由一次函數圖象上點的坐標特征可得出點P的坐標，進而可得出OP的長度，再在RtAO'PM中，通過解直角三角形可求出OM、PM的長，進而可得出此時點P的坐標.

詳解：(1)點A(0,4),點B(-2,0),???OA=4,OB=2,二ab~\OA2+OB2=2^5?在圖①中，連接BB'.由旋轉可知：AB=AB',ZBAB'=60°,?△ABB'為等邊三角形，?BB'=AB=2、第.在圖②中，過點O'作OP丄x軸，垂足為D,交AB'于點E.TAB'llx軸，OE丄x軸，?ZOEA=90°=ZAOB.AEO'EAO'由旋轉可知：ZB'AO'=ZBAO,AO'=AO=4,?△AO'E-△ABO,==，即AOBOABAEO'E_4_AEO'E_4_T=T=營?OD=痘+4,5?點O的坐標為+4).作點A關于x軸對稱的點A，連接A'O'交x軸于點P,此時OP+AP'取最小值，過點O'作O'FYy軸，垂足為點F,過點P作PM丄OF垂足為點M,如圖3所示.由旋轉可知：AO'=AO=4,ZOAF=240°-180°=60°,?AF=2AO'=2,OF=AO'=2*3,22?點OO(-2J3,6).???點A(0,4),???點A(0,-4).設直線AO'的解析式為y=kx+b，將A(0,-4)、O'(-2,6)代入y=kx+b，得:b=—4-2岳+b二6b=—4-2岳+b二6,解得：＜,?直線A'OO的解析式為y=-x-4.573當y=0時，有-x-4=0,解得:?OP=O'P'=4、''35.x=-竿，?點P(-竿,0),在RtAO'P'M中，ZMOP=60°,ZO'MP'=90°,?OM=2O'P'=,PM="3O'P1=5,?點P的坐標為(-2^3+蘭3,6+5)，即(-空3,逆).

255555PM=圖①圉②點睛：本題考查了函數圖象及旋轉變換、待定系數法求一次函數解析式、等邊三角形的判定與性質、一次函數圖象上點的坐標特征以及解直角三角形，解題的關鍵是：（1）利用等邊三角形的性質找出BB'的長；（2）通過解直角三角形求出AE.O'E的長；（3）利用兩點之間線段最短找出當OP+AP'取得最小值時點P的位置.如圖1,是邊長分別為6和4的兩個等邊三角形紙片ABC和CD]E]疊放在一起.AP、0圖3（1）操作：固定△ABC，將△CD]E]繞點C順時針旋轉得到厶CDE,連接AD、BE,如圖2.探究：在圖2中，線段BE與AD之間有怎樣的大小關系？并請說明理由；（2）操作：固定△ABC，若將△CD￡繞點C順時針旋轉30°得到△CDE,連接AD、BE,CE的延長線交AB于點F,在線段CF上沿著CF方向平移，（點F與點P重合即停止平移）平移后的△CDE設為△PQR,如圖3.探究：在圖3中，除三角形ABC和CDE外，還有哪個三角形是等腰三角形？寫出你的結論（不必說明理由）；（3）探究：如圖3,在（2）的條件下，設CQ=x，用x代數式表示出GH的長.￡【答案】（1）BE=CD.理由見解析；（2）△CHQ是等腰三角形；（3）2、；x.【解析】試題分析：（1）根據等邊三角形的性質可得AB=BC,CD=CE,ZACB=ZECD=60°,然后求出/ACD=ZBCE,再利用"邊角邊”證明厶ACD和厶BCE全等，根據全等三角形對應邊相等證明即可；（2）求出ZACF=30°，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出ZCHQ=30°,從而得到ZACF=ZCHQ,判斷出△CHQ是等腰三角形；（3）求出ZCGP=90°,然后利用ZACF的余弦表示出CG,再根據等腰三角形的性質表示出CH,然后根據GH=CG-CH整理即可得解.

試題解析：（1）BE=CD.理由如下:?:△ABC與厶CDE是等邊三角形,AC=BC,CE=CD,ZACB=ZECD=60°.ZACB-ZACE=ZECD-ZACE,即ZBCE=ZACD.在厶ACD和厶BCE中，AB=RC*^ACD=a.BCECD=CEL△ACD竺△BCE（SAS），.BE=AD；（2）T旋轉角為30°，.ZBCF=30°，.ZACF=60°-30°=30°，.ZCHQ=ZRQP-ZACF=60°-30°=30°.ZACF=ZCHQ，.△CHQ是等腰三角形；（3）ZCGP=180°-ZACF-ZRPQ=180°-30°-60°=90°,.CG=CP?cos30°=」（x+4）,T△CHQ是等腰三角形，..CH=2?CQcos30°=2x?‘'x,2x.GH=CG-CH=」（x+4）-_：x=2i：-二x.在厶ABC中，AB=AC，將線段AC繞著點C逆時針旋轉得到線段CD,旋轉角為二且oy妙，連接ad、bd.如圖1,當ZBAC=100°,花二合曠時，ZCBD的大小為；如圖2,當ZBAC=100°,：1時，求ZCBD的大小；已知ZBAC的大小為m(山|…川)，若zCBD的大小與(2)中的結果相同，請直接寫出?'的大小.【答案】(1)30°；(2)30°；(3)a=120°-m°,a=60。或a=240-m°.【解析】試題分析：(1)由/BAC=100°,AB=AC,可以確定/ABC=ZACB=40°，旋轉角為a,a=60°時厶ACD是等邊三角形，且AC=AD=AB=CD，知道ZBAD的度數，進而求得/CBD的大小.由上BAC=100°，AB=AC，可以確定/ABC=ZACB=40°，連結DF、BF.AF=FC=AC,ZFAC=ZAFC=60°,ZACD=20°,由/DCB=20°案.依次證明△DCB^△FCB,△DAB竺△DAF.利用角度相等可以得到答案.結合(1)(2)的解題過程可以發(fā)現規(guī)律，求得答案.試題解析：(1)30°；(2)30°；(2)如圖作等邊△AFC，連結DF、BF.AF=FC=AC,ZFAC=ZAFC=60°.TZBAC=100°,AB=AC,.ZABC=ZBCA=40°.TZACD=20°,ZDCB=20°..ZDCB=ZFCB=20°.①TAC=CD,AC=FC,.DC=FC.②TBC=BC,③.由①②③，得△DCB竺△FCB,.DB=BF,ZDBC=ZFBC.TZBAC=100°,ZFAC=60°,.ZBAF=40°.TZACD=20°,AC=CD,.ZCAD=80°..ZDAF=20°..ZBAD=ZFAD=20°.④TAB=AC,AC=AF,.AB=AF.⑤TAD=AD,⑥.由④⑤⑥，得△DAB^△DAF.FD=BD..FD=BD=FB..ZDBF=60°..ZCBD=30°.(3)a=120°-m°,a=60?；騛=240-m°.考點：1.全等三角形的判定和性質；2.等邊三角形的判定和性質7.在厶ABC中,AB=6,AC=BC=5，將△ABC繞點A按順時針方向旋轉，得到△ADE，旋轉角為a(0°VaV180°)，點B的對應點為點D,點C的對應點為點E,連接BD，BE.如圖，當a=60°時，延長BE交AD于點F.求證：△ABD是等邊三角形；求證：BF丄AD,AF=DF；請直接寫出BE的長；在旋轉過程中，過點D作DG垂直于直線AB,垂足為點G,連接CE,當/DAG=ZACB，且線段DG與線段AE無公共點時，請直接寫出BE+CE的值.【答案】⑴①②詳見解析；③3JJ-4；(2)13.【解析】試題分析：(1)①由旋轉性質知AB=AD,ZBAD=60°即可得證；②由BA=BD、EA=ED根據中垂線性質即可得證；③分別求出BF、EF的長即可得；(2)由ZACB+ZBAC+ZABC=180°、ZDAG+ZDAE+ZBAE=180°、ZDAG=ZACB、ZDAE=ZBAC得ZBAE=ZBAC且AE=AC,根據三線合一可得CE丄AB、AC=5、AH=3，繼而知CE=2CH=8、BE=5，即可得答案.試題解析：(1)①T△ABC繞點A順時針方向旋轉60°得到△ADE,AB=AD,ZBAD=60°,???△ABD是等邊三角形；由①得厶ABD是等邊三角形，.AB=BD,???△ABC繞點A順時針方向旋轉60°得到△ADE,.AC=AE,BC=DE,又：AC=BC,.EA=ED,.點B、E在AD的中垂線上,.BE是AD的中垂線,T點F在BE的延長線上，BF丄AD,AF=DF；由②知BF丄AD,AF=DF,.AF=DF=3,AE=AC=5,EF=4,?在等邊二角形ABD中,BF=AB?sinZBAF=6x=3#,2BE=BF-EF=3￡-4；2)如圖所示,?ZDAG=ZACB,ZDAE=ZBAC,ZACB+ZBAC+ZABC=ZDAG+ZDAE+ZABC=180°,又:ZDAG+ZDAE+ZBAE=180°,.ZBAE=ZABC,AC=BC=AE,.ZBAC=ZABC,.ZBAE=ZBAC,口1AB丄CE,且CH=HE=CE,2AC=BC,.AH=BH=；AB=3,則CE=2CH=8,BE=5,.BE+CE=13．考點：三角形綜合題.&已知0為直線MN上一點，OP丄MN,在等腰RtAABO中，ZBAO=90°,ACIIOP交OM于C,D為OB的中點，DE±DC交MN于E.(1)如圖1,若點B在OP上，則①AC_OE(填"V”，"=”或“〉”)；②線段CA、CO、CD滿足的等量關系式;⑵將圖1中的等腰RtAABO繞O點順時針旋轉d(0°<?<45。)，如圖2,那么(1)中的結論②是否成立？請說明理由；⑶將圖1中的等腰RtAABO繞O點順時針旋轉a(),請你在圖3中畫出圖形，并直接寫出線段CA、CO、CD滿足的等量關系；【答案】(1)①二；②AC2+CO2=CD2；(2)(1)中的結論②不成立，理由見解析；(3)畫圖見解析;0C-CA=p'2cd.【解析】試題分析：(1)①如圖1,證明AC=OC和OC=OE可得結論；②根據勾股定理可得：AC2+CO2=CD2；(2)如圖2，(1)中的結論②不成立，作輔助線，構建全等三角形，證明A、D、0、C四點共圓，得/ACD=ZAOB，同理得：乙EFO=ZEDO,再證明△ACO^△EOF，得OE=AC，AO=EF，根據勾股定理得：AC2+OC2=FO2+OE2=EF2，由直角三角形中最長邊為斜邊可得結論；(3)如圖3,連接AD，則AD=0D證明△ACD^△OED，根據厶CDE是等腰直角三角形，得CE2=2CD2，等量代換可得結論(0C-0E)2=(0C-AC)2=2CD2，開方后是：oc-ac=J5cd.試題解析：(1)①AC